Об одной экстремальной задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 3(19)

УДК 517.54

В.А. Пчелинцев

ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ

В статье рассматривается задача о множестве Д значений одного функционала на классе пар функций однолистных и мероморфных в системе круг -внешность круга. Посредством вариационного метода Голузина удаётся получить систему дифференциальных уравнений для граничных функций, а также найти уравнение границы множества Д.

Ключевые слова: класс М', функционал, метод внутренних вариаций, вариационные формулы, необходимое условие, граничные функции, дифференциальные уравнения.

Пусть Б и Б - односвязные области в ^-плоскости и такие, что 0еБ, а ж£Б . Пусть /(г): и ^ Б - голоморфная однолистная функция, имеющая разложение в ряд

/ (2) = 2 + С2 2 + ... + Сп2 + ...

и ¥ (0 : и * ^ Б* - мероморфная однолистная функция, имеющая разложение в ряд

¥ (0 = С + ^ ^ +... + +...,

где и = {2 е С: |2 < 1} и и * = {{ £ С: |^| > 1}. Семейство пар функций

(/(2),¥(0) такого вида назовём классом М'.

В настоящей статье решается задача о нахождении множества Д значений функционала

' "П:а]{/(21 -11 (1 -х) 2¥2-IV (1)

J0 I /(2) 2) V ^ ^ ¥(0 С/

при фиксированных X, 20 и 0, 0 <Х< 1, | 20 \ <1 и 0| > 1.

Для решения поставленной задачи применяется вариационный метод Г.М. Голузина [2]. Как и метод внутренних вариаций Шиффера, вариационный метод Г.М. Голузина приводит к функционально-дифференциальным уравнениям для граничных функций. Вариационный метод Г.М. Голузина даёт важную геометрическую характеристику экстремальных отображенийю. С помощью этого метода были получены решения разнообразных по постановкам экстремальных задач. Он нашёл многочисленные приложения к экстремальным задачам в различных классах однолистных и мероморфных функций, характеризующихся теми или иными геометрическими свойствами.

Вариационный метод Г. М. Голузина, как и другие методы решения экстремальных задач геометрической теории однолистных функций (метод площадей,

Ф( /, ¥) = 1п

~.\х/г ^-Х

у (20) 1 I Со

¥ (С о)

метод параметрических представлений, метод контурного интегрирования, метод симметризации, метод экстремальной метрики, методы внутренних и граничных вариаций Шиффера, метод крайних точек, метод интегральных представлений), составляет содержание многочисленных монографий и статей.

В данной работе с помощью метода внутренних вариаций получены вариационные пары функций. Указаны необходимые условия для граничных отображений / (2) и ¥ (^) функционала (1), посредством которого совместно с парой простых вариаций доказано, что области Б и Б не имеют внешних точек (лемма 1). В результате рассмотрения необходимого условия и вариационных формул (5) получена система дифференциальных уравнений для граничных функций /(2) и ¥ (О , зависящая от параметра а = (Ф(/, ¥)- а) (теорема 1). Проведя качест-

венный анализ полученной системы уравнений, заключаем, что каждая граница областей Б и Б состоит из одной аналитической кривой. Выполняя интегрирование дифференциальных уравнений из этой системы по определённым путям интегрирования, находим уравнение границы множества Д значений функционала (1) (теорема 2).

Пусть Ос С - область и К - некоторое подмножество множества голоморфных или мероморфных в О функций. Если для каждой функции g&K и для любого малого е > 0 имеется функция gеeK, такая, что

где Я(2) - голоморфная в О функция (не зависящая от е) и о(2, е)/е — 0 при е —— 0 равномерно внутри О, то говорят, что (2) есть вариационная формула в классе К [1].

Если пара функций (/(2), ¥(0) принадлежит классу ОТ', то при е положительном достаточно малом классу ОТ' также принадлежат следующие пары варьированных функций:

1. Вариационные формулы

gs (2) = я (2) + ВК( 2) + о( 2, є),

(2)

* (У -

где м'о и №0* - внешние точки соответственно для областей Б и Б , Д0 - произвольная комплексная постоянная;

/(2, є) = /(г) + є 2/'(г) 2 + Є + /(г) + о(г, є), г - е

* (С, є) = * (О -Є с* '(О 4^+* (О + о(С, є),

е -С

где 0, О^0^2п, - произвольная постоянная;

/(2, е) = /(2) + е

- ДО 2

Ао

/ 2( 2 )

А

/ (2) - / (2о)

2/'( 2)

2 + 2П

- + / ( 2)

/ ( 20) |_20 У' (2о)

о) J

2/' (2) 202 + 1 + /(2)

202 - 1

/ ( 20) 20 /' (20)

2

+ о(2, е),

¥ (0 е) = ¥ (0 + е|Д

¥ (С о) ¥ (С) + Д ¥ (С) - ¥ (С о) 2

+ ¥ (0

¥ (С о) .Со ¥ '(С о).

До

С¥ '(0^=4 + ¥ (С)

1 СоС

¥ (Со) Со ¥ '(Со)

2Л

+ о(С, е),

(5)

где 20 е и, ^ 0 е и *, Д - произвольная комплексная постоянная. С доказательствами указанных вариационных формул, например, можно ознакомиться в [1].

2. Необходимые условия для граничных функций

Нетрудно заметить, что в класс М' вместе с парой функций (/(2), ¥(0) входит пара функций / (2егф), ¥ (^е)^ при любых ф, у е М. В связи с этим

заключаем о независимости множества Д от аргументов точек 20 и ^0. Поэтому будем считать в дальнейшем |20| = г е (0,1), |^0| = ре (1, +“). Для нахождения множества Д достаточно найти его границу дД.

Пусть Г - граница множества Д. Точку Ф0 е Г назовём неособой точкой Г, если существует такая точка а гД, что для любых ФеД величина |Ф - а достигает наименьшего значения в классе М' при Ф = Ф0 [3]. Множество неособых точек Г оказывается всюду плотным на Г [3], следовательно, задача нахождения множества Д сводится к отысканию наименьшего значения вещественнозначного функционала

1п

/ (г)

¥ (р)

1-х

- а

О < X < 1,

в классе М' при всевозможных а гД.

Пусть Ф0 - неособая граничная точка множества Д и (/(2), ¥(0) - та пара функций из класса М', для которой Ф(/(2), ¥(0) = Ф0. Функции такой пары называются граничными.

Записывая вариационные формулы для граничных функций /(2) и ¥(0 на

классе М' в виде

/(2, е) = /(2) + еР(2) + 0(2, е),

¥ (С, е) = ¥ (0 +е0(0 + 0(0 е), при е положительном и достаточно малом, укажем функциональные производ-

ные относительно |Ф(/, ¥)- а|. В силу неравенств

|Ф(/*,¥)-а|2 >|Ф(/,¥)-с

|ф(/,¥*)-а|2 >|Ф(/,¥)-с

получим

1п

1п

/ (г)

/ (г)

¥ (р)

¥ (р)

1-Х

+ Х1п| 1 + еР(г) | + о(е)-а / (г) 1

1п

/ (г)

1-х

1-х

- (1-х)1п| 1 + е Ор-1+ о(е) - а

1п

/ (г)

¥ (р)

¥ (р)

1-х

- а

Разложив слагаемые в левых частях последних неравенств по формуле Тейлора по степеням е и выполнив несложные вычисления, находим необходимые условия для граничных функций /(2) и ¥(^):

Яе

Яе

-е

Р( г) / (г) _

. б(р) ¥ (р).

> О

> О,

(6)

(7)

где а = Ш£ (Ф(/, ¥)-а), /* = /(2, е), ¥* = ¥ (С, е).

Лемма 1. Пусть / (2), ¥ (^) - граничные функции функционала (1). Тогда области Б и Б не имеют внешних точек.

Доказательство. Предположим, что область Б имеет хотя бы одну внешнюю точку м'о. Рассмотрим условие (6) , выбрав первую варьированную функцию из (3) в качестве функции сравнения. Оно примет вид

/ (г)

Яе

> 0.

/ (г) - ^о.

Поскольку дробь в скобках отлична от нуля, то в силу произвольности Д, бу-

дет справедливо неравенство |ф(/*,¥)-а| <|Ф(/,¥)-^, которое противоречит

экстремальности функции / (2). Полученное противоречие доказывает отсутствие внешних точек для области Б. Подобным образом доказывается, что область Б не имеет внешних точек. Нужно только рассмотреть неравенство (7) и выбрать вторую варьированную функцию из (3) в качестве функции сравнения. Лемма доказана. <

и

3. Дифференциальные уравнения для граничных функций

Применив совместно условие (6) с первой вариационной формулой из (5), а условие (7) со второй вариационной формулой из (5), получаем систему дифференциальных уравнений для граничных функций множества Д, соответствующих

неособым точкам. Уравнения этой системы зависят от параметра а = а^ (Ф(/, ¥)-а).

Теорема 1. Каждая граничная пара функций (/(2), ¥(0) функционала (1) удовлетворяет в и и и * системе функционально-дифференциальных уравнений

/ (г) 2/'( 2)

_ /(г) - /(2) _ _ /(2) _

2 = А22 + В2 + С 2(г - 2)(г2 - 1) ,

Г ¥(0 1 [С¥ 401 2 А*С2 + В*С + с *

[ ¥(0 - ¥(р) ] [ ¥ (0 ] 2(С - р)(1 -ро

(8)

(9)

где

А = [Я -1] -е“ [Я + 1])г,

В = е-а ([Я +1] г2 - [Н -1]) + е“ ([Н +1] г2 - [Н -1]),

С = ([Я -1]- е-а[Я +1]) г, Я = Я (г) = ^ту, С = А

А* = (е-а Я* -1] - ега [ Я * +1]) р,

В* = е-а ([ Я * +1] - [ Я * -1] р2 ) + ега (

Я +1

С =1

(е-а [ Я * -1] - ега Я * +1 ) р, Я * = Я * (г) =

Я -1 р¥ '(р)

¥ (р)

,

--*

А = С

Причём правые части уравнений (7) и (8) на единичной окружности 2 = |С| = 1 неотрицательны.

Доказательство. Неравенство (6) в случае выбора первой вариационной формулы из (5) примет вид

(

Яе

е-а Ар

/(г) е-а А,

/ (г) - / (2о)

е-а АГ

г/'(г) г + 2о

. / (г) г - 2,

+1

/ ( 20)

20 /'( 20).

г/'(г) г2о +1 +1 /(г) г20 - 1

/ ( 20) 20 /'(20)

2

> 0.

Заменяя последнее слагаемое под знаком вещественной части на его сопряженное значение, имеем

/ (г)

/ (г) - / (2о) 2

г/' (г) г + 2о / (г ) г - 2,

+1

г/' (г) г2о + 1 / (г) г2р - 1

+1

/ ( 20)

[ 20 /' (20) ]

2

У ( 20)

[20 У' ( 20) ]

> 0.

В силу произвольности а^А,, заключаем, что стоящая под знаком вещественной части величина должна быть равна нулю, иначе при надлежащем выборе

е

е

2

2

А получили бы, что левая часть последнего неравенства отрицательна. Это противоречие приводит к условию

ia / (г) г01'( г0) 2 е-а г/'(г) г + г0 ,! е“ , г/ '(г) гг0 +1 , +

_1 (г) -1 (г0) _ _ 1 (г0) _ 2 1 1 г г 1 N 0 н н 1 2 1 1 0 1 н н 1

Так как в этом соотношении г0 - любая точка из круга и , то, заменив г0 на г, получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет граничная функция /(г). Вычисления показывают, что оно имеет вид (8).

Выбрав теперь первую вариационную формулу из (4), посредством (6) приходим к неравенству

г/'(г) г + еА

/(г) г - ей

-+1

+ е

г/’(г) ге1 + 1

Т(ГУ гев -1

+1

> 0,

которое указывает на неотрицательность правой части уравнения (7) на единичной окружности |г| = 1.

Аналогично, применяя неравенство (7) совместно со вторыми вариационными формулами из (5) и (4), получаем дифференциальное уравнение для граничной функции ,Р(0 с правой неотрицательной частью на единичной окружности

|<^| = 1, которое имеет вид (9). Теорема доказана. ^

4. Качественный анализ уравнений (8) и (9)

Из аналитической теории дифференциальных уравнений [5] следует, что всякое решение уравнения (8) и всякое решение уравнения (9) могут иметь только алгебраические особые точки и только конечное их число. Вспомним, что области Б и Б не имеют внешних точек. Таким образом, границы областей Б и Б состоят из конечного числа аналитических кривых.

Покажем, что в нашем случае каждая из границ областей Б и Б состоит из одной аналитической кривой. Для этого введем следующие обозначения:

М! - множество конечных концевых точек /(|1), ||1|=1, границы области Б.

М2 - множество конечных концевых точек -Р(г|), |п|=1, границы области Б .

Предположим, что /(|1)еМь а ^(п)еМ2. Тогда существуют такие окрестности АГ(|1) и Щг|) соответственно точек |1 и п, что на множествах ип^(^) и и ПЩп) граничные функции и их производные могут быть представлены в виде

/(г) = /(ц) + ( - ц)2 [(ц) + ^(ц)( - ц) + • • •], Яо(ц) * 0,

/'(г) = ( -ц)[а0(ц)+а'(ц)( -ц)+...], а0(ц) * о (10)

и ^(0 = ^(п) + (С-п)2 [(п) + Мп)(С-п) + .], Мп) * 0,

ПО = (С-п)[*0(п)+Ь (п) (£-п)+-], Ь0(п) *0. (11)

Используя разложения (10) и (11), отметим, что если /(^)еМх, а ^(п)еМ2, то левые части уравнений (8) и (9) имеют в точках г = ц и С = П нули не ниже второго порядка. Следовательно, правые части уравнений в этом случае содержат множители ( -ц) и (С-п) по меньшей мере во второй степени. Отсюда следу-

е

ет, что граница области Б и граница области Б могут содержать не более одной конечной концевой точки.

Отметим, что поскольку числители правых частей уравнений (8) и (9) обязательно содержат множители ( -ц)2 и (^-п)2 соответственно, то правые части уравнений (8) и (9), на окружности \г\ = |С| = 1 не могут иметь нулей нечётной кратности. Поэтому уравнения (8) и (9) перепишем как

f (r) zf'( z)

_ f (r) - f (z) _ _ f (z) _

=A

(z -Ц)2

где

Ґ \ 2 2 + B + A 2 A

(z -ц) = z +-z +-, Ц =—

AAA

Г F (Z) і [ZF '(01

L F (Z) - F (p) J L F(Z) J

= С

2(r - z)(rz -1)

, N = 1, (nZ-1)2

где

2(Z-p)(1 -pZ) = 1.

c„ - C - ■ ■ C ' ■'

Определим коэффициенты A и C . Для этого рассмотрим первое из последних уравнений при z = 0, а второе при Z = “, находим A = _2re'a, а C * = _2peia. Таким образом, уравнения примут вид

f(r ) f f'(z)

f (r) - f (z) ^ f (z) F (Z) f F '(0

(z -Ц)2

= pe

z (r - z)(1 - rz)

■ (nZ-1)2

(12)

(13)

^ (О - ^ (р) ^ ^ (О; ■ с2(р-0(1 -РО

5. Интегрирование дифференциальных уравнений

Для нахождения границы множества Д значений функционала (1) необходимо проинтегрировать дифференциальные уравнения (12) и (13).

Извлечём из обеих частей равенства (12) квадратный корень и проинтегрируем его от 0 до г:

\lf (r)|---f (z) dz = 'Jremj—=

0 f (zWf (r) - f (z) 0 zVO

Ц- z

rdz.

0 J VJ J w 0*v(r _ z)(1 - rz)

Делая замену переменной интегрирования w = f (z) и учитывая, что

A _ia

Ц = J— = e , получим

_____f (z)

f) I

dw

Vf (r) -

w

w

Tr I-

dz

■yj(r - z)(1 - rz)

-^e“I

dz

V(r - z)(1 - rz)

Бычисляя эти интегралы, находим

и

1 -

1 -

1п / (г)

/ (г) / (г)

У 1(г) = 1п гг__________________

1 + 1 К2) 2^ г (г - ^ )(1 - гг) - (1 + г2)2 + 2г

V /(г)

+ 1п

-(1 - г)2

2у/г (г - 2)(1 - гг) + 2г2 - (1 + г 2)

(14)

Уравнение (14) неявно определяет граничную функцию /(г). Устремим в уравнении (14) точку г к г. В пределе получим

ш.

, /(г) , 1 , (1 - г

= 1п------- + 1п

1 - г 2

1+г

(15)

Далее проинтегрируем равенство (13) после извлечения квадратного корня от

С до го.

с__Р ЧО___«г=ґ_____

’>/Р(О ((О - р(р)) ' ^>/(Р - С)(1 - ро

V

пС-1

Положив ^ = Р (С) и вспомнив, что п =

~ ёл> /-7 «С

С

с

Г I— г

р(? ^ ™ (м> - р (р)) р | V (р-с)(1 -ро

Проведя вычисления интегралов, получаем 1п2 Р (О

( ' р(р) Р(р) ,,) = 1п^р(р-0(1 -РО + 2рС-(р2 +1) +

1—

р(0 2Р(0

-+1

+1п

(и р(р-0(1 -РО - (р2 + 1)С+2р1

(16)

-(р-1)2 с

Уравнение (16) неявно определяет граничную функцию Р(О .

Вычитая из обеих частей равенства (16) 1п р и устремляя точку С, к р, получим

1пТ=1п(1 '7]+1п(р+г]' . <17)

Умножая равенство (15) на X, а равенство (17) на 1 -X и почленно вычитая первое из второго, находим

т 1 т (1-г 1п------+1п

1-г 2

1+г

-(1-х)

. (18)

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Множество Д значений функционала (1) на классе ОТ' ограничено кривой, заданной уравнением (18).

Следствие 1. Если Х = 1/2, то множество Д значений функционала (1) на классе ОТ' ограничено кривой, заданной следующим уравнением:

ln

f (r)

(1- r )(р-1) F(р)) (l-r2)(p2 -1) U1 + r)(p +1)

= ln

+ ln

Следствие 2. Если в последнем равенстве воспользоваться формулой

1

F (Z) =

f|1

, f £ S, F £ E, Z £ U

которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами £ и £, то получим известные неравенства

ln

ln-

f (r)

r

p

ln (1 - r2 j

< ln

< ln

1 + r 1 - r , p+1

p-1

Е(р) V р-

которые определяют множества значений функционалов 1п /(г)/г и 1п р/Е(р) соответственно на классах £ и £ (см., например, [1, 4]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Том. гос. ун-т, 2001.

2. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. № 2. С. 203-236.

3. Лебедев Н.А. Мажорантная область для выражения I = 1п {гх[/'(г)]1-л / [/(г)]} в классе £ // Вестник Ленингр. ун-та. 1955. Вып. 3. № 8. С. 29-41.

4. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

5. Матвеев П.Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. СПб.: Лань, 2008.

Статья поступила 02.07.2012 г.

Pchelintsev V.A. ON AN EXTREMAL PROBLEM. The paper consider the problem about a range A of some functional on a class of pairs functions univalent and meromorphic in a “circle-exterior of the circle” system. By means of the Goluzin variation method, it is possible to obtain a system of differential equations for boundary functions, and to find the equation of the boundary of range A.

Keywords: class M', functional, method of internal variations, variation formulas, necessary condition, boundary functions, differential equations.

PCHELINTSEV Valery Anatol’evich (Tomsk State University) E-mail: VPchelintsev@vtomske.ru