Оптимальные параметры метода аддитивного расщепления (мар) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 12.2010

УДК 518: 517.948

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МЕТОДА АДДИТИВНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ (MAP)

В.Л. Никитенков, А.А. Холопов

Решается уравнение х = b — Ах в банаховом пространстве с непрерывным линейным оператором так называемым методом аддитивного расщепления, когда оператор делится на несколько частей и применяется соответствующая итерационная процедура. Оптимальные параметры расщепления максимально расширяют по вещественной оси спектральную область сходимости.

An equation х — b — Ах in a Banach space with continuous linear operator A is solving by so cold additive-split method when operator is split to some parts and an appropriate iteration procedure is used. The optimal parameters of splitting are those to extend mostly the spectral region of convergence for a self-conjugate operator. Рассмотрим операторное уравнение x = b —Ax в банаховом пространстве X с непрерывным линейным оператором А : X —)► X. В прикладных задачах вычисление "обратных значений" А~1 у часто является трудно выполнимой операцией и решение ищется по методу простых итераций: xp+i — b — Ахр. Однако сходимость к решению с любого начального вектора возможна, если только спектр А находится в единичном открытом круге: |А| < 1, А Е , то есть когда спектральный радиус р(А) < 1. Если последнее условие не выполнено, то необходимо использовать модификации метода простых итераций. В работах [1, 2] для расчета пластин и тонкостенных оболочек успешно применялись так называемые МЗР (метод замораживания реакций) и MAP (метод аддитивного расщепления оператора) в случае интегральных операторов А со спектральным радиусом р(А) 1. Оба метода по существу эквивалентны и сводятся друг к другу. MAP, который имеет более простую итерационную схему, в своей обобщенной форме предполагает искать приближения к решению по схеме

Хр+п = b- Oil А хр - а2А хр+1 - ... - апА хр+п-Ъ р = 0,1,..., (1)

© Никитенков В.Д., Холопов А.А., 2010.

где п - натуральное число,Хо, Жъ • • • ? xn-1 - произвольный набор начальных векторов из X, параметры qli,ql2,... ,ап удовлетворяют соотношениям

ai + ... + ап — 1, ai ^ 0,... ап ^ 0. (2)

Сходимость (1) эквивалентна сходимости в пространстве Хп метода простых итераций

zp+i = b- Czp, р = 0,1,..., (3)

где zm = £ш+ь ..., xm+n_i), С - соответствующая операторная матрица п х п. Переход к схеме (1) существенно расширяет спектральную область сходимости А. Например, при а\ — а^ = ... = otn — ^ итерации (1) сходятся к решению, если спектр самосопряженного оператора А находится в интервале (—1, п).

В работе [3] сформулирована следующая задача об оптимальных параметрах MAP:

Каковы должны быть параметры (2), чтобы область (спектральная для А) сходимости (1) содержала интервал (—1, М) максимальной величины М ?

Там же показано, что оптимальность параметров (2) следует понимать условно, как недостижимую, так как для самосопряженных операторов А со спектром, лежащим в интервале (—1, М*), где sup М(а 1,... ап) — М(а\,... а*) = М*, сходимости (1) может не быть,

(OLj)

но есть субоптимальность: пнеболылоепб: - изменение параметров дает сходимость (1) для самосопряженных операторов А со спектром, лежащим в интервале (—1, М* — s), е > 0,

Пусть Tp(t), Up(t) - полиномы Чебышева первого и второго рода, задаваемые равенствами

Tp(t) = cos(jxj), sin(p+ 1)uü — sino; • Up(t), t = cos и

и пусть Q(a, t) — аг • Un-i(t) + ... + an • Uo(t) - полином (n — 1) степени.

В [3] показано, что оптимальные а* = (а*, о^, ..., а*) являются решением следующей нелинейной задачи оптимизации:

/ = jj = {~l)n~lai + ...- an_i + min

Q(a,t)> 0 ,iG[-l,l], Q = 2nal(t - hf(t - t2f ...(t- tkf , n = 2k + 1 (4) Q = 2 nai(t - h)2(t - hf ... (i - tkf{t + 1) , n = 2k + 2 ai + ... + an = 1.

Здесь ¿1,..., ^ - различные (кратности 2) корни полинома С^(а^) , = сойол,, 0 < ^ < 7г (при четном п = 2к + 2 полином £) имеет дополнительный простой корень = — 1 ). В той же работе [3] задача (4) была решена аналитически при п = 2,3,4 и численно при многих, в том числе больших, значениях п.

В настоящей работе выводится (ниже теорема 1) формула для корней ¿1,... для всех значений п. Кроме того, доказывается (теорема 2) пропорциональность параметров а*, с равноотстоящими от середины индексами, которая была указана еще в [3]. Наконец, получена (теорема 3) явная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для нахождения а* = (а*, а^,...,

Доказательство всех трех теорем использует следующее, недоказанное пока в общем виде, утверждение о свойствах корней полиномов Чебышева первого и второго рода.

Лемма (гипотеза). Пусть числа ^ задаются формулой

^ = сой и^ — СОй

(2^ + 1)тг

,3 = 1,...,к.

Здесь и далее везде к

п — 1

п+1

Тогда справедливы утверждения

(5)

1) При нечетном п = 2к + 1 невырожденными являются матрицы

А2 =

( Тк{1х) Тк(ь) ■ ■■ тк(гк)\

А! = т2{12) • ■■ т2(гк) 1

\ Ш) •• Тх{1к) )

тк(ь) Тк{12) тк(1к)

Т2(12) т2(гк)

\2Т1(11)-1 2ТХ(*2)-1 ••• 27^)-!/

Алгебраические дополнения ко всем элементам последней строчки А1 и А2 (эти дополнения для двух матриц одинаковы) не равны нулю и имеют один и тот же знак (отрицательный).

2) При четном п = 2к + 2 невырожденными являются матрицы

( Тк+1{1Х) ••• тк+1{1к) {-1)к+1\

Ая =

ЗД) Вд)

Т2(и)

( Tk(h)

а4 =

Tk(tk)

(_1)*+1 \ 1

/

Т2(ь) ■■■ Т2(ь) \2Т1(г1)-1 ••• 2^(^-1 -3

Алгебраические дополнения ко всем элементам последней строчки Аз и А4 (эти дополнения для двух матриц одинаковый ) не равны нулю и имеют один и тот же знак.

3) При всех п невырожденной является матрица

( 1 1

U0{ti) £M*i)

1 \

Uk(h)

\U0{tk) Ux{tk) ••• Uk(tk) J

Алгебраические дополнения ко всем элементам первой строчки Л5 не равны нулю и имеют один и тот же знак.

Справедливость этих утверждений непосредственно проверяется при малых значениях к и для значений к специального вида. Однако лемма общем случае не доказана и является гипотезой.

Теорема 1.

a) При нечетном п = 2к + 1 искомые корни удовлетворяют равенству

Uk+1(tj) = Uk.1(tj), (6)

являясь к младшими корнями полинома Uk+i(t) — Uk-i(t) степени k + 1. Старший корень его t0 = cos + 2) не вхо^ит в число tj.

b) При четном п = 2к + 2 искомые корни удовлетворяют равенству

Uk+iitj) = Uk{tj), (7)

являясь к младшими корнями полинома C4+i(i) — Uk(t) степени к + 1. Старший корень его i0 = cos + з) не 6Х0^ит 6 число tj.

с) Для всех п корни tj даются формулой (5):

(2i + l)vr

COS U!j

COS

n + 1

, j = l,...,k.

d) Корни tj также удовлетворяют, равенствам

Un{tj) = О,

Un-xitj) = Uo(tj) = 1 , Un-2(tj) = U,(tj) ,

Доказательство. Формулы (5) и (8) являются непосредственным следствием из (6), (7). Действительно, из (6) и определения полиномов Чебышева Up(t) получаем при нечетном п равенства

sin ((к + 2) иj) sin (к üüj)

-—--—— =--——, tj = coso;7-.

Sin üüj Sin üüj

Отсюда, пользуясь формулами для синусов суммы и разности углов, получаем

(2j + 1W

COSÍn + 1 )üüj = О ИЛИ üüj = -.

v y 3 3 n +1

В диапазоне [0, тг] находятся значения üüj при j = 0,1,..., к. Значение ¿о = cos ^ ^ не может являться корнем полинома Q(o¿*,t), так как

71 АЛ/ * , \ * • П7Г * • 7Г

sin-• Q(а , í0) = оьЛ • sin--Ь ... + <х, • sin- > U

n + 1 v 7 1 n + 1 n n + 1

(все синусы строго положительны, все а* неотрицательны и в сумме равны 1).

При четном п соотношение (7) дает ту же формулу (5). Действительно, из (7) и определения полиномов Чебышева Up(t) получаем равенства

sin ((к + 2) üüj) sin ((к + 1) üüj) sin üüj sin üüj

/ 7 , Q/ox n (2j + l)TT (2j + 1)7Г -p .

пли cos{k + ó/2)üüj = 0, пли üüj = 2fc + 3 = ^ + 1 —' индексов

j аналогичен.

Формулы (8) являются следствием (5) и рекуррентных соотношений для полиномов Чебышева

Tp+1(t)=2t • Tp(t) — Tp-i(t)

Up+i(t) = 2t • Up(t) — Up-i(t). 1 J

Например, при нечетном нечетном п при р = к + 1 из (9) следует £4+2= 2tj Uk+i{tj) — Ukitj)

Uk(tj) = 2tjUk-1(tj)-Uk-2(tj).

Вычитая, получаем f4+2(ij)-f4_2(ij) = 2tj-(Uk+i(tj) - Uk~i(tj)) = 0. Аналогично, при р = k ± 2 получаем Uk+s(tj) — Uks(tj) = 2ij • (C/fc+2(ij) — £4_2(ij)) = 0 и так далее. Наконец,

t^fo) - Uoitj) = 2tj • (^-ife) - U^tj)) = 0,

U2k+1(tj) - U^{t3) = f/n(ij) = 2tj • (^(i,) - C/0(^)) = 0.

Здесь принято C/_i(i) = = 0.

При четном n соотношения (8) выводятся аналогично. Докажем теперь (6), (7). Задача (4) является задачей оптимизации с неизвестными а2,..., otn\ ii, i2,..., Рассмотрим ее как задачу относительно лишь ai, а2,..., ап. Заметим, что условия неотрицательности а\ ^ 0,..., an ^ 0 здесь опущены, так как принципиального значения для MAP они не имеют. Требуется лишь убедиться в неотрицательности оптимальных параметров а\ ^ 0,..., а* ^ 0 после получения оптимального решения.

При фиксированных значениях корней ii,...,^ задача (4) похожа на задачу линейного программирования (ЗЛП) относительно неизвестных и только лишь несчетное число ограничений вида Q(a, t) ^ 0, iE [—1,1] не позволяет (4) считать ЗЛП. Заменим эту несчетную совокупность ограничений на конечную совокупность

при произвольных значениях Х{ Е [—1,1], среди множества которых обязательно должны быть корни ii,...,^, а также число tk+\ — — 1. Произвольность множества X — {х\,..., xn} делает (4) с несчетным количеством условий эквивалентной совокупности ЗЛП (зависящих формально от множества X)) вида

/ = (-l)n~lai + ... - an_i + min

ai • Un-i(xi) + ... + an • U0(xi) ^ 0

oil • Un.i(x2) + ... + • U0(x2) ^ 0 (10)

ai • Un-i(xN) + ... + an • U0(xN) ^ 0.

Все эти ЗЛП должны иметь общее решение а* = (а^,а2,. тором х) = 0, если х = tj и х) > 0, если х Ф tj

..,<), в ко-

Задача (10) как ЗЛП на min и не имеющая среди условий-неравенств вида имеет двойственную ЗЛП с переменными zi,..., zn, у, причем z\ соответствует первому неравенству в (10), z2 соответствует второму неравенству и так далее, у соответствует последнему условию-равенству. В свою очередь, переменная соответствует первому условию двойственной ЗЛП, а2- второму условию и так далее.

Двойственная ЗЛП имеет вид

у —» max

Un-i(xi)zi + ... + Un^(xN)zN + у= (-l)n_1 Un-2(x1)z1 + ... + Un-2(xN)zN + y= (-l)n-2

U0(x1)z1+ ... + U0(xN) zN + у = 1 ^ 0, ..., zN ^ 0 .

Согласно теории двойственных ЗЛП, оптимальные решения задач (10) и (11) существуют или не существуют одновременно и справедливы утверждения

/* = у* (совпадение целевых функций)

z* • Q(a*,Xi) = 0 (условия дополняющей нежесткости) (12) (второй комплект условий дополняющей нежесткости, очевидно, всегда выполняется).

Так как для х^ отличных от корней ii,...,^, выполнено строгое неравенство Q{a*, Xj) > 0 , то из (12) сразу же следует, что соответствующие z* = 0. Поэтому в системе ограничений (11) для оптимального решения можно оставить лишь те z*,, которые соответствуют корням ti,...,tk для нечетного п и ii,...,^, tk+1 = — 1 для четного п. Обозначим соответствующие значения z* через &i,..., а также b^+i для четного п.

Получается система относительно неизвестных ..., 1? у* :

3

Y,un-2it3)b3 + V* = (-ir2

(13)

3

где суммирование идет по всем корням tj, j = 1,к, к + 1.

Система (13) имеет уравнений п уравнений и неизвестных,

поэтому она переопределена при к ^ 1. При к — 0 система имеет един-

9

ственное решение у* = 1 для п — 1 и единственное же решение Ь\ — д,

2/* = ^ для п — 2. Именно переопределенность системы (13) дает возможность найти корни ¿1,...,

Дальнейшие преобразования (13) различаются для четных и нечетных п, поэтому рассмотрим их отдельно.

Случай нечетного п.

Пусть 71 = 2&+1. Пронумеруем уравнения (13) сверху вниз, указывая номер в угловых скобках.

и2к(гх) &х +... + и2к{гк)ък + у* = 1 < 1 > + ... + + 2/* = -1 < 2 >

ЕМ*!) + ... + ЕМ**) Ьк + у* = - 1 < 2к > Щ^Ъг + ... + £/<,(**) Ък + у* = 1 . < 2к + 1 >

Вычтем уравнение <3> из <1>, <4> из <2>,--- ,< 2к + 1 > из < 2к — 1 > . Тем самым, в полученных уравнениях не будет у*, а правые части будут равны 0. Кроме того, вычтем < 2к + 1 > из < 2к > . Так как Е/о(^) = 1, то уравнение имеет вид

2/* = 1 - &1 - • • • - Ьк,

то есть позволяет находить /* = 2/* через &1,..., Ък, и в дальнейшем не будет участвовать в системе.

Получаем следующую СЛАУ относительно 61,..., Ък.

52[и2к(ь)-и2к-2(*,)]Л- = 0 <1>

= 0 < 2/с — 1 > (14)

3

- ЫЪ)] • Ъ, =-2. < 2к >

Среди однородных уравнений <1>, ••• , < 2к — 1 > средним по счету является уравнение с номером < к >, которое можно записать как

з

где обозначено

Уз = [ик+1(Ь)-ик-1{Ь)]-Ь,. (16)

Используя рекуррентное соотношение (9), получаем для каждого ]

ик+2&) - ик{13) = 213[ик+1{13) - ик_- \ик{13) - ик-2Ш.

Умножив эти равенства на bj и сложив, получим из < А; — 1 >, < к+ 1 > равенство

$>«,• = 0. (17)

3

Далее, ик+1&) - ¿4-1^) = - ик-2&)] ~ [£4-- £/*_3&)].

После умножения этих равенств на bj и сложения по у получаем, с учетом уравнений < к < к + 2>, вспомогательное равенство

0. (18)

3

Рассмотрим уравнение < к — 2 >. Имеем, снова из (9),

им{13) - ик+1{13) = щ • \ик+2{13) - ик{13)\ - \ик+1{13) - ик^{13)\ = = Щ . [ик+1{13) - ик^{13)\ - 213 . [ик(Ъ)-ик-2{13)\ - [ик+1{13) - ик_

Умножим последние равенства на bj и сложим. С учетом уравнений < к — 2 >, < /с > и вспомогательного уравнения (18) получим равенство

3

Аналогично получаются равенства

= 0, Х^"1 •«; = <). (20)

3 3

Равенства (15), (17), (19), (20) показывают, что получена квадратная однородная система линейных алгебраических уравнений относительно

неизвестных г^,..., г^. Определитель матрицы этой системы является определителем Вандермонда

1

¿1

1

t2

,к-1 ,/с-1 61 62

1

Ък ,к-1

=п

^<3

Так как все корни £ 1,..., ^ различны (иначе кратность некоторых корней полинома £) была бы больше двух), то этот определитель

не равен нулю, и однородная система (15), (17), (19), (20) имеет лишь нулевое решение

VI = У2 = ... = Ук = 0. (21)

Определение (16) и равенство Vj = 0 приводит к двум случаям: или ^ = 0 или ик+\{1э) ~ £4-1 = 0.

Заметим, что bj ф 0 хотя бы для некоторых иначе неоднородная система (14) не имела бы решения. Можно было бы непосредственно доказывать, что допущение bj — 0 хотя бы для одного ] приводит к выводу о равенстве bj = 0 для всех ^ то есть к противоречию (это следует из невырожденности матрицы квадратной СЛАУ, составленной из к — 1 уравнения с номерами < А; + 1 >,...,< 2к — 1 > системы (14)). Однако проще воспользоваться следующей теоремой для двойственных ЗЛП: Если для допустимых решений двойственных ЗЛП выполнены условия дополняющей нежесткости, то эти допустимые решения являются оптимальными решениями. Покажем, что все условия этой теоремы выполнены, если в качестве взять корни из условия (6) теоремы, то есть к младших корней полинома С4+1 —

Допустимость Ьх,..., У* - Значения ^ находятся из квадратной СЛАУ, составленной из последних к уравнений системы (14). При этом первые уравнения с номерами < 1 >,...,< /с — 1 > будут копиями уравнений с номерами < к +1 >,...,< 2к — 1 >. Условия неотрицательности Ь\ ^ 0, &2 ^ 0, ..., Ьк ^ 0, также входят в число условий (11) и их необходимо проверить. Так как для всех ] — 1,..., к и всех т = 2,..., к выполнены равенства

/ ч / ч Бт(т + 1)шп — Бт(т — 1)шп ит(Ъ) - ит-= —-М---— = 2соътиэ,

то указанная квадратная неоднородная система имеет расширенную матрицу

cos киол cos кио2 / ...

A—i

\ cos 2uoi cos 2ио2

2coso;i —1 2 cos 6J2 — 1 ••• ^cosg^ — 1 —2

Согласно лемме матрица A2 является невырожденной, поэтому система (22) дает однозначное решение. Кроме того, матрица А2 имеет алгебраические дополнения к последней строке одинакового знака. Из формулы Крамера для решения СЛАУ получаем, что и Ь1з..., , пропорциональные алгебраическим дополнениям к последней строке (22), также имеют одинаковый знак. На самом деле все bj > 0. Косвенно это видно из равенства у* = 1 — 6i — ... — ? так как ПРИ отрицательных bj < 0 значение М* = у* = < 1, тогда как должно быть

М* > 1 при n > 1 . Число у* находится из последнего уравнения (13). Таким образом, найденные &i,..., у* действительно являются допустимыми решениями (13), а с учетом z* = 0 для остальных индексов, соответствующих Q(a,Xi) > 0, допустимыми решениями (11).

Допустимость а* = (а*, а^,..., Значения а* также однозначно находятся из системы равенств Q(a*, tj) = 0 (см. ниже теорему 3). Хотя требования aj ^ 0 формально не входят в число условий ЗЛП (10), но мы воспользовались ими при отбрасывании старшего корня ¿о = cos (^y) и их необходимо проверить. Положительность а* > 0 также следует из теоремы 3.

Выполнение условий дополняющей нежесткости. Очевидно, условия выполняются, так как а* = (а*, ..., а*) и Ь1?..., у* находятся из системы равенств.

Итак, корни (6) обеспечивают оптимальность а* = (а*, с^,..., а*). Теорема в нечетном случае доказана.

Случай четного п.

Пусть п = 2к + 2» В системе (13) выделим слагаемое с индексом j = к + 1. Так как = —1, то из (9) получаем

Uo(-l) = 1;

С/1(-1) = 2(-1)-0 = -2; U2(-1) = 2(-1)(-2) -1 = 3;

cos kojk cos 2a;fc

0 0

(22)

и2к+1(-1) = (-1)(2к + 2).

Система (13) после вычитаний, аналогичных случаю для нечетного п, примет вид

X [и2к+1^з) ~ и2к_• Ъ3 - 2Ьк+1 = 0 < 1 >Д

з

X [и2к(Ь) - и2к-2&)] ■ 6J + 2Ьк+1 =0 < 2 >

з

(23)

X) №(*;/)-ад-)] Л- + 26^+1 =0 <2к>

3

^ШЪ) - и0(Ъ)] • Ь, -3Ьк+1 =-2. < 2/с + 1 > з

Сложим уравнения <2> и <1>, <3> и <2> и так далее, и рассмотрим полученную однородную систему уравнений <1>,- • • ,< 2к — 1 >

X [Ък+ЛЪ) + и2к(Ь) - и2к.- и2к.2{13)} ■ 0 < 1 >

з

+ ик+1(г3) - гад) - £4ад)] -ъ3 =о < к > ^

з

X [адо+адо-адо-ад-)]л- =о. <2к~г>

3

Выражения в квадратных скобках (24) можно упростить. Для уравнения со средним по счету номером < к > можно записать, пользуясь (9), два равенства

£4+2(^,7) = ик+х(^) — ик-х(^) = £4(^) — £4+1(£?)-

После вычитания получаем

£4ад) - £/*адо = (2^- +1) • (£4ад-) - ад-)) •

Тогда

[£/*адо + £4ад-) - ад) - £4ад)] = [щ + 2) • (£/*ад-) - ад-))-

Аналогично, выражение в квадратной скобке уравнения < к — 1 > равно

[ик+з(^) + Uk+2(tj) - ик+1(Ь) - Ukitj)] = = (2tj + 2) • (Uk+2(tj) - Uk+1(tj)) = (2tj + 2)2 • (Uk+1(tj) - Ukitj)).

Упростив таким образом первые к уравнений (24) и обозначив через vj = [Uk+i(tj) -ик(^)]-Ь3,

получаем относительно неизвестных v\,..., vk однородную СЛАУ с определителем типа Вандермонда, равным

к

3 =1 i<3

Он не равен нулю, так как все корни различны и не равны -1. Тогда выполнено (21), то есть v\ — v2 = ... = vk = 0. Снова можно считать, что для всех j выполнено равенство f4+i(ij) — Uk(tj) = 0.

Величины &i,..., bk+i можно найти из последних к + 1 уравнений (23). Матрица А4 этой системы согласно лемме является невырожденной и имеет алгебраические дополнения к последней строке одинакового знака. Из формулы Крамера для решения СЛАУ получаем, что и 61,..., bk+i также имеют одинаковый знак, а именно, Ъ\ >0, Ь2 > 0, ..., Ьк > 0. Итак, показано, что формулы (6), (7) дают значения корней ii,..., для которых задача оптимизации имеет решение. Теорема 1 доказана.

Установив значения корней 11,..., tk , можно найти значения оптимальных параметров из системы равенств = 0. Но, прежде всего, докажем справедливость гипотезы о свойстве оптимальных параметров MAP, указанной в [3].

Теорема 2. Оптимальные значения а* удовлетворяют соотношениям

2 ' = (гс - 1) •

(25)

к • а*+2 = (к + 2) • а*к п = 2к + 1,

(к + 1) • а£+2 = (к + 2) • а£+1 п = 2к + 2 .

Доказательство. Все корни ¿1,..., являются кратными, поэтому для них выполнены два равенства: 1) = 0; 2) ? _ д

Дифференцируя по и тождество

sin(р + 1)ио — sino; • f/p(coso;), получаем при t = coso; ф ±1 формулу для производных

t-Up(t)-(p+l)-Tp+1(t)

Ш =

i -t2

Умножим эти равенства, взятые в точках прир = 0,..., п — 1, на значения а*п_р и сложим их. Тогда из определения полинома (^(а*, £) получаем

dQ(a*,tj) _ tj ■ Q(a*, t¿) - E^J (P + 1) ' <-P '

dt

Равенства Q(a\t3) = 0, = о дают СЛАУ

n • cos nuoi • a* + ... + 2 eos 2cji • a* + eos güi • a* = 0 n • COS 716^2 • CK* + . . . + 2 COS 26J2 • 1 + C0S ' = ^

n • eos no^ • a\ + ... + 2 eos 2о;/ь • + eos g^ • a* = 0 .

Случай нечетного n = 2k + 1.

2,7 + 1

7Г

< 1 > < 2 >

< k > 7Г >

(26)

= COS(j7í + ^)=0и

В этом случае cos(A; + 1)^ = cos (k + 1) - ^r

слагаемые с в (26) равны нулю.

Система (26) обладает симметрией по столбцам, а именно, столбцы матрицы (26), симметричные относительно среднего (нулевого, как показано выше) столбца, являются противоположными с точностью до коэффициентов n, п — 1,..., 2. Действительно,

cos пш

= — cos[(2j + 1)тг — nuüj] —

— COS

(2j + l)(n + l)-n(2j + l) n + 1

7Г = — COS Gü*

COs(n — 1 )uj = — COs[(2j + 1)7Г — (n — l)cjj] =

'(2j + l)(n + l)-(n-l)(2j + l)

(27)

= — cos

n + 1

7Г — — COS 2cjj

и так далее. Обозначим

qi = — п • а{ + а*; 92 = -fa - 1) • +

'ni

(28)

Як = -(fe + 1) -а£ + А;а£+2 •

Из-за отмеченной симметрии (27) систему (26) можно рассматривать как однородную СЛАУ относительно неизвестных ..., qk из (28)

cos ио\ • qi + cos 2cji • g2+ • • • + cos kuo\ • = 0 cos U2 • + cos 2gj2 • §2 + • • • + cos кио2 • qk — 0

cos a;*; • (ft + cos 2^ • g2 + • • • + cos kuk • qk = 0 . Матрица этой системы

совпадает с матрицей А\ из леммы после транспонирования и последующей перестановки строк (1 строка меняется с последней и так далее). Очевидно, указанные преобразования не меняют невырожденность матрицы, поэтому согласно лемме данная однородная СЛАУ имеет лишь нулевое решение = ... = % = О, откуда следует справедливость (25).

Симметрия (27) по столбцам матрицы системы (26) также выполняется. Теперь нет среднего столбца. Введем обозначения, аналогичные (28):

А =

/ cosgji cos2o;i • cos U02 cos 2u2

у cos ujk cos 2uk - - - cos kuk /

при

Случай четного n = 2k + 2.

qx = —(2k + 2) -а\ + а*2к+2\ q2 = -{2k+ 1) -a; + 2a;k+1;

(29)

4k+1 = -(fe + 2) • + (к + 1) • c4+2 .

Вместо квадратной системы имеем однородную систему из к уравнений и к + 1 неизвестного (29). Недостающее уравнение можно добавить из

равенства 1) = 0, так как tk+i = —1 в четном случае также

является корнем.

Ранее уже приводились значения полиномов Чебышева в точке — 1:

U0(-l) = 1; £Л(-1) = -2; U2(-l) = 3;..., U2k+1(-1) = (-1)(2А; + 2). Тогда — 1) = 0 дает равенство

-(2к + 2) • aj + (2к + 1) • а*2 + ... - 2 • а*2к+1 + а*2к+2 = О, или, в обозначениях (29), недостающее уравнение

gi-д2 +••• + (-1)4+1 = 0.

В итоге для §1,..., qk+i получаем однородную СЛАУ

cos ио\ • qi + cos 2ui • g2+ • • • + cos(£; + l)uo\ • qk+i = 0

cos Uk • q\ + cos 2^ • g2+ • • • + cos(A; + 1)иок • qk+i = 0 91- ?2+ ••• + (-l)/c+W = o.

cos cji • + cos 2ui • §2+ • • • + cos(£; + l)uo\ • qk+i = 0 cos Uk - qi + cos 2^ • g2+ • • • + cos(£; + • qk+i = 0

91- 42+ ••• +(-l)/c+W = o.

Матрица этой системы после транспонирования, последующей перестановки строк (1 строка меняется с последней, вторая с предпоследней и так далее) и последующего умножения последнего столбца на -1, совпадает с матрицей из леммы и, следовательно, является невырожденной. Очевидно, указанные преобразования не меняют невырожденность матрицы, поэтому согласно лемме данная СЛАУ имеет лишь нулевое решение qi — q2 — • • • — qk+1 = 0, и (25) справедлива и в четном случае. Теорема 2 доказана.

Рассмотрим теперь систему для нахождения оптимальных параметров а* = (а*,а*,...,<).

Теорема 3. Пусть

г _ j 1, n = 2к + 1,

2, п — 2к + 2 .

Тогда

l)a\,a2,..., ак+1находятся из неоднородной СЛАУ порядкак + 1 :

( 1 1 1*1

а* + - + ... + + 6—--— • o¿*k+1 =

2 2 ..... к к 2 (к +1) п + 1

* 1 • о * 1-7 * cs'm(k + 1)lü\ *

sin cüi • о^ + - sin 2cji • + ... + - sin kuoi • o^ + о —————— • ak+1 = Ü

2 ГЬ 2угь~\~1)

* 1 • о * 1-7 * rsin(/c + 1W

smwt ■ аг + - Sm2u)k ■ a2 + ... +-smkcok ■ ak + ó + 1 • = 0

(30)

Остальные а* находятся из соотношений (25).

2) Система имеет единственное решение: а* > 0 V¿.

Доказательство. Для нечетного п условие а\ + o¿í> + ... + а* = 1 можно записать с учетом (25) в виде

а\ + na\ + а2 + ~Y~a*2 + ••• + а*к + —+ al+1 = а после разделения нап + 1 = 2А; + 2,в виде

* 1 * 1 * 1 * 1

ал + 7^2 + ••• + Н--= -7?

1 2 к к n +1 /с+1 п + 1

что совпадает с первым условием (30) при 6 = 1. Аналогично получаем первое условие (30) при 6 = 2.

Для доказательства справедливости остальных условий (30) заметим, что

sin nujj = sin[(2j1)7í—tíüjj] = sin -————-7í = sinüüj] sm(n—l)üüj = sin2o;j,

Th | 1

и так далее. Тогда условие tj) = 0 при нечетном гг = 2к + 1 запи-

шется (после умножения на sin ujj ф 0 ) как

sin üüj • (а* + а*) + ... + sin küüj • (q£+2 + + sin(A; + 1 )ujj • о£+1 = 0.

Разделив это равенство на n + 1 = 2к + 2 и, используя соотношения (25), получаем однородные условия (30). Совершенно аналогично они получаются при четном п = 2к + 2.

Для доказательства второго пункта теоремы заметим, что матрица системы (30) невырождена по лемме. Действительно, если разделить

второе уравнение (30) на sincji ф 0, третье - на sinc^ ф 0, и так далее, то вместо sinpujj можно писать Up-i(tj). Далее, второй столбец умножим на 2, третий - на 3 и так далее, последний - на и получим матрицу Решения а* СЛАУ по формуле Крамера пропорциональны алгебраическим дополнениям по первой строке. В лемме формулируется одинаковость знаков ненулевых алгебраических дополнений матрицы А$ по первой строке, что вместе с условием нормировки (2) дает положительность параметров а*. Теорема 3 доказана.

Литература

1. Михайловский Е. И., Никитенков B.JT. К расчету и рациональному проектированию опор для тяжелых цилиндрических оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности. Горький: Изд-во ГГУ] 1985. С. 120 - 125.

2. Михайловский Е. И., Никитенков В.Л., Тарасов В.Н. Определение реакций упругоподатливых опор одностороннего действия под сосудами давления // Строительная механика и расчет сооружений. М., 1986. № 3. С. 54-57.

3. Никитенков В. Л.А., Холопов А. А. Оптимальные области сходимости линейных многослойных итерационных процедур// Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения) : Межвуз. сб. науч. тр. /Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1991. С. 134 ~ 14%-

Summary

Nikitenkov V.L., Kholopov A.A. The optimal parameters of an additive-split method (ASM)

An equation x — b — Ax in a Banach space with continuous linear operator A is solving by so cold additive-split method when operator is split to some parts and an appropriate iteration procedure is used. The optimal parameters of splitting are those to extend mostly the spectral region of convergence for a self-conjugate operator.

Сыктывкарский университет

Поступила 20.05.2009