Обобщение изопериметрической задачи Гронуолла для однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

Е. В. Разумовская

ОБОБЩЕНИЕ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ГРОНУОЛЛА ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть 5 - класс голоморфных и однолистных функций = г + агг2 +...; 2&Е = {2\\2\<\} , - класс функций /(г)е8 таких, что /(Х) = /0), 2 е Е.

Одними из основных задач в теории однолистных функций являются вопросы нахождения множеств значений различных функционалов и систем функционалов в классах 5 и 5Л и в других основных классах однолистных функций. Частный случай таких задач представляют две известные задачи Гронуолла об оценке | /(г) | (или |/'(Х)1) в зависимости от \а2 | в классе 5. В настоящей статье рассматривается обобщение первой задачи Гронуолла - описание множества значенйй системы функционалов Jf = {\og\f(r)\,Rea2}, 0<г<1,

в классе 5. В качестве метода решения используется вариационно-параметрический метод совместно с принципом максимума Л. С. Понтрягина.

Пусть В - множество значений системы Jу. Используя вариационные формулы Голузина в классе 5 [1], получаем что /(г) е 5, соответствующая неособой точке границы О, отображает Е на плоскость с кусоч-но-аналитическими разрезами и удовлетворяет в Е дифференциальному уравнению

+ у) - У1>1)> /->-\2

>с3(и'1 - ж)

= р(г)

(1)

( уЛ

где м/ = /(г), и^ = /(г), А = , (х,у) - вектор нормали к границе О,

а также условиям:

Функция

1+ А

т 2

-А Г2

х-\ а7 + — + г 1 -Г2 I 2 7

\ ' У

/ J

р{2)<О V г:\2\=1,

I = />(*)•

(2) (3)

имеет не менее одного и не более двух двойных нулей на границе £ ис учетом (3) записывается в виде

2 - ■

где т|1 = е'ф, Т12 = г0е

г(г - г)(\ - гг)

з

(5)

Из соответствия коэффициентов при 2 в числителе двух форм записи р(г) ((4) и (5)) можно выразить

( Г О г0+ —

х =

< го)

+ 2е,1р + а2-~-г

, если л2 =г0е "р, (6)

или

/ Г О г0+~

х = у Не

к к. Ъ)

+ 2 е»+а2---г

, если г\2 = -г0е ,ф. (7)

А также, устремив в (1) г к г, получаем гу(г-г\02(г--т]2)

Ах = -

' 1 Л г - —

Ч "П2У

г2(\-г2)

(8)

Формализовав затем задачу о нахождении границы области О как задачу оптимального управления, записав прямую и сопряженную системы дифференциальных уравнений и применив второе заключение принципа максимума Понтрягина для задач со свободным правым концом траектории, автор ранее (см. [2]) получил равенство

Яе

Ах

\ + еЪ 1 -е*г

+ х- у(а2 + 2е"р)

= 0.

(9)

Подставляя в него (6) (или (7)) и (8), после преобразований получим:

1. При г|2 = г0е~"р

1

5ГП2 ф

Г0+--2

= 0.

. го

Это означает, что в (1) функция р(г) имеет вид или

гу(г ± 1)'

,±1

О ± Г0)

2(г-2){\-Г2) 103

'ое(ОД),

(10)

что соответствует функциям Кёбе /(z) =

точки границы области D:

(1 ±zy

\

-, доставляющим угловые

log

(1 + гУ

г;-2

и

log

ж>=

ry(z - e"p)2(z - е"р)2

0-0

(11)

г(г-2)(1-гг)

что соответствует функциям, отображающим Е на плоскость с разрезами, имеющими 2 конечные концевые точки /(е'ф) и /(е"'ф). (Автором было доказано, что экстремальные функции такого типа в рассматриваемой задаче принадлежат классу 5Я [2]).

2. При г)2 = -г0е

= -K-p-'f

sin2 ф

1

+ — + 2 An

О

Ч 'О

= 0.

Отсюда следует, что р(г) в (1) имеет вид или (10) или

О«г-1)20г + 1)2

p(z) = -

что соответствует функциям /(z) =

z(r - z)(l - rz) z

(12)

1 - az + z

, a 6 (-2;2), отображающим

E на плоскость с разрезами, имеющими 2 конечные концевые точки/(1) и /(-!)•

Так как p(z) <0 V z: | z |= 1 в (11), если .у > 0, и в (12), если у < 0,

то, учитывая (2), получаем, что (11) соответствует верхней границе области D, а (12) - нижней.

Таким образом, справедлива

ТЕОРЕМА. Граница множества значений D системы функционалов Jf - {1°§ I /(О I, Re }» 0<a-<1

в классе 5 доставляется функциями класса SR.

Каждая точка верхней граничной дуги множества D доставляется единственной функцией /(z), являющейся решением прямой и сопряженной системы дифференциальных уравнений ((13) и (14) при

Х = \/2 , Vl(0)= т Л ) , Ф*0,л, v|/2(0) = 0 [2]).

Каждая точка нижней граничной дуги множества D доставляется единст-

z

венной функцией /(z) = -

1 -az+ z

í \

log

№

(1 + rf z

(l±z)

2 -

И

log

(1 -rf

ae(-2;2). Угловые граничные точки

доставляются функциями Кёбе

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

2. Разумовская Е. В. Изопериметрическая задача типа Гронуолла для однолистных функций. Саратов, 1999. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99, № 15-В99.

УДК 519.83

В. В. Розен, Ю. Н. Панкратова

СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ И СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ПОКРЫТИЯ В ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ*

1. Данная статья касается проблемы существования и описания ситуаций равновесия по Нэшу в смешанном расширении игры с упорядоченными исходами [1]. Здесь мы ограничиваемся случаем конечной игры двух лиц вида

G = (U,V,A,(D1,(O2,F), (1)

где U - множество стратегий игрока 1, V - множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, co^coj - отношение (частичного) порядка на А, выражающее предпочтения игроков 1 и 2, F :U*V А - функция реализации.

По теореме [2] условие вполне равновесности ситуации в смешанном расширении игры (1) сводится к условию сбалансированности матрицы исходов |[F(k, v| (и е U, v е V). Здесь мы показываем, что, в свою очередь, условие сбалансированности матрицы исходов игры эквивалентно условию сбалансированности некоторых покрытий множеств стратегий игроков. Отметим, что понятие сбалансированного покрытия введено в [3], од-

* Работа поддержана Минобразования РФ, грант № 46 (конкурс 1997 г.)

105