ОБОБЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ФАБЕРА-ШАУДЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ Еϕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.22

ОБОБЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ФАБЕРА-ШАУДЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ Е*

В работе рассматриваются более общие системы функций, чем система Фабера-Шаудера, а именно системы вида

{(0}={{- к)}, п = 1,2,..., к = 0,1,..., 2" - 1,

где > 0, t > 0 , е С[0,1], у(^) = 0, t г [0,1] в пространствах Еф.

Приведем определение системы представления и другие понятия и утверждения, которые понадобятся нам в дальнейшем1.

Определение. Система элементов {хпР-пространства Е (е,|| • ||) называется системой представления (с.п.) в пространстве Е, если для

произвольного элемента х е Е существует ряд ^спхп такой, что

lim

n^™

-1

ckxk

= 0

где {ck } - последовательность действительных чисел2.

Пусть Ф - совокупность четных, конечных, неубывающих на полупрямой [0,™] функций ф(0, таких, что limф^) = ф(™) = ™. Всюду в

t

дальнейшем будем полагать, что для функции ф(0 выполнены следующие условия:

фе Ф, ф(0 > 0, t > 0, ф(0) = 0, фе С[0,™).

Пусть ((, Е,ц) - пространство с мерой3 , т. е. Т- непустое множество, X - некоторая о-алгебра его подмножеств и ц - полная, неравная тождественно нулю, сепарабельная, о-конечная мера.

Всюду в дальнейшем мы полагаем T = [0,1] p,(t) = t.

Через ф(£) будем обозначать множество всех тех ц -измеримых на

множестве Т функций f (t), для которых j ф( (0)ф

< ™ .

Если f (t) и д (t) принадлежат классу ф(£), то величину рф(f,g) = = jф((t) -g(t)) условно назовем ф-расстоянием. Последователь-

T

ность функций {{n из класса ф(Ц называется сходящейся по ф-расстоянию к функции f е ф(Ц, если ( - fn)е ф(1) для n > n0, при некотором n0 е N и lim рф(f, fn) = 0 .

П^™ ф

Класс ф(£) в общем случае не является линейным. Если класс ф(Ц пополнить по линейности, то получим множество ф*(Ц, в котором можно ввести квазинорму (ф-норму) элементов с помощью функционала

inf.u > 0: jф&— |ф< u

* Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ 03-01-00390 и НШ-1295.2003.1.

В.И. Филиппов,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, СГСЭУ

ВЕСТНИК. 2004. №9

n=1

k=1

ф

так, что ф*(Ц станет Р-пространством. В этом случае 4 из сходимости по ф-норме следует сходимость по ф-расстоянию для элементов из класса ф(1).

Пространство ф*(Ц в общем случае несепара-бельное. Класс ф(Ц сепарабелен в смысле сходимости по ф-расстоянию тогда и только тогда, когда ф

удовлетворяем ю-условию (т. е. ф^ +1) = 0{ф(/)}, t

Через Еф обозначим замыкание в ф*(Ц множества ограниченных ступенчатых функций.

Пространство Еф является сепарабельным Р-пространством.

Будем говорить, что функция ф удовлетворяет

Д2-условию, если ф(2t) = 0{ф^)}, t ^ г. В этом случае если выполнено Д-условие, то ф(Ц = ф*(Ц = Еф и сходимость по ф-норме эквивалентна сходимости по ф-расстоянию, в противном случае Е ,сф(1) сф ). Итак, рассмотрим системы вида

{пм (t)}= {{(2nt - к)}, п = 1,2,..., к = 0,1,..., 2" - 1, (1)

где у у) > 0, t > 0, Y(t) е С[0,1] у(0 = 0, t й[0,1]. Исследуем, является ли система (1) системой представления в пространствах Еф. Полученные результаты являются более общими, чем в статье «О подсистемах системы Фабера - Шаудера в функциональных пространствах»6. Имеются работы7, в которых рассматриваются более общие системы, но в пространствах 1 < р < ^.

ТЕОРЕМА 1. Пусть Т = [0,1], = t.

Для того чтобы подсистема {у п/ }} системы (1)

была абсолютной системой представления в Еф , необходимо и достаточно, чтобы

Уе> 0 УМ е N Зт > N:

(2)

тез \: У у П1 ^) * 0+ > 1 -е .

видно, что существует функция е Еф такая, что ^) •%ае (t) е Еф и

П -

{С, }-1

N-1

^) X ^) - Ус, у

, =1

= 5> 0.

Если бы это было не так, то конечномерные системы функций были бы системами представления в пространстве Еф , но пространство Еф бесконечномерно.

Таким образом, имеем

тГ <

{С, }Г=1

^) ХдЕ (t) - У с,у п

> П

{С, }=-1

Ш - У с у п, х а Р)

= 5 > 0

Это означает, что в данном случае система

{у "I }} не полна в Еф. Получили противоречие с условием теоремы.

ЛЕММА 1. Пусть у(0 е С[0,1], у(0 > 0 , t > 0 , у(t) = 0, tй [0,1. Пусть Т = [0,1], = t. Если

{у"I}} подсистема системы (1), для которой выполнено условие (2), то для произвольных

П > 0, т > 0, Д = (а, в) с [0,1], |Д|>г|, Х> 0, N е N

т

существует сумма У с,у П1 (0 такая, что

(4)

тев\ t: 0 < ХХд (0 - Ус,уп, (t) < т [• > |д| - п,

,=N

(5)

Доказательство необходимости. Предположим противное. Тогда существуют е > 0 N е N , что для всех т > N

с, > 0 У , = N, т ,

т

0 < У с,уп , V) <^%дV), У < е [0,1], (6) У с,у п, ^) < У с,у п, (t), t е [0,1], N < п < ] < т. (7)

I=N I=N

Доказательство. Пусть 0 < т < X . Для простоты рассуждений положим д,(V = к уп(0 , где

к=

1

эыр у(t)

Ге[0,1]

. Таким образом, дк (0 < 1 для всех

tе [0,1], к = 1,2,....

тез -: У уП1 (t) = 0+ >е . (3)

Зафиксируем это N. Пусть Лг = \ t: У у П1 (0 = 0 +. Из (3) ясно, что \Лг\ > 0 . Оче-

т1

Назовем сумму У с,уп, , где N1, т1, с,, N <, < т1

I=N1

выбраны определенным образом, пачкой. Элементу g/(t) соответствует элемент уп0,к0(0, где п0 е N, 0 < к0 < 2п0 -1. Назовём множество

Е = к0 , к0 +1,

Е/ = Г : ~2Р° <'' < 2п° + основанием элемента д/(/).

ф

,=1

ф

,=1

ф

, =N

/ =N

Е, П Е] = 0,

Доказательство леммы конструктивное и состоит из построения конечного числа пачек, сумма которых удовлетворяет требованиям леммы.

Построим первую пачку следующим образом. Выберем, исходя из (2), (4), элементы д таким образом, чтобы их основания не пересекались, объединение оснований содержалось в А, и по мере

мало отличалось от |а| .

Возьмём Л1 произвольным. Так как |Е,|^ 0 , из

I ^^

(2) следует, что для п /8 существуют т1 и Л > Л1 такие, что

иеД с а и А-

II ей

и Е

I е а

<п/8,

i-1

где 01 = )|: Л/Ц < I < т1, Е1 с А, Е1 П. и Е,) = 0,

1/=И1

N1-1

и Е, = 0 +.

I=Л

Положим с, = X , I е 01. Для I е 01 с, = 0.

т1

Получим 0 < X с,д, (t) <Х%А (0, V t е [0,1],

0 < с, < X, I = Л1, т1 .

т1

Для функции ^(0 = Хха(0 - Xсд/(0 верно не-

/= Л

равенство твз{{ :0 < G1(t) <т}>(а|-п/4)(т/2; X),

где М (т, X) = твв{{ :0 < t < 1, Х-т<Х-к

Условия (6) и (7) для G1(t) очевидны. Тогда к-я пачка, где к > 2 , строится рекурентно так же, как и первая, т. е. следующим образом.

к-1 тI

Функция Gk-1 (t) = Хха(t) - X (t) ограниче-

I=1 У=Л,-

на на [0, 1] и разрывна не более чем в конечном числе двоично-рациональных точек. Поэтому для функции Gk-1(t) существует ступенчатая функция

Рк-1(0 = XьуХщ (0. Ву П В =0, I * у

у=1

с разрывами в двоично-рациональных точках, такая, что Рк-1(0 < Gk-1(0, V t е [0,1] и 0 < Gk-1(t)- Рк-1(0 <т/2, V t е [0,1]. Мы выбрали Лктаким образом, чтобы

Мк > тк_1, Е < т!п {В|} I > Лк . (8)

1<у <у0

Для п/4к из условия (2) найдем тк, тк > Лк таким образом, чтобы

А-

и Е,

I ей к

:п /4к, . и Е1 !• с А,

-I ейк

(9)

Е, П ЕУ =0, I * у, I, у е

Йк

/ -1

где йк = .I: Мк < I < тк, Е1 с А, Е1 П. иЕ/ + = 0,

/=

Лк-1 I

и Е, =0 +. '=Лк *

Положим сI = Рк-1(0, I е йк , t е Е1 и с = 0 для остальных номеров. Из (9), |Е(11 0, I ^ ^ и того, что Pk-1(t) < Gk^(О для всех tе [0,1], следует, что 0 < сдДО < Gk-1(t), V t е [0,1], Iе йк .

тк

Согласно (9) получаем, что 0 < X сдДО < Gk-1(t),

ЬЛк

t е [0,1]. Тогда

Gk(0 > 0, t е [0,1], к > 1.

к

твэ{ :0 < Gk (t) < т }> Х^у ,

(10) (11)

у=1

где

с1 = (а|-п/2)м(т/2,X),

dУ =

|А|-П/2 - X С

ы

М(т/2, X), у > 2.

Очевидно, что ряд Xdу сходится к |А|-п/2 . у=1

Докажем (11) методом математической индукции. Для к = 1 доказательство следует из построения первой пачки. Пусть (11) верно для к - 1, докажем для

к. Обозначим Ок-1 = ^: 0 < Gk-1(t) < т}.

Из предположения индукции следует, что

к-1

|Ок-1| > XСу . Рассмотрим подмножество Ак-1 у=1

множества Ок-1, такое, что Ак-1 = т1п{(а, t) П Цм},

I е А

к-1

|Ак= Xd¡. Очевидно, что М(т, X-!) > М(т, X2), если

у=1

0 <т ^ <X2. Так как 0 < Рк-1(0 < X, t е [0,1], то

тк

твв: 0 < t < 1, Рк-1(?) -т/2 < Xс,д,(t) <

/=Лк

, Рк-1 (01 > (( - п/2 - |Ак-1)(т /2, X).

Следовательно, mes{t : 0 < Gk(t) < т}> <| t : 0 <

m )

< Gk-^(t) - y c,g,(t) <т + > + (д|-п/2-

l=Nk

-\Ак-1 )М(т/2, X) = Уdj .

Г j=1

Так как ряд Уdj сходится к |д| - п / 2 , то найдет-j=1 к ся номер j0, что для всех к > j0 ydj• > |Д|-п. В

j=1

силу того, что Ej IЕ/ = 0, у * /, /, у е Ок , справед-

ливо У сд/ (t) < У сд, ^), Nk < п <, < тк , гд е

/=Nk

t е [0,1], тогда получаем (11) и (10).

Замечание 1. При выполнении условий леммы 1 получаем (5) - (7) и для любого X < 0 . Доказательство аналогично.

ЛЕММА 2. Для произвольных Хе Я, Е с {0,1] квазинорма пространства Еф удовлетворяет условию

1^0« ххе « А Ф =

Доказательство достаточности теоремы 1. Из теоремы Лузина следует, что для произвольных f е Еф и е> 0 существует еС[01] такая, что

Г -1 Ф< 4, FФ< 2

mes{{ : F(t) = f(t)}> 1 - 4 ■ f - F\[p < 4 .

(13)

Для всякой непрерывной функции найдется ступенчатая функция такая, что

F (t) - S(t)| < 4, t G [0,1],

If - S(t)|| Ф< f .

(14)

(15)

y \c,g, (t )|

< llS1+(t A ф , n 1

N1 < n < m1. (19)

Аналогично и для Э., (^)

т\

Э- (t) - У сд, ^)

y |c,g, (t)|

l=N

S (t < Ф ,

(20)

(21)

m1 < N1 < n < m1,

mes. t :

S; (t) - yC|g, (t)

e I e > — + < —

41 4

(22)

Из (13), (14), (17) и (22) следует, что

mes. t : f(t) - y cg, (t)

l=N1

Из (20), (18), (15) получаем

m1

f - y cgi

> e + < e .

(23)

< e.

(24)

A из (16), (19) и (21) получаем

n m1

y M < y Ml < 21 SI ф < 31 fl L

i = n ф i=n1 ф

Тогда

(25) N < п < т}. Построим по индукции числа

N1 = п1 < т1 < п1 < т1 < ... < пк < тк < п1 < тЦ <..., функции Эк (/) = Э+ (/) - Э,- (/) и суммы

11Э^ )11 ф< 31 ф. (16)

Представим Э(0 в виде Э(/) = Э+ (/) -Э1-(/), где ,=„к ,=п

такие, что

k k k yc,g, = yc,g,- ycigi

Э = 15(0, S(t) > 0, ) = ^), Э) < 0, 1 -0, S(t) < 0, 1 - 0, ЭЦ) > 0. Из лемм 1 и 2 следует, что можно построить по-

линомы по подсистеме {} такие, что

k mj f - yycigi

j = i=n,

< ——, k > 2, 2k

(26)

(27)

mes.t :

m1

S-+ (t) - y cgi (t )

i=n

e I e >- + <-, 4I 4

m1

S-+ (t) - y cigi (t)

i=n

(17)

(18)

y lcigi

i=nk

< 2 SJ ф <3

mk

y M

i =nk

о e 1

< П k < П < m1;

k-1 mj

f - yycigi

j=1 i=n,

i =N

Ф

e

<

4

i = N

Ф

Ф

i=N

m

i =N

Ф

i= n

k

Ф

<

Ф

Ф

e

<

4

Ф

mes

t :

f (t ) - ZZ'cg (t )

J=1 l=n ,

(29) - Z a,vn, (t)

Тогда для любого п > т} найдется к > 2 такое, что, пк < п < т] и из (24), (26)-(28) следует, что

n f - Z agi < k -1 m1 f - ZZc,g, + n Z ag> < 2 k -1 +

,=N1 Ф j =1 , =n j Ф ,=nk Ф

+ 3 —к~~г ^ 0,

2к-1 п^^ ^

к тому же из (25), (28) следует, что ряд ^о,д, сходится абсолютно. '="1 Действительно,

n k-1 m 1 n

Z M < Z Z M/l + Z M/l < 3|f| 1ф +

J=1 Ф ,=ni Ф ,=nk Ф

что go(t)хд. (t)е S[0,1] и {f mes .t :

- Z a,vn, (t) X д. (t)

{с, }-1

ф ol = 8 > 0.

go(t ) -

Тогда будем иметь Inf mes. t :

{C, }Г=1 I

g o(t )x д. (t ) -

,=1 N-1

ф 0+ > Inf mes .t :

I {с, }N=11 I

go(t ) -

- Z a, V n, (t ) X д. (t )

,=1

ф0 + = 8 >0.

Таким образом, получаем, что система V п, }} неполна в 5[0,1] в смысле сходимости почти всюду. Получили противоречие с условием теоремы. Доказательство достаточности теоремы 2. Так

как Э[0,1] = ^Еф , то из (23), (29) получаем, что

феФ

(30)

f (t ) = lim S (t )

k ^r mk

почти всюду.

+ + 3 < 9'«>, для всех п -

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы подсистема {уп } системы (1) была системой представления в S[0,1] в смысле сходимости, почти всюду необходимо и достаточно, чтобы

Ve> 0 V N е N 3 m > N : mes jt : Z у„, (t) ф 0, > > 1-е.

Доказательство необходимости. Предположим противное. Тогда существуют е > 0 , N е N , что для

всех m > N mes jf : Z ¥n, (t) = 0** > е.

Зафиксируем это N. Пусть

Ае = if : Z ¥ n, (t) = 0 + > е . Ясно, что Ае > 0 . Оче-

видно, что существует функция g0(t) е S[0,1] такая,

Если бы это было не так, то конечномерные системы функций были бы системами представления в пространстве 5[0,1] в смысле сходимости п.в. Но пространство 5[0,1] бесконечномерно.

Из построения суммы Z^g (t) следует, что в

/= пк

каждой точке t е [0,1] все слагаемые в сумме имеют один и тот же знак (зависящий от точки), поэтому тт^АХ Sm,(t)|< Sm (t) < max ^ S^)]

при m-_1 < m < m,1, а это и означает вместе с (30), что f(t) = lim Sm (t) почти всюду.

Следствие 1. Доказывая достаточное условие теоремы 1, кроме того получили, что построенный

ряд Zc/9/ сходится еще почти всюду к данной

i=i

функции f(t).

ТЕОРЕМА 3. Пусть T = [0,1], ^(t) = t. Следующие утверждения эквивалентны:

1) подсистема {у ni }} системы (1) является системой представления в Еф ;

2) подсистема {\|/n/ }} системы (1) является абсолютной системой представления в Еф ;

3) подсистема {|„ } системы (1) удовлетворяет условию (2).

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что (3) (1) и (3) ^ (2), а из определения с.п. и а.с.п. получаем, что (2) ^ (1).

Замечание 1. Так как система Фабера-Шаудера является частным случаем системы типа (1), то из доказательства необходимости теоремы 2 и работы Зинка8 следует, что условие (2) необходимо и достаточно для того, чтобы подсистема { }}} системы

Фабера-Шаудера была системой представления в смысле сходимости почти всюду в классе всех измеримых, конечных п.в. на [0,1] функций.

Замечание 2. Система Фабера-Шаудера является с.п. в классах в смысле сходимости по ф-рас-

е

е

>

<

k -1

k-1

2

2

m

=N

, =1

стоянию9. А в работе Кротова рассматривались подсистемы системы Фабера-Шаудера в классах ф(Ц в смысле сходимости по ф-расстоянию10.

1 См.: Талалян A.A. Об аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем // Матем. сборник. 1981. Т. 115 (157). Вып. 4. С. 499 - 541.

2 См.: Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977; Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967.

3 См.: Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Spaces. Berlin; Heidelberg; N.J.; Tokyo, 1983. Т.1034.

4 См.: Там же.

5 См.: Ульянов П.Л. Представление функций рядами // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 2. С. 3 - 52.

6 См.: Филиппов В.И. О подсистемах системы Фабе-ра-Шаудера в функциональных пространствах// Изв. вузов. Математика. 1991. № 2. С. 78 - 85.

7 См.: Filippov V.I., Oswald P. Representation in Lp by series of translates and dilates of one function // J. appr. theory. 1995. Vol. 82. № 1. P. 15 - 29; Filippov V.I. On the completeness and other properties of some function systems in Lp, 0< p < ~ // J. appr. theory. 1998. Vol. 94. P. 42 - 53.

8 См.: Zink K. On a theorem of Goffman concerning Schauder series// Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 21. № 3. P 523 -529.

9 См.: Ульянов П.Л. Указ. соч.

10 См.: Кротов В.Г. Представление измеримых функций по системе Фабера-Шаудера и универсальные ряды // Изв. АН СССР Сер. Математика. 1977. Т. 41, № 1. С. 215 - 229.