CC BY
17
В. В. Розен
УДК 519.83
СИТУАЦИИ ОБОБЩЁННОГО РАВНОВЕСИЯ В ИГРАХ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
1. Целью данной статьи является введение одного обобщения понятия равновесия - обобщённого равновесия для игр с отношениями предпочтения и нахождение достаточных условий его реализуемости. Важным является то обстоятельство, что, в отличие от равновесия, обобщённое равновесие реализуется в играх с конечными множествами стратегий игроков.
Игра п лиц с отношениями предпочтения игроков может быть задана в виде
G=<N,(Xi)isN,A,(ai)ieN,F>, (1)
где N = {1,...,«} - множество игроков, Xi - множество стратегий игрока i,
А - множество исходов, со, - бинарное отношение на А, выражающее
предпочтения игрока г, F: -» А - функция реализации. Множество
/еЛ;
XN = ]~[ Xj называется множеством ситуаций в игре G, Для произ-
ieN
вольной коалиции S с: N множество её стратегий Xs и отношение предпочтения со задаются равенствами
Хх = П*,, ffls = fK- (2)
ieS ieS
Стратегия xs e Xs называется условным возражением коалиции S на ситуацию xeXN, если F(x|| xs) >ш-? F(x) (здесь >mi есть строгая часть отношения со [1]). Заметим, что условное возражение будет действенным при условии, что игроки из N \ S не меняют своих стратегий.
Определение 1. Пусть К — некоторое семейство коалиций. Ситуация xeXN называется ситуацией К -равновесия, если ни у одной коалиции S е К нет условных возражений на ситуацию х .
Ситуация К -равновесия х является устойчивой в следующем смысле: для всякой коалиции S е К любое её отклонение от первоначально выбранной стратегии приводит к исходу, который не является для неё более предпочтительным по её отношению предпочтения, чем исход в ситуации X.
Понятие ситуации К -равновесия может быть введено следующим образом. Стратегия xseXs называется возражением коалиции ,S на ситуацию х е XN , если для любой стратегии е Xвыполняется условие
Пх).
Определение 2. Ситуация хеХЛ, называется ситуацией обобщенного ^--равновесия, если ни у одной коалиции ЗеК нет возражений на ситуацию х,
Поскольку возражение коалиции 5 на ситуацию х есть также условное возражение коалиции 5 на эту ситуацию, отсутствие условных возражений влечёт отсутствие возражений, поэтому ситуация К -равновесия является также ситуацией обобщённого К -равновесия. Устойчивость обобщённого равновесия является более слабой, чем устойчивость равновесия. Действительно, при отклонении коалиции 5 от первоначально выбранной стратегии в ситуации обобщённого равновесия х дополнительная коалиция может выбрать «стратегию наказания» так, чтобы получающийся исход Р(х8,ум\$) не являлся более предпочтительным для коалиции 5 по её отношению предпочтения, чем первоначальный исход F(x). В то же время в ситуации равновесия «наказание отступника» происходит автоматически, то есть при бездействии дополнительной коалиции.
Замечание. Пусть Г =< ./У,(ЛТ,-)(еЛг,(и,-)/!ЕЛ. > - игра «лиц с функциями выигрыша игроков. Игру Г можно рассматривать как игру с отношениями предпочтения, полагая для любых двух ситуаций х,у е Х^
х<ш' у <=> и,,•(*)< и¡{у)
(здесь множество исходов совпадает с множеством ситуаций и функция реализации является тождественной). При использовании правила согласования предпочтений коалиции 5 в виде (2) условие д: с™5 у будет равносильно системе неравенств и,-(х) < (/ е 5 ), причём хотя бы одно из этих неравенств должно выполняться как строгое. В этом случае ситуация х е Xр, будет ситуацией обобщённого равновесия для всех коалиций 5 с N тогда и только тогда, когда она принадлежит а - ядру игры Г [2].
2. Как указывалось выше, устойчивость при обобщённом равновесии является более слабой, чем устойчивость при равновесии. Однако реализуемость обобщённого равновесия проявляется в более широких классах игр, чем реализуемость равновесия. Следующая теорема даёт достаточное условие для реализуемости обобщённого равновесия в классе игр с ква-зиупорядоченными исходами.
ТЕОРЕМА. Пусть С - игра с квазиупорядоченными исходами вида (1), в которой для каждого ¡'е N квазиупорядоченное множество < /¡до, > удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (ОВЦ). Тогда для любой системы К, состоящей из попарно не пересекающихся коалиций, существует ситуация обобщенного К -равновесия.
Доказательство. Для произвольной коалиции ХсЛ1 обозначим через В(Я) множество исходов в ситуациях, на которые коалиция 5 имеет возражения. Положим К0 = {5 е К :5(5) * 0}. Из выполнимости условия ОВЦ для всех квазиупорядоченны* множеств <А,а, > (/ е /V) следует выполнимость условия ОВЦ для каждого квазиупорядоченного множества <Л,со5>, где 5 с N. Поэтому для каждой коалиции 5еАГ0 в непустом подмножестве В(Б) существует максимальный относительно квазипорядка сох элемент а5. Так как а$-е В(8), то найдётся такая стратегия х" е Х5, для которой /•"(х||х°)>Ш5' при любой ситуации хеПусть х° - ситуация, проекция которой на Х5 есть х® при всех 5 е К0 (указанная ситуация существует ввиду того, что коалиции из К0 попарно не пересекаются). Тогда для всех будет выполнено F(x || х°) >(°5 Ввиду максимальности элемента а5 в Б(5) получаем, что то есть на ситуацию х° ни одна коалиция из К0 не имеет возражений. А так как для 51 е АГ \ К0 выполняется 5(5)=0, то нет ситуаций, на которые имеют возражения коалиции из 51 е К \ К0. Таким образом, ни одна коалиция из
К не имеет возражений на ситуацию х°, то есть х° - ситуация обобщенного А"-равновесия. Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ 1. Всякая игра с квазиупорядоченными исходами с конечными множествами стратегий игроков имеет ситуацию обобщённого К -равновесия, где К — система попарно не пересекающихся коалиций.
Действительно, оставляя в игре только реализуемые исходы, получаем игру с конечным множеством исходов, для которой условия ОВЦ будут выполнены.
СЛЕДСТВИЕ 2. В условиях теоремы игра С имеет индивидуально рациональную ситуацию, то есть ситуацию, на которую ни один игрок не имеет возражений.
Действительно, отдельно взятые игроки составляют систему попарно не пересекающихся коалиций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Розен В. В. Цель - оптимальность - решение. М.; Радио и связь, 1982.
2. Мулен Э. Теория игр. М.: Мир. 1985.
