CC BY
10
и х(л,(0 непрерывна на множествеЛ^(£)0)г|[0;а]. Следовательно, [1].
Рассмотрим систему (3) на отрезке 1е [а,1] На этом отрезке х(1) удовлетворяет системе, где )= ^(.г,.., д:„ У^ —
- гфМцуС^.у,^,^), и дг(л)(0 непрерывна на множестве Л/"4(Д)п[а;1]. Следовательно, х(1)&Мк ^ ^ [1].
В силу изложенного выше, получаем, что х(1) е М^.йм> 'е[0>1] Обратное утверждение теоремы очевидно.
Функцию «(¿.у,*}*1), определенную равенством (4), назовем функцией, синтезирующей семейство М^ а
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Огнева Е.А. Один класс синтезирующих функций линейных систем с квадратичным критерием качества // Математика Механика: Сб науч тр Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып 2. С. 89 - 92
2 Хромое А П. О синтезирующих функциях линейных дифференциальных систем с квадратичным критерием качества // Теория функций и приближений: Тр 4-й Сарат зимней шк. Саратов, 1990 Ч. I. С. 106 - 112
УДК 517.51
В. И. Филиппов
СИСТЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, В ПРОСТРАНСТВАХ Еф
В 1972 году ПЛ. Ульянов [1] рассмотрел систему Фабера-Шаудера в классах ф(/,) и сформулировал задачу о возможности представления элементов классов ф(Л) по произвольным функциональным системам. В данной статье рассматривается эта задача П Л. Ульянова [1, 2] для пространств при этом исследуются функциональные системы более общие, чем системы вида
к,*(')}=М2П'-4 " = 0,1,..., к = 0,1,...,2" -1, (1)
где ц/еГ°(0,1)
Системы (1) были исследованы в пространствах £ф в работе [3].
Заметим, что система Фабера-Шаудера, без первых двух элементов, является частным случаем системы (1).
В работах [4, 5] представлены результаты для функциональных систем в пространствах //, 0 < р < со, но методы исследований не переносятся на пространства ¿ф.
Приведем понятия и утверждения, которые понадобятся нам в дальнейшем
Для обозначения меры Лебега множества Е будем применять обозначения |£| и mes(E). А Хд(') ~ характеристическая функция множества Е.
Так же как у A.A. Талаляна [6] дадим
Определение 1. Система элементов {f„}n„=t ^-пространства £"(я,||-||) (определение F-пространства [7, с. 81]) называется системой представления (с. п.) в пространстве Е, если для произвольного элемента f е Е суще-
ствует ряд такой, что
= 0,
lim Iе*/* n"HI *=i |
где {ск } - последовательность действительных или комплексных чисел.
Пусть Ф - совокупность чётных, конечных, неубывающих на полупрямой [0,со] функций ф таких, что lim г_>00 ф(д:)= да. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что для функции ф выполнены условия
ф(х)еФ, ф(0)= 0, ф(*)>0 (х > 0), ф(*)еС[0,оо). (2)
Через ф(/,) будем обозначать множество всех тех измеримых функций /(г) на Т, где (см. [1]; [8, с. 1 - 5)])
Т = {а,ЬУ ;= (a,b)x {a,b)x ...х (a,b), - со < a <b <+оо, neN, п раз
для которых
/ф(f{t))dt«*>, / = (/,,i2> ...,/„). т
Если / и g принадлежат классу <p(L), то величину Рф(/. g)= /гф(/ ~~ условно назовём ф - расстоянием
Класс ф(^) в общем случае не является линейным. Если класс ф(^) пополнить по линейности, то получим множество Ф*(^), в котором можно ввести квазинорму (ф-норму) элементов с помощью функционала
|/|9=inf{«>0:J«^^jdKn}, /6Ф*(£), (3)
так что Ф*(1) станет /-'-пространством В этом случае из сходимости по ф-норме следует сходимость по ф-расстоянию для элементов из класса Ф(Л) [8, с. 1-5)]
Через £ф обозначим замыкание в Ф*(/.) множества ограниченных ступенчатых функций. Пространство является сепарабельным
/•'-пространством [8, с. 36].
Будем говорить, что функция ф удовлетворяет Д2 - условию, если ф(2/) = 0{ip(i)}, t—> оо. В этом случае, если выполнено Д2 -условие, то ф(/) = ф'(/) = и сходимость по ф-норме эквивалентна сходимости по Ф-расстоянию, в противном случае, если Д2-условие не выполнено, то /;ф с: ф(/,)с ф*(/,) [8, с. 53] и из сходимости по ф-норме следует сходимость по ф - расстоянию.
Рассмотрим функциональные системы {/*(/)}*= i с удовлетво-
ряющие условиям:
fk(t)> 0, t е Т, Mk=vrai sup fk(t)>0, к = 1,2,... (4)
Пусть (supp/j.). - это проекция носителя supp/t на ось ОХ,, / = 1,2,...,и. Пусть
В'к = vra/sup(supp/t), <с0, А'к = vra/in^supp/^), > -<», ке N, / = 1,2,...,л, a'k=Bi-4, Pi =4. Ы 1,2,...,и, ot=(ai,...,o;), Р*
Лв1и(/>4)->0, ¿->оо, (5)
где diam(Pk) это диаметр множества [9, с. 30] Рк. Обозначим
Wk(X,т) = mes{t е Т: X - т < + < X}, (6)
Мк
где Я > г > О, keN, (akt + /?*)=(«*<! + ..,anktn + Д"). Пусть
Ж(Я,г)= inf Ж*(Я,г) Я2:г>0. (7)
keN
Очевидно, что ^(¿j.r)^ W^.r) при 0 < т < X, ^Х2.
ТЕОРЕМА 1. Пусть система {Д (')}*=! с /°°(7') удовлетворяет условиям (4), (5) и функция И/(Я,г)> 0 при всех Я > г > 0. Тогда для того чтобы система {/к } была системой представления в Ь'ф, необходимо и достаточно, чтобы для любого N б /V выполнялось условие
тез{{ Т\ = ° (8)
к-1^
ТЕОРЕМА 2. Пусть система {/к }с ¿''(0,1), 1 £ р < оо, удовлетворяет условиям:
|/>я|->0, и->оо, |р„|*0; УЛ/е/У /иел{(0,1)\ 0^} = °; /„(/);>о, тивир/, = Л/„ >0, п = 1,2,...
Тогда, если
И^Х, т)>0 УХ>т>0,
Теорема 2 устанавливает связь между теоремой 2 в работе [4] и теоремой 1 данной статьи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ульянов П Л. Представление функций рядами и классы Ф(¿) // Успехи математических наук 1972 Т. 27, № 27. С. 3 - 52
2 Ульянов П Л. Замечания о сходимости в среднем // Мат заметки 1977 Т. 21, №6. С. 806-816.
3. Филиппов В И. Системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной
функции, в пространствах Ер с lim ^^ = 0 // Изв РАН. Сер. Математика 2001 Т 65,
Г-*оО t
№2 С. 187-200.
4 Filippov V. I On the completeness and other properties of some function systems in Lp, 0</j<qo//J. ofappr. theory. 1998 №94 P 42-53.
5. Filippov V /., Oswald P. Representation in Lp by series of translates and dilates of one function // J of appr theory. 1995. Vol 82, № 1 P 15 - 29
6 'Галалян А А Об аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем //Мат сборник 1981. Т. 115 (157), №4. С 499- 541
7 Иосида К Функциональный анализ М Мир, 1967
8 Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces // Lecture Notes in Math Berlin Heidelberg Springer-Verlag, 1983. № 1034
9 Данфорд H, Шварц Дж Т. Линейные операторы. Общая теория М : Изд-во иностр. лит., 1962.
