CC BY
63
meslt: °f>
I ' J
Из доказательства теоремы 1 и того, что S(О, l) = £ £ф, следует
феФ
ТЕОРЕМА 2. Подсистема {у,, j3^ системы
к,,*(0)=М2"'-4 « = 0,1,..., к = 0,1,...,2" -1,
где y(i)>0, ?б(0,1), у еC(0,l), v(/)=0,/e(0,l), ОгЦуЦ^ <оо, является системой представления в 5(0, l) в смысле сходимости почти всюду тогда и только тогда, когда
Ve>0 VWe. 3m>N: mes\t: f>„((f)*oj>l-e.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы <$>(ь)Н Успехи матем. наук. 1972. Т. 27. № 2. С. 3 - 52.
2 Ульянов П. Л. Замечания о сходимости в среднем // Матем. заметки. 1977. Т 21. №. б. С. 807-816.
3. Filippov V., Oswald P. Representation in V by series of translates and dilates of one function // J. appr. Theory. 1995. Vol. 82. № 1. P. 15 - 29.
4. Фишппов В. И. О подсистемах системы Фабера-Шаудера в пространствах
// Изв. вузов. Сер. Математика. 1991. № 2. С. 78 - 85.
5. Zink R. On a theorem of Goffman concerning Schauder series // Proc. Amer. Math. Soc. 1969 Vol. 21. № 3. P. 523 - 529.
6. Кротов В. Г. Представление измеримых функций по системе Фабера-Шаудера и универсальные ряды // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1977. Т. 41. № 1. С. 215-229.
7. Тапалян А. А. Об аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем //Матем. сб. 1981. Т. 115(157). №4. С. 499-541.
8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир,1967.
9. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces // Lecture Notes in Math. № 1034. Berlin Heiddberg: Springer-Verlag, 1983.
УДК 514.112.4; 511.216
В. Е. Фирстов
ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА, РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
В статье, исходя из обобщения построений при доказательстве теоремы Пифагора, устанавливается связь между линейными рекуррентными уравнениями и алгебраическими кривыми.
135
1. Пусть на сторонах ЛАф^х строятся квадраты £>п;£>12;£?1з, подобно тому, как это делал Евклид при доказательстве теоремы Пифагора, и далее реализуется цепочка построений квадратов по схеме
ЛА{ВхСх ->(£„;е,2;&з) (Ои;Оп;Ов) ->...-> (виШОв) ->■■• (1)
так, как показано на рисунке. Сеть квадратов (1) назовем обобщёнными пифагоровыми построениями (ОПП), в которых выделяются шесть серий квадратов: серии £?ц;(2зь---;б2>1,| назовем нечётными, а серии Оя&и;...; 02/, 1 - чётными, где первый индекс определяет шаг ОПП, а второй индекс /=1;2;3 указывает место квадрата в этом шаге (см. рисунок).
В результате доказываются следующие утверждения. ТЕОРЕМА 1 (обобщённая теорема Пифагора). Если А А ¡В, С, - прямоугольный {ZA = 90°), то при ОПП выполняются соотношения
S(Qtt) + S(Qk2) = S(Q0), (2)
где к = 2j -1,7 6 N, S(Qu) - площадь квадрата Qu.
136
ТЕОРЕМА 2. При ОПП соответствующие стороны квадратов одноимённых нечётных и чётных серий образуют рекуррентные последовательности, описываемые уравнениями
и2п+3 = 5«2л+1 ~~ и2п-1> у2(и+2) = 5у2(Л+1) ~ у2л> О)
причём, векторы в уравнениях (3) - сонаправленные;
ы2«-1е{а2П-1;А2П-1;с2л-1}; ч2пь{а2п\Ъ1п\с2п}, и3=4 щ, vi^=5v2.
ТЕОРЕМА 3. При ОПП одноимённые вершины квадратов соответствующих серий (например, А^^.-.^л) располагаются по ветвям соответствующих гипербол.
Например, вершины в базисе (А1А2;А2А3) лежат на ги-
перболе х2+3ху-3у +х-2у=0.
2. Рассмотрим рекуррентное уравнение к-го порядка
а\ип+к-\+ а2ип+к.2+ ... + аки„, (4)
с числовыми коэффициентами ... ; ак. Пусть {ап\}\..:,{апк} - семейство последовательностей, порождённых уравнением (4) с помощью векторов а1(а11;...;а41);...;а4(а11;...;а^) из пространства решений ^ уравнения (4) в базисе (е1;е2;...;ек). В пространстве ^определим вектор-функцию
(5)
¡ = 1 7 = 1
и исследуем её координаты (хп\,...; хпк) в зависимости от выбранных векторов ОС];...;ак и дискриминанта О характеристического уравнения для (4).
Если Г>Ф 0, то члены выбранных последовательностей определяются выражением [1]:
= (6) где а„(а„1;...;аяА);2„(21"-1;...;7^-1);2/,/ = 1;к - корни характеристического уравнения для (4); А: С* —> IVк - линейный оператор с матричными элементами Ау, 1< /;у'< к, определяемыми значениями ап\,...-,апк, 1 <п<к.
Пусть оператор А - невырожденный и а]+а2+...+ак^ \. Тогда для координат гп имеем следующее выражение:
хт = 2>у = X——г—» (7)
;=1 1=1 21 ~1
После обращения (7) и последующих преобразований получаем следующее уравнение алгебраической кривой к-то порядка [2]:
/=1 ;=1 -- Хп
где XI = [(-1)*+1яА] к ■ —-А - определитель матрицы оператора А,
1 Д
Ац - соответствующие алгебраические дополнения для Ац , ^ определяются из системы
7=1
Не вдаваясь в подробности [2], отметим, что случай а\+а2+...+ак = 1 снижает порядок алгебраической кривой (8) на 1. Случай, когда оператор А - вырожденный ранга 0 < $ < к, если применить известную теорему о структуре вырожденного линейного оператора [3], приводит к алгебраической кривой типа (8), но порядка 5.
Анализируя уравнение (8), можно видеть, что для уравнения (4) с рациональными коэффициентами при значениях к \ п получаются рациональные решения и таким образом открывается возможность отыскания диофантовых решений алгебраических уравнений определённого класса с помощью рекуррентных последовательностей.
Случай, когда 0= О, в принципе, рассматривается аналогично, но несколько иначе, так как представление (6) будет иным (см. [2]).
В заключение отметим, что алгебраические образы рекуррентных уравнений (4) при к= 2 - это конические сечения (в зависимости от дискриминанта О), включая вырожденные случаи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1983.
2. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности и их пространственные алгебраические образы. Саратов, 2000. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 10.05.00. № 1352-В00.
3. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.
УДК 517.984
В. А. Халова
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*
В пространстве £2[0,1] рассмотрим оператор вида
= х е [0,1], (1) к = 1
где Ло/ = а, ](х - 0/(0сИ + а2' /(1 - х - *)/(0А, (/.V,) = «А,
0 0 о
■ Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.
