Системы Мерседес-Бенц и жёсткие фреймы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 7. 2007

УДК 519.652

ЛЕГКОЕ ЧТЕНИЕ ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛА

СИСТЕМЫ МЕРСЕДЕС-БЕНЦ И ЖЁСТКИЕ ФРЕЙМЫ

В. Н. Малозёмов, А. Б. Певный

Наша цель — дать полное описание множества жёстких фреймов в простейшем частном случае, когда т = п + 1 и все векторы щ имеют единичную длину. Индуктивно строится фрейм Мерседес-Бенц в п-мерном пространстве. Ранее фрейм Мерседес-Бенц был определен только при п = 2. Вводится понятие системы Мерседес-Бенц, обобщающее понятие фрейма Мерседес-Бенц. Устанавливается экстремальное свойство таких систем. Даётся полное описание множества жёстких фреймов в указанном частном случае. Важную промежуточную роль при этом играют системы Мерседес-Бенц. Приводится ещё одно эквивалентное определение жёсткого фрейма, использующее понятие фреймового потенциала.

1. Введение

Напомним [1, с. 99], что жёстким фреймом в Мп называется набор ненулевых векторов {<р1з • • •, т ^ п + 1, такой, что при некотором А > 0 (константа фрейма) для любого х Е Мп выполняется равенство

Обозначим через Ф матрицу со столбцами • • •, (рт- Для неё

т

(1.1)

к=1

т

к=1

© Малозёмов В.Н., Певный А.Б., 2007.

Поскольку ||Фтх||2 = (Фтх, Фтх) = (ФФтх,х) , то равенство (1.1) можно переписать в виде

(ФФтх,х) = (AInx,x) Vxer,

где 1П единичная матрица порядка п. Последняя формула равносильна матричному равенству

ффт = А1п. (1.2)

Умножив справа на х, придем к эквивалентному векторному равенству

^ m

x = Vx G Mn. (1.3)

k=1

Таким образом, формулы (1.1), (1.2), (1.3) дают эквивалентные определения жёсткого фрейма в W1 с константой А > 0.

Если, как обычно, через tr(S) обозначить след квадратной матрицы 5, то в силу (1.2) получим 1г(ФФт) = tr(AIn) = пА. Вместе с тем, ^(ФФТ) = 1г(ФтФ), поэтому пА = ^(ФТФ) = Х1Г=1 ll^ll2- Отсюда следует, что константа фрейма А необходимо равна такой величине:

, m

А = -Т,\м2- м

к=1

Наша цель дать полное описание множества жёстких фреймов в простейшем частном случае, когда m = п + 1 и все векторы (р^ имеют единичную длину.

В разд. 2 индуктивно строится фрейм Мерседес-Бенц в п-мерном пространстве. Ранее фрейм Мерседес-Бенц был определен только при п — 2 (см. [2]). В разд. 3 вводится понятие системы Мерседес-Бенц, обобщающее понятие фрейма Мерседес-Бенц. Устанавливается экстремальное свойство таких систем.

В разд. 4 даётся полное описание множества жёстких фреймов в указанном частном случае. Важную промежуточную роль при этом играют системы Мерседес-Бенц.

В разд. 5 приводится ещё одно эквивалентное определение жёсткого фрейма, использующее понятие фреймового потенциала. Попутно устанавливается точная оценка снизу для фреймового потенциала.

Доказывается, что система ..., (рп+1}, состоящая из п + 1 единичных n-мерных векторов, образует жёсткий фрейм тогда и только тогда, когда

\(<Pi,<Pj) \ = ~ ПРИ ъфЗ-

Предварительные результаты были получены в [3,4]. Дальнейшая информация о фреймах в конечномерных пространствах имеется в [2,5-8, 10 12].

2. Фрейм Мерседес-Бенц

Как отмечалось в [1, с. 100], в М2 жёсткий фрейм с константой А = | образуют три единичных вектора

(верхний индекс указывает на размерность векторов). При этом

3 1

О; (ЪЩ) = -- при к ф э.

к=1

В [2] жёсткий фрейм (2.1) назван фреймом Мерседес-Бенц. Покажем, что аналогичные фреймы существуют в Мп при любом п ^ 2.

Теорема 1. В пространстве Мп при п ^ 2 можно построить систему из п + 1 единичных векторов {б™, Щ,..., со свойствами:

1) ||^ц2 = 1 при йб1:п + 1;

2) (Ь1Ь]) = -~ при к ф

ТЪ

п+1

3) ¿62 = 0;

/с=1

4) система {6™, ,..., является жёстким фреймом

с константой А — 1 -\—.

п

Доказательство проведём индукцией по п. При п — 2 система (2.1) обладает требуемыми свойствами. Сделаем индукционный переход от п — 1 к п.

Допустим, что система х уже построена. Согласно индукци-

онному предположению

ИПН!; = —гт пр(2-2)

ТЪ А-

п

Е6Г1=°; (2.3)

/с=1

п

Е^Г1)]2 — !!^2 Ухек»"1. (2.4)

10 Л.

Переходя к построению системы полагаем = (0,..., О,1)т =

еп. Вектор Щ, при к Е 1 : п будем искать в виде

(Ъп~х

hn - с к

h ~Сп {-К

Константу сп выберем из условия нормировки 1 = = c2n (1 + h2n). Отсюда

= -лЬ' (2"5)

V1 + hn

За счёт hn нужно обеспечить выполнение условий 2)-4). Имеем

,hn т _ fcn ((bk~\b]-1) + h2n) при к J Е 1 : п, к ф j;

\°к / — \ у 1 г л ■ .I

I — cn hn при /с Е 1 : n, j — n + 1.

На основании (2.2) приходим к уравнениям

(Л« - :r4) = ~> =

V п — 1/ n п

Из второго уравнения и (2.5) следует, что кп = ^/^ггр При этом сп =

. Первое равенство в (2.6) выполняется автоматически! Система построена, причем так, что выполнены свойства 1)

и 2). Согласно (2.3) и (2.6)

П + 1 П /1П-1

П^1 П /7П-1\

Значит, выполнено условие 3). Осталось проверить условие 4).

Возьмём вектор х Е Мп и выделим в нем последнюю компоненту: х ~ Сж )• основании (2.3) и (2.4) получаем

п+1 п

Е 1>'2 =Е ' ^г1) - 2+=

к=1 /с=1

к=1

= + fi + iVn = fi + ^INI

п п —1 II II ' у n J П \ nyllll

Теорема доказана. •

Построенную систему векторов {6™, ,..., ^+1} естественно назвать фреймом Мерседес-Бенц в п-мерном пространстве.

3. Системы Мерседес-Бенц

1. Набор п-мерных векторов • • •, фп+г] назовем системой

Мерседес-Бенц, если выполнены условия

11^11 = 1 при к е 1 : п + 1; (фкчфз) = -- при к ф 3. (3.1)

ТЪ

Очевидно, что фрейм Мерседес-Бенц является системой Мерседес-Бенц.

Для любой системы Мерседес-Бенц {<р1з..., справедливо ра-

венство

п+1

= а (3.2)

к=1

Действительно, согласно (3.1)

п+1 2 п+1

I <Рк\\ =5] 1ЫГ + = п + 1 - ± [(п + I)2 - (п + 1)] = 0.

к=1 /с=1

Теорема 2. Ддл того чтобы набор п-мерных векторов {(р 1,..., ^+1} 6ш& системой Мерседес-Бенц, необходимо и достаточно, чтобы нашлась ортогональная матрица II, такая, что

(Рк = иъпк , ке1:п + 1. (3.3)

Доказательство. Достаточность следует из (3.1), если учесть, что для ортогональной матрицы II выполняются соотношения

и иТ = ити = 1п .

Необходимость. Введем (п х (п + 1))-матрицы Ф и В со столбцами (рп+1 и ,..., соответственно. Тогда формулу (3.3) можно представить в виде

Ф = иВ. (3.4)

Равенство (3.4) будем рассматривать как уравнение относительно II.

Добавим к матрицам Фи В (п+1)-ю строку, все компоненты которой равны Получившиеся квадратные матрицы обозначим Ф0 и Из определения систем Мерседес-Бенц следует, что

ФотФ0 = (1 + 4+1, в0тв0 = (1 + /,

п+1

Положим

Р ~ Л//п+1

Фо, ^ = л/^ТТ^о.

Поскольку РТР = 1П+1, 0:тСд = 1П+1, то матрицы Р и <5 ортогональны. Найдем ортогональную матрицу [70, такую, что

Ф0 = и0В0.

(3.5)

После умножения на пРиДём к равносильному уравнению Р =

ЩС^ с очевидным решением

и0 = РЯт = ^Фо Я0Т

Ясно, что [/о ортогональная матрица. Покажем, что Щ имеет вид

и

Согласно (3.2)

С/п =

п+1 п+1

/с=1 /с=1

(3.6)

поэтому

С/оМ + 1]

П+1 ^

к=1

= 0 при г е 1 : п,

п+1

и0[п + 1,п + 1] =--^Ф0[п + 1,£;] х В0т[к,п + 1] = 1,

п + 1 к=1

п + 1 ^

и0[п + 1Л] = "^Т^^ВД =0 при з е 1 :п. п + 1 лМ

Формула (3.6) установлена. Учитывая, что

и0 ио7 =

иит о

От 1

и [/о £/0Т = Лг+ъ заключаем, что II ортогональная матрица. Из (3.5) и (3.6) следует (3.4). Теорема доказана. •

2. Отметим одно экстремальное свойство систем Мерседес-Бенц.

Теорема 3. Системы Мерседес-Бенц и только они доставляют максимум функционалу

ад = Е

ьфз

среди всех систем Z = {£1з • • • ? Сп+Л единичных п-мерных векторов.

Доказательство. Возьмём систему Мерседес-Бенц Ф = {<^1,..., сРп+1} и обозначим = ||(рь — • Согласно (3.1) при к ф ] имеем

з% = ^-> = 2(1 + 1).

Количество при к ф ] равно (п + 1)2 — (п + 1) — п{п-\-1), поэтому

5(Ф) =п(п + 1)у/2(1 + ±) = (п + 1)у/2п {п + 1).

Отметим, что правая часть последнего равенства одинакова для всех систем Мерседес-Бенц.

Теперь нужно показать, что

<(п + 1)у/2п (п + 1)

для любой системы Z = {(д, £2, • • • ? Сп+1} единичных п-мерных векторов, у которой хотя бы одно скалярное произведение (СьО) ПРИ к Ф 3 отлично от —-.

п

Воспользуемся идеей из [9]. Запишем равенство

где у^) = VI — Поскольку у"(1) < 0 при t < 1, то функция у^) строго вогнута на (—ос, 1]. Проведём касательную в точке ¿о — —

Тогда у{р) < при всех £ ^ 1, í ^ Как следствие при к ф ] получаем

На-о|| ^

причём хотя бы один раз неравенство выполняется как строгое. Складывая, приходим к строгому неравенству

кфз

Далее

Л(*) =

поэтому

'п +1 1 / п

п 2уп +

~Л(+1п)

2п + 1

п

2^/п(п + 1) 2\/п + 1

кфз

Остаётся учесть, что

п+1 п+1

п+1

п+1

£<а,о> = ££<а,с,->-£<а,а> = £а

ад /с=1 ^'=1 /с=1 ¿=1

Подставив это в (3.7), окончательно получим

- (п + 1).

у/2

п

ОД < V (2п + 2)у/п(п + 1) — -

^ 1 л/п + 1

«С (п + 1)у/2п(п + 1).

п+1

Ей

к=1

Теорема доказана. •

4. Описание множества жёстких фреймов

Обратимся к описанию множества жёстких фреймов в Мп, состоящих из п + 1 единичных векторов. В этом случае, согласно (1.4), А = 1 + 1.

п

Теорема 4. Для того чтобы набор единичных п-мерных векторов ..., (Рп+1} был жёстким фреймом в Мп; необходимо и достаточно; чтобы имело место представление

(рк = сгкиЪк, ке1:п + 1, где ст/г = ±1 и и некоторая ортогональная матрица.

(4.1)

Доказательство. Достаточность. В теореме 1 было установлено, что система {6™, ..., г} является жёстким фреймом в Мп с константой А = 1 + К То же самое можно сказать и о системе (4.1), поскольку

71+1 71+1 71+1

1 2 Х' Г/ т тт п, \ 1 2

Е [<*> = Е = Е>] =

к=1 /с=1 /с=1

= (1 + й11^||2 = (1 + 1)№.

Необходимость. Воспользуемся идеей из [7]. Как обычно, через Ф обозначим матрицу со столбцами <р1з..., В силу (1.2) и (1.4)

ФФт=(1 + ^)7п. (4.2)

Рассмотрим Ф как набор (п + 1)-мерных строк 71,..., 7П- Согласно (4.2)

/ \ /1 + п при к =

<7*, Т?> = < п ,, .

I 0 при к ф ].

Дополним Ф ещё одной строкой 7га+1 так, чтобы

(7*,7п+1>=0 при к е 1 : п, ||7п+1||2 = 1 + £ •

Расширенную матрицу обозначим Ф^ Для неё

Ф1Ф1Т= (1 + 1)/п+1.

Матрица Р = является ортогональной, так как Р Рт =

/п+1. Но тогда и РТР = /п+1, откуда следует, что

ФГФ! = (1 + 1) /п+1. (4.3)

В частности,

п+1

Е (ф1 Ь' = (ф1Тф0 М] = 1 + Ь к е 1 : п + 1. (4.4) ¿=1

В то же время

Е № ¿О' = 1Ы12 = 1, к е 1 : п + 1. (4.5)

¿=1

Вычитая (4.5) из (4.4), получаем (Фх[п + 1, к\)2 — К Значит,

'п

где а к — ±1. Так выглядит добавленная строка.

Введём диагональную матрицу Б = <11а§(сг1,..., ¿тп+х) и положим

ф0 = ф^.

Согласно (4.3) справедливы равенства

Ф^ Фо = Ф1-С = (1 + 1п+1 • (4.6)

У матрицы Ф0 к-й столбец равен Обозначим — (ТкРк и пере-

у/п

пишем (4.6) в виде

^ /л /л.1 /1 + п при/с = ^ [ 0 прикф].

Отсюда следует, что

) 1 при/с = ^, при кф].

По определению, {г^,..., уп+\} система Мерседес-Бенц.

На основании теоремы 2 заключаем, что существует ортогональная матрица [/, такая, что = Поскольку = сгк^к, то

срк = акиЪ1, к е 1 : п + 1.

Теорема доказана. •

5. Заключительные замечания

1. В разд. 1 были приведены три определения жёстких фреймов в Мп. Следующее утверждение содержит по существу ещё одно эквивалентное определение жёсткого фрейма.

Предложение. Система ненулевых п-мерных векторов {(р\, ..., (рт т ^ п, образует жёсткий фрейм тогда и только тогда, когда

\ 2

^ / т 4 ^

п .

1,3 =1 \г=1

Доказательство. Пусть Ф - матрица со столбцами ..., (рт и 5 = ФФТ. Тогда

= ^(ФТФ) = ^

¿=1

= ^((ФФТФ)ФТ) = ^((ФТФ)2) =

га / га \ т

= Е ( 4>з)(ч>з, У<> ) = Е

i=1 \ ^'=1 / г, =1

Равенство (5.1) равносильно следующему

= ^г(5))2. (5.2)

I1

Матрица 5 симметрична и неотрицательно определена. Обозначим через Ах,..., Хп её собственные числа. Поскольку

п п

¿=1 к=1 (5.2) принимает вид \\ = £ или

то

1/2

(5.3)

' -у п \ \ П

п ^ ) ~~ п ^ ч /с=1 / /с=1

Среднее квадратическое конечного числа неотрицательных чисел равно среднему арифметическому только в том случае, когда все эти числа равны между собой. Таким образом, (5.3) равносильно условию = • * * = =: А, А > 0, что, в свою очередь, сответствует равенству 5 = А1П1 являющемуся одним из определений жёсткого фрейма (см. (1.2)). Предложение доказано. •

Выражение, стоящее в левой части (5.1), называется фреймовым потенциалом системы и обозначается РР(Ф). Учитывая

неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим, приходим к такому заключению [5,6]: для любой системы {(^1, ..., срт}, т ^ п, ненулевых п-мерных векторов справедливо неравенство

РР(Ф) ^

Равенство достигается только на жёстких фреймах.

2. Приведём два следствия из предложения.

Следствие 1. Система единичных п-мерных векторов {<^1, ..., срт}, т ^ п, образует жёсткий фрейм тогда и только тогда, когда

ш \ 1/2 1

^ЕМН (6-4)

Ь3 = 1 /

т.е. когда среднее квадратическое скалярных произведений г,з е 1 : т, равно

Следствие 2. Система {<^1,..., (рп}, состоящая из п единичных п-мерных векторов, образует жёсткий фрейм тогда и только тогда, когда эта система является ортонормированным базисом в Мп.

Действительно, в данном случае согласно (5.1)

п

^[(фифз)? = п-

Ь3 =1

Принимая во внимание, что (р^ единичные векторы, приходим к равенству

гфз

гарантирующему попарную ортогональность векторов ..., (рп.

3. При т — п + 1 и единичных равенство (5.4) преобразуется к виду

= 1 + (5.5)

гфз

Теорема 4 и формула (5.5) позволяют сформулировать такой результат.

Теорема 5. Система {<^1,..., ^+1}; состоящая из п + 1 единичных п-мерных векторов, образует жёсткий фрейм тогда и только тогда, когда

\{фиЧ>э) \ = ~ пРи 1 Фз-

Литература

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001.

2. Casazza P., Kovacevic J. Equal-norm tight frames with erasures // Adv. Comput. Math. 2003. V. 18. №2~4. P. 387-430.

3. Истомина M. H., Певный А. Б. Фрейм Мерседес-Бенц в n-мерном пространстве // Вестн. Сыктывкар, ун-та. Сер. 1: мат., мех., инф. 2006. Вып. 6. С. 219-222.

4. Истомина М. Н., Певный А. Б. О расположении точек на сфере и фрейме Мерседес-Бенц // Матем. просвещение. Сер. 3. 2007. Вып. 11. С. 105-112.

5. Benedetto J. J., Fickus M. Finite normalized tight frames // Adv. Comput. Math. 2003. V. 18. №2~4- P- 357-385.

6. Casazza P. G. Custom building finite frames // Contemporary Math. 2004. V. 345. P. 61-86.

7. Goyal V. K., Kovacevic J., Kelner J. A. Quantized frame expansions with erasures // Appl. Comput. Harmonic Anal. 2001. V.

10. № 3. P. 203-233.

8. Han D., Larson D. R. Frames, bases and group representation // Mem. Amer. Math. Soc. 2000. V. Ц7. № 697. P. 1-94.

9. Андреев H. H., Юдин В. А. Экстремальные расположения точек на сфере // Матем. просвещение. Сер. 3. 1997. Вып. 1. С. 115-121.

10. Holmes R.B., Paulsen V.I. Optimal frames for erasures // Linear Algebra Appl. 2004. V. 377. P. 31-51.

11. Sustik M.A., Tropp J.A., Dhillon I.S., Heath R.W. // On the

existence of equiangular tight frames // Linear Algebra Appl. 2007. V. 426. P. 619-635.

12. Tropp J.A., Dhillon I.S., Heath R.W., Strohmer T. Designing structured tight frames via an alternating projection method // IEEE Trans. Inform. Theory. 2005. V. 51. P. 188-209.

Summary

Malozemov V.N., Pevnyi A.B. Mercedes-Benz systems and tight frames

The paper is for the section "Easy Reading for Professionals". The authors study the tight frames in the space W1. A complete description of the tight frames in W1 consisting of n + 1 vectors is given. An exact lower bound for the frame potential is proved.

Санкт-Петербургский университет Сыктывкарский университет

Поступила 17. 12. 2007