Об экстремальных функциях в проблеме вращения для однолистных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№269

январь

МАТЕМАТИКА

2000

УДК 517.54

А. И Александров, И.А. Александров

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ В ПРОБЛЕМЕ ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Работа выполнена при финансовой государственной поддержке ведущих научных школ РФ, грант № 96-15-96095 «Исследования по комплексному анализу и алгебре»

Указываются управляющие функции в уравнении Лёвнера, соответствующие экстремальным функциям в оценке аргумента производной на классе голоморфных однолистных в круге функций.

1. Пусть S - класс голоморфных однолистных в круге Е{ г. Ы< 1} функций/ДО) = 0,/(0) = 1. Фиксируем точку zoe£\{0}. Функционал

Kf,z0) = l*\^-dc; = xgfXza)

дает значение угла поворота касательной к окружности {г: | г | = | z01} в точке г0 при отображении / Его точные оценки представляют собой важную характеристику класса S. Эти оценки не зависят от arg z0. Верхняя и нижняя оценка имеют одинаковую абсолютную величину. Поэтому достаточно найти оценку сверху для I(f, г) при фиксированном ге(0, 1). Обозначим через S' множество функций /(2) = lim е1 f(z, т),

Т->ое

гдеДг, т) = е ~'z + ... - решение уравнения Лёвнера d<; Ц(т) + ?

А ц(т)-<;

с начальным условием С, |,. 0 = z, zeE. В этом уравнении функция ц(т), 0<т<<», кусочно непрерывна, имеет модуль, равный 1. Класс S’ плотен в 5 в топологии равномерной сходимости внутри Е. Поэтому оценка функционала Kf г), полученная на S’, легко распространяется на S.

2. Сузим функционал I(f, г) на классе S' и представим в виде функционала на множестве допустимых функций ц(т). Обозначая производную по г от f(z, т) через/, имеем из уравнения Лёвнера

d\ne'f _ 2/ d f _ 2ц/

А Ц-/’А / (ц-/)2

Значит,

г 0Ц(Т)-/(2>Т)

и при Z = у

W\r )=-2\

о1_Ц-

/ . И/

/ (Ц-/)2

А.

Обозначим

|Л^.7)| = р(г,т), /(/-,т)р(т) = р(г,т)у(г,т).

Отделяя вещественную часть в тождестве Ап/(г, т) _ 1 + р(г, т)у(г, т)

А 1-р(г,т)>’(',,т)’

получаем формулу

Апр

А

1-Р2

li-pyl

2’

свидетельствующую о монотонной зависимости р от т. Легко видеть, что р(г, 0) = г, р(г, оо). Проведем в интегральном представлении Inf (г) замену переменной т на р:

dp___„ 7 р dp

1 _ пи J 1 „2 L J, „2 >

о\ I-РУЛ-Р2 ol-

гдеу(г, р) - некоторая кусочно-непрерывная функция от р, 0<р^г, с модулем, равным 1. Вместо неё удобнее рассматривать вещественнозначную функцию t(r, р) такую, что у = =(/-// (/ + f). Сделаем ещё одну замену переменной, полагая s = (1 - р) / (1 + р). Преобразования показывают, что

I(f>r)=\g(s,t)—, g(s,t) = -

21 2 st

+

5J+/2’

о s 1 + f2

где a = (1 - г) У (1 + r).

3. Оценим сверху интеграл, дающий значения Iff, г). Фиксируем s, а < s £ 1, и найдем экстремум функции g(s, t). Существует конечное и бесконечное T\s) такое, что g(s, T\s)) = шахg(s, t) при г < оо. Из условия g] (s,T)=0

и 7[s) S 0 находим три вещественных неотрицательных функции:

T0=y[s приО<«<оо;

^1 — $ ± yll — 6s + s2

Т -* 1,2

Следовательно,

- при 0 й s < 2 - V2 .

таxg(s,t) = g(s,T0 ) = 4^- = 2^\-р2

1+5

при 5>3-2л/2 (т.е. при 0<р < l/>/2 ).

Если же 0 й s < 3 — 2^2 (т.е. l/V2 < р < 1), то

g{S,Tx )=g(s,T2 ) = |^ = ^2Л/Г^Т,

1 — s р

и поэтому шах g(s, t) = 1/р. Выполнив интегрирование для найденных 7<j(s), T^rfs), получим оценки [1,2]:

1

|arg f'(r) I <

4 arcsin г и 0 < г <

я + In

1

1-г

2

15

4. Восстановить ц(т) для TQ(s), Ti2(s), пользуясь формулой arg ц(т) = arg Дг, т) - arg у(г, т), не удается, поскольку argXr, т) неявно зависит от ц(т). Для доказательства неулучшаемости установленных оценок arg /'(О достаточно либо указать управляющую функцию ц(т), которая приводит к экстремальной функции, либо указать в S функцию, для которой реализуется в оценке arg /'(/•) знак равенства.

5. Пусть <pe(0, 7i/2) - произвольная постоянная. Возьмем

р(х) = ег* [cosye~x-Jl-co42qHr2'} .

Сделаем в уравнении замену переменной С, на <о, положив со = Х~ШС,. Получим (штрихом обозначено дифференцирование по т)

ю'Г)у-ю со V 2Х/Х-(о’

где

.Г+2Х И{й(0) = е*рг = г,.

1 Х-2Х

Легко проверить, что у = 1. Перейдем в уравнении от переменной т к X:

da _ о> (1 — со) _

dX~ (Х + 1)(А.-ш)’Ш х=е ~Z>

После замены переменной X на v =1/(Я. + 1) получим rfv 1 + со . 1 , 2е‘9

-V + -

• ■ ----.v =- .

dX ю(1-ш) со (1—со) “'II 2coscp

Его интегрирование приводит к заданию функции (о =

=o>(v) квадратным алгебраическим уравнением

1

1 X

УШ = - +----:---I —-------— (1-ш)2

2 (1 -г, )2L2coscp 2г, )

А.2<; /(г)

Учитывая, что lim—-=- ,

Х+1 2cosip

функцию / ( г) =

г - cos ф г

У

limm=0, получаем

т-ко

6 S'.

ПОДЧИНИМ Выбор ф УСЛОВИЮ: СОБф = г. 6. Покажем, что на функции

/(*)=■

z-rz

,, i\ = r + i-JT-r*

0-Л 2)*

достигается оценка argf(r),feS при 0<r <1/V2. ПредставимХг) в виде интеграла

Очевидно,

о (1-T1Z)3

■dz.

Г)

гм- 1~цг -b-vY

JU~(l -лгГО-ЛгГ

Отсюда при 0<г<1/>/2

arg/'(r) = 4arg^l-r2 -ir-Jl-r1 j = 4arcsin г.

7. Для каждого г е (о,1 / V2 ] экстремальная функция своя. ФункцияХг), даваемая формулой (*), является частным случаем формулы Кристоффеля-Шварца, отображает Е на плоскость с разрезом по

лучу, начинающемуся в точке i/4-v/l-r2 и наклоненному к положительному направлению вещественной

оси под углом - arctg[( 1 - 2г2) / 2r-J\-r2 ].

При изменении г от 0 до I/42 точка £ движется по границе единичного круга от И4 по направлению

хода часовой стрелки до точки i4l / 4, а разрез поворачивается против хода часовой стрелки от вертикального положения до горизонтального, причем концевая точка разреза поднимается по мнимой оси от

точки И4 до //2-У2. Точка fir) имеет аффикс r(l-2r2)+2Wl-r2.

Рассмотренная функция при г € (l / 42, l) не является экстремальной в задаче об arg/(r),/eS.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1996. 628 с.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

Статья представлена лабораторией математического анализа научно-исследовательской части Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 25 октября 1998 г.

16