Ортогональные рарациональные функции на нескольких отрезках Текст научной статьи по специальности «Математика»

и фиксируя введём вектор x(x],x2,x?i), положив х.

х2 = argY|, х, = аг^[3, . Тогда |р, \=<хх^со5(х3~-х2) +.]с2-а2х^т2(х^-х2). Находя максимум J2=J2(x) и минимум J]=Jí(x), получаем следующий результат.

ТЕОРЕМА. Пусть /(г) = г + а2г2 +...е Б„, а е Л, 2 е£ = {г :| 21<1). Тогда справедливы неравенства

у;<1 т\сгг.

где

_И

~

l+laf+MW

1/а

4

2sa fl + ЛЛ 2s

2\а+11__1 + П1-S

о e(l-s ) log^

ds

Замечание. Отметим, что при снятии требований вещественности у, и [}, оценки не изменились.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бачшевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Мат. сб. 1964. № 100. С. 628 - 630.

2. Разумовская ЕВ. Оценка модуля функции Базилевича с фиксированным начальным коэффициентом. Саратов, 2002. 17 с. Дсп. в ВИНИТИ 07.10.2002 №1681-В2002.

3. Szynal A., Szynal./., Wajler S. On the problem of Grownwall for convvex and quasi starlikc functions // Conf. Anal. Functions. Abstracts. Kozubnik, 1979. P. 56.

4. Прохоров Д.В., Шинапъ Я. Оценка модуля функции Мокану с фиксированными начальными коэффициентами // Теория функций и приближений: Тр. Сарат. зимней шк. Саратов, 1982. Ч. 1. С. 156.,

5. Pfallzgraff .L4., Pinchuk В.А. Variational method for classes of meromorphic functions//J. Anal. Math. 1971. Vol. 24. P. 101-150.

УДК 517.5

А. В.Родина

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ НА НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКАХ

Ортогональные рациональные функции, общая теория которых была построена М. М. Джрбашяном [2], А. Бультхеелом, А. Гонсалес-Верой, Е. Хендриксеном, О. Ньястадом [1], приобрели большое значение в последние десять лет в связи с многочисленными приложениями в теории

93

оптимального управления, теории прогнозирования, теории стохастических процессов и т.п. Тем не менее, явные представления ортогональных рациональных функций известны лишь для очень специальных случаев весов. Представление ортогональных рациональных функций на нескольких дугах единичной окружности но отношению к весам геронимусовского типа было получено А. Л. Лукашовым [3].

Целью данной статьи является перенос соответствующих результатов из [3] на случай нескольких отрезков вещественной оси.

Пусть заданы- 21, /е 14, точки а1,...,а21, «¿еК, £=1,...,2/,

I 21

а1<а2<...<а21, и пусть Е = и[а2*-1>агк\ н{х)= Ш*-«*)- ЧеРез н и

*=1 к= 1 5 обозначим многочлены степени /, знак которых при переходе от I -го к (;' + 1)-му отрезку меняется, и которые удовлетворяют соотношению

Я(*М*) = Л(х).

Пусть {ак - произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющих условию 1шаА >0, к = 1,2,... Пусть \Вк - соответствующие конечные произведения Бляшке:

1 + а*1 г-

__

к=1 ' 1 + а? г-ак

Определим пространство рациональных функций Ь„ = .чрап{л0,...,Вп}. Через ф„(г) обозначим ортогонализацию {Вк }"_0 относительно весовой Я(г)

функции 7- \ . . , то есть

\Г+22\ргщ

ыл

к {1 + х2^-Н(х)

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Для данной рациональной функции фл(г)еЬп, ортого-

Д(г)

нальнои относительно веса -г-' . =, существуют многочлен р сте-

пени / -1 и рациональная функция Ь„ такие, что

2-а„

Доказательство. Пусть заданы 21, /е!Ч, точки

I

Ф! <<р2 <...<<р21, причём ф2/ -Фх <; £ф = и[фг*-1>Фг*]- Пусть, далее,

к= 1

{Р*}Г=1 ~ произвольная последовательность комплексных чисел, удовле-

94

творягощих условию |рА|<1, ¿ = 1,2,...; - соответствующие ко-

Р* 2-Р

к .

печные произведения Бляшке: = 1, 5Л(2)=ГТ . , — ,

£„ = л/юл{в0,...,вл}. Через ф„(г) обозначим ортогонализацию {Вк относительно весовой функции

Иф)

, фе£ф; О, <реЯф,

Кф)

21

где при фе(ф2-1'ф^)'

ч-ф л

ЯИ)фтИ)/(ф,^)^Ф = 0 при пФт, п,те N. (1)

~ Р (г)

Функцию фл (г) е Е,л можно представить в виде ф„ (г) = ——--,

п(1-м)

4=1

где Рп{г)= - ак) [1]. Применяя к данной функции дробно-линейное

отображение и--(г)= ' + 2 , где г удовлетворяет условию Ы<1, получим ¿1 +1

ф„(гЫ)=-

п

4=1

/ / \\>- IV

\

(2)

Получая аналогичным образом фя(г(и')), [(2(ы),\У(г(ы)))(1и> и учитывая (1), имеем

Я», (г И)ФЯ (г(»))г-а, 2 , = 0 при л п,т е N.

Для функции фл (л)е Ьл справедливо уравнение (5) из [3]:

(3)

Подставляя в (3) представление (2) и представления, аналогичные (2), для функций х„(2)еЬл, Вп_1{г) и —получим искомое уравнение

1-Р„2

в случае нескольких отрезков вещественной оси.

Замечание. Используя данную теорему, можно получить, подобно теореме 2 из [3], представление для ортогональных рациональных функций в терминах автоморфных функций Шоттки- Бсрнсайда.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bullheel А., Gonzalez-Vera Р., Hendriksen £., Njastad О. Orthogonal rational functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

2. Джрбашян M.M. Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности с заданным множеством полюсов //ДАН СССР. 1962. Т. 3. С. 1794 -1798.

3. Лукашов АЛ. Ортогональные рациональные функции на нескольких лугах единичной окружности // Изв. ПАН Армении. Сер. Математика. 2001. Т. 36, №5. С. 52-61.

4. Peherstorfer F. On Bernstein-Szcgo orthogonal polynomials on several intervals // SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol. 21, № 2. P. 461 - 482.

УДК 519.83

В. В. Розен

СИТУАЦИИ К-РАВНОВЕСИЯ В ИГРАХ С КВАЗИУПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

1. Игра п лиц с квазиупорядоченными исходами задаётся в виде системы

G =<N,(A'i)ieN, А,(со,-)ieN,F >, (1)

где N ={1,...,л} - множество игроков, Х{ - множество стратегий игрока /, А - множество исходов, со,- - отношение квазипорядка, выражающее предпочтения игрока /', F : [J^, —> А - функция реализации. Всякое непустое

¿6/V

подмножество S с. N называется коалицией в игре G. Для произвольной коалиции S определим множество её стратегий Xs и отношение предпочтения <в5 в виде

*5 = П*^ = ГК- (2)

ieS ieS

Пусть К с. 2n - некоторое семейство коалиций.

Определение 1. Ситуация а0 е = X называется ситуацией

i<=N

К-равновесия, если ни у какой коалиции SeK не существует такой стратегии х5 е Xs, при которой

F(*°||*s)>"' F(x°).

Ситуация АГ-равновесия, при которой K~2N, называется ситуацией сильного равновесия. Как известно, в играх численными выигрышами си-