Почти всюду сходящиеся ряды по системам, образованным из сжатий и сдвигов одной функции в s(0,1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. И. Филиппов

УДК 517.51

ПОЧТИ ВСЮДУ СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ПО СИСТЕМАМ, ОБРАЗОВАННЫМ ИЗ СЖАТИЙ И СДВИГОВ ОДНОЙ ФУНКЦИИ

В 5(0,1)

Рассматриваются функциональные системы вида

^в>4(0}=М2"'-4 « = 0,1,..., к = 0,1,... ,2" -1, (1)

где у(/)>0, /е(0,1), м/еС(0,1), ф(/)=0, ге(0,1), М«*0' в пространстве 5(0,1) почти всюду конечных измеримых функций.

П. Л. Ульянов [ 1 ] исследовал систему Фабера-Шаудера в классах ср(£) и сформулировал следующую задачу. Для каких других функциональных систем возможно представление в виде ряда элементов классов Ф(¿)? В статье рассматривается эта задача П. Л. Ульянова [1, 2].

Исследуется, является ли данная система функций системой представления в пространстве 5(0,1) в смысле сходимости почти всюду? Полученные результаты рассматриваются в пространстве 5(0,1), а в работе [3] рассматриваются более общие системы, но в пространствах V, 0 < р <оо. В работе [4] получены результаты для подсистем системы Фабера-Шаудера в пространствах Е , а в [5] для подсистем системы Фабера-

Шаудера в смысле сходимости почти всюду. Подсистемы системы Фабера-Шаудера в смысле сходимости по ф-расстоянию рассмотрены в [6]. Заметим, что система Фабера-Шаудера без первых двух элементов является частным случаем системы (1) для исследуемых нами вопросов.

Приведём понятия и утверждения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Следуя А. А. Талаляну [7], дадим

Определение 1. Система элементов {/„ }™=1 ^-пространства где множество Е вещественное [8, с. 36, 81], называется системой представления (с. п.) в пространстве Е, если для произвольного элемента / е Е

00

существует ряд Xе*/* такой, что *=1

Нт

п—>00

/- 2>*Л

= 0,

где {ск} - последовательность действительных чисел.

Определение 2. Система элементов {/„ }™=1 ^-пространства е(е, Ц • ||), где множество Е вещественное, называется системой представления (с. п.) в пространстве Е в смысле сходимости почти всюду (п. в.), если для про-

133

извольного элемента / еЕ существует ряд ^ск/к, где {ск} - последова-

к = 1

тельность действительных чисел, который сходится п. в. к /

Пусть Ф совокупность чётных, конечных, неубывающих на полупрямой [0, оо) функций таких, что для функции <р выполнены условия

ф(/)е Ф, ф(0 = 0, ср(0>0, / >0, ср(г)еС[0,оо). (2)

Через ф(1) будем обозначать множество всех тех измеримых функций /(х) на (ОД), для которых

{ф(/(г)Э<со о

(см, [1], [9, с. 1-5]).

Если / и g принадлежат классу ф(£), то величину 1

Рф(/>&)= условно назовём ф-расстоянием. Последователь-

о

ность функций {/„}™=1 из класса ф(1) называется сходящейся по Ф-расстоянию к функции / еф(£), если (/ -/п)е(р(Ь) для п > п0 при некотором п0е N, и

Нш Р(Д/-/Л) = 0.

л—►<»

Класс ф(£) в общем случае не является линейным. Если класс ф(/,) пополнить по линейности, то получим множество ф*(£), в котором можно ввести квазинорму (ф-норму) элементов с помощью функционала

|/||ф=м|«>0:Ц^Л<«|, /еср'(1), (3)

так, что ф*(/.) станет ^-пространством. В этом случае из сходимости по ф-норме следует сходимость по ф-расстоянию для элементов из класса ф(£) (см. [9]).

Через £ф обозначим замыкание в ф (ь) множества ограниченных ступенчатых функций.

Пространство £ф является сепарабельным ^-пространством (см. [9]).

ТЕОРЕМА 1. Подсистема {фп.^ системы

кд(0}=М2"(-4 « = 0,1,..., ^ = 0,1,...,2" -1,

где ф(/)> 0, г е (0,1), феС(0,1), \|/(г) = 0, I й(0Д), 0 \|/ Ц^ <оо, является системой представления в £ф тогда и только тогда, когда

Уе > О УЛГ е. Зт > N: 134

meslt: °f>

I ' J

Из доказательства теоремы 1 и того, что S(О, l) = £ £ф, следует

феФ

ТЕОРЕМА 2. Подсистема {у,, j3^ системы

к,,*(0)=М2"'-4 " = 0,1,..., к = 0,1,...,2" -1,

где y(i)>0, ?б(0,1), у е C(0,l), v(/)=0,/e(0,l), ОгЦуЦ^ <оо, является системой представления в 5(0, l) в смысле сходимости почти всюду тогда и только тогда, когда

Ve>0 VWe. 3m>N: mes\t: ^„.(t)*о|>1-6.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы <$>(ь)Н Успехи матем. наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 3 - 52.

2 Ульянов П. Л. Замечания о сходимости в среднем // Матем. заметки. 1977. Т 21. №. б. С. 807-816.

3. Filippov V., Oswald P. Representation in V by series of translates and dilates of one function // J. appr. Theory. 1995. Vol. 82. № 1. P. 15 - 29.

4. Фишппов В. И. О подсистемах системы Фабера-Шаудера в пространствах

// Изв. вузов. Сер. Математика. 1991. № 2. С. 78 - 85.

5. Zink R. On a theorem of Goffman concerning Schauder series // Proc. Amer. Math. Soc. 1969 Vol. 21. № 3. P. 523 - 529.

6. Кротов В. Г. Представление измеримых функций по системе Фабера-Шаудера и универсальные ряды // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1977. Т. 41. № 1. С. 215-229.

7. Тапалян А. А. Об аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем //Матем. сб. 1981. Т. 115(157). №4. С. 499-541.

8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир,1967.

9. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces // Lecture Notes in Math. № 1034. Berlin Heiddberg: Springer-Verlag, 1983.

УДК 514.112.4; 511.216

В. Е. Фирстов

ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА, РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ

В статье, исходя из обобщения построений при доказательстве теоремы Пифагора, устанавливается связь между линейными рекуррентными уравнениями и алгебраическими кривыми.

135