Множество значений производной Шварца Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 3(11)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

И.А. Александров, В.А. Пчелинцев

МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ПРОИЗВОДНОЙ ШВАРЦА

Методом параметрических представлений решается задача о множестве значений производной Шварца на классах Б и БМ с указанием граничных функций.

Ключевые слова: метод параметрических представлений, функционал, производная Шварца.

Основными методами геометрической теории функций являются метод параметрических представлений, метод площадей, вариационный метод, метод интегральных представлений. Эти методы появились в разное время, и поводом для их разработки явились различные экстремальные задачи, к числу которых относится задача Л. Бибербаха о коэффициентах голоморфных однолистных в единичном круге функций на классе Б, а также задачи практического построения конформных отображений односвязных и многосвязных областей.

В статье даётся применение метода параметрических представлений к задаче о нахождении области значений производной Шварца на классах Б и БМ. Используемый метод, позволяющий получить конформное отображение одной области на другую в результате предельного перехода в специально построенных семействах отображений, в своей первооснове восходит к работе Карла Лёвнера [1]. О дальнейшем развитии метода см. в [2, 3].

Пусть / - голоморфное однолистное отображение области БсС. Тогда существуют все производные /(п) (п = 1,2,...), голоморфные в Б, причем /(г)^0 в Б. Производной Шварца (или шварцианом) функции / называют функцию

обозначаемую также {/^), х}, {/, х}, т.е. {/(х), х}={/, х}=Ф(х).

Отметим следующие свойства {/, х}.

10. Очевидно, {х, г}=0.

20. Если /(х) - дробно-линейная функция, т.е. /(х)=(ах+Ь)1(сх+ё), ай-Ьс^-0, то

30. Покажем, что если £=Е(м>) - голоморфная функция в /(Б), а м>= /(х) - голоморфная функция в Б, то

1. Производная Шварца: определение и свойства

{Р(/(х)), х} = {Р (w),

Г 2 (х)+{/(х), х}. (1)

=/)

► Действительно, так как [Р(/(х))]'= Р'(/(г))/(х), то для логарифмической производной имеем

[ Р (/ (х))]'' = Р''(/ ( х)) /'(х) + /(£) (2)

[Р(/(х))]' Р' (/(х)) /'(х).

Следовательно,

[ Р (/ (х))]'' У ( Р ''(/ (х)) /'(х))2 + 2 Р''(/ (х))/''(х) +Г /''(х) У (3)

,[Р(/(х))] ^ I Р' (/(х)) ) Р' (/(х)) I /' (х)) .

Продифференцируем (2) по х, получим

[ Р (/ (х))]''' ( [ Р ( / ( х))]'' У = Р "'( / ( х)) (/'(х) )2 + Р''(/ (х))/''(х)

[р(/(х))] ' I [р(/(х))]'; р'(/(х)) р' (/(х))

Р"(/(х))/'(х) )2 + /Ух) (Г(х))2 (4)

р ' (/ (х)) ; /' (х) ^ /' (х),

Вычитая из формулы (4) формулу (3), предварительно умноженную на Д, получим (1).^

В частности, полагая Р(w)=(aw+Ь)/(cw+d!), ай-Ьс^-0, имеем

{ Р(/(х)), х}={/(х), х}.

2. Интегральное представление производной Шварца

Пусть Б - класс голоморфных однолистных в круге Р={хеС: |х|<1} функций

/(х) = х+с2х2+с3х3+...

и БМ, 1<М<ж, - класс ограниченных в Е функций / из класса Б, т.е. таких, что /(х)|<М в Е. Считаем Бот= Б. Класс Б1 содержит только одну функцию/(х) = х.

Плотный в смысле равномерной сходимости на компактах подкласс класса Б (и БМ) функций /(х; д) может быть получен из совокупности решений С, = С,(т, х; д) уравнения Лёвнера

^ =_^^И)+£, 0<т<М <», (5)

С т ц(т) _q

в котором д(т) - непрерывная функция, |д(т)|=1, удовлетворяющих начальному условию С,(0,х;д)=х, хеР, по формуле

/ (х; ц) = Иш етд(т, х; ц)

для класса Б и по формуле

/ (х; ц) = М д(1и М, х; ц)

для класса БМ. Функция д(т,х;ц) = е~хх +... однолистно и конформно отображает единичный круг в единичный круг.

Эти утверждения лежат в основе метода параметрических представлений.

Применим указанный метод к нахождению множества Д(х0)сС значений производной Шварца Ф(х)={/ х} при фиксированном х = х0еР на классах Б и БМ.

Множество Д (х0) ограниченно, замкнуто и связно. Представим функционал {/, х0} интегралом.

Пусть С,(т, х; ц) - решение уравнения Лёвнера. Дифференцируя тождество

сх; ц) = (т х. ц) ц(т)+дСт х; ц)

Ст , ; ц(т) _ф, х; ц)

по переменной х и меняя в смешанной производной порядок дифференцирования, получим

—1п ^ '(т х- ц) = ц(т) + ^(т, х; ц) _ х; ц)

С т ’ ц(т) _ф, х; ц) (ц(т) _ф, х; ц) )2

Здесь и далее штрих обозначает дифференцирование по х.

Простые вычисления дают

ё д ''(т, 2; ц) 4ц2(т)д '(т, 2; ц)

3

и, следовательно,

ёт д '(т, 2; ц) (ц(т) -д(т, 2; ц))

1 ё ( д ''(т, 2; ц) ^2 4ц2(т)д ''(т, 2; ц)

(6)

(7)

2 ёт^д '(т,2;ц)) (ц(т) — д(т,2;ц))3

Дифференцируя (6) по 2 и учитывая (7), получим

-£{д(т, 2; ц), 2}= — 2; ) . (8)

ё т (ц(т) — д(т, 2; ц))

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть д(т), 0 < т < М < те, - непрерывная функция и С,(т, 2; д), С,(0, 2; д) = 2ЄЕ, - решение уравнения (5). Тогда имеет место формула (8). Следствие 1. Множество точек

{/(2о,ц),2о}=- 12|(ц2<т)д,2<т,20;ц>4 Л (9)

о (ц(т) -g(т, 2о; ц))

плотно в Д(20) на классе Б.

Следствие 2. Множество точек

1пМ ^ > і2/ ч

г/-(2} _ 12 г ц (т)д Ст2о;ц)

{/(2о,ц), 2о}- 12 ] 4 ёт

о (ц(т) -д(т, 2о; ц))

плотно в Д(20) на классе БМ.

3. Множество значений функционала Ф(г0) на классе Б

В точке 20=0 функционал Ф(20)=6(с3-с22).

Мажорантную область для функционала Ф(0)=6(с3-с22) =6/(0) на классе Б получим, выполнив оценку интеграла в формуле (9), принимающей вид

ш -2т

J (о ) = сз - С22 = -2 ат.

0 - (т)

Так как |д(х)|=1, то

ад

\1 (о)| = |с3 - с22| < 21 е~2тат = 1 о

и, следовательно, J(0) лежит в круге Л<1. Покажем, что J(0) - замыкание единичного круга, т.е., что каждая его точка рег6, 0<р<1, 0<9<2п, является значением функционала с3-с22 на классе Б.

Функции

К (2, ф) =------------ ------ = 2 + 2еіф 2 2 + 3е2гф 2 3 +.

(1 - егф - )2

К1 (2, ф) = - К (-2, ф), 0 < ф < 2п,

класса Б вносят в 7(0) точку ег6 = -е2гф. Для области К(Е, ф) точки

е-іф

w(X) =-—, 0 <Х<п,

. . 2 X

481П —

2

являются граничными. Легко видеть, что функция

К2.ф,х> = ^)К(-,ф) =-------------2--------- (10)

w(X) - К(2, ф) 1 - 2сОБ Хегф2 + е2гф22

также принадлежит классу Б. Она отображает круг Е на плоскость, разрезанную по

е-ф е-'ф

двум лежащим на прямой лучам, уходящими от точки---------------— и от точки-—

. . 2 X л 2 X

481П — 4соб —

22

на бесконечность. Отметим, что функция Ь( 2, ф,0) = К (2, ф) и функция Ь (2, ф, п) = К1 (2, ф) отображают круг Е на плоскость С, разрезанную по одному лучу.

Согласно свойствам производной Шварца,

{Ь(2, ф, X), 2} = {К(2, ф), 2} = -6е2іф.

Для функции 1К(р2,ф)є Б, 0<р< 1,имеем .7(0)= -р2е2гф . Этим замечанием Р

завершается доказательство утверждения о совпадении 7(0) с замыканием единичного круга.

Теорема 2. Множеством значений производной Шварца / 2} на классе Б при

20 = 0 является замкнутый круг радиуса 6 с центром в начале. Каждую граничную

точку е'% в это множество вносят функции (10) при Хє[0,л] и е2гф = -ег6.

Обращаясь к общему случаю 20єЕ\{0}, воспользуемся тем, что если /(2) є Б, то в этот же класс входит функция

g (z) = ^ + z° z

f|_z±z^ I-f(z0)

f' (z0) •(1 -l z0|2 )

Согласно свойствам производной Шварца,

{g, z} = 1f

z +_£о v 1+z0 z У

zf = (f (w), w}

z + z0

V

v 1+z0 z У

(l-| z0p )2 ={f (w),w} _ ч4, w=

(l + z0 z )

Полагая z=0 и применяя теорему 2, получим неравенство

6

z ++ l + z0z

\{f (z0 ), z0 }

(1 -Iz0p )2

определяющее A(z0). Точка -

(l-l z0|2 У

-e1 вносится функциями

f (z, ф, X, z0) = - y1 + z°z

L l z + z0

ф,X I-L(z0,ф,X)

L (zo, Ф, X) - lzo|2 ) ’

где L (z, ф, X) определяется формулой (10), 0 < X < п и e2lф= -ei0, т.е. функциями

(l + z0u ) - e2^(u + z0 )2

f (z, Ф, X, z0 ) = (1 - |z012 )

О

-ІТГ=

((l + z0u) - 2 cos Хє‘ф (u + z0) + e2іф (u + z0 )2)

(l + z0u ) - e2l1f (u + z0 )2

-du -

du

((l + z0u) - 2 cos Xe^ (u + z0) + e2^ (u + z0 )2)

Из способа построения функции f (z, ф, X, z0) следует, что она отображает круг E на плоскость, разрезанную по двум лежащим на прямой лучам, уходящими от точки

(l-2cosXz0 + z02)l -2cosXz0 + z02 -4sin2 Xz0 j

„-іф

4sln2 I(1-z02)(1-lz0|2)

(l-2cosXz0 + z02 )l-2cosXz0 + z02 + 4cos2 X z0 j

и от точки

-1ф

4cos2 2(1-z02)(1-lz0p) на бесконечность. Таким образом, доказана теорема.

6

e

Теорема 3. Пусть /(2) є Б и 20єЕ\{0}. Тогда множество значений функционала {/ 20} на классе Б определяется неравенством

6

1{/, 20 }|<

(1 -І--0І2- )2

6 20

Граничная точка------------------— е реализуется только функциями /(2, ф, X, 20) при

(■ -12>Р )2

хе[0,п] и е2йр = -ег6.

4. Неравенство для производной Шварца на классе Бм

Установим неравенство между модулями функции, производной и производной Шварца на классе БМ, 1<М<ж.

Теорема 4. Если /еБМ и -0еЕ, то

|(/(-0 ),20} +Г<* ^ <_6-). (Ш

( Н/(-'0 )2) (-1*,Г')

/ ( - )

► Функция т = а—, \а\ = 1, однолистно и конформно отображает Е в Е с

М

сохранением нуля. Пусть Е(у>) = т + с2м>2 + ... е Б, | ^ < 1. Тогда ¥(-) = аМЕ{а/М) = /(-)+ а/2 (-) +... е Б

и, согласно свойствам производной Шварца,

{П-0 ), -0 }={Е ), т}} ^ ) + {/(-0), -0 },

где т = а/М). Выберем а = е-318/(-0). Тогда а/'(-0) =|/'(-0)| и

{П-0 ), -0 }={Е (w), / (^ + {/(-0 ), -0 }.

М

Отсюда в силу теоремы 3

{/(-0), -0 } + {Е (т), < 6

<(1 -120 Г )2.

Теперь возьмём ту функцию, которой соответствует произвольная граничная точка в области значений функционала {Р (w0), w0} на классе Б при

' / (2 )

w0 = е-аг§/ (2°^ —М[' Получим неравенство

{f (Z0 ), Z0 } +

6M2 I f' (Z0 ) e1

((2-I f (z0 ) 2 )

которое при 0 = аг8{/(-0), -0} даёт (11). <

Знак равенства в (11) будет иметь место только в том случае, если функция

T(z) реализует граничную точку -

6 19

(l-I z0|2 )2

e1 области значений {Т(z0), z0}.

Это позволяет найти все функции /еБМ, для которых в (11) имеет место знак равенства. В случае, когда -0=0, граничная точка |1 —1— | ег0 вносится только

M2

функцией

fM (z,Ф,X)=-

2z

1-2^1-MjcosХе1фz+е21фz2 +^1-2(VM-jcosХе1фz+е21фz2j ^-^4Ге21фz2

при Хе [0,п] и е21ф = -e10 и рассматривается та непрерывная ветвь радикала, которая обращается в единицу при z=0.

Из способа построения функции fM (z, ф, X) следует, что она отображает круг E на круг U = {w е С : |w| < M}, из которого удалены два отрезка от точек

є-ф M2

M

1 -| 1 —X] cos X-Jfl-ll —X1 cos x! — 1

M

M2

-є-ф M2

1 -ll +——I cos X-Jfl-f1 +——I cos xl —1

M

M

M2

соответственно до точек е 1фМ и -е гфМ.

В общем случае при -0еЕ\{0} знак равенства имеет место только для функций

ґ

f (z) =

— -|g (-Z0 )2

z - zr

Л

V1 z0 z У

- g(-Z0 )

g (- z0t(l -ы2)- -

где g (z ) = fffl | z, ф, ct(1 - —) 1, 1 <ю<ад, 0 <ст<л.

V - У

1 - Z0 z

-2 -

fffll- z, ф, CT(1 --)

-

f-l- z, ф, CT(1 --)

(l-l z0|2 )

и ш - корень уравнения

■ = M.

(12)

и

При этом

M|f'( Z0 )| 1 и

и

M2 -|f (Z0)2 -

2

-

Уравнение (12) при любом M, 1<M<<x, имеет по крайней мере одно решение. Другими методами область значений шварциана исследовалась И. А. Александровым [4], Ю. Е. Аленицыным [5], Н. А. Лебедевым [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Lowner K. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises // Math. Ann. 1923. Bd 89. S. 103 - 121.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

3. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. 220 с.

4. Александров И.А. Область значений функционала I=f w} на классе S // Вопросы математики. Тр. Том. гос. ун-та. 1961. Т. 155. С. 56 - 60.

5. Аленицын Ю.Е. Об однолистных функциях в многосвязных областях // Матем. сб. 1956. Т. 39 (81) № 3. С. 315 - 336.

6. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

АЛЕКСАНДРОВ Игорь Александрович - доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАО, профессор, заведующий кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: ma@math.tsu.ru. ПЧЕЛИНЦЕВ Валерий Анатольевич - студент 4 курса кафедры математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: VPchelintsev@vtomske.ru.

Статья принята в печать 07.06.2010 г.