CC BY
34
Библиографический список
1. Shisha O. Monotone approximation // Pacific J. Math. 1965. V. 15, № 2. P. 667-671.
2. Lorentz G, Zeller K. Monotone approximation by algebraic polynomials // Trans. Amer. Soc. 1970. V. 149, № 1. P. 1-18.
3. Шведов А. Комонотонная полиномиальная аппроксимация функций // Докл. Акад. наук СССР. 1980. Т. 250, № 1. С. 39-42.
4. Newman D.J. Efficient comonotone approximation // J. Approx. Theory. 1979. V. 25. P. 189-192.
5. Beatson R.K., Leviatan D. On comonotone approximation // Canad. Math. Bull. 1983. V. 26. P. 220224.
6. Kolmogorov A.N. Uber die besste annaherung von funktionen einer gegeben funktionklassen // Ann. of Math. 1936. V. 37. P. 107-110.
7. Коновалов В.Н. Оценки диаметров типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических функций // Мат. заметки. 1984. V. 35. P. 369-380.
8. Konovalov V.N., Leviatan D. Shape-preserving widths
УДК 517.51
УСЛОВИЯ БАЗИСНОСТИ СИСТЕМ СЖАТИЙ И СДВИГОВ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Lp[0,1]
П.А. Терехин
Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: terekhinpa@info.sgu.ru
Рассматривается система сжатий и сдвигов функции (или семейство функций-всплесков на отрезке) в пространствах Лебега. Указан явный вид биортогонально сопряженной системы. Установлена теорема равносходимости биортогонального ряда по системе всплесков и ряда Фурье-Хаара.
of weighted Sobolev-type classes of positive, monotone and convex functions on finite interval // Constr. Approx. 2002. V. 19, № 1. P. 23-58.
9. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, № 3. С. 81-120.
10. F.J. Munoz Delgado V. Ramirez-Gonzdlez D. C.-M. Qualitative Korovkin-type results on conservative approximation // J. of Approx. Theory. 1998. V. 98. P. 2358.
11. Sidorov S.P. On the order of approximation by linear shape preserving operators of finite rank // East J. on Approx. 2001. V. 7, № 1. P. 1-8.
12. Виденский В.С. Об одном точном неравенстве для линейных положительных операторов конечного ранга // Докл. АН ТаджССР. 1981. Т. 24, № 12. С. 715717.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.
Basis Conditions for Systems of Translates and Dilates of Functions in Lp-Spaces
P.A. Terekhin
We consider a family of translates and dilates of function (or in other words family of wavelets on finite interval) in Lebesgue spaces. The explicit expressions for biorthogonal family are given. The theorem of equiconvergence for biorthogonal wavelets series and Fourier—Haar series is established.
Пусть p є [1, œ) и функция ^(t), t Є R, удовлетворяет условиям:
-і
supp р С [0,1], р Є Lp[0, 1], j p(t) dt = 0
0
Системой сжатий и сдвигов функции р называется система функций
ро(£) = 1, фп(£) = рк,і(£) = 2к/2р(2кг — і), где п = 2к + і, к > 0, 0 < і < 2к — 1. Для функции
х(г) Л 1 г е [°-1/2)
х(г) 1 —і, г е [1/2,1),
система сжатий и сдвигов {%п}^=0 является системой Хаара. Известно, что система Хаара образует базис пространства Ьр[0,1], 1 < р < ж. В данной работе решается следующая задача: найти условия на порождающую функцию р, при выполнении которых система сжатий и сдвигов {рп}^=0 этой функции образует базис пространства Ьр[0,1], 1 < р < ж.
Определим классы функций Фр(ф, Л), в терминах которых решается поставленная задача. Пусть
1 < р < ж, Л = {Ак}%==1 — последовательность неотрицательных чисел и ф е Ьр[0,1] — некоторая функция, система сжатий и сдвигов которой образует базис пространства Ьр[0,1] (например, функция
© П.А. Терехин, 2007
39
Хаара х). Скажем, что функция р е £р[0,1] принадлежит классу Фр(0, Л), если ее разложение по системе сжатий и сдвигов функции 0 имеет вид
œ 2*-1
с' j 0k,j
P = 0 + ck,j0k
k=1 j=0
и коэффициенты этого разложения удовлетворяют условию
/2*-1 \ 1/Р
2k(1/2-1/pM Х0 |ck,j |pj < Ak, k = 1, 2,...
При Ak = M2-ak, M > 0, a > 0, класс Фр(0, Л) будем обозначать Ф^(0, M).
Условимся о следующих обозначениях: D = {0,1} — множество из двух элементов 0 и 1;
Dk = D х ... х D — декартова k-я степень множества D; Dœ = Uk=0 Dk — семейство всех конечных
последовательностей a = (a1 ,...,ak), состоящих из нулей и единиц (включая при k = 0 пустую
последовательность); |a| — длина последовательности a е Dœ, т.е. |a| = k, если a = (a1 ,...,ak),
длину пустой последовательности полагаем равной нулю; a^ — конкатенация последовательностей
a, в е Dœ, если a = (a15..., ak) и в = (в1,..., вг), то a^ = (a1,..., ak, в1,..., А).
k
Пусть n = 2k + j, k > 0, 0 < j < 2k — 1 и j = av2k-v — двоичное разложение. При указанном
V=1
соответствии натурального числа п, упорядоченной пары (к, ]) и набора а = («1,..., ак) е будем
полагать Сп Ск,^' с(а1? ... ? ак ) са •
Теперь, по семейству коэффициентов Ск^ разложения функции р по системе сжатий и сдвигов функции 0 определим другое числовое семейство ск ^ посредством рекуррентных соотношений
к
^с(«1,...,а^ )с*(а^+1 ,...,«к) = 0, к = 1, 2,..., (1)
V=0
причем для пустой последовательности а полагаем са = с^ = 1.
Лемма 1. Пусть (1,0а}аео^ — биортогонально сопряженная система к системе сжатий и сдвигов функции 0. Для а = (а1,..., ак) е положим
k
= P*(a1,... ,ak) = ^2 с*(av+1,... ,ak)0*(a1,... ,av).
(av -
v=0
Тогда система (1,ра}аев~ является биортогонально сопряженной к системе сжатий и сдвигов функции р.
Доказательство. Пусть а, в е , |а| = к, |в| = 1. Вычислим
(ра > рв > = X!с* (а^+ь... ’ ак )(0* (а1>... > ^). р(в1,..., а )>.
V=0
Заметим, что
<0*(аь...,а*),р(в1 .....в,)> = { О0;'р>' ес™ —
0, во всех остальных случаях.
Уравнение (а1,..., аV) = вт разрешимо относительно 7 лишь в том случае, если а1 = в1, • • •, а, = в,. При этом 1 < V и а,+1 = 7ь .. ., аV = 7V—. Так как (0*, р> = с7, то окончательно находим
к
(ра с* (av+1,...,ak )c(ai+1 ,...,av ).
V = l
Применяя рекурентные соотношения (1) с заменой (а1, ...,ак) на (а,+1,...,ак), получаем, что (ра, рв> = 0 при к = 1. Если же к = 1, то (ра, рв> = ^ав. Лемма доказана. □
ОО ОО
Обозначим Л(г) = 1 — ^ Лкгк, д(г) = = 1 + ^ Дк^к, где числовая последовательность
к=1
к = 1
к —1
(дк}О=1 определяется рекуррентными соотношениями Дк = Лк + ^ Лk-V^, к = 1, 2,.
V = 1
Лемма 2. Справедливо неравенство
2к — 1
1/р
2к(1/2—1/р) ( ^ |ск,. |р | ^, к = 1, 2,...
і=о
Доказательство. Для |а| = к = 1 имеем са = — са. Поэтому
1/р
1/р
21/2—1/р | £ |са|р | = 21/2—1/р | ^ |са|р | < А1 = щ
|а|=1
|а|=1
Предположим, что (2) уже доказано для всех V < к. Для |а| = к имеем
к—1
— Са = Са + ^ ] с(«1, . . . , «V)с*(а^+1, • • • , ^к)
V = 1
(2)
откуда, согласно свойствам нормы, находим
1/р
1/р
2к(1/2—1/р) | ^ |с* |р | < 2к(1/2—:1/р) | ^ |еа|р ] +
1а|=к
к—1
|а|=к
1/р
к—1
+2к(1/2 1/р) ^ ^ |с(«1, ..., аv )c*(аv+l, ...,ак )|р < Лк + ^ Лv = Дк.
V=1 у|а|=к у V=1
Неравенство (2) установлено по индукции. Лемма доказана. □
Пусть б!0/ = (/, 1>1 + ^ (/,0а>0а — частная сумма порядка 2П ряда Фурье функции / по
|а|<п
базису (1,0а}аею^ и £п/ = (/, 1>1+ ^ (/, ра>ра — частная сумма порядка 2П биортогонального
|а| <п
разложения функции / по системе (1,ра}аео^. Пусть, далее, Еп = ||0 — £п0||р (п = 1,2,...)
— уклонение частных сумм биортогонального разложения от функции 0 в метрике пространства ¿р [0,1].
О
Теорема 1 (о равносходимости). Если ^ Еп < ж, то
П = 1
11ш ||Я<°>/ — 5„/||р = 0
и, следовательно, система (рп}ОО=0 сжатий и сдвигов функции р является базисом пространства
¿р [0,1].
Доказательство. Сначала проверим равенство £п£(0)/ = £п/. Для этого вычислим при |а| < п величину
(/,ра>—(^10)/,ра> = ( X!(/,0в>0в,ра) = (/,0в>Х!c*(аv+l,•••,аk)(0в,0*(а1 ,•••,аv)> = °
\|в|>п / |в|>п v=0
Отсюда находим ^п^(0) / = (^(0)/, 1>1 + £ (£(0) /, ра>ра = (/, 1>1 + П (/, ра>ра = ЗП/.
|а|<п |а|<п
Равенство £п£(0)/ = £п/ проверено. Перейдем непосредственно к доказательству равносходимости частных сумм $п / и £(0) /. Будем иметь
11^0)/ — £п / ||р = ||^0)/ — ^ ^0)/||р =
X! (/,фа)0а — ^п 5^ ас)0
|а|<п |а|<п
к
р
^2 (/,0а)(0а — Ап0а) п—1 < X! (/,0а)(0а — Ап0а)
|а| <п к=0 р |а|=к
Пусть |а| = к < п. Вычислим Ап0а = ^ (0а, )Рв. Имеем
(0а ) =
|в|<п
(0, рІ), если в = «7,
0, во всех остальных случаях.
Если в = «7, то |71 = |в| — |а| < п — к. Поэтому Ап0а = П (0, Р^)Р«7 = (Ап—к0)а.
|71 <п к
Таким образом, находим
X! (/,0а)(0а — Ап0а)
|а|=к
X! (/,0а)(0 — ^п—к 0)с
|а|=к
1/р
= 2*(1/2-1/р) £ |(/,0а)|р 110 — 5„—к0|р.
\|а|=к у
Обозначив Ак(/) = 2к(1/2—1/р) ( ^ |(/,0а)1р ) > окончательно получим
|а|=к
п—1
НА?/ — А’./||р < £ А(/)Е„-к.
к=0
Так как (1,0а }а£В- — базис, то / = (/, 1>1 + £ X) (/,0а>0а.
к=0 |а|=к
В силу необходимого условия сходимости ряда
Ак (/) =
X! (/,0а)0
|а|=к
Следовательно,
п —1 [п/2] —1 п —1
^ Ак (/)Еп —к = ^ Ак (/)Еп —к + ^ Ак (/)Еп —к <
к = [п/2]
к=0
к=0
< Бир Ак (/) • V] Ек + Бир Ак (/) • V] Ек ^ 0
к-0 к = [п/2] к-[п/2] к=0
при п ^ го. Это доказывает равносходимость частных сумм $п/ и ^п,) /. Базисность системы функций (1,ра }а^в^ вытекает из оценки
||/ — /||р < ||/ — 40)/ 11р + И^П0/ — ^п/||р ^ 0, п ^ ж.
Теорема доказана. □
О
Лемма 3. Справедливо неравенство Еп < С ^ дк, п =1, 2,...
к=п
ОО
Доказательство. Если ^ Дк = ж, то доказывать нечего. Пусть поэтому ^ Дк < ж. Рассмотрим
к=1 к=1
О
разложение функции 0 по системе функций (1,ра}аев^>: 0 ~ ^ (0, ра>ра.
Имеем
к=0 |а|=к к
(0,ра) = Х!с* (^+ъ...,ак)(0,0* («1 , ...^)) = с:
V=0
р
р
р
ж
1
р
р
ж
ж
ОО ОО
поэтомУ ¿2 £ (0,^а>Ра = £ £ са ра. С учетом неравенства (2) леммы 2 находим
к=0 |а|=к к=0 |а|=к
Е
к=0
|а| = к
2—1
1/р
]Т2'=(1/2-1/р> пт К,|р <ііріц 1+Е« <го.
к=0
¿=0
к=1
Следовательно, биортогональное разложение функции 0 сходится к некоторой функции 00:
к=0 |а|=к
Видно, что (00,ра> = (0, > Для всех а е 0°. Отсюда, в силу определения системы функций
{1,^а}аев^, вытекают равенства (00,0а> = (0,0а> для всех а е 0°. Поэтому
ОО
00 = ^ ^ (0О’ О0а = ^ X! (0, 0а>0а = 0-
к=0 |а|=к к=0 |а|=к
О
Таким образом, получаем 0 = ^ ^ с0:Ра, откуда, аналогично уже доказанному, находим
к=0 |а| = к
С С
Еп — У0 £п 0||р — I] I] са ра < X! сара
■46 к=п Р |а| = к
1/р
£2*(1/2-1/р> £ |С.|Р
<
к=п
|а| = к
к=п
для любого п = 1, 2,... Лемма доказана. □
ОС ОО ОО
Лемма 4. Если ^ Ак < 1 и ^ кАк < го, то ^ кдк < го.
к = 1 к=1 к=1
С
Доказательство. В силу условия ^ Ак < 1 функция А(г) не имеет нулей в круге (|г| < 1).
к=1
По теореме Винера функция д(г) = ^^у имеет абсолютно сходящийся ряд Тейлора. Согласно усло-
С С
вию £ кАк < го функция А'(г) = — £ кАкгк—1 также имеет абсолютно сходящийся ряд Тейлора.
к=1 к=1
С
Следовательно, такова же функция £ кдкгк—1 = д'(г) = —д2(г)А'(г). Лемма доказана. □
к = 1
СС
Теорема 2. Пусть ^2 Ак < 1, £ кАк < го, и система {0П }СС=0 сжатий и сдвигов функции 0
к=1 к=1
образует базис пространства ¿р[0,1], 1 < р < го. Тогда для любой функции р є Фр(0, Л) система {Рп}С°=0 ее сжатий и сдвигов является базисом пространства ¿р[0,1].
С С С С
Доказательство. Согласно леммам 3 и 4 имеем £ Еп < С ^2 £^к = ^£ < го. Осталось
п=1 п=1к=п к=1
применить теорему 1. Теорема доказана. □
Лемма 5. Если для любой функции р є Фр(0, Л) система {рп}СС=0 ее сжатий и сдвигов является базисом пространства ¿р[0,1], 1 < р < го, то выполняется соотношение Ншк^С = 0.
с 2к — 1
Доказательство. Рассмотрим функцию р = 0 — £ Ак2—к/2 £ 0& . Очевидно, что функция р
к=1 ¿=0
принадлежит классу Фр(0,Л). По условию леммы система сжатий и сдвигов функции р является бага 2к — 1 с 2к —1
зисом. Разложим по этому базису функцию 0. Получим 0 = £ £ (0, р? •}рк,^ = £ £ с£ рк,^.
к=0 ¿=0 к=0 ¿=0
Поскольку ск = —Ак2—к/2, то на основании рекуррентных соотношений (1) заключаем, что
га
га
га
Р
Р
Р
га
Р
О 2к-1
4 - = 2-к/2. Таким образом, имеем 0 = р + £ ^2-к/2 £ ^. В силу необходимого усло-
’ к=1 -=0
вия сходимости ряда и с учетом равенства
k = І, 2,..., находим, что
2k — 1
2—4/2 Е Pkj
j=0
Mk ^ О при k ^ га. Лемма доказана. □
Итак, между полученными необходимыми и достаточными условиями базисности систем сжатий и сдвигов функций р є Фр,(0, Л) имеется следующий «зазор»: от необходимого условия limk^<^ Mk = О
те
до достаточного условия £ kMk < га. Следующая теорема называет такие условия на последователь-
k=1
ность Л = ^k}те=1, при выполнении которых этот «зазор» исчезает.
Теорема 3. Пусть система {0n}^=0 сжатий и сдвигов функции 0 образует базис пространства Lp [О, І], І < p < га, и последовательность Л удовлетворяет условию
те
Е
k=n
Лk < СЛп, n = 1,2,... (3)
С
Тогда условие £ Ак < 1 необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции к=1
р є Фр(0, Л) система {рп}СС=0 ее сжатий и сдвигов была базисом пространства Ьр[0,1]. Доказательство. Достаточность вытекает из теоремы 2, поскольку в силу условия (3) имеем
5>k = ^ 5> < cj> < с.
k=1 n=1 k=n n=1
те
Необходимость. Предположим противное, т.е. Ak — 1- Установим индукцией по n неравенство
k=i
Mn — C, n = 1, 2,... (4)
œ
При n =1 имеем д1 = A1 — ci £ Ak — ci - Предположим, что при некотором n > 1 неравенство
k=i
n —1 œ n —1
Mk — C доказано для всех k < n. Тогда Mn = An + £ An—kMk — c1 £ Ak + C £ An—k — C-
k=1 k=n k=1
Неравенство (4) установлено. Получили противоречие с необходимым условием Mk ^ 0 при k ^ га.
Теорема доказана. □
Следует отметить, что условие (3) известно как условие Бари и равносильно тому, что последовательность Л = {Ak}œ=1 является объединением конечного набора лакунарных последовательностей. Например, условию Бари (3) удовлетворяет последовательность Ak = M2—ak, M > 0, а > 0.
Из теоремы 3 непосредственно вытекает
Следствие 1. Пусть система {0n }œ=0 сжатий и сдвигов функции 0 образует базис пространства Lp [0,1], 1 < p < га.
Тогда условие M < 2а — 1 необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции р Є Ф^(0,М) система {pn}œ=0 ее сжатий и сдвигов была базисом пространства Lp[0,1].
В заключение заметим, что базисность систем сжатий и сдвигов функций (точнее, систем типа Фабера-Шаудера) в пространстве C[0,1] изучалась в работах З.А.Чантурия [1] и Т.Н.Сабуровой [2]. Условия базисности по Риссу систем сжатий и сдвигов в пространстве L2 [0,1] получены в работе автора [3].
Библиографический список
1. Чантурия З.А. О базисах пространства непрерывных тьей Сарат. зимней школы (Саратов, 1986). Саратов,
функций // Мат. сборник. 1972. Т. 88, № 4. С. 589- 1988. Ч. 3. С. 44-46.
608. 3. Терехин П.А. Базисы Рисса, порожденные сжатиями
2. Сабурова Т.Н. О базисах в C[0,1] типа Фабера - и сдвигами функции на отрезке // Мат. заметки. 2002. Шаудера // Теория функций и приближений: Тр. тре- Т. 72, вып. 4. С. 547-560.
