Решетка подклассов класса антагонистических игр Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Мат сб. 1964. № 100 С. 628 - 630

2. Gromvall Т.Н. Sur la deformation dans la representations conforme sous des conditions restrictives//Compt Rend Acad Sei Paris , 1916. Vol.162 P. 316 - 318

3 Szynal A , Szynal J., Wajler S On the problem of Grownwall for convvex and quasi starlike functions II Conf Anal Functions Abstracts. Kozubnik, 1979 P. 56

4 Прохоров Д.В., Шиналь Я. Оценка модуля функции Мокану с фиксированными начальными коэффициентами // Теория функций и приближений. Тр Сарат зимней шк Саратов, 1982 Ч 1С. 156.

5 I'faltzgraff J.A., Pinchuk В A Variational method for classes of meromorphic functions // J. Anal Math 1971. Vol 24 P 101 - 150.

6 Александров И.А Параметрические продолжения в теории однолистных функций M : Наука, 1976.

УДК 519 83

В. В. Розен

РЕШЁТКА ПОДКЛАССОВ КЛАССА АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГР*

Исследованы соотношения между подклассами класса антагонистических игр. Антагонистическая игра с упорядоченными исходами задается в виде системы

G =< X,Y,A,(Ù,F >, где X - множество стратегий игрока 1, Y - множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, (ùœ А2 - отношение порядка на А , выражающее предпочтения игрока 1, F : X xY А - функция реализации. Игра, двойственная к G, получается из нее переменой мест игроков 1 и 2 и заменой порядка со на обратный порядок со-1. Пусть К - класс всех антагонистических игр с упорядоченными исходами

Определение 1. Игра G называется 1 -альтернативной, если для любого исхода а е А выполняется альтернатива: исход а либо гарантируется игроком 1, либо запрещается игроком 2, т.е.

либо (Зх е X)(Vy е Y)F(x,y) 2>ш а, либо (3у е Y)(Vx е X)-,(F(x,y) >ffl а).

Класс 1 -альтернативных игр обозначается через Ka¡ Двойственно определяется класс 2-альтернативных игр K\¡. Классы КЬа, биачьтерна-тивных игр и Ка1 альтернативных игр определяются равенствами

кbai = kIi п к h, ка, - k\¡ и к],

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00053

Определение 2. Игра О называется глобально апьтернативной, если для любого мажорантно стабильного относительно порядка со подмножества В с: Л выполнена альтернатива

либо (Зх е Х)(Уу е У)Г(х,у) е В, либо (3у е У)(Ух е Х)Р(х,у) е В.

Класс глобально альтернативных игр с упорядоченными исходами обозначается через .

Определение 3. В игре О стратегия д:0 е X называется дискриминирующей стратегией игрока 1, если Р(.х0,К)с С/(2), где

(7(2) = {а е А : (3у е У) (V* е X) Р(х,у) <ш а) -множество гарантированных исходов игрока 2.

Стратегия х0 е X называется критической стратегией игрока 1, если

У(хи,У)аи\2), где (/(2) = {а е А: (З.уе УХ^е Х)Р(х,у)<° а] - множество строго гарантированных исходов игрока 2

Через /^¿обозначается подкласс класса К", состоящий из игр, в которых игрок 1 имеет дискриминирующую стратегию, через - в которых игрок 1 имеет критическую стратегию. Двойственно определяются классы и КПолагаем

= и к] > = к\г и КI, .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 Выполняются следующие включения: КХсг с ^» ^сг <= . с с Кьы

Положим Кзр - класс антагонистических игр, имеющих седловую точку. Мы исследуем соотношения включения между следующими подклассами класса К:

{Кы>Ка1, Ка1, кьа1,к^1,к1/, КККсг, Кхр,0}. (1)

ТЕОРЕМА 1. А. Имеет место следующая диаграмма (рис. 1), указывающая соотношения включения между классами (1).

B. Классы (1) относительно включения образуют решётку/,, которая является линейно упорядоченной суммой трёх булевых алгебр, изоморфных соответственно 23,2°,22.

C. Решётка £ является П-подрешёткой булевой алгебры 2К всех подклассов класса К В частности,

К* П = К\ П Кгсг = К\ ПК1 =0, К], ПКсг = Кх„, К] П Ксг = к1.

Замечание 1. Решетка /, не является и -подрешеткой булевой алгебры 2К . В частности, К1„ и К $р * , К2СГ и К,р * К).

Замечание 2 Для игр с конечным множеством исходов выполнено

Пусть Кс- подкласс класса К, состоящий из игр, в которых упорядоченное множество исходов является полной цепью.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 В классе Кс подклассы КЬа,,К?ы и совпадают

Таким образом, диаграмма подклассов (1) в этом случае принимает вид, представленный на рис. 2.

кы

Рис 1 Рис 2

ТЕОРЕМА 2. Набор подклассов

{ К al > К al > Kah К bal >К gal . ^d • Кcr> Кcr< KCr> К sp ,0}

класса Kc относительно теоретико-множественного включения образует решетку Lc, являющуюся подрешегкой (как по П, так и по U) булевой алгебры всех подклассов класса Кс. В частности (ср. с замечанием 1), выполняются равенства

Кх„ U Ksp = Kld, K2cr U Ksp = K¿, Kld U Kl =K¿ U Kxcr = Кьы

Замечание 3. Для антагонистических игр, в которых множество исходов является конечной цепью (в частности, для матричных игр), справедливо Kal = Ksp, следовательно,

к а! - K\i = K^I = Кьы = K¿ = К] = Ksp; 122

кроме того, по замечанию 2 К\г = К}г = Ксг =0. Таким образом, в этом случае диаграмма подклассов (1) принимает вид 2-элементной цепи с наибольшим элементом К5р и наименьшим элементом 0.

УДК 517.54

С. В. Романова

ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ, НЕ ПРИНИМАЮЩИХ НУЛЕВОГО ЗНАЧЕНИЯ*

Пусть В - класс всех функций /, /(г)=а0 + ..., аналитических в единичном круге 0 = {г.\г]< 1} и удовлетворяющих в О условию

0<|/(г)<1.

Кжиж [1] высказал гипотезу, что 5ир|<з„| = 2/е, «¿1, с равенством

/6 в

для функций ), |А.| = =1, где Р(г)= ехр((г-1)/(2+1)). Гипотеза была

доказана для п = 1,2,3,4 [2]. Поскольку класс В инвариантен относительно вращения, достаточно рассматривать функции / е В, нормированные условием Ввиду неравенства 0<а0<1, можно положить а0 =е~', 0<1<со

Обозначим через В (I) класс функций / е В, для которых а0 = е~ ,

/•;« = ехр(-/(1 - 7)/(1 + 2)) = ¿4(02* .

4=0

Будем рассматривать линейные непрерывные функционалы вида ¿(/) = + а„_1а„_1 + ... + а,а1)( а,,...,ап_, еС. В [3] были приведены результаты об асимптотических оценках функционалов вида ¿(/) при близких к 0 и I, близких к со. Эти оценки имеют различную природу. При '>0, близких к 0, только функционал Ь(/)=Кеап имеет экстремальную функцию ^(г") При достаточно больших Г любой функционал вида Ц/) имеет экстремальную функцию Р](г). Справедливы следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1. Для всякого п к 1 найдется 10 > О такое, что для всех

'е[0,'о] тахЫ=4('). /Ей(')

" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 01-01-00123