CC BY
16Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 7. 2007
УДК 519.652
ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛА В СЛУЧАЕ УТРАТЫ ОДНОГО ФРЕЙМОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА
А.Б. Певный, М.Н. Истомина
Рассматривается разложение произвольного вектора ж Е 1п по фрейму Мерседес-Бенц. В случае утраты одного фреймового коэффициента предлагается быстрый алгоритм восстановления вектора х.
Системой Мерседес-Бенц называется набор {(/?!,..., срп+1}, состоящий из п + 1 единичных векторов в Мп, у которых скалярные произведения различных векторов равны:
Геометрически условие (1) означает, что углы между векторами равны.
Система Мерседес-Бенц является жёстким фреймом (см. [1]), поэтому любой вектор х Е Мп можно разложить по фрейму:
гс+1
Избыточные разложения вида (2) широко используются в вейвлет-ном анализе и цифровой обработке сигналов (см. [2]).
Обычно при передаче сигнала х передаются коэффициенты разложения, после чего происходит восстановление сигнала х по формуле
{фи 4>з) =--ПРИ 1 Ф О-
(1)
(2)
где коэффициенты находятся по формуле
— (х, г Е 1 : п + 1.
(2).
© Певный А.Б., Истомина М.Н., 2007.
При передаче часть коэффициентов может потеряться. Допустим был утрачен один коэффициент ск с некоторым номером к Е 1 : п + 1. Это равносильно тому, что из системы удалили
вектор ерь и получили систему
{<£1, . .. , (рк-и (рк+Ъ ••• , ^п+1}. (3)
Рассмотрим матрицу Грама системы (3). Так как скалярные произведения двух различных векторов системы равны —-, а норма каждого вектора равна 1, то матрица Грама будет иметь вид:
С = {{(Ри Уз)}г,зфк =
Отметим, что эта матрица от к не зависит. В докладе [1] указан явный вид обратной матрицы:
2 1 ... 1 " 1 2 ... 1
1 1 ... 2 _
Легко проверить, что СС-1 = /п, где 1П единичная матрица порядка п.
Отсюда в частности следует, что матрица С невырожденная, система (3) линейно независимая и существует биортогональная система
{^1, ... , срк_ 1, фк+1, ... , (рп+1}. (4)
Биортогональность означает, что
= Ш (5)
Вектор х разлагается по биортогональной системе (4) по формуле
X = = ^с^. (6)
Построение биортогональной системы является довольно трудоёмким процессом. Ниже будет предложен быстрый алгоритм восстановления х, не
требующий построения биортогональной системы.
сгА =
п
п
Восстановление сигнала.
139
Введем матрицы, столбцами которых являются векторы систем (3) и (4):
Фк = [<рь ... , (рк_ 1, ... , (рп+х],
Ф/с = • • • > Фк-Ъ Фк+Ь • • • > Условие биортогональности (5) записывается в виде
-к
- (<ьт\-1
ФГФ к = 1п,
стемы равносильно обращению матрицы Ф^, что требует порядка п3
откуда Фк = (Ф^) Таким образом, построение биортогональной си
Я
операций.
Формула (6) переписывается в виде
х = Ф кс, (7)
гдес=(сь ... , ск_ 1, с/ь+ь ... , сп+1).
Отметим теперь, что для матрицы Грама справедливо равенство С = откуда Ф^ = СФ^1.
Теперь для матрицы Фк получаем формулу
Фк = (ФI)-1 = Ф кс~\
В результате формулу (7) можно переписать в виде
X = Ф „(С-1^. (8)
Для вычисления х по формуле (8) предварительно вычислим вектор у — С_1с. Будем считать, что компоненты вектора с занумерованы от 1 до п:
с=(с(1), с(2), ... , с(п)).
Тогда учитывая вид С-1 вычисление у происходит по схеме
п г=1
л
2/(0 := —гт ' + ^ е 1 :
71+1
что требует выполнения 3п операций. Вычисление х по формуле х = Фку требует 2п2 операций. Общая сложность восстановления х составляет 2п2 + 3п операций.
Литература
1. Малозёмов В.Н., Певный А.Б. Фрейм Мерседес-Бенц в 71-мерном пространстве// http://dha.spb.ru/reps.shtml/ 16 января 2007 г.
2. Casazza P. G., Kovacevec J. Equal norm tight frames with erasures// Adv. Comput. Math. 2003. V. 18. №2~4- P- 387-430.
Summary
Pevnyi А.В., Istomina M.N. Recovery of the signal in the case when one frame coefficient is erased
The authors consider Mercedes-Benz frame and frame expansions for every vector x G Mn. In the case when one frame coefficient is erased the authors suggest a fast algorithm for the recovery of the vector x.
Сыктывкарский университет
Поступила 24 . 08. 07
