Дележи в бескоалиционных играх с квазиупорядоченными исходами Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. В. Пасечник

УДК 519.83

ДЕЛЕЖИ В БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ С КВАЗИУПОРЯДОЧЕННЫМ И ИСХОДАМИ

Основной задачей теории игр является выявление содержания понятия оптимальности и нахождение условий существования оптимальных решений. В теории игр сложилось два подхода к введению понятия оптимальности: некооперативный и кооперативный. Некооперативный подход базируется на предположении информационной разобщенности игроков; формально это проявляется в запрете образования коалиций. Кооперативный подход, напротив, основан на возможности образований коалиций игроков, имеющих коалиционные интересы и возможности коалиционных действий. Формально коалиция - это произвольное непустое подмножество множества игроков. Для каждой коалиции должно быть указано множество ее стратегий и отношение предпочтения, выражающее ее интересы.

Основным объектом изучения в статье является игра п лиц с квазиу-порядоченными исходами, которая задается в виде

0 = (*Г,(Х1)1в//,А,( а>, (1)

где М = - множество игроков, X, - множество стратегий игрока /,

А - множество исходов, со, - отношение квазипорядка на А , выражающее предпочтения игрока /, : Хы -> А - функция реализации, где

Хц = 0^/ ~ множество ситуаций игры При изучении кооперативного

ieN

аспекта игры (1) для каждой коалиции 5 с N должно быть определено множество ее стратегий Х5 и отношение предпочтения со5. Далее будем полагать, что множество стратегий коалиции 5 есть Х3 = ¡"¡ЛГ,, а отно-

шение предпочтения определяется в виде со5 = |"|<а,, которое также явля-

ется отношением квазипорядка.

В кооперативной теории игр одним из важнейших понятий является понятие дележа. Дележ - это оптимальный по Парето индивидуально-рациональный исход. В данной статье мы обобщаем эти понятия на игры с квазиупорядоченными исходами. Наша задача установить достаточные условия для существования индивидуально-рациональных исходов и для существования дележей в играх с квазиупорядоченными исходами. Отметим, что для игр с квазиупорядоченными исходами аналогом индивидуальной рациональности исхода является его допустимость. Исход а допустим для игрока /, если у него не существует такой стратегии х,, что при любой стратегии у^ дополнительной коалиции Х^, выполняется

^(Х1>Умм)> а Введем на множестве стратегий Х[ игрока / отношение квазипорядка р;

12 1

Определение 1. Пусть х: ,х, е X,. Будем говорить, что стратегия

доминирует стратегию х] по отношению р, - доминирования (обозна-

Р,

чать х) > х}), если выполняется включение

\f-\xly): у е Хт[ С У):У е [,

где знаком Т обозначается множество мажорант [1] соответствующего подмножества относительно квазипорядка со,.

Определение 2. Стратегия игрока / называется ¡3, -максимальной, если она является максимальным элементом множества стратегий X, относительно квазипорядка р,.

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования индивидуально-рационачьного исхода). Если в игре G вида (1) для каждого игрока /е N отношение р,-доминирования удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (ОВЦ [1]), то множество индивидуально-рациональных исходов в игре О не пусто.

При доказательстве этой теоремы используется следующая лемма.

ЛЕММА 1 В любой ситуации, в которой игрок / использует Р, -максимальную стратегию, исход игры допустим для игрока /.

Из леммы 1 следует, что в ситуации (■*,*),еЛг, где каждая стратегия х* является р,-максимальной, исход будет допустим для всех игроков сразу, т.е. индивидуально-рациональным Существование такой ситуации обеспечивается условием ОВЦ в каждом квазиупорядоченном множестве (Л',,Р,) (/еАО-

Простые примеры показывают, что исход в ситуации, состоящей из р, -максимальных стратегий игроков может быть неоптимален по Парето, т.е. не быть дележом Поэтому возникает дополнительная задача нахождения достаточных условий существования дележа. Одно из решений этой задачи дано в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие непустоты множества дележей в играх с квазиупорядоченными исходами). В игре С вида (1), в которой каждое кваз«упорядоченное множество (Л.соД^, удовлетворяет условию ОВЦ, множество дележей не пусто.

Приведем примеры, показывающие что из условия ОВЦ в квазиупо-рядоченных множествах не следует условие ОВЦ в квазиупорядо-

ченных множествах (А,со,) и наоборот.

Пример 1 Рассмотрим игру С = [X ,У с упорядоченны-

ми исходами, в которой функция реализации задана с помощью табл 1, а диаграммы упорядоченных множеств (Л.ш,-) приведены на рис 1 и 2

Таблица 1

г >1 У 2 У 3 У 4

*1 а\ О2 а3 а4

Ч а2 "1 а4 а5

*з а3 а4 а6

х4 а4 а5 аЬ а1

Рис 1

Рис 2

В данном примере {/г(дс1,У)} ={/г(дг2,К)} = ..=А, откуда х, ~.х2

{/•ХХ,^!)}1 ={У(Х,у2))Г =...= А, откуда ух ~ у2 ~... . Следовательно, для упорядоченных множеств (Л'.Р,) и (У, р2) выполняется условие ОВЦ. Но для упорядоченных множеств (/4,соД.=1 условие ОВЦ не выполняется

Пример 2. Рассмотрим игру С - (X, А,(йх,(£>2,Г) с упорядоченными исходами, в которой функция реализации задана с помощью табл. 2, а диаграммы упорядоченных множеств {.4,(0,).=[ 2 приведены на рис. 3 и 4.

Таблица 2

У\ У2 Уз У 4

Х\ а\ °3 а5 «7

Х2 о9

х3 «5 о, «И

Х4 а9 «п а13

Рис. 4

Здесь упорядоченные множества (А,®^) удовлетворяют условию

ОВЦ, но в квазиупорядоченных множествах (ЛТ.Р,) и условие ОВЦ

+ ♦

не выполняется. Действительно, так как {/<"(*,,У)} => {/-'(^.У)} з ..., то

Р1 Р1

В квазиупорядоченном множестве (^.Рг) имеется бесконечно воз-

Р2 Рг Р: растшощая цепь у\ -< у2 -< у4 ч у6 -<... .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Виркгиф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984

УДК 517.54

Е. В. Разумовская ЗАДАЧА Г РОНУОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА БАЗИЛЕВИЧА

И.Е. Базилевич [1], проинтефировав частный вид уравнения Левне-ра-Куфарева, получил интегральное представление широкого класса однолистных функций, называемого классом функций Базилевича (Ва). Из [1]

следует, что если / е Ва, то /(z) = lim e'w(z,t), где w(z,t) является реше-

/->00

нием дифференциального уравнения Левнера-Куфарева

dw(z,t) __ w(z,Q_

dt e-a'pl(w) + (\-e-a')p0(w)>

w(z,o) = z,

где Pq(w), Pi(w) - функции класса Каратеодори (С) с разложением в еди-

<=° . °° к ничном круге p0{w) = \ + '^j2yk\v , px{w) = 1 + , удовлетворяю-

¿•=i *=i щие в нем условию Reро (w) > 0 , Rc p\(w) > 0.

Гронуолл [2] поставил задачу об оценке | /(z) | при фиксированном значении а2 = /"(0)/2 в классе однолистных функций. Мы дадим решение задачи Гронуолла в классе функций Ва с дополнительными требованиями вещественности коэффициентов а, ßi и у,. Для получения оценки используется метод, предложенный в работах [3,4].

ТЕОРЕМА. Пусть /(z) = z + a2z2 +... е Ва,а е R. Тогда для вещественных ßi,Yi справедливо неравенство

j;<\f(z)\<r2, (2)

'f. д-*У' , 1/0

а -^---

¿(1 + 5 + s\a2 Г+1