Игры с квазиупорядоченными исходами, имеющие единственный индивидуально рационально исход Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. В. Пасечник, В. В. Розен

УДК 519.83

ИГРЫ С КВАЗИУПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ, ИМЕЮЩИЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ ИНДИВИДУАЛЬНО РАЦИОНАЛЬНЫЙ ИСХОД

Рассматривается задача характеризации игр с квазиупорядоченными исходами, имеющих единственный индивидуально рациональный исход, а также единственный делёж. Игра с квазиупорядоченными исходами задается в виде системы

G=<N,(Xi)¡5N,Л,((йi)ЫN,F>, (1)

где N ={1,...,и} — множество игроков, Х1 - множество стратегий игрока ;', Л - множество исходов, со,- - отношение квазипорядка на А, выражающее

предпочтение игрока /, >А - функция реализации. Декартово

16 лг

произведение множеств стратегий игроков X = {"[А", есть множество си-

¡еЫ

туаций игры С/. Отношение эквивалентности е = , где = (о, псо,-"1 называется естественной эквивалентностью игры С. Через (/,• (С) обозначается множество исходов игры С, недопустимых для игрока V.

и' (С) = {а е А: (Зх* е Х(ХУ* е Х) = Г(хЦх') > а}. = ( ии'ЮУ есть множество индивидуально рациональных исходов

жры С.

ТЕОРЕМА 1. Пусть С - игра с квазиупорядоченными исходами вида (1), в которой каждое квазиупорядоченное множество < А,со, > удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (ОВЦ). Для того чтобы исход с б А единственным с точностью до естественной эквивалентности е индивидуально рациональным исходом в игре С, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) II (С) с{деЛ:«<с } (/ е АГ);

2) 11 и](С)= и{«бЛ:«<с*};

1е/У ¡еЫ

» ' *

3) если исход а не эквивалентен исходу с относительно е, то а<с для некоторого с е N.

Доказательство. Необходимость. 1. Зафиксируем /еУУ. Пусть ае£/;(С). В силу условия ОВЦ для квазиупорядоченного множества < А,со,- > элемент а мажорируется некоторым максимальным элементом

а, подмножества i/, (G), то есть а < а, , где а: е МАЛ' Ui (G). Предполагая, что при любом j * i подмножество U- (G) * 0, зафиксируем для j * i максимальные элементы я* е MAX £/*(G). Так как при всех к е N имеет место ак eUk(G), то для любого keN найдётся такая стратегия х'к е Xк ,

что в произвольной ситуации хеХ выполняется 7''(х|| xt)>a'k. Таким образом, в ситуации х' =(x'k)keN соотношение

F(x ) > а'к (2)

выполняется для всех keN. Так как ак — максимальный элемент подмножества U'k(keN), из (2) следует, что для всех keN F(x')£U'k(G),

откуда F(/)e f| (U'k(G))' = D(G). По условию единственности инди-keN

Е

видуалъно рационального исхода получаем F(jс") ~ с и согласно (2) имеем при к = i

. Е| U, СЛ(

с -F(x') > а\ > а,

м. 1 •

откуда а < с .

2. Включение слева на право выполняются в силу первого условия. Обратно, пусть исход а принадлежит правой части доказываемого равен-

ства, то есть а <с для некоторого i е /V. Предположим, что а ч [J (/'(G).

;еЛГ

Тогда ae(|J U'j{G))' = D(G) и по условию единственности ИНДИВИДу-

уе//

е е,

ально рационального исхода а~с , откуда а~ с , что несовместимо с ус-ловием а<с .

3. Пусть а не эквивалентен исходу с относительно е. Тогда по условию единственности индивидуально рационального исхода aeD(G), то

есть исход а не допустимый для одного из Hi-роков: aeUi (G) при некото-

и, .

ром / е N. В силу первого условия получаем а < с .

Достаточность. Пусть в игре G вида (1) для исхода с еА выполнены условия 1 - 3. Предположим, что исход с не допустим для игрока / е N .

• ш,-

Тогда с е Ui (G) и согласно первому условию получаем с < с , что невозможно. Итак, исход с допустим для всех игроков, то есть с eD. Возь-

мем любой исход a&D(G). Предположим, что а не эквивалентен исходу с

относительно е.. Тогда согласно третьему условию для некоторого /еЛг бу-„

дет я<с и по второму условию aei/;-((7) для некоторого jeN, то есть

исход а не допустим для игрока /. Это противоречит тому, что asD(G), что и завершает доказательство теоремы 1.

Следующий результат устанавливает связь между условием единственности индивидуально рационального исхода и равновесием по Нэшу специального типа. Докажем вначале одно вспомогательное утверждение. JIEMMA. Пусть х°е X — ситуация равновесия по Нэшу в игре G.

Тогда

{//(G)c{aeA:a<F(x0)}. (3)

Действительно, возьмём aeUj(G). Тогда существует такая страте-

гия х,- , для которой в любой ситуации хе X выполняется F(x|| лг,- ) > я , в га,

частности F(x° || х*) > а . Так как х" - ситуация равновесия по Нэшу,

F(x° || x'j) < F(x°). Из последних двух соотношений получаем F(x°)>a, что доказывает лемму.

В силу леммы для любой ситуации равновесия по Нэшу х° выполнено

\JU](G)Q U{«eA:ß<F(x0)}. W

jcN ieN

Ситуацию равновесия по Нэшу назовем специальной, если для неё в (4) выполнено равенство.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы шра G, в которой для всех /е N выполнено условие ОВЦ, имела единственный с точностью до естественной эквивалентности е индивидуально рациональный исход, необходимо и достаточно, чтобы в ней существовала специальная ситуация равновесия по Нэшу х°, для которой при всяком а , не эквивалентном относительно е ис-

/ \ Ш| ходу f(x°), выполняется а > F(xü) при некотором /е N.

Доказательство. Пусть с* - единственный с точностью до е индивидуально рациональный исход. Зафиксируем я? е MAX U*(G) и пусть х,° - стратегия игрока /, строго гарантирующая ему исход (;' е N). Как показано в доказательстве теоремы 1, исход в ситуации х" =(x")ieN является индивидуально рациональным исходом и по условию единственности

F(x°)~c*. Возьмём х, е Xi. Исход ситуаций х° ||х, будет допустимым для всех игроков j i. Возможны два случая.

Случай 1. Исход в ситуации х°||х,, допустим для игрока ;. Тогда F(xn || х() еD(G) и по условию единственности F(x° Цх,) ~с*, откуда

С Е(

F(x° || а,-)~FCjcq), следовательно, F(x0 ||xl)~F(x°).

Случай 2. Исход в ситуации х° ||х,. не допустим для игрока /. Тогда

F(x° ||х,) е Uj (G) и по первому условию теоремы 1 получаем

о», < е

F(x° ||х,)<с'. Ввиду того, что с* ~F(x°), выполняется условие

с' ~F(x°), откуда F(x° ||xf) < F(x°).

ai,

Итак, в любом случае будет F(x° ||х,) < F(x<]), то есть х" - ситуация

е

равновесия по Нэшу. Так как F(x°)~c", то согласно второму и третьему условиям теоремы 1 получаем доказательство необходимости. Обратно, пусть х" - специальная ситуация равновесия, для которой выполнено указанное в теореме 2 дополнительное условие. Тогда для с = F(xn) выполнены все условия теоремы 1, откуда с - единственный индивидуально рациональный исход.

Замечание. Георемы 1 и 2 дают также решение ответа на вопрос о существовании единственного дележа в играх с квазиупорядоченными исходами благодаря следующим утверждениям:

a) если с - единственный с точностью до естественной эквивалентности е индивидуально рациональный исход в игре G, то с будет также единственным с точностью до е дележом;

b) для игры G, в которой для каждого /е N выполнено условие ОВЦ, верно и обратное: если с - единственный с точностью до естественной эквивалентности s делёж, то он будет также единственным с точностью до е индивидуально рациональным исходом.

УДК 517.54

Е. В. Разумовская

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГРОНУОЛЛА НА КЛАССЕ ФУНКЦИЙ БАЗИЛЕВИЧА

Функции Вазилсвича составляют широкий подкласс (Ва) однолистных функций. Если /е5а,то[1]

/(z) = lime' w(z, t)