CC BY
46
МЛ ТЕМА ТИЧЕС КИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
УДК 517.5
В. И. Филиппов
СИСТЕМЫ СЖАТИИ И СДВИГОВ ОДНОЙ ФУНКЦИИ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Е*
В данной работе исследуются системы функций, получающиеся из сжатий и сдвигов одной функции в многомерных пространствах Е(р.
Ключевые слова: системы представления, обобщенные пространства Орлича, пространства Е<р, системы сжатий и сдвигов одной функции.
V.I. Filippov
THE SYSTEMS OF TRANSLATES AND DILATES OF ONE FUNCTION IN THE MULTIVARIABLE E* SPACES
The author considers the function systems formed by translates and dilates of one function in the multivariable spaces E<p.
The Key words: representation systems, generalyzed Orlich spaces, E<p spaces, the systems of translates and dilates of one function.
В данной работе исследуются системы функций, получающиеся из сжатий и сдвигов одной функции в многомерных пространствах Еф, а именно системы следующего вида:
\fnM(t)}={(24 - k 2Mm - km)}m 6 N,
n = (n1,...,nm),n 6 N;k = (V-,km),k = 0,1,...,2n-1 -1, t = (ti,...,tm),tj 6 R,i = 1,...,m, (1)
где f(t) > 0, 16 {[0,1]m}, f(t) = 0,11 {[0,1]m}, f(t)6 C{[0,1]”}.
Приведем понятия и утверждения, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Пусть Ф - совокупность четных, конечных, неубывающих на полупрямой [0,^) функций ф (t), таких,
что lim tp(t) = pp«) = «. Всюду в дальнейшем будем по-
t — «
лагать, что для функции ф(0 выполнены следующие условия: р6 Ф, pt) > 0, t > 0, p(0) = 0, p6 C[0, «), а также, что T = {[0,1]"}. Через ф(Ц будем обозначать множество всех тех измеримых на множестве Т функций f(t),
для которых J p(f(t))dt
Если класс д.(Ц пополнить по линейности, то получим множество $*(1-), в котором можно ввести квазинорму ($ -норму) элементов с помощью функцио-
нала
t = inf\и > 0 : jf — jdf < иj
так, что f *(L) ста-
нет F-пространством. Если f(t) и g(t) принадлежат классу y(L), то величину pp(f,g) = Jp((t)-g(t))t условно
T
назовем ф-расстоянием. Последовательность функций \fn}«= из класса p(L) называется сходящейся по р-расстоянию к функции f ер( L), если (f - fn )6 p(L) для n > n0, при некотором n0 6 N и lim pp(f,fn) = 0.
n—« ^
В этом случае из сходимости по р -норме следует сходимость по р -расстоянию для элементов из класса ViL).
Пространство V*(L) в общем случае несепарабельное. Класс v(L) сепарабелен в смысле сходимости по ф-расстоянию тогда и только тогда, когда ф удовлетворяет а -условию (те. pt +1) = O\pt)} t —- « ) [3, с. 15].
♦
♦
Через E обозначим замыкание в <p*(L) множества ¡V,1 Л"-1
inf{|| G0(tX(t)-£ ... £Chf ^(tX(t) |,} = *>0,
1 * * * " 'V'"' ••m •
/1 = 1 L=4m
ограниченных ступенчатых функций.
Пространство Еф является сепарабельным ^пространством. где инфимум берется по множеству {сп „ .
Будем говорить, что функция $ удовлетворяет А2-ус- Это означает, что в этом случае система {^..^} н<е» пол-
ловию, если ) = 0</р()} t . В этом случае если на в Еф. Получили противоречие с условием теоремы.
выполнено А2-условие, то $(Ц = $*(Ц= Е и сходи- Теорема 2. Пусть Щ) еС{[0,1]т}, f( () > 0, I еТ ,
мость по $-норме эквивалентна сходимости по $-рас-
fЦ) = 0, t е Т , где Т = {[0, 1]т}. Если ^ } подсисте-
стоянию [8, с. 53], в противном случае Е$ с $Ц с . ма системы (1), для которой выполнено'условие (2), то
для произвольных
п > 0, т> 0, Д = («1, в') х... X (ат ,вт) с {[0,1]т}, |д|>?,
Е (Е,|| ■ Ц) называется системой представления [4, с. 501] д > 0 М1 е N,..., N е N,
(с.п.) в пространстве Е, если для произвольного эле- к, кт
“ существует сумма У ...У с,...^п...„ (^,...,: такая, что
мента де Е существует ряд уС„У„ такой, что /,=ч 1т=к,
„=1
Система элементов jgn }"= F-пространства [2, с. 81]
lim
Л^"
э -£ скяк
к=1
= о. mes{tє T:0<Х(t)-£ ..£c,..f (t)<^}>Н-п
<1=«1 '" =Лт
Напомним, что ряд £ ’ ...£ " aI I сходится к числу с, , > 0,VI1 = Л^k,,...Im = Л",кт,
Z. ,1 = 1 X Im = 1 ,1...,m 1 m
Б, если для любого £ > 0 найдется „0 е N , что для всех -А -¿а,
, , 0 < > ... > с, , Г „ (М < Дг4(0 V ? е Г;
К, > п0,...,кт > п0 выполняется неравенство: ^ ^ 1<-1-щ ' ЛА' ' ’
к1 X кт
II О ^ к' ^ т II
О — У ... У а, , < £ . „1 „т . .
у '='у т........ У -Ъ,..т<., т(t) 5у;:=,,-Х1:=„.с,..а,.. (t )
Теорема 1. Для того чтобы подсистема {^ „ } сис- '<=^ :=Nm
темы (1) была системой представления в Е необходи- V t е Т, N : „,: ;': к,,..., Nm г „т : ;т : кт.
мо и достаточно, чтобы
У£> 0 У(^ е N,..., Nm е N) 3(к е ^..., кт е N)
Теорема 3. Для того чтобы подсистема {^, ...,„,т}системы (1) была системой представления в Б(Т) в смысле _ _ сходимости почти всюду, необходимо и достаточно, что-
твз^ е Т: у ... у ^ (t1.......^ т) * 0} >£. (2) бы
V £ > 0 V(N1 е N,...,Nm е N) 3(к, е ^..., кт е ^ :
k1 km
Доказательство необходимости. Предположим противное. Тогда существуют п > 0 , ^ е N,..., Nm е N, что для всех к, > ^,...,кт > Nm
к к
mes{t Є T : ... fn n (t1,...,tm) * 0} > 1-^.
Jm TeopeMa 4. Пусть T = {[0,1]m}
mes{t єТ : £ ... £ fn> (tb..., m) = 0} >?.
І1 =W1 Im = Wm '
Следующие утверждения эквивалентны:
1) подсистема {^:,...,Л,т } системы (1) является системой представления в Е$ ;
... у ^ „ (t1,...,tm) = 0}>£. 2) подсистема {^, „ } системы (1) является абсо-
: :1 1 :
Зафиксируем эти Л^,..., Wm . Пусть
Ясно, что mes\Ue}> 0 . Очевидно, что существует функ-
лютной системой представления в E
V ’
ция G0(t)Є EV, такая, что G0(t)Хи,(t) Є EV и условию (2).
¡1-1 Wm-1
C і ‘
' 1...'m
3) подсистема {fn ...,П| } системы (1) удовлетворяет
Замечание. Так как система Фабера-Шаудера явля-
1п(т„ с }{|| G0(t )хи() — у .. у С,... //„' „ (t )Хи. (t) ||$} = ется частным случаем системы типа (1), в одномерном
случае, то из доказательства необходимости теоремы 3, в одномерном случае, и работы Р Зинка [11, с. 525] следует, что условие (2) необходимо и достаточно для
І1 =1 'm=Wm
= S> 0.
Если бы это было не так, то конечномерные систе- «
мы функций были бы системами представления в про- того, чтобы подсистема }=1 системы Фабера-Шауде-
странстве Е но пространство Еф бесконечномерно. Та- ра была системой представления в смысле сходимос-
ким образом, имеем: ти почти всюду в классе всех измеримых, конечных п.в.
к1 к„ на [0,1] функций.
inffc с }^ G0(t)xU (t)- £ ... £ с fn п (tHI } > В работе П.Л. Ульянова [5, с. 38] доказывается, что
L '1... 1... m 1’...’ і" IIV —
система Фабера-Шаудера является с.п. в классах v(L)
♦
♦
в смысле сходимости по ф-расстоянию, а нами исследовались подсистемы системы Фабера-Шаудера в пространствах Е$ [6, с. 79]. Системы сжатий и сдвигов одной функции были рассмотрены в работах [10, с. 18; 9, с. 47]. А в работе [7, с. 1 - 26] предпринят анализ гиперболических вейвлет приближений.
Для более четкого выявления тенденций при распределении рынка труда в последние 20 лет, рассмотренных в работах [1, с.17 - 21; 3, с. 5 - 12], можно применить сжатие образов при разложении по системе сжатий и сдвигов постоянной функции для графиков функций процентного распределения по отраслям. При этом можно рассматривать различные метрики 1-р для определения отклонений.
1. Блинова Т.В., Русановский В.А. Теоретические подходы к исследованию межрегиональных различий российского рынка труда // Вестник СГСЭУ. 2009. № 5.
2. Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967.
3. Ипатов П.Л., Динес В.А., Русановский В.А. Концепт неэкономических факторов в исследованиях процессов раз-
вития национальной экономики // Экономика и управление. 2009. № 3.6.
4. Талалян А.А. Об аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем // Матем. сборник. 1981. Т. 115(157). Вып. 4.
5. Ульянов П.Л. Представление функций рядами // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 2.
6. Филиппов В.И. О подсистемах системы Фабера-Шау-дера в функциональных пространствах // Изв. вузов. Математика. 1991. № 2.
7. DeVore R.A., Temlyakov V.N., Konyagin S.V Hyperbolic wavelet approximation // Constructive Approximation. 1998. T 14. № 1.
8. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces. Berlin; Heidelberg; N.J. Tokyo, 1983. Т 1034.
9. Filippov V.I. On the completeness and other properties of some function systems in Lp, 0<p<^ // Journal of Appr. Theory. 1998. Vol. 94.
10. Filippov V.I., Oswald P Representation in Lp by series of translates and dilates of one function // Journal of Appr. Theory. 1995. Vol. 82. № 1.
11. Zink К. On a theorem of Goffman concerning Schauder series // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 21. № 3.
