Вещественные гармонические фреймы, их жесткость и избыточность Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 7. 2007

УДК 519.652

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФРЕЙМЫ, ИХ ЖЕСТКОСТЬ И ИЗБЫТОЧНОСТЬ

A.M. Дурягин

Доказано, что вещественные гармонические фреймы обладают максимальной избыточностью, т.е. при удалении любых т — п векторов, оставшиеся п векторов образуют фрейм в (в общем случае не жёсткий). Предложен быстрый алгоритм разложения по вещественному гармоническому фрейму.

1. Вещественные гармонические фреймы.

Рассмотрим систему из т векторов в пространстве W1: при п четном

/2/ ктт Зктт (п — 1)ктг ipk = \ — [ cos —, cos-,..., cos

п \ m m m

. ктт . Зктг . (п — 1)ктг\т

sm —, sm-,..., sm

mm m

к e 0 : m — 1;

при n нечетном

/2 / 1 2ктт Актт (n- 1 )ктт

Vk = \ ~ [—^i COS-, COS-, . . . , COS-,

V n mm m

. 2ктт . Актт . (п—1)ктг\т

sm-, sm-,..., sm

т т т

к е 0 : т — 1.

В дальнейшем будем предполагать, что т > п.

Систему векторов {(рь}™=о обладает свойством: Ц^Ц = 1, к е 0 : т — 1.

Систему {(рк}Т=о будем называть вещественным гармоническим фреймом.

© Дурягин A.M., 2007.

2. Быстрый алгоритм вычисления фреймовых коэффициентов

Вычисление скалярного произведения ак = (х, (рк) ? А; € 0 : т — 1, требует тп умножений и столько же сложений. Естественно допустить, что избыточность т—п не превосходит п, т.е. т—п<п, отсюда п > |т. Поэтому "лобовое" вычисление коэффициентов а& требует не менее т2 операций. Попытаемся вычислить коэффициенты ак иначе.

1) При п четном: Пусть х = (х(0),..., х(п — 1)) Е Мп, п = 2гл Тогда фреймовые коэффициенты можно вычислить следующим образом:

ак = (х, срк)

_ 1 у^г/-

ш.

IЕ Д ЙЛ 008 ЙШ^ ++л 81п ш±щ.

Ни«)} С^1*-^44)

(2^ + 1)* . ,-(2^ + 1)*!

-Но-

= % - + + ^ Т.ТЛШ + ^ + Я)"/.

2тгг в т, .

(1)

Здесь

Введем сигнал у Е С71

2/0') =

ж0") + Д ^ Е 0 : г/ - 1;

О, ^ Е V : т — 1.

Вне основного периода сигнал у(^) определяется по периодичности с периодом т. Вычислим ДПФ от сигнала у : = «^т (?/)(&)• В силу

(ч

Количество операций для вычисления ДПФ можно оценить как 0(т т), а значит и вычисление коэффициентов ак имеет сложность 0(тк^2 т).

2)При п нечетном: Пусть х = (ж(0),..., х(п — 1)) Е Мп, п = 2у + 1. Тогда фреймовые коэффициенты можно вычислить следующим образом:

0>к

<*,¥>*> = у-X)

1У—1

3=о

—— + х(^) сой--Ь + ят-

у 2 ш тп

х-§ + 111 ++ ^ Еф ■+ я -

Введем обозначение:

H{k) := 1 £ x(j) № + u-ki] + ^ + J) M? - "m'"] =

1 1У 1 I/

= 9- гФ+я)^' +«+^+

3 = 1

J=1

Обозначим

1 "

:= 2 " + '

j=i

1 "

:= 2 + ^ +

2/0) =

3=1

Лекго видеть что с{к) — з(к). Значит Н(к) — Ее з(к). Введем сигнал у е Сш :

х(з) +ъх{у + ]), з е 1 : у\ 0, з — 0, з е У + 1 : тп — 1.

Вычислим ДПФ от сигнала у : = ^т (?/)(&) = Тогда

Н(к) — КеУ(к), к е 0 : тп — 1. Так как вычисление сигнала рядка 0(тк^2т) операций, то и вычисление а& =

, к £ 0 : т — 1, имеет такую же сложность. Тем самым получили быстрый алгоритм вычисления фреймовых коффи-циентов.

Н{к) займет по

л/2

х-Ш + н(к)

3. Доказательство того, что система явля-

ется жёстким фреймом

Теорема. Для всех х е Кп при любом з е 0 : п — 1 справедливо равенство

т—1

= ~ У2

т '

(2)

/с=0

Proof. При п нечетном, п = 2г/ + 1 ранее были выписаны коэффициенты ак = (х, :

x(Q)

L7T

+ Re У(А;)

где У (к) = Тт{у){к). По формуле обращения

1

т—1

т *—'

к=о

т—1

т *—'

/с=0

Кроме того, при ^ = 0 получаем

т—1

У (к) = гш/(0) = 0.

к=0

Сумму в правой части (2) обозначим Б^). При ] — 0 имеем

т—1

к=0

'ж(О)

Ее У (к)

1

п

В силу (4) получаем

1 ,-*(0)

к=О

Пусть ^ £ 1 : гл Тогда

т—1 /о

71 х-л /2

т —<

т *—' V и

к=0

ЫЛ =

х(0)

7Т

2 2?ктг

— сов-,

п та

+ Ие У {к)

1 /2

2 V п

т—1

(3)

(4)

(5)

/с=0

Представим ИеУ(к) = | + ) и воспользуемся (3), (4).

Получим = \ \у{з) + у{~з) + у{з) + у{~з)\ • ПРИ ^ ^ 1 : ^ будет: у(~з) — у(тп — з) — 0, так как т — з > у. Поэтому =

У(з) + у{з) = \ [х{з) + гх(и + з) + - ъх{у + = х{з).

Покажем, что S{y + j) = x(v + j) при j G 1 : za Имеем

Vk{v + j) = a/-sin-, J 6 1 : I/, fee0:m-l,

V n m

m

m—1

fc=0

x(0)

Re y(fc)

2i\n

|_ ra m J

л/2

^ га—1

— V Re y(fc) L rm ^ v y L fc=0

Представим ReY(k) = | + Y(h)j и воспользуемся (3), (4).

\üükj - üü~kj1 .

Получим S'(j)

2г

При j E 1 : v бу-

2/(i) + 2/(~i) - - y(j)

дет: y(—j) = y(m — j) = 0, так как m — j > v. Поэтому S{y + j)

y(j) - 2/0") = ^ ИЯ + + j) - + + j)] = + j).

Аналогично равенство (2) можно доказать и для п четного. Теорема доказана.

Таким образом получаем: для любого х Е Мп

га—1

X

— J2(x,<Pk)<Pk'

m k=о

Домножим скалярно на х и домножим на получим

тп—1

Ш ,

/с=0

= —\\х\ п

для любого х Е Мп. Это исходное определение жёсткого фрейма [3]. Таким образом система {(Рк}™=о является жёстким фреймом.

4. Пример вещественного гармонического фрейма

Пусть п = 2, m = 4, тогда векторы к Е 0 : 3, имеют координаты <рк = (cos М sin М), A; G 0 : 3. Т.е. <р0 = (1, 0), ^ = , ^ = (0,1),

(ps — 75' 73) • ®та система из четырёх векторов образует жёсткий фрейм в М2.

5. Избыточность вещественного гармонического фрейма

Определение. Избыточностью фрейма Ф = {<£0, • • •, <Pm-i} в называется такое число г, что при удалении любых г элементов фрейм остается фреймом, и существует подсистема из г +1 векторов, при удалении которой фрейм перестает быть фреймом.

Используем обозначение Л(Ф) = г. Очевидно, что г < т — п. Действительно, если удалить больше, чем т — п векторов, то останется меньше п векторов, а они не образуют фрейм.

Теорема. Избыточность вещественного гармонического фрейма равна т — п.

Proof. Удалим т — п векторов, останется п векторов. Значит, нужно доказать, что при выборе любых п векторов из системы {<£0, • • •, ¥>m-i} получается фрейм.

Выберем произвольное подмножество {fci, ..., кп} С {0,1,..., т— 1}, где 0 < ki < k2 < • • • < kn < т - 1. Подсистема {cpkl, (pk2,..., cpkn} будет фреймом в Мп, если только она линейно независима, а это будет только если определитель, составленный из векторов {(pkl, к2? • • • ? Ркп}, отличен от нуля. Для того чтобы показать, что определитель отличен от нуля, проделаем ряд элементарных операций над матрицей, составленной из векторов {(pkl, (pk2¿ • • • ? (Ркп}- Мы не будем учитывать множитель

yjl, так как он не влияет на то, будет ли определитель равен нулю или нет.

1) При п четном: перед тем как проделывать операции, покажем, как выглядит j-ая строка матрицы после применения формул Эйлера (cos % = \ « + и>£); Sin % = i « - и£)):

( kj I ~kj\ ( Щ I ~Щ\ ( (n-l)kj -(п-1)кЛ

V^2m + U2m J > ^ V^2m ^2m / ' " ' ' 2 \ 2ш / '

1 ( kj —kj \ 1 ( 3kj ~Щ\ 1 ( (n-l)kj -(n-l)kj\ \

Yi ~ U2m J > ^ ~ W2m у ' ' ' ' ' 2¿ V 2m ~~ ^2m / / '

Умножим последние | столбца на i; добавим последние | столбца к соответствующим первым | столбцам; добавим первые | столбца, умноженные на — к соответствующим последним | столбцам; и умножим последние | столбца на -2.

В результате последовательности таких действий j-ая строка матрицы будет иметь вид:

/ kj 3 kj (n—l)kj —kj —3 kj —(n—l)kj\

[^2ra; W2m ? • • • ? W2m ? W2m ? W2m ? • • • ? W2m J •

Вынесение за скобки ио2ш из строки j дает:

nkj (n-\-2)kj

[ U2m ? u2m

5 • • • ^ UJ2m

2(n-l)kj {n-2)kj (n-4)kj

J U2m

? U2m

0 kj

^ • • • ^ u2m

После переупорядочивания колонок матрицы, получаем матрицу Вандермонда:

0 , .2-ki 2-/С1-2

ш2пП 2т ? ш2т ? '

0 , ,2-/с2 . ,2-/С2-2 ш2гт 2т ? ш2т ? '

, ,0 , .2'кп 2'кп'2 2тэ 2т )ш2т

2./сг(п-1) ^ 2т

2-/с2-(П-1) ^ 2т

' 2т

1 , , ,2-/51 , (n-l)-/ci

i, u;m , u;m , . . . , шт

1 , M , ,2-/C2 , (n-l)-/c2

i, u;m , шт , . . . , Lum

' m '^m

(n-l)-/^

Определитель данной матрицы отличен от нуля: det ^ / 0, а значит, система является фреймом.

2)При п нечетном:

^'-ая строка до преобразований имеет следующий вид:

(-1

ио.

2т

+ о;.

-2 А;. 2т '

(п—1)/Cj 2т

+ о;.

-(ra-l)fy 2т

1 / 2/cj -2/cj\ 1 / 4/cj 1 / (rc-l)fy — (n—l)/cj \ \

Yi V^2m ~ U2m J > ^ ~ W2m ^ ' " " " ' 2i V 2m ~~ / / '

Проделаем аналогичные 1) пункту действия, но относительно матрицы без первого столбца.

В результате последовательности таких действий j-ая строка матрицы будет иметь вид:

(1 -2 kj -Akj -(n-l)kj 2kj Щ (п-1)кЛ

j u2m ? u2m j • • • j U2m ? U2m ? W2m j • • • j W2m J •

Первый столбец домножим на д/2? запишем 1 как cjj^.

Далее, аналогично 1), выносим за скобки ^ из строки j и

меняем местами столбцы, получая матрицу Вандермонда. Полученный определитель отличен от нуля, а значит, система является фреймом.

6. Проиллюстрируем данную теорему конкретным примером при п = 4, т = 6. Тогда

If ктг Зктг . kiv . ЗА;тг\ <рк = -д l^cos —, cos —, sin у, sin — J , к e О : 5.

Пусть были удалены и^. Тогда система {<£о? ^з? ^5} является фреймом.

Покажем, что полученная система не является жёстким фреймом. Если система из п единичных векторов в W1 является жёстким фреймом, то необходимо она является ортонормированным базисом. В данном случае векторы ср0 = 0, и = 0, ^ j не ортогональны, значит, система{(^о, ^з? ^5} не является жёстким фреймом.

Литература

1. Goyal V. К., J. Kovacevic, Kelner J. A. Quantized frame expansions with erasures // Applied and computational harmonic analysis. 2001. V. 10. P. 203-233.

2. Малозёмов В.H., Машарский С.M. Основы дискретного гармонического анализа. Часть первая. С.-Петербург. 2003.

3. Малозёмов В.Н., Певный А.Б. Системы Мерседес-Бенц и жёсткие фреймы //Семинар «DHA & CAGD».http://dha.spb.ru/ Избранные доклады. 28 февраля 2007.

4. P.G.Casazza, N.Leonhard. The known equal norm Parseval frames as of 2005 // Preprint, http://www.math.missouri.edu/ ~pete/

Summary

Duriagin A.M. Real harmonic frames, toughness and redundancy

It was proved that real harmonic frames possess maximal redundancy, i.e. if any m — n vectors are deleted then remaining n vectors form frame in W1 (in the general case, it is not tight frame). The fast frame expansion algorithm is offered.

Сыктывкарский университет

Поступила 13.12.2007