CC BY
12
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Разумовская Е.В., Тимофеев В. Г. О функциях, полигармонических в слое // Математика, Механика: сб науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С. 101-104.
2, Тимофеев В.Г. Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. (¡70 089.'
3. Привалов И.И. Субгармонические функции. М,: Глав. ред. техн.-теорет. лит., 1937.
4. Привалов П., Пчелин Б. К общей теории полигармонических функций // Мат. сб. 1937. Т. 2(44), № 4. С. 745-758.
УДК 519. 83
В.В. Розен
УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ БАЛАНСОВОЙ ПАРЫ
ВЕКТОРОВ
В работе [1] показано, что для конечной игры двух игроков с упорядоченными исходами нахождение ее ситуаций равновесия по Нэшу сводится к нахождению сбалансированных подматриц ее функции реализации и балансовых векторов этих подматриц. Здесь мы даем ответ на вопрос, при каких условиях сбалансированная матрица имеет единственную пару балансовых векторов. Основным результатом статьи является теорема 2. Введем вначале ряд определений и предварительных результатов, доказательства которых мы опускаем.
Матрица М формата т х п над конечным множеством А рассматривается как отображение ^: I х J ^ А, где I = {1,..., т} , J = = {1,...,п} (т,п > 2), причем = А Обозначим через Sm и
стандартные симплексы т и п-мерных векторов с положительными компонентами. Для х £ , у £ а £ А полагаем
Р(х;у)(а)= ^ хг • Уз.
^ (г,з) = а
М
существуют такие векторы х £ , у £ 5*, что при любых % £ I, ] £ J, а £ А
Р(г,у)(а) = )(а).
При этом пара (х,у) называется бала,псовой парой векторов данной матрицы. Назовем вектор х = (х1,... ,хт) £ строчным балансовым
вектором, матрицы М, если при любом а € А для всех jl,j2 € <1 имеет место
Е(х,л)(а) = Е(х,П)(а).
Двойственно определяется столбцовый балансовый вектор. Лемма 1. Для того чтобы пара векторов (х,у) € Бт х БП была
М
чтобы х был ее строчным балансовым вектором, а у столбцовым балансовым вектором.
Напомним понятие сбалансированного покрытия. Пусть Е -произвольное множество. Покрытие (Е1,...,Ек) множеств а Е называется сбалансированным [2], если существует такой вектор с положительными компонентами Л = (А1,..., Ак), что для люб ого е € Е имеет место
£ А, = 1.
в£Е8
При этом вектор Л называется репрезентативным вектором данного покрытия.
Лемма 2. Сбалансированное покрытие (Е1,...,Ек) множест-Е
тогда, когда система характеристических векторов (х(Е1),... , х(Ек)) линейно независима.
Рассмотрим при фиксированном а € А семейство множеств (Тга)г€/, где Та = ^ € J: Е(г^) = а}.
Лемма 3. Пусть х = (х1,...,хт) € - строчный балансовый вектор сбалансированной матрицы М. Положим для г = 1,... ,т
Аа = хг г = д(а),
где д(а) = Е(х^1 )(а) = ... = Е(х^п)(а). Тогда, семейство подмножеств (Та)г€1 образует сбалансированное покрытие множества 3, причем, вектор Аа = (Аа)г€1 является репрезентативным вектором этого покрытия.
Установим теперь следующий результат.
Теорема 1. Для сбалансированной матрицы М над множеством А следующие условия эквивалентны: М
а € А
(х(Та),... , х(тт)) линейно независима;
3. При, некотором а* € А система характеристических векторов (х(Та),... , х(Т0а )) линейно независима.
Доказательство
1 ^ 2. Зафиксируем а £ Л. По лемме 3 система множеств (Та,... ,Тт) образует сбалансированное покрытие множества </. Пусть Л = (Л 1,..., Ато) и Л' = (Л1,..., Л'т) - репрезентативные векторы этого сбалансированного покрытия. Рассмотрим векторы х = (х 1,...,хт) и
'У*' - ('Г*' *у' ^ 1ПТТА
х — (х1,...,хт)? 1АС
Лг ^ Л'
х 7. *-<т —, X =
Ет л 5 чг-^т л/ •
5=1 Л 2^5 = 1 Л5
Непосредственно проверяется, что векторы х и х' являются строчными балансовыми векторами матрицы М. По условию 1 получаем х = х', т.е. для всех г £ I
Лг Лг
Ет л \ / '
5 = 1 Л 2^5 = 1 Л5
откуда Лг = кЛ' (г £ I), где к - некоторая константа. Зафиксируем произвольно ¿0 £ J. По определению сбалансированного покрытия имеем:
1 = Е Лг = Е кЛ'г = к Е Л' = к,
откуда к = 1 и Лг = Л'. Таким образом, сбалансированное покрытие имеет единственный репрезентативный вектор, и по лемме 2 система характеристических векторов (х(Т"),... , х(Та)) линейно независима.
Импликация 2 ^ 3 очевидна. Покажем импликацию 3 ^ 1. Предположим, что при некотором а* £ Л система характеристических векторов (х(Т"*),..., х(Та*)) линейно независима. Пусть х' =
= (х1,...,хт) и х'' = (х",... , х'4) - строчные балансовые векторы М Л' Л''
х' х'' Л' _ г Л'' _ г
г = д(а*), г = д(а*),
являются репрезентативными векторами сбалансированного покрытия (Та,..., Та). С учетом линейной независимости системы
Л' = Л''
' ''
(Л; - (Л; .
Теорема доказана.
Из теоремы 1 и двойственного ей утверждения следует, что сбалансированная матрица, имеющая единственную пару балансовых
векторов, должна быть квадратной. В самом деле, рассмотрим при некотором а € А матрицу х(Ма) = (5%;где
1, если Е(г^) = а, 0, если Е(г^) = а.
х(Ма)
(х(Та),...,х(Тт))• По теореме 1 эти векторы линейно независимы, откуда т = г, где г = гапдх(Ма). Двойственно выполняется п = г, откуда т = п. На основании леммы 1 и теоремы 1 имеем следующий основной результат.
М
эквивалентны между собой: М
2) Матрица М является квадратной и ВеЬ(х(Ма)) = 0 при любом а€А
М Бег(х(Ма )) = 0 при
некотором а* € А.
1. Розен В.В., Панкратова Ю.Н. Ситуации равновесия и сбалансированные покрытия в играх с упорядоченными исходами // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 105-108.
2. Экланд И. Элементы математической экономики. М,: Мир, 1983.
Гиперболическую плоскость Н положительной кривизны определим [1] как область проективной плоскости Р2) внешнюю относительно некоторой овальной линии 7, называемой абсолютом. Внутренняя область относительно абсолюта, как известно, является полной плоскостью Лобачевского. Геометрия плоскости Н положительной кривизны 1/р2 может быть также реализована в псевдоевклидовом пространстве Я3 па сфере действительного радиуса р с отождествленными диаметрально противоположными точками.
Отличием плоскости Н от плоскостей постоянной кривизны в смысле [2] (евклидовой Я2, сферической Б2 и Лобачевского А2) является
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
УДК [514.133+514.174.5]
Л.Н. Ромакина
АНАЛОГ МОЗАИКИ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОИ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
