Об одном функционале на классе пар функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013

Математика и механика

№ 2(22)

УДК 517.54

В.А. Пчелинцев

ОБ ОДНОМ ФУНКЦИОНАЛЕ НА КЛАССЕ ПАР ФУНКЦИЙ

В статье методом внутренних вариаций решена задача о множестве А значений функционала Ф на классе пар функций однолистных в системе круг -внешность круга. Получена система функционально-дифференциальных уравнений для пар функций ( /(г), Е(0 ) е Ж', которым соответствуют неособые граничные точки Ф0 множества А. Каждое уравнение из системы содержит параметр, являющийся корнем алгебраического уравнения шестой степени.

Ключевые слова: класс М, функционал, множество значений, граничные функции, дифференциальные уравнения.

Большое внимание в геометрической теории однолистных функций уделяется различным экстремальным задачам, в которых речь идёт об экстремумах и множествах значений функционалов, характеризующих свойства конформных отображений. Возникновение данного направления геометрической теории функций комплексной переменной связано с работами П. Кёбе, К. Каратеодори, Л. Бибер-баха, К. Лёвнера 10-х, 20-х годов прошлого столетия. В дальнейшем тематика такого рода задач получила развитие в работах как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, [1-3, 5-7, 9]). В настоящей работе ищется множество значений функционала Ф = 1п /' (г1 )/Е' (0).

Пусть Б и Б - односвязные области в ^-плоскости и такие, что 0еБ, а . Пусть функция/принадлежит классу S, т.е. /: и ^ Б - голоморфная однолистная функция, имеющая разложение в ряд

где и = {і є С: < 1} и и*={є С: |^| > 1}. Семейство пар функций

(/(г), Е(0) такого вида назовём классом ОТ'.

Целью данной работы является нахождение множества А значений функционала

чений функционала Ф, которые он принимает, когда пара функций (/(г), Е(0) пробегает весь класс ОТ').

У (г) — г + ^2 г +... + спг +...,

а функция Е принадлежит классу X, т.е. Е : и * ^ Б* - мероморфная однолистная функция, имеющая разложение в ряд

при фиксированных є и и є и * на классе ОТ' (т.е. множество всех тех зна-

Для решения поставленной задачи применяется вариационный метод Голузина

[5]. _

Пусть Ос С - область и К - некоторое подмножество множества голоморфных или мероморфных в О функций. Говорят, что в классе К имеет место вариационная формула

Я (г, е) — Я (г) + еЯ (г) + о( г, е), (2)

если для каждой функции я(г)еК и любого достаточно малого е, е > 0, функция Я(г,е)еК, причём Я(г) голоморфная в О функция и о(г, е)/е ^ 0 при е^ 0 равномерно внутри О.

Пусть пара функций (/ (г), Е (0) принадлежит классу ОТ'. Тогда известно [2], [см. также 3, 5, 6, 9], что при е положительном достаточно малом классу ОТ' также принадлежат следующие пары варьированных функций:

/ 2( г)

/(Г, є) = /(7) + єД°

Р(С, є) = Р(О + єД Р(°

/(7) - ^°

+ о(С, є),

р (О - "°*

(3)

где ^0 и - внешние точки соответственно для областей Б и Б , - произ-

вольная комплексная постоянная;

/(7, Є) = /(7) + Є

Р(С, Є) = Р(О -Є

7/'(7) +У(7)

7 - Є

1 + еС

СР '(С)—¿+Р (С)

1 - ешС

где 0, О^0^2п, - произвольная постоянная;

+ о( г, є), + о(С, є),

(4)

/ (7, є) = / (2) + є

- ДО 2

До

/(7) - /(7°) 2

У(7°)

!_г° /'(г°) J

/' ( 7) + / ( 7)

г° г -1

/ (7°)

7° У' (7°)

2Л

+ о(7, є),

Р (С, є)=Р (О+^^°т_+Д° I -о р(С) - р(С°) 2

+ Р (С)

Р (С о)

.Со Р '(Со) J

До

СР '(С)

^+Р (О

1 -с°с

Р (Со) Со Р '(Со)

2 Л

+ о(С, є),

где г0 е и, ^ 0 е и *, Д - произвольная комплексная постоянная.

Отметим, что множество А значений функционала (1) не зависит от arg z1 и argZ1. Для того чтобы это показать, введём функции f (z) = e—(f f (eip z)e S и

F1 (Z) = e-^F(e!VZ) e 2, где ф = argz1, а у = argZ1. Тогда f (z) = eipf1 (е~щz) e S

и F(Z) = eiVF (e-vz)e£, а

Ф = ta/M = ln f' (z-) = ln .

F'(i,) f (e-'»{,) f (Zi I)

Отсюда и следует независимость множества А от аргументов точек z1 и Z1. Поэтому будем считать в дальнейшем |z^ = r е (0,1), |Z^ = pe (1, -+»).

Поскольку рассматриваемый функционал непрерывен [2], а класс ОТ' - компактен в себе и связен [1-3], то множество А - замкнуто и связно [1]. Следовательно, чтобы отыскать множество А, достаточно найти его границу.

Пусть Г - граница множества А. Точку Ф0 e Г назовём неособой точкой Г, если существует такая точка а гД, что для любых ФеД величина |Ф-а| достигает наименьшего значения в классе ОТ' при Ф = Ф0 [7]. Множество неособых точек Г оказывается всюду плотным на Г [7], следовательно, наша задача сводится к разысканию наименьшего значения выражения

|Ф-а| =

lnf>)-а F' (Р)

в классе ОТ' при всевозможных а гД.

Итак, ищется пара функций (/(г), Е(0), доставляющая величине |Ф-а|, а гД, наименьшее значение в классе ОТ'. Такая пара функций называется граничной.

Записывая вариационные формулы для граничных функций /(г) и Е(0 на классе ОТ' в виде

/ (г, е) — / (г) + еР( г) + о( г, е),

Е (£, е) — Е (О + е0© + о(£, е)

при е положительном и достаточно малом, укажем функциональные производные для выражения |Ф-а|. В силу неравенств

|ф(*,F)-а|2 ^(f,F)-с |ф(,F*)-а|2 ^(f,F)-с

имеем

In/i^L + ln |\ + е^ | + o(s) - а

ln

F' (Р)

f '(r)

f '(r)

2 > ln f'(r) - а

F' (Р)

F' (Р)

- (1 -X)ln| 1 + e | + o(s) - а

2 > ln f' (r) - а

F' (Р)

Разложив слагаемые в левых частях последних неравенств по степеням е, получим необходимые условия для граничных функций /(X) и Е(0 :

Re

Re

-e

P (r)' f' (r)_

.Q' (p)'

F (P).

> 0

> 0,

(6)

(7)

где а = arg(Ф-a), f" = f(z,e), F* = F(Z,e).

Лемма 1. Пусть f (z), F(Z) - граничные функции функционала (1). Тогда области D и D не имеют внешних точек.

Доказательство. Допустим, что w0 есть внешняя точка для области D. Рассмотрим условие (6) , выбрав первую варьированную функцию из (3) в качестве функции сравнения. Оно примет вид

f (r) (f (r) - 2wo)

Re

> 0.

(f (r) - w0)

Так как выражение, стоящее в скобках, не обращается в нуль при данном w0, то ввиду произвольности arg A0, вещественная часть этого выражения может быть сделана отрицательной. Но это противоречит тому условию, что величина |Ф-а| для функции f(z) принимает наименьшее значение. Следовательно, область D не имеет внешних точек. Подобным образом доказывается, что область D не имеет внешних точек. Нужно только рассмотреть неравенство (7) и выбрать вторую

варьированную функцию из (3) в качестве функции сравнения. Лемма доказана. М

и

1. Вывод дифференциальных уравнений для граничных функций

Используя в совокупности условие (6) с первой вариационной формулой из (5), а условие (7) со второй вариационной формулой из (5), получим систему дифференциальных уравнений для граничных функций множества А, соответствующих неособым точкам. Уравнения этой системы зависят от параметра а = arg (Ф-а).

Теорема 1. Каждая граничная пара функций (f (z), F(Z)) функционала (1) удовлетворяет в U и U* системе функционально-дифференциальных уравнений е_,а f (Г ) (f (Г) - 2 f (Z ) ) ) zf'(Z) V = S (Z ) ;

(/(Z) - f (r) )2 l f(z ) ) ~(z - r)2 i z - i]2'

F 2(Z) (ZF '(Z) ]2 = T (Z)

((<Z)-F(P»21 F<Z) ; (Z-p)2(Z-1)

где S (z) = Az4 + Bz3 +(c + C) z2 +Bz +A,

e-«x

A = 2fia [H f1] - e-a [H -1]), ) = e-a (jH -1] - - 2r + ¿“1H +1] r + ,

e—ia f» (r)

C = e— ([H + 1]r4-[H-1] + 8r2), H = H(r) = 1 — lLSlI,

2r2 U J L J ' f'(r) ’

t (z) = a*z 4 + b*z3 + (c * + C *) Z 2 + BX+A*,

A* = -(e-a [H*+1]-

H -1

) •

B = e'

H -1

p- e-Чн H 1]] p

С* = -—(Г Я* + 1~|-Г Я *- 1~|р4 ), Я * = Я* (р) = 1 + рр (р).

2р2 1 Г 1 ' Р '(р)

Причём правые части уравнений (8) и (9) на единичной окружности |г| = |С| = 1 неотрицательны.

Доказательство. Неравенство (6) в случае выбора первой вариационной формулы из (5) примет вид

Í

Re

e-a Ao

f (r) (f (r) - 2 f (z0)) - e-aAo

((r) - f (zo) )2 2

r + z0 2rz0

H--------0-----------+1

r - z0

(r - Z0 )

f (zo)

Z0 f '((.

e-a Ao 2 Hrzo +1 2rzo + 1 f (zo) 2 S

rzo -1 fz0 -1) _ zo f'(zo) _ J

> 0.

Заменяя последнее слагаемое под знаком вещественной части на его сопряженное значение, имеем

Í

Re A0

f (r) ((r) - 2 f (Zq) ) - £ ((r) - f (zo) )2 :

r + z0 2rz0

H--------------------+1

(r - zo)

f (zo)

L zo f '((]

Hrzo +1 - 2rzo +1

f (zo) zo f'(zo).

2

> 0.

rz0 -1 (rzo -1)2

Ввиду произвольности arg A0, заключаем, что стоящая здесь под знаком вещественной части величина, за выделением множителя Ao, должна быть равна нулю. Так как в этом соотношении z0 - любая точка из круга U , то заменив z0 на z, получаем для граничной функции f(z) дифференциальное уравнение

f (r) ((r) - 2 f (z)) zf' (z)

(f (z) - f (r))2 l f (z)

S (z)

(z - r)2 ( z -1

2

Записав теперь неравенство (6) совместно с первой вариационной формулой из (4), приходим к неравенству

Re

iü л iü

H———^-^re^ +1

> 0

e

или

Я

г + е

2—

г - е

(г - е'“)!

-+1

+ е“

Я

ге +1

2ге

ге -

1 (гею-1)2

-+1

> 0,

из которого следует неотрицательность правой части уравнения (8) на единичной окружности |х| = 1.

Аналогично получаем дифференциальное уравнение (9), только надо рассмотреть неравенство (7) совместно со вторыми вариационными формулами из (5) и

(4). Теорема доказана. <

На основании аналитической теории дифференциальных уравнений [4, 8] заключаем, что граничные функции /(х) и р(0 являются голоморфными не

только в и и и *, но и на единичной окружности |х| = |С| = 1 за исключением конечного числа алгебраических особых точек. Вспомним, что области Б и Б не имеют внешних точек. Следовательно, границы областей Б и Б состоят из конечного числа аналитических дуг.

Введем следующие обозначения:

М! - множество конечных концевых точек _Д|1), И=1, границы области Б.

М2 - множество конечных концевых точек Р(п), |п|=1, границы области Б . Предположим, что _Д|1)еМ1, а Р(п)£М2. Тогда существуют окрестности АГ(|1) и АГ(г|) соответственно точек |1 и п, такие, что на множествах ип^(^) и и ПЩп) граничные функции и их производные могут быть представлены в виде

/(х) = /(ц) + (х - ц)2 [(ц) + ^(ц) (х - ц) +...], ] (м) * 0,

Г(х) = (х-ц)[а0(ц) + а'(ц)(х-ц) + ...], а0(ц) * 0

и р(0 = р(п) + (С -п)2 [^0(п) + Мп)(С-п) + .], Мп) * 0,

р' (о=(с-п)[^0 (п)+к (п (с-п)+.], ад *0.

Используя разложения (10) и (11), отметим, что если /(|1)еМ1, а Р(п)£М2, то левые части уравнений (8) и (9) имеют в точках х = ц и С = П нули не ниже второго порядка. Следовательно, правые части уравнений в этом случае содержат множители (х -ц) и (С-п) по меньшей мере во второй степени, в то время как £ (х) и Т (^) являются многочленами четвертой степени. Таким образом, граница области Б и граница области Б могут иметь не более двух конечных концевых точек.

Рассмотрим вещественные функции

£ ( егф) Т (е1^)

(10)

(11)

1 (Ф) = -

(егф- г)

1

где ф, ф, 0^ф, ф<2п, - произвольные постоянные. Они неотрицательны по теореме 1 и достигают своих минимумов соответственно, когда £ (егф) = 0 и Т (ег¥) = 0 . Следовательно, их производные обращаются в нули соответственно в

нулях многочленов £(х) и Т(^), по модулю равных единице. Таким образом, эти многочлены не могут иметь простых нулей, по модулю равных единице. Но поскольку £(х) и Т(^), как было отмечено, обязательно содержат множители

соответственно (х -ц)2 и (¿^ - п)2, то они на окружности |х| =|С|= 1 не могут иметь нулей нечётной кратности. Согласно вышесказанному, уравнения (8) и (9) перепишем как

/(г) (/(г) - 2/(х)) х/’(х)У = (1 -цх)2 (Vх2 - Ец +1)

(13)

(00 - f(r) )2 I f(z) ) (z - r )2 (z - ^

F2(Z) (0F'(Z) f _ (Z-n)2 (AX2 - EЧ + Ау )

((Z) - F(p) )2 l F(Z)

(Z-P)2 (z-P J

где E, E - вещественные числа.

Отметим, что E и E должны быть такими, чтобы правые части уравнений (12) и (13) на окружности |z| _ |Z| _ 1 были неотрицательными.

Устремляя в уравнении (12) z к нулю, а в уравнении (13) Z к бесконечности, получаем А _ А* _ е-а .

Таким образом, уравнения примут вид

f(r)((r)-2f(z)))zf'(z)j2 _ (1 -Ц)!)(z2 -EM + e~“), (14)

((z)-f(r))2 l f<z> ) (z -r)5 (г -ij

F2(Z) (ZF'(Z)f _(?-n)2-(e-“Z2-E4+e“-). (15)

(((о - р(р) )21 р(о; (с-р)2

Умножая обе части равенства (14) на (х - г )2, а обе части равенства (15) на ( - р)2 и устремляя соответственно х к г, а £ к р, в пределах получим

Er _ це,а + це ,аr2 + це,а -------------------(16)

Ep _ -е-а +ne,ap2 - ne“ -—zrr (17)

l1 -Mr) - «(p2- - *)

(p-n)

Учитывая, что Im (Er) _ 0 и Im (E*p) _ 0, имеем

Im

( 1 2 ^ ,a ,a 1 r

це + це----------------------------------

. (1 -м )2

_ 0 (18)

и

e

e

и

Іт

( \ -іа 2 і

—-Па р _ '2 п (р_п)

= 0. (19)

Из равенств (18) и (19) получаем следующие уравнения шестой степени относительно ц и п .

Уравнение относительно ц :

с1цб + с2ц5 + с3ц4 + (с4 - с4) ц3 - с3ц2 - с2ц- с1 = 0, (20)

где с1 = е'а г2, с2 = -2ега г (1 + г2 ),

с3 = егаг2 (4 + г2 ) + (2 - г2 ) (ега - е-аг2 ), с4 = 4г.

Уравнение относительно п :

с* п + с*п + сз п + (с^ - с4)п - с3п - с2п - с* = 0, (21)

где с* = -егар2, с2 = 2егар(р2 +1),

* ( -га га / 2 -ЛХ/ 2 га 2 / 2 . ,Л

с3 = (е -е (р --1)-е р (р +4)

* л / 2 1 \ (га . -га \

с4 = 2р(р - 1)(е? +е ).

Подлежат рассмотрению только те корни этих уравнений, по модулю равные единице, которые при подстановке соответственно в формулу (1б) и в формулу (17) дают Е и Е* такие, что правые части уравнений (12) и (13) на окружности |х| = |^| = 1 неотрицательны.

Пусть ц и п одни из таких корней, соответствующие фиксированному а е (0;2п]. Подставляя ц в формулу (16), найдём Е, ап в формулу (17), найдём Е . Обозначим через Я корень уравнения

а через Т - корень уравнения

Я + — = Е, Я

1 *

Т+-=Е . Т

Теперь уравнения (12) и (13) можно записать в следующих видах:

\2 /_ га _ \К е"~ц ^

(і-Ц2) (1 -еіацЯх)1 1 -

((2) - /(г) )2 I /(2) ) (2 - г)2 Г 2 - П2

(22)

(С-п)2 (С-пеіат)| С-п р 2(0 (ср '(О ^2 "

(((О-Р(р))21 р(0 ) (с-р)2

(23)

и

и

Умножая обе части равенства (22) на (х - г )2, а обе части равенства (23) на ( - р)2 и устремляя соответственно х к г, а £ к р, получим

-(1 - г 2 ) = (1 -цг ) ( - егацЯг )1 - ~~~ г

(р2 -1)2 = (р-п)2 (р-пе“Т) I р

пе

Л

Т

(24)

(25)

2. Интегрирование уравнений (22) и (23)

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (22), имеем

У(1 - У)

ду =

1 - е ц х

(1 -цх ) - ега цЯх ) ) Я

1 - егацЯх

х(х - г) I х — г

дх, у =

ГМ Г (г).

Под радикалами понимаются ветви главных значений, т.е. ветви, характеризующиеся условием л/1 = 1. Сделав в этом уравнении замены переменных по формулам

= м(у) = V1 - 2у, г = г(х) =

1 - егацЯх

получим

4м 2 дм

(м 2 -1) 2 - (1 - 2))

2е"Я (УЯ -1)^1 - Я-] (2 - ,2 (ц)),2)

(1 - е-цЯ, ) - е»^ ) ( -1)) Г - £ ](,2 - г (г )) ,2 - Г (1^г

( „г’а.. Л

1 2 (1 -мг)|1 я- г

или, что то же самое

2 2(1 - 2)

и2 -1 и 2 - (1 - 2)

дм =

2 2е

г2 -1 Я г2 -Л

1 - г 2

г2 - г2 (г)

Я2

+2ег1

(1 -цг)(-е гацЯг) 1

(1 - г2 )Я г2 - г21г)

дг.

и

Интегрируя это уравнение, имеем

1 -л/ГТУ г-л/ГТУ

1п 1 ~ г (х) - г 1п г(г),- г(х) =-е“

1 + -71 - 2 y i +у/1 - 2 y

1 +t ( z)

t (r)+t(z)

ln

R

- + i ln

R+t(z)

11 Г)-1(z)^

t| 1 j +1 ( z)

(26)

Здесь

t (r ) = -i-

(1 -T )|1 - ^RT r

1 - r 2

L( -Tr)(1 ^e^TRr) t— = £ R (1 - r2 ) ’ 11 r jt(r ) = R

Коэффициенты г (г) и г (1/ г) получаются из равенства (24). Ветви логарифмов

выбраны так, что при х = е~га цЯ [у = 2^ все логарифмы обращаются в нуль.

Уравнение (26) неявно определяет граничную функцию / (х).

Устремляя в (26) х к нулю, в пределе получим

ln

2R ( 1 - i . 1 - t(r )'

----------Г--------I1 ln-----ln-------- | = -e"

e>(1 - R2 )f (r ) l 1 + i 1 +1 (r ) ,

, 1 - R , 1 - Rt(r ) . ln----------+1 ln-----------|. (27)

1 + R

1 + Rt(r)

Устремляя теперь в (26) х к г, в пределе будем иметь

ln

2 (1 - r2 )2 Rf ’(r ) ( 1 - i 1 - t(r )

-----=-^------- -----------------------------------+11 ln-ln-—

(1-T-) ег“т(1 - R2 )f (r ) l 1 +i 1 +t(r)

2

= vi i lni-RW - ln1 - Rlt (r >1

l 1 + Rt(r) 1 + R |t (r )|2

Вычитая почленно из равенства (28) равенство (27), получим

ln f '(r ) = 2lnbËl+2i +

V 1 - r2 1 + t (r )

+e

(1 - R )(1 - R|t(r )|2 ) + ln (1 - Rt(r) )(1 + Rt(r) ) n(1 + R)(1 + R|t(r)|2)+ ' n(1 + RtcT})(1 -Rt(r))

-n.

(28)

(29)

Выполним теперь интегрирование в уравнении (23). Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (23), находим

dv v -1

z-

ne

z(z-p)| z-p

z-n'OL v=FM

’ Fp) '

Ветвь радикала выбрана так, что при ^ радикал обращается в единицу. Сде-

лав в правой части этого уравнения замену переменной по формуле

т = т(0 =

1

с-

~Г~

С-пег“т

получим

2Є-Т(|)(|)2 (т2-т2 (П))т2ёт

(р-У“Г)("р-Пе'“Т"1 ( -|)("т' -Л'1(т' -т' (Р))2 -т' [р

ёу

V -1

1Р-пе"Т II—пе"т I IX- -1) т - Т^

Воспользовавшись теперь методом неопределенных коэффициентов, находим

ёу у -1

2еп

2(р-п)| Р-

Пе

1 -X2 Т ±-т'

р2-1

ЧрН

+2ег(

(р-п)(р-пе г“Т)

(р2 - 1)Т

Интегрируя это уравнение, имеем

ё х.

1 + т(С) х(р) + х(С) 1п(у -1) - 1п---^ + 1п^--------=

1 -х(0 х(р)-х(0

[ , [1А А

1п

(р-п)| р-

где х(р) = -

г|е

Т

р2 -1

Т+т(« 1п т(р )+т({)

т_т(с) тШ-хк)

(р-п)(р-'пе-“Т) (р2 - 1)Т

(30)

т| — I = р

1

т|,рЛр)=т ■

Константы т(р) и т(1/р) получаются из уравнения (25). В равенстве (30) ветви логарифмов выбраны так, что при ^ = пе1а /т (у = 2) все логарифмы обращаются в нуль. Уравнение (30) неявно определяет граничную функцию Р (^).

Устремляя в этом равенстве £ к р, в пределе получим

1п(-1) 4( -1)2Г(р)_____________

(р-п)2 пе1а[Т ~Т1 Р (р) 1 т(р)

(

= -е

1п

1 + Тт(р) - 1п1 + Т|т(р)|

2 Л

1 - Т т(р) 1 - Т |т(р)| 2

(31)

е

Устремляя теперь в уравнении (30) £ к бесконечности, в пределе будем иметь Vе 1--т |р- т(р) ,, г , 1 .-тСТРлА

ln-

1 - T ^ + In Т(£)И = -,«

4 F (p)

x(p)-1

lnl+Г - ln1+HM 1 - T 1 - T т(р)

(32)

Вычитая почленно из уравнения (31) уравнение (32), получим 1п Е '(р) = 21п П -----------------1) + 21п -^П + 21п Т(р) +1 -

4pT

Р2 -1

с(р)-1

-e

in T-1+inTNpti _ in THipi-i - in T^h1'

T +1 T |x(p)| +1 T T(p) +1 T t(p) + 1 Вычитая почленно (33) из (29), находим

In Ш = 21„1-Й; pi-1 - 2 in ne“(T 2 ~1) + 2lnfГ ■

F'(p) 1 -r p-n 4pT ^ 1 + t(r)) x(p) + 1

+e'a i (1 -R)(1 -R|t(r)|2) (T- 1)(T|x(p)|2 -1) +

+e j n(1+R)(1+R|t(r)|2) (t+1)(t((p)2 +1) +

(1 - Rt(r) )(1 + Rt(r)) )'(t TTp) + 1)(T t(p) + 1)

(1+rUP)) (1 -Rt(r))) (tTip) -1)(tт(p) -1)

(33)

+ in

- -.

(34)

Здесь параметры ц и п определяются из уравнений (20) и (21) соответственно. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Множество А значений функционала (1) на классе ОТ' ограничено кривой, заданной уравнением (34).

В заключение выражаю благодарность профессору И.А. Александрову и доценту С.А. Копаневу за внимание к выполненной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. К вопросу о связности множества значений функционала // Вопросы математики. Труды Томск. гос. ун-та. 1961. Т. 155. С. 72-76.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

3. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Том. гос. ун-т, 2001.

4. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950.

5. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. № 2. С. 203-236.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

7. Лебедев Н.А. Мажорантная область для выражения I = 1п {л[/'(7)]1-л / [/(7)]} в классе S // Вестн. Ленингр. ун-та. Матем., физ. и хим. 1955. № 8(3). С. 29-41.

8. Матвеев П.Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. СПб.: Лань, 2008.

9. Пчелинцев В.А. Об одной экстремальной задаче // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 3(19). С. 22-30.

Статья поступила 20.02.2013 г.

Pchel'ntsev V.A. ON A FUNCTIONAL ON THE CLASS OF PAIRS OF FUNCTIONS. The probiem about the range A of the functionai Ф is soived by the method of intemai variations on the ciass of pairs of functions univaient in the «disk - exterior of the disk» system. We have obtained a system of functionai-differentiai equations for pairs of functions (/(z),F(Z)) e M' that

are in correspondence with nonsinguiar boundary points Ф0 of the set A. Each equation from the system contains a parameter which is a root of an aigebraic equation of the sixth degree.

Keywords: ciass M', functionai, range, boundary functions, differentiai equations

PCHELINTSEV Valerij Anatoljev'ch (Tomsk State University)

E-maii: VPcheiintsev@vtomske.ru