Об одном коэффициентном функционале в подклассе однолистных ограниченных «Типично» вещественных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

Е.В. Разумовская

ОБ ОДНОМ КОЭФФИЦИЕНТНОМ ФУНКЦИОНАЛЕ В ПОДКЛАССЕ ОДНОЛИСТНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ «ТИПИЧНО» ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть C — класс Каратеодори функций p(z) = 1 + p1z + p2z2 + ..., аналитических в единичном круге E = {z : |z| < 1} Rep(z) > 0. Выделим его подкласс C (a, 7), 0 < a < 10 < 7 < функций h(z): h(z) = 1 + h1z + h2z2 +.. .таких, что h(z) = + 7, p(z) G C. Через

S обозначим класс всех аналитических и однолистных в круге Е функций f (z) = 1 + a1z + a2z2 + ... и рассмотрим его подклассы: SM = {f(z) G G S, |f (z)| <M V z G E, 1 <M< то} — класс однолистных ограниченных функций и SM(a, 7), который вводится по аналогии с SM [1, 2]: если обозначить Ct(a,7) подкласс C(a, 7) функций h(z,t), определенных на E х [0,logM] и удовлетворяющих условию: h(-,t) G C(a,7) для почти всех t G [0, log M]; h(w, •) измерима па [0, log M] V w G E, то будем говорить, что функция f (z) G SM(a, 7). Она представнма в виде

f (z ) = Mf (z, log M,h), (1)

где f (z, t, h) — решение дифференциального уравнения Лёвнера - Куфа-рева

dw

— = _wh(w,t), t G [0, logM], h G Ct(a, 7) dt

с начальным условием w|t=0 = z, z G E. А также будем говорить, что f (z) G SRI (a, 7 ), есл и f (z) G SM (a, 7) и удовлетворяет в E: f (z) = f (z).

Экстремальные задачи о начальных коэффициентах класса S и его подклассов, восходящие к знаменитой гипотезе Бибербаха, рассматривались в работах многих математиков. В частности, взаимное изменение второго и третьего коэффициента тейлоровского разложения функций класса SM ( a, 7) и SM(a, 7) было изучено в работах А.Ю. Васильева [2, 3]. В настоящей статье исследуется множество значений функционала

(а2,а2аз) в классе SRf(а, 7). Обозначим ф1(С) = С3 log3 M + ^^—) + (1 - а)(1 - Y) (M - l) С log M Ф2(С) = с3 log3 M - С31'0g2YM + (1 - а)(1 - Y) (M - 0 4 'og M Фз = 2(1 - а)2(1 - Y)2(M - Л х х (4(1 - а)(1 - Y)(- - ^ + (-^i1 - 2а)) .

Теорема. Граница системы функционалов (а2,а2а3) в классе SRI(a,Y) определяется в параметрическом виде следующими условиями:

при, 0 < y < 1

если 0 < |С| < 2(1-М(1-7) ц 0 < а < то а2 = С 'og M, |а2а3| < Фх(|С|), а при, 1/2 < а < 1, получаем а2 = С 'og M, |а2а31 < Ф2(|С|)/

при 1 < y < ун-

если 0 < |£| < 2(1-<MM(1-7^ 0 < а < 1, mo а2 = £logM7 |а2аз| < Ф2(|^|), а

1—а 7 -а)

~M и' yJ — ^ — 2^ npw 1/2 < а < 17 получаем а2 = £ log M, |а2а31 < Ф1(|^|);

еа/ш 2(1—M(1—Y) < |£| < 2(1 — а)(1 — 7), то а2 = ±2(1 — а)(1 — 7) (± — 1)

|а2аз| < Фз.

Каждая точка границы этого множества значений доставляется

(1)

1 — 7

h(M)=(1 — «)р(М) + а + 7 (1 + if) (1 + + (1 — if) (1 — z)

1 + p-f>) (1 — z) 1Ц +(1 — (1 + z)

pi(t) = К^ЛД

Доказательство. В работе [2] описаны границы множества С — взаимного изменения коэффициентов ^ и в мае се Сд (а, 7). Будем решать задачу об экстремуме а2аз при фиксированном а2 как задачу оптимального управления, задав вектор фазовых координат (х1 (£),ж2(£)) = = (а2(^), аз(^)) и вектор управлений (м1(^), м2(^)) = (^(£), ^2(£)),

(u1,u2) G G. Из уравнения Лёвнера - Куфарева получаем динамическую систему [2] и рассматриваем задачу о минимизации функционала:

log м

а2«з = _ J [x2(t)u1(t)e_t + 2x2(t)u1(t)e_t + x1 (t)u2(t)e_2t] dt. o

Составляя функцию Гамильтона и применяя принцип максимума Понт-рягипа, имеем, что оптимальное управление, доставляющее максимум функции Гамильтона при почти Bcext G [0, log M], принадлежит границе GG

a7

оптимального управления с учётом выхода на границу изменения управления ui(t). Учитывая, что t < logM и подставляя ui(t) и u2(t) в уравнения динамической системы, получаем утверждения теоремы. Справед-

a=0

при a ^ 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М,: Наука, 1976. 344 с.

2. Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов однолистных функций // Мат. заметки. 1985. Т. 38, JV2 1. С. 56-65.

3. Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов в подклассах однолистных функций // Вычислительные методы и программирование. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. С. 55-64.

УДК 519.83

В.В. Розен

ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ ДЛЯ ВЕЕРНЫХ СТРУКТУР

КОАЛИЦИЙ

1. Рассматриваются игры с квазиупорядоченными исходами вида

G = ((Хг)г€/,A, (^)г€/,F), (1)

где Xi — множество стратегий игрока i G /, I = {1,... ,n} — множество игроков, A — множество исходов, — отношение квазипорядка па A, выражающее предпочтения игрока i, F : П Xi ^ A — функция реализации.

iGl

Никаких ограничений на множества A,Xi (i G I) а priori не накладыва-

G