CC BY
14
Случай 1. Исход в ситуации х°||х,, допустим для игрока ;. Тогда F(x° || х() е D(G) и по условию единствешюсти F(x° Цх,) ~с*, откуда
С Е(
F(x° || а,-)~FCjcq), следовательно, F(x0 ||xl)~F(x°).
Случай 2. Исход в ситуации х° ||х,. не допустим для игрока /. Тогда
F(x° ||х,) е Uj (G) и по первому условию теоремы 1 получаем
о», < е
F(x° ||х,)<с'. Ввиду того, что с* ~F(x°), выполняется условие
с' ~F(x°), откуда F(x° ||xf) < F(xa).
ai,
Итак, в любом случае будет F(x° ||х,) < F(x°), то есть х" - ситуация
е
равновесия по Нэшу. Так как F(x°)~c", то согласно второму и третьему условиям теоремы 1 получаем доказательство необходимости. Обратно, пусть х" - специальная ситуация равновесия, для которой выполнено указанное в теореме 2 дополнительное условие. Тогда для с = F(xn) выполнены все условия теоремы 1, откуда с - единственный индивидуально рациональный исход.
Замечание. Георемы 1 и 2 дают также решение ответа на вопрос о существовании единственного дележа в играх с квазиупорядоченными исходами благодаря следующим утверждениям:
a) если с - единственный с точностью до естественной эквивалентности е индивидуально рациональный исход в игре G, то с будет также единственным с точностью до е дележом;
b) для игры G, в которой для каждого /е N выполнено условие ОВЦ, верно и обратное: если с - единственный с точностью до естественной эквивалентности s делёж, то он будет также единственным с точностью до е индивидуально рациональным исходом.
УДК 517.54
Е. В. Разумовская
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГРОНУОЛЛА НА КЛАССЕ ФУНКЦИЙ БАЗИЛЕВИЧА
Функции Вазилсвича составляют широкий подкласс (Ва) однолистных функций. Если /е5а,то[1]
/(z) = lime' w(z, t)
с1н>(г,1) ^ уу(2,р__
Л +(1-е-а>0И'
4^,0) = г,
где рх{ы) - функции класса Каратеодори (С) с разложением в еди-
00 00 яичном круге /'о(и') = 1 + > лС^О = 1 + £2(3^*, удовлетворяю-
/Ы *=1
шие в нём условию И.ер0 (>у) > 0 , Яе р:(и>) > 0.
Задача ' об оценке | /(г) | при фиксированном значении |аг |=) / *(0)/2|, известная как задача Гронуолла, уже рассматривалась автором [2] в классе функций Базилевича. Однако результаты были получены при дополнительных требованиях вещественности коэффициентов а, Р[,У1- Методом мажорантной области [3, 4] решим задачу без указанных ограничений. Оператор
1 д+\ _к + \у
1 9 + 1
где q{w)e.C, однозначно отображает класс С на класс С(с1х) функций /еС с фиксированным коэффициентом с/) [5]. Отметим, что функция
^ = отображает круг ЕГ ={ тл> :| |< г} на круг
к-ю
|2 , .2
. I к\г+г<
<2\к\г_
который расширяется с уменьшением | к \. Образ круга ЕГ при отображении функциями класса С содержится в круге
Функция к =—---- отображает круг Пг на круг
' q +1
К12(1-г2)к1-М| \гг 1 К|2-'2 ""КР-г2
и поэтому с круге £>г
Ш+г ■
Применим оператор Рл к функциям />,(н'), зафиксировав ко-
эффициенты у, и [3] на классе функций С. Функция
отображает круг Ег на круг
8-
+(1-е-°')
1*2 Р"'
г\к2\г
Ы-г2
1М
2 „2
и, значит, с учётом (2)
где
1-г2
-с +-
1-г2
' 1 + г2 + 2г|Р,| 1 + г2 + 2г | у, | _ 1 + г2 + 2г+1Д | а, 1 + г2 + 2г|/,|
2 е + Г75 Ч с >•
Из (1) и (3) получаем неравенство
л
Г2
интегрирование которого дает
У,<|/(г)|<72,
где
14
а Г
¿(1+52+25|р,|)(5=+25|у1|+1)
14(1 + 52 + 2л 1 р, I) р + 5
МУ
Имея связь между а2 и а1 > р1> У1
1/а
Рн^ а+1
(3)
и фиксируя введём вектор x(x],x2,x?i), положив х.
х2 = argY|, х, = аг^[3, . Тогда |[3, \=<хх^со5(х3~-х2) +.]с2-а2х^т2(х^-х2). Находя максимум J2=J2(x) и минимум J]=Jí(x), получаем следующий результат.
ТЕОРЕМА. Пусть /(2) = г + а2г2 +...е Б„, а е Л, 2 е£ = {г :| 21<1). Тогда справедливы неравенства
у;<1 т\сгг.
где
_И
~
1+М2+МКГ
1/а
4
2sa fl + ЛЛ 2s
2\а+11__1 + П1-S
о e(l-s ) log^
ds
Замечание. Отметим, что при снятии требований вещественности у, и (3, оценки не изменились.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бачшевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Мат. сб. 1964. № 100. С. 628 - 630.
2. Разумовская ЕВ. Оценка модуля функции Базилевича с фиксированным начальным коэффициентом. Саратов, 2002. 17 с. Дсп. в ВИНИТИ 07.10.2002 №1681-В2002.
3. Szynal A., Szynal./., Wajler S. On the problem of Grownwall for convvex and quasi starlike functions // Conf. Anal. Functions. Abstracts. Kozubnik, 1979. P. 56.
4. Прохоров Д.В., Шинапъ Я. Оценка модуля функции Мокану с фиксированными начальными коэффициентами // Теория функций и приближений: Тр. Сарат. зимней шк. Саратов, 1982. Ч. 1. С. 156.,
5. Pfallzgraff .L4., Pinchuk В.А. Variational method for classes of meromorphic functions//J. Anal. Math. 1971. Vol. 24. P. 101-150.
УДК 517.5
А. В.Родина
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ НА НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКАХ
Ортогональные рациональные функции, общая теория которых была построена М. М. Джрбашяном [2], А. Бультхеелом, А. Гонсалес-Верой, Е. Хендриксеном, О. Ньястадом [1], приобрели большое значение в последние десять лет в связи с многочисленными приложениями в теории
93
