Вариационная формула Голузина для левнеровских отображений круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 1(2)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

А.И. Александров, И.А. Александров

ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГОЛУЗИНА ДЛЯ ЛЕВНЕРОВСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ КРУГА

Предлагается вывод основной вариационной формулы Голузина в методе внутренних вариаций однолистных отображений круга, основанный на вариации управляющей функции в уравнении Лёвнера.

Ключевые слова: уравнение Лёвнера, вариационная формула Голузина.

В классе 5 голоморфных однолистных в круге Е = {zeC :|г|<1} функций / = z + ... имеет место вариационная формула

г2 (2) - (

/ ( 2,е) = / ( 2 ) + ^

к=1

АкН2 (2к К, / (1] ч - АкК(>2к ) - АкКГ2,=Ц

/(2) - /(2к ) V 2к )

+°(е), (1)

где и(г)=, *(г,?)=£Ш£±£,

/(*) 2 2 - д 2 ’

Ак- произвольные комплексные числа, Zf.eE, к = (1,., п), иeN.

Указанная формула лежит в основе вариационного метода Шиффера - Голузина и в приведенном виде установлена Г.М. Голузиным [1]. Другим способом формула (1) была получена Поммеренке [2]. Недавно А.Н. Сыркашевым [3] был предложен свой вариант вывода этой формулы.

В данной статье предлагается вывод формулы (1) для плотного в 5 множества 5'с 5 функций, отображающих Е на области, получающиеся исключением из C разрезов по конечному числу жордановых кривых. Такие функции представляются в виде

/(г) = Иш еТ^(т,2),

Т——ГО

где д(т, z) - решение уравнения Лёвнера [4]

£ = -5^, 5(0,*) = * е Е, (2)

ат ц (т )-5

с управляющей функцией р(х), 0<х<да, |р(х)| = 1.

Как отмечает Н.А. Лебедев в своём Добавлении в книге [1], вышедшей в 1966 г., такую попытку он сделал в 1951 г. и кратко здесь же изложил её, ограничиваясь сообщением некоторых идей. Более общей задачей в связи с изучением уравнения Лёвнера - Куфарева занимался в своей докторской диссертации В.Я. Гутлян-ский [5].

Мы проведём полный вывод формулы (1) для лорановских областей.

Проведём в уравнении (2) замену переменной т на ї по формуле т=ф (г), где Ф (г) - монотонно возрастающая кусочно-гладкая функция на [0,да), ф (0)=0, удовлетворяющая неравенству: ф (г) < МеМ> 0. Чтобы не вводить новых обозначений, будем вместо р(ф (?і)) писать р(г). Очевидно, |р(г)| = 1. После замены в (2) переменной т на г получим

§ = -„'(-)?(0,г) = г.

аг ц (г) - д

Для решения д(г, г) этого уравнения имеем

й 1п—

-±. = -„■ (,) н+£

т ц-д

(3)

и, устремляя здесь г к нулю, находим, что

d 1п д^ (г,0)

= -ф'(г)-

Отсюда

Пусть ф'(г) = 1 - Хд^г), где X - достаточно малое вещественное число, д^г) -кусочно-непрерывная функция, |да(г)| < Ме-1. Тогда

и функция

1 + X, |дх (х)йх + о (X) о

1 -X |ду (х)<3х + о(X)

однолистная в Е при фиксированном г, удовлетворяет нормировке: д*(0, z) = х,

С (/,0 ) = 1.

Пусть д2(г) - кусочно-непрерывная функция на [0,да), |д2(г)|<М. Запишем уравнение (3) с управляющей функцией ц(г)ех‘11 ^^ и при ф'(г)=1 - Хда(г):

d д

■ = - (1 -Хд, )це?*2 + д, д (0,2) = 2.

С У Чи цегХ?2 -д’ ^ '

(4)

Найдём два первых слагаемых в разложении решения д(т, х, X) этого уравнения по формуле Тейлора при малых X. Имеем

ц (г) еА<11 = ц (г) + Лц (г) д2 (г) +...

д (г, г; X) = д (г, г;0) (1+ ХЧ (г, г) +...), ^ (0, г) = 0,

1п £ (г, г; X) = 1п д (г, г;0) + Х¥ (г, г) +...

Полагая д(г, х, 0) = д(г, X) = д, имеем

цем2 +д(,г;X) = ц + д + х2цд(Р- %) +

цеа?2 -д(г,г;X) И-д

(и-?)2

0

и, согласно (4),

d 1п д .

_ =-(1 -*)

£И+Х -2ид (^- ^)

и-д

О1-^

Отсюда, сравнивая коэффициенты при X, получаем для ¥ обыкновенное дифференциальное линейное неоднородное уравнение первого порядка

42, * (0,*) = 0.

(и-?)

ц-д

(И-?)

(5)

Для решения соответствующего однородного уравнения

2к

Л

используем формулу

(Ц_?) 2<

(и-^

> д = д((,2)>

справедливую для решений уравнения Лёвнера. Имеем

_1 = ^ & Г ^

¥ Л д^ & ^ с;

Значит, ¥ = С — . Варьируя произвольную постоянную С, находим, что функция С((,£) имеет вид

С = | Р( т, 2)^ т,

где

Р(Т, 2)

И (т)-? (?>2)

£ (т> 2)

Решением задачи (5) является функция

<2 ({’ 2 )'| ?(?’2) О

И(1)±5(И1,_(,) „2 (т)

(и (т)-? (д,2))

Для нормированного отображения

д (, X)

£ (1,0; X)

получаем разложение по параметру X в следующем виде:

д ((, г, х)

= е д ((, 2 ) + Х

е* С ((,2) | р ((,2 )& ~<е д ((,2) 141 (()&

(6)

+ о (Х), (7)

где о(Х) - величина более высокого порядка малости, чем X, равномерно относительно г внутри Е.

0

Перейдём в (7) к пределу при г ^ да. Получим в пределе следующую вариационную формулу в классе 5':

/* (2) = / (2) + х

+ о (Х).

(8)

/' (2) |р((, 2№ -/ (2) 141 ((¥(

_ 0 0

Она может быть использована для получения различных вариационных фор мул за счёт выбора функций #2(0, q\(i). Мы придём к вариационной формуле Го-лузина, полагая

41 = X к=1

А й

2И?к

к йк \ 2

(и-?к)

■Ак Й2-^-

(и-?-1)

1 п

* = 2 Е

21 к=1

. ^2 Ц + ^к “Т 7^2 Ц + ^к

А бк2 + Ак бк2

Ц ?к Ц-?к'

где Аь-^ Ап - постоянные, & = 2к <4/^ , ?к = ? (*’ 2к), <4 = ^ (г> 2к) и 2ь■■■, • - попарно различные точки единичного круга.

С учетом указанного выбора д1(И), #2(г) имеем

где

Хк =4 а2 ^2

** =4 а2

?2

Р(/, 7) = ±(Хк + Лк¥к),

к=1

ц + д 2цдк ц + дк цд

(9)

ц-д (ц-д)2 Ц-?к (ц-д)2

и+? 2и?-1 , и+?-1 и?

и-?

(и-?-1)

и-?-1 (и-?)

Представим эти функции в виде, удобном для интегрирования.

Легко проверить, что для любых и, иФу, и2 + V2 Ф 0, справедливо равенство ц + и ц и (ц + М ц + У^ и+ У ц

ц-М (ц-V )2 (ц-У )2 1.ц-и ц-у ) и-у (ц-у)2

и что если и = д(х, 2) - решение уравнения Лёвнера с управляющей функцией ц(х), то V = 1 д (т, 2) - решение этого же уравнения.

Если и, у - различные решения уравнения Лёвнера, то а и + у 2иу ^ц + и ц + ул

и-у (и-у)2 ^ц-и ц-у

2цу у а (v'z л v'z а (V (ц-у)2 у^ ат1 у ^ у ах^у^

и

Поэтому

ц + и 2ц

а и+v и+v V а

а и+V и+vvl а

ц-и (ц--у)2 а т и - V и - V V1,, а ті

а т и - V и - V V а ті V'

Применим эти формулы для преобразования Хк. Имеем

а ?+? ?+? ? а (с;Л ^ і а ? +? і ? + ??; а і ?

Хк = 4 ОІ

1 _£. П А Ч + Чк +1 Ч + Чк П2 _±

о ' Пк і ^ Пк і і г

2 Ч2 атч-Чк 2 ч-Чк а

2 ат?к-? 2 ?к-? ? а^ (ек )=

Ч )+ 1 Ч + Чк Ч а

= 1А і П2 Ч + Чк 2 ат^ч; к Ч-Чк Проводя аналогичные вычисления для Ук, имеем

(10)

С2 к 1 1 ^ Як +С| 1 +ССг ^ Г с_>|

а т$-с1к1 ^-^к1 Тка т _ -'Л -'Л Л ч с^с у 2атС-Т-с 2с?-сс ат^с^^_

1 а

2 а т

^ _та

? а2 ?+?к

7'& ТТг

?-?к у

Преобразуем д1 к виду, удобному для интегрирования:

2ц?

?і = 2Яє Е А* б; к=1

- = -2ЯеЕ Ак ——(—1 =

(ц-д* )2 к=і д- <4 ат1?к )

=-^ Е Ак ^ (а2 )=-± ^ {- (а2)-Е А Т

к=1 Лт к=1 2 Лт к=1 2 Лт

Переходим к записи значений интегралов в (8). Отметим, что

Ііт Qk = Ііт ■^к-

= н(2к). !™вк = 1. Ііт -4 = /М' 0 ,

х^О д2 /(г) т^02

Ііт — = г.

(11)

(12)

Ііт =

? + ?к _ / (2 ) + / (2к )

Ііт =И^ = -1.

' ?-?к / (2) - / (2к) ' ?-?-1

Согласно (8) - (12), имеем

/ * (2)=/ (2){у (2) Е -г- (я 2 (2к)-!)+/(2 )Е у- (я 2 (2к)-1)+

к=1

п

+/'(2)Е Ак

к=1

п

- /'(2 )Е Ак

к=1

/(2) н2 /(2) + /(2к ) / '(2) '

к=1

2 + 2?,

У(2) - / (2к) 2 - 2к J

1

І./І£І н2 (2к)+22+2 2 / '(2) к’ 2 2 - 2

+ о(Я0,

то есть

f * (z) = f (z) + х ]

_k

f'(z)z+zk + f (z)

2 z - zk 2

Вывод вариационной формулы Голузина для /е 5' окончен. Так как 5' плотен в 5 в смысле равномерной сходимости последовательностей внутри круга Е, то формула распространяется на весь класс 5.

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука,

2. Pommerenke Ch. On a variational method for univalent functions // Michigan Math. J. 1970. V. 17. P. 1 - 3.

3. Сыркашев А.Н. О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 86 - 96.

4. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

5. Гутлянский В.Я. Параметрические представления и экстремальные задачи в теории однолистных функций: Автореф. дис. ... докт. физ.мат. наук. Киев: Математический институт АН УССР, 1972.

ЛИТЕРАТУРА

1966.

Принята в печать 08.04.08.