CC BY
13
В квазиупорядоченном множестве (^.Рг) имеется бесконечно воз-
Р2 Рг Р: растшощая цепь у\ -< у2 -< у4 ч у6 -<... .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Виркгиф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984
УДК 517.54
Е. В. Разумовская ЗАДАЧА ГРОНУОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА БАЗИЛЕВИЧА
И.Е. Базилевич [1], проинтефировав частный вид уравнения Левне-ра-Куфарева, получил интегральное представление широкого класса однолистных функций, называемого классом функций Базилевича (Ва). Из [1]
следует, что если / е Ва, то /(z) = lim e'w(z,t), где w(z,t) является реше-
/->00
нием дифференциального уравнения Левнера-Куфарева
dw(z,t) __ w(z,Q_
dt e-a'pl(w) + (\-e-a')p0(w)>
w(z,o) = z,
где Pq(w), Pi(w) - функции класса Каратеодори (С) с разложением в еди-
<=° . °° к ничном круге p0{w) = \ + '^j2yk\v , px{w) = 1 + , удовлетворяю-
¿•=i *=i щие в нем условию Reро (w) > 0 , Rc p\(w) > 0.
Гронуолл [2] поставил задачу об оценке | /(z) | при фиксированном значении а2 = /"(0)/2 в классе однолистных функций. Мы дадим решение задачи Гронуолла в классе функций Ва с дополнительными требованиями вещественности коэффициентов а, ßi и у,. Для получения оценки используется метод, предложенный в работах [3,4].
ТЕОРЕМА. Пусть /(z) = z + a2z2 +... е Ва,а е R. Тогда для вещественных ßi,Yi справедливо неравенство
j;<\f(z)\<r2, (2)
'f. д-*У' , 1/0
а ----rds
¿(1 + 5 + s\a2 r+1
2," (им) 21
е(1 - л2)а+11п 1 + 5 1-7
<ь
1/а
72 =
Доказательство Из [1] легко выводится связь между а, {31,уй и а2:
*2 = 2Ь±М.
2 а +1
Зафиксируем аг=с и без ограничения общности будем считать^ >0. Пусть у, =х, р1 = + ^ - ах. Оценим |/(г)| в зависимости
от параметра х Оператор
'' (1 + - »)?(») + (1 - ¿,)(1 + иО '
где ¡7(У)е С однозначно отображает класс С на класс С(е/|) функций /еС с фиксированным коэффициентом </[ [5]. Представив Ра( в виде
к + м* к - Н1'
о+^к-о-^)
отметим, что функция = ^ + ^ отображает круг Ег = {и< и'|< г} на круг
+г
к - V/
2\к\г
< —--—, который расширяется с уменьшением | к |.
1*1 -г
\к\2 -г2
Применим оператор к функциям р0(и1), Функция
= е"а'/'с(а+1) [/>](*) + (1 - е~а')Рх[р]М
отображает круг Ег на круг
I г
и значит,
-а1 I *1
1*112 -г2
с-а, 21*, |г 2|*2|л
2 г2
л
к2 Г -Г У
*,12 -Г2
У
7 \<Кек{*)<Т2,
Г, = + (1 _ е-«) \hlzL
\к]\+г
к2\+г'
1Л.1-Г
к2\-г
Так как область значений функционала 1(р) = 0), реС, фиксированная точка единичного круга, представляет собой круг [6]
,2
£>(7о)= /:
; 1+1 Ч\
1-1 2П
то
7', = пин 7] = е
реС
1\ = тах Т2 = е
I — г
реС
2[г0
1-1 2п
1 + Г + 2 гх
1 — г
-а/ч 1 + + 2гх
1 — г
Из (1) и (3) получаем неравенство
л
71,
М 7 2
интегрирование которого приводит к неравенству
Jx{x)Am\<Jг{x),
где
«1
1/а
(4)
У
о
1 +
1 + 5
1-5
ск
1/а
Находя максимум и минимум по х, получим основное неравенство (2).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Мат сб. 1964. № 100 С. 628 - 630
2. Gromvall Т.Н. Sur la deformation dans la representations conforme sous des conditions restrictives//Compt Rend Acad Sei Paris , 1916. Vol.162 P. 316 - 318
3 Szynal A , Szynal J., Wajler S On the problem of Grownwall for convvex and quasi starlike functions II Conf Anal Functions Abstracts. Kozubnik, 1979 P. 56
4 Прохоров Д.В., Шиналь Я. Оценка модуля функции Мокану с фиксированными начальными коэффициентами // Теория функций и приближений. Тр Сарат зимней шк Саратов, 1982 Ч 1С. 156.
5 Pfaltzgraff J.A., Pinchuk В A Variational method for classes of meromorphic functions // J. Anal Math 1971. Vol 24 P 101 - 150.
6 Александров И.А Параметрические продолжения в теории однолистных функций M : Наука, 1976.
УДК 519 83
В. В. Розен
РЕШЁТКА ПОДКЛАССОВ КЛАССА АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГР*
Исследованы соотношения между подклассами класса антагонистических игр. Антагонистическая игра с упорядоченными исходами задается в виде системы
G =< X,Y,A,(Ù,F >, где X - множество стратегий игрока 1, Y - множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, (ùœ А2 - отношение порядка на А , выражающее предпочтения игрока 1, F : X xY А - функция реализации. Игра, двойственная к G, получается из нее переменой мест игроков 1 и 2 и заменой порядка со на обратный порядок со-1. Пусть К - класс всех антагонистических игр с упорядоченными исходами
Определение 1. Игра G называется 1 -альтернативной, если для любого исхода а е А выполняется альтернатива: исход а либо гарантируется игроком 1, либо запрещается игроком 2, т.е.
либо (Зх е X)(Vy е Y)F(x,y) 2>ш а, либо (3у е Y)(Vx е X)-,(F(x,y) >ffl а).
Класс 1 -альтернативных игр обозначается через Ka¡ Двойственно определяется класс 2-альтернативных игр К^. Классы КЬа, биачьтерна-тивных игр и Ка1 альтернативных игр определяются равенствами
кbai = kIi п к h, ка, - k\¡ и к],
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проею- № 00-01-00053
