Научная статья на тему 'Точные формулы для оптимальных параметров мар'

Точные формулы для оптимальных параметров мар Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
22
1
Поделиться
Ключевые слова
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ / ПОЛИНОМ ЧЕБЫШЕВА / ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА / ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Никитенков Владимир Леонидович, Холопов Александр Алексеевич

Решена задача о нахождении точных значений оптимальных параметров так называемого метода аддитивного расщепления для решения операторного уравнения x=b-Ax в банаховом пространстве. Оптимальные параметры максимально расширяют спектральную область сходимости метода вдоль вещественной оси.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Точные формулы для оптимальных параметров мар»

Вестник Сыктывкарского университета.

С ер Л. Вып.Л.12011

УДК 539.2

ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ MAP

В. Л. Никитенков, А. А. Холопов

Решена задача о нахождении точных значений оптимальных параметров так называемого метода аддитивного расщепления для решения операторного уравнения х = b — Ах в банаховом пространстве. Оптимальные параметры максимально расширяют спектральную область сходимости метода вдоль вещественной оси.

Ключевые слова: область сходимости, полином Чебышева, двойственная задача, оптимальные параметры.

1°. Постановка задачи.

В работах авторов [1,2] рассмотрена рекуррентная процедура Хр+п = b- aiAxp - а2Ахр+1-----апАхр+п-Ъ р = 0,1,..., (1)

ai Н---- +ап = 1, (2)

находящая при р ос и при сходимости (1) решение уравнения

х — Ъ — Ах. (3)

В (1)-(3) п - натуральное число, 6, i,... - векторы банахова про-

странства X, А - непрерывный линейный оператор в нем, xq, ..., xn-i - произвольный набор начальных векторов и о^, • • •, otn вещественные параметры.

Известно, что сходимость линейных рекуррентных процедур зависит от значений ¡jl точек спектра а (А) оператора А. Например, при

© Никитенков В. Д., Холопов А. А., 2011.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

п — 1 (метод простых итераций) точка спектра ¡л должна находиться в единичном открытом круге В\ = {ц : \ц\ < 1} комплексной плоскости. В этом случае В\ является областью гарантированной сходимости, или спектральной областью сходимости. При п > 1 спектральная область сходимости (1) зависит от параметров а = {а\, с*2,..., ап). Например, при ol\ — 0L2 — ... — otn — 1/п спектральная область сходимости (1) содержит интервал (—1, п) вещественной оси. Естественно возникает задача о нахождении таких параметров а* = (а*,..., а*), при которых спектральная область сходимости (1) включала бы себя интервал (—1, М) максимальной длины: М sup. Правда, при оптимальных

значениях а* интервал (—1, М*) будет содержаться лишь в замыкании спектральной области сходимости, так что оптимальность следует понимать лишь в предельном смысле.

В работе [2], на основе предполагаемой (но не доказанной) формы спектральной области сходимости при оптимальных значениях а*, а также на основе нескольких недоказанных свойств матриц определенного вида (лемма-гипотеза в [2]), была получена система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для нахождения а*, с^,..., а*.

В настоящей работе мы доказываем все предположения [2], кроме того, указанная СЛАУ точно решена, то есть получены точные формулы для а*у Весь анализ основан на использовании свойств некоторых ортонормированных базисов, составленных из точек делений круга, а также, как и в [2], на идее использования свойств двойственных задач линейного программирования.

Расчеты, дословно повторяющие из [2], будут опущены. Все вспомогательные утверждения приведены и доказаны в конце работы.

2°. Основной результат.

Теорема. Оптимальные значения а*, М* даются формулами

(а)

п + 1 п + 1 2 (n + 1)

2 р . ртт

-S1I1-

tg

, р= 1,...,П,

(4)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

М*

(5)

Доказательство. В работах [1, 2] задача нахождения а* сведена

к задаче параметрического программирования

h = M~l = an - an_i H-----Ь (-l)n~lo¿i ->► min

Q(a, t) = c^1C/ri_1(i) + • • • + anU0(t) ^ 0 , Í6 [-1,1], (6)

H-----\-an = l.

Здесь Uv(t) = (p + 1) cj ^ _ C0S6J_ Полином Чебышева вто-^ smo; '

poro рода порядка р. Ниже будут использованы также полиномы Чебышева первого рода, заданные равенствами Tp(t) = cospuo, t — cosa;.

В отличие от [1, 2] никаких предположений о количестве корней Q(o¿,t) в отрезке [—1,1] мы делать не будем. Но будет доказано, что внутренних корней, то есть в интервале (—1,1), должно быть ровно к = [п ~2 и еще есть один корень t — — 1 при четном п.

Будет доказано также, что h* > 0 и переход от М ч тах к h min является корректным.

Заменим несчетную совокупность ограничений (6) на конечную совокупность вида r¿) ^ 0, г — 1,..., 7V, при произвольных (

и различных) значениях r¿ G [—1,1], среди множества которых обязательно должны быть корни полинома Q(a*,í).

Ниже будет показано, что полученные задачи линейного программирования (ЗЛП)

h = (—l)n~lo¿i + ... — i + ап —>> min

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

OLI • Un-i(ri) H-----hftn' ^ 0

olí • £4-1 (Ы H-----V an • C/0(r2) ^ 0 ^

' ^n-i(^) H-----Ь • C/0(rjv) ^ 0

ai + • • • + an = 1

имеют общее, независимое от выбора множеств {r¿}, оптимальное решение а*, при котором полином í) имеет корни í1?... ,ím. Тогда a* и будет решением (6).

Итак, необходимо решить ЗЛП (7). Эта ЗЛП допускает двойственную ЗЛП с переменными 24, ... у, причем 24 соответствует первому условию-неравенству в (7), Z2 ~ второму неравенству и так далее, у соответствует последнему условию-равенству.

В свою очередь, переменная а\ соответствует первому условию двойственной ЗЛП, ol2~ второму условию и так далее.

Двойственная ЗЛП имеет вид

у —» шах

^-1(^1)21+ +ип-1(гм)гм + у ип-2(г1)г1+ ••• +ип-2(гм)гм + у

I)71-1 1)п~2

(8)

^0(^1)21 + +и0(гм)гм + у = 1 ¿1^0, ^ 0, ..., ^ 0 .

Согласно теории двойственных ЗЛП, оптимальные решения задач (7) и (8) существуют или не существуют одновременно. В условиях (8) двойственной ЗЛП нулевые значения ^ могут быть опущены. Покажем, что условиям (8) для каждого п удовлетворяет лишь один комплект неизвестных ( с точностью до нулевых значений Очевидно, этот комплект и является оптимальным решением (8).

Из теории двойственных ЗЛП также следует, что:

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

/г* = у* (совпадение значений целевых функций),

г* Г7) = 0, у — 1,..., ТУ (условия дополняющей нежесткости).

Из условий дополняющей нежесткости следует, что при г * > 0 выполнено = 0 и г^ совпадает с каким-либо корнем поли-

нома <2(а*, £) в отрезке [—1,1]. Обозначим эти корни через тх,..., тш , а соответствующие ненулевые значения г* через 61,..., Ьт. Пулевым значениям г* также могут соответствовать какие-то корни поэтому т не более числа всех различных корней, хотя ниже будет показано, что возможно только равенство.

Теперь условия ЗЛП (8) можно записать в виде

Избавимся от у, для этого вычтем третье (сверху) равенство из первого, четвертое из второго и так далее. При очередном вычитании используем старые равенства. Дополнительно вычтем последнее равен-

^1-1(7-1)61 Н-----Ь ип-1(тт)Ът + у = (-1)

^1-2(7-1)61 +----Ь ип-2(тт)Ьт + у = (-1)

71 — 1

п-2

с/о (7-1)61 + ••• +и0(тт)Ъгп + у = 1 61 > 0, ..., Ът > 0 .

ство из предпоследнего и получим условия в виде

m

^ [Un-i(Tj) — Un-S(Tj)] bj = О i=i

m

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

^[^Ы-С/оЫ]^ = 0 (9)

i=i

m

^mr^-Uoir^bj =-2

3 = 1

6i > 0, ..., 6m > 0 .

Для решения (9) рассмотрим различные случаи соотношения целых неотрицательных чисел т, /, /си четности п, где

m - число положительных переменных bj в (9), не большее числа всех различных корней Q(a*,í),

n = 2к + 1 при нечетном п и п = 2к + 2 при четном п, I - число различных внутренних корней среди Tj, j = 1,..., m (обозначим их, не умаляя общности, через Ti,..., r¿).

Так как Q(a*,í) ^ 0 в окрестности любого внутреннего корня, то ti,...,t¿ являются корнями четной (не менее 2) кратности. Всего корней с учетом кратности должно быть не более, чем (n — 1) - порядок Q(a*,í) при а* ф 0. Тогда для т, /, к справедливы неравенства

1) m ^ I + 2 (возможно, есть еще корни t — ±1),

2) I ^ к (внутренние корни имеют кратность не менее двух),

3) I ^ т.

Из 1) - 3) следует, что возможны следующие 9 случаев:

I. т < к, n = 2к + 1;

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

II. т < к + 1, п = 2к + 2;

III. т — к1 n = 2k + 1, I — к — 1, тт — 1 кратности 2;

IV. т = /с, n = 2А; + 1, I — к — 1, тт — — 1 кратности 2;

V. т = к, n = 2к + 1, I = к ;

VI. m = /с + 1, n = 2/с + 1, I — к — 1 — т — 2, rm_i = —1, тш = 1;

VII. т = к + 1, п — 2к + 2, I = к — 1, rm_i = —1, тш = 1;

VIII. т = к + 1, n = 2/с + 2, l = k, тт = 1;

IX. m = fc + l, n = 2/с + 2, l = k, тт = -1.

Система (9) имеет гг — 1 линейное уравнение и m неизвестных,

поэтому она переопределена при к ^ 1. Именно переопределенность системы (9) дает возможность найти корни 7~х,..., тш.

Если к — 0, то решения ЗЛП (7) — (8) несложно находятся: при п = 1, тп = 1 = 0 верно М* = у* = а\ = 1, при п = 2, т = 1, / = 0 получаем

П = -1, 6х = 2/3, /г* = у* = 1/3, М* = 3, = 1/3, = 2/3.

Во всех случаях будем предполагать тп > 0, так как в ЗЛП (8) тп — 0 возможно лишь при п — 1.

Покажем, что (9) разрешима лишь в случаях V и IX.

Случай I. тп < к, п = 2к + 1.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

При нечетном п система однородных уравнений (9) имеет сред-

га

нее по счету (к-е по порядку сверху) уравнение ^^ — ^ ^ где обозна-

¿=1

чено

Уэ = [ик+1(т,)-ик-!(т,)] Ъ,. (10)

Сложим два соседних со средним уравнения (9) и получим

тп

^ [^Ы - ик{тэ) + ик{тэ) - ик_2{тэ)] Ъэ = 0. ¿=1

Для полиномов Чебышева справедливы рекуррентные соотношения для всех р

тр+1(г) = я ■ тр(г) - т^г)

ир+1{1) = 21 -и^-и^). [ ]

С учетом (11) при р = к + 1 и при р = к — 1, слагаемое в квадратной скобке принимает вид

Умножение на bj и сложение по ^ дает равенство

тп

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

.7=1

Аналогично, складывая попарно следующие, равноотстоящие от среднего, уравнения (9), и учитывая уже полученные равенства для приходим к однородной СЛАУ

ш ш

= = = 1 • v3 =

j=i j=i j=i

Так как m — 1 < к — 1, то ограничимся первыми m равенствами и получим квадратную однородную СЛАУ относительно неизвестных vi,...,vm с определителем Вандермонда для матрицы этой системы. Известно, что определитель Вандермонда равен

i<j

Так как все корни Ti,...,rm различны, то этот определитель не равен нулю и однородная система имеет лишь нулевое решение

Vi = v2 = ... = vm = 0. (12)

Сократив на bj > 0, приходим к равенствам

£4+i0j) - Uk-^Tj) = 0, j = l,...,m.

Полином t4+i(i) — t4_i(i) = 2T/c+i(i) имеет к + 1 внутренний корень вида

(2j+ 1)тг .

i-i = COS UJj — cos-, 7=0, ...,/c. 13

J J n+1 V У

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Таким образом, 7~i, ... , тш совпадают (скажем: занимают) с какими-то m корнями (13), оставляя свободными к + 1 — m ^ 2 корней (13). Обозначим через rm+i, ... какие-либо к — m ^ 1 корней (13) из числа оставшихся свободными. Последний оставшийся свободным корень (13) обозначим через tq.

Расширим число неизвестных в (9) до введя формально переменные 6m+1 = 0, ... , Ь^ = 0 и, соответственно, um+i,..., v^ по тем же формулам, что и в (10).

Равенства (12) показывают, что среднее уравнение в (9) является тождеством. Аналогичные тождества

m m

3=1 3=1

полученные сложением равноотстоящих от среднего уравнений (9), показывают линейную зависимость первых к — 1 от остальных и также могут быть опущены. Оставшаяся система равенств является квадратной неоднородной СЛАУ относительно неизвестных Ъ\, ... , Ь^ с правой

частью (0, 0, ... , — 2)т и матрицей

Ах =

( Тк(п)

Т2(п) V 2Тг(тг) - 1

Тк(тк) \

Т2(тк) 271Ы - 1 У

(14)

В последнем уравнении использовано равенство щ^) — щ^) — 2*- 1 = 2Тх - 1.

Согласно утверждению 2 (все утверждения приведены в конце статьи, после доказательства теоремы) матрица (14) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (40)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Ь- — 2_^^_

' (* + 1)(1 + т0)

, ] = 1, ... ,£;.

Но это противоречит равенству Ь^ — 0, так как все т^ различны. Таким образом, решения (8) в случае I нет.

Случай II. тп < к + 1, п = 2к + 2.

При четном п в системе (9) есть 2к однородных уравнений и средним уравнением будем считать также к-е по порядку сверху урав-

171

нение ^^^ — {) ^ где обозначено Vj = [[4+2 С^) — bj .

¿=1

Далее все рассуждения случая I повторяются и снова получаем равенства (12), или

Полином [4+2 (£) — [4(^) = 2Т/с+2(^) имеет к + 2 внутренних корней вида

7 п + 2

которые совпадают с (13), если к заменить на/с + 1: п + 1 = 2Н2 в случае I, п + 2 = 2к + 4 = + 1) + 2 в случае II.

Добавим снова 6ш+1 = ... = 6^+1 = 0 и получим квадратную СЛАУ относительно неизвестных Ь1?..., 6^+1 с матрицей (14) и правой

частью (О, 0,..., — 2)т. Эта СЛАУ по формуле (40) имеет ненулевые решения, что противоречит условию Ъь+\ — 0. Таким образом, решения (8) в случае II также нет.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Случай III. m — /с, n = 2к + 1, т^ — 1.

Повторяем те же преобразования, что и в случае I. Только теперь нет лишних равенств в (9) и мы не можем добавлять дополнительную нулевую переменную b& = 0. Но противоречивость (9) видна раньше, так как т^ = 1 не может быть корнем (13). Действительно, Uk+2(1) — Uk( 1) = 2, так как Up(t) = р, что следует, например, из (11) и определения Up.

Таким образом, решения (8) в случае III также нет.

Случай IV. m — к1 n = 2/с + 1, т^ — — 1.

Повторяем те же преобразования, что и в случае III. Так как теперь т^ — — 1, то он не может быть корнем (13). Действительно, из (11) и определения Up следует, что С4+1) — t4(—1) = (—1)^2 ф 0. Таким образом, решения (8) в случае IV также нет.

Случай V. т = к, п — 2к + 1.

Все корни внутренние, кратности 2. Повторив рассуждения случая I (только теперь дополнительных переменных нет), приходим к аналогичной СЛАУ с решением (40)

bj~2(k + l){l + T0)' J'-1'""*-

Чтобы неравенства bj > 0 в (9) выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы ть был старшим корнем (13) ть = ¿о — cos „ Т i • Но

/ L | 1

го единственный свободный корень из (13), поэтому можно считать, что Tj = tj при всех j = 0,..., к являются искомыми корнями.

Показано таким образом, что оптимальное решение ЗЛП (8) при нечетном п = 2к + 1 (в последнем возможном для нечетного п случае VI, исследованном ниже, решения также нет), дается формулой

l _ о tj _ о COS CUq - COS UJj .

(k + l)(l + t0) " (A; + 1)(1 + coscj0)' ^

где tj, uüj определены в (13).

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Из симметричности из3 относительно угла из — тг/2 видно, что к к

tj — О или S tj — ~^о • Используя это равенство при сложении в з=о з=1

(15), получаем

к

1 V^ L 1 ~ ,2 11

По теореме двойственности целевые функции двойственных ЗЛИ (7) и (8) совпадают в оптимальных решениях: h* = (М*)-1 = у*, откуда получается М* = ctg2 2(^+Т)"'

Формула (5) при нечетном п доказана.

Случай VI. т = к + 1, п = 2/с + 1, т^ = — 1, г^+х = 1.

В этом случае число неизвестных к + 1 больше числа однородных уравнений для получения равенств(12), и нельзя действовать так, как в случае I. Выполним другие преобразования в (9). Выделим из сумм в (9) слагаемые с тк, тк+\. С учетом равенств IIр+2(1) — С/р(1) = 2 и С/Р+2(-1) - ир(-1) = (~1)р 2 получаем СЛАУ

к-1

- и2к-2(ъ)] ъз + 2Ък + 2Ьк+1 = 0

3=1

к-1

[Е/3(т,) - и^)} Ъ3 - 2Ък + 2Ък+1 = 0

г: <1б>

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

[и2(т3) - Щ(т3)] Ъ3 + 2Ък + 2Ък+1 = 0

3 = 1

к-1

^ [и^т,) - Щ(г,)] Ъ3 - ЗЪк + Ък+х = -2

3 = 1

61 > 0, ..., > о.

Покажем, что первые к — 1 однородных уравнений (16) могут быть опущены, так как являются линейно зависимыми от остальных.

Вычтем (к + 1)-е равенство из (к — 1)-го, (к + 2)-е из (к — 2)-го и так далее. Наконец, последнее однородное уравнение вычтем из первого. Всего будет к — 1 новых уравнений, в которых отсутствуют неизвестные б/c+i. Первое новое уравнение запишем в виде

к-1 3=1

где обозначено

Vj = [iUk+2(Tj) - Uk{Tj) - ик(ъ) + f/fc-2(7-j)] bj .

Выражение в квадратной скобке можно упростить, используя соотношения (11):

£4+2 Ы - 2Uk(Tj) + £4-2<Vj) = 2Tj [Uk+i(rj) + £4-iЫ] - 4£/fc(rj) = 4(r/ - l)£/fc(r,).

Далее, в следующем новом уравнении

Uk+3(Tj) - Uk+1(Tj) - Uk~i(Tj) + Uk-z{Tj) = 2Tj[Uk+2{T3) + Uk.2{T3)] — 2 [2TjUk(Tj)] =

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2Tj [£4+2(tj) - Uk(Tj) - Uk(Tj) + i7fc-2(Tj)] = Sr^rZ-l)^^),

k-1

что позволяет это новое уравнение записать в виде ^ Tj vj = 0 .

j=i

Аналогично, вычитая попарно следующие, равноотстоящие от среднего уравнения (16), и учитывая уже полученные равенства для и j, приходим к квадратной однородной СЛАУ для Vj с определителем Вандермонда и получаем ^ = ... = v^-i — 0. Так как Tj являются внутренними корнями, то после сокращения на bj и Tj2 — 1 равенство Vj = 0 даст формулу Uk(rj) = 0.

Полином Uk(t) имеет к внутренних корней вида

s« = cos --= cos-, i — 1,..., к . 17

J fc +1 n + 1 vy

Следовательно, ri,..., r^-i занимают какие-то к — 1 корень из (17), оставляя свободным один корень, который обозначим через tq.

к—1

Тождества ^ тзЧ,1)з = 0, д = 0, ... , к — 2, полученные вы-¿=1

читанием равноотстоящих от среднего уравнений (16), показывают линейную зависимость первых к — 1 от остальных и также могут быть опущены. Оставшаяся система равенств является квадратной неоднородной СЛАУ относительно ..., Ьк+г с матрицей

Ао =

( Тк+1(Т1) ••• Тк+1{тк-1) (-1)"+1 1 ^

ЩП) ••• Т2(ГА_!) 1 1 \2Т1(т1)-1 ••• 2Т1(т*_1)-1 -3 1 /

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(18)

и правой частью (0, 0,..., — 2)т.

Согласно утверждению 3 матрица (18) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (42), в частности,

ь"= (*7Т) > = (ГГЩТы <0 ■

Последнее неравенство противоречит условию Ъь+\ > 0. Таким образом, решения (8) в случае VI нет.

Случай VII. т = к + 1, п = 2/с + 2, — — 1, тк+1 = 1.

Поступим так же, как в случае VI, и после отделения Ьк и получаем СЛАУ

к-1

[С/гл+х^-) - С/гл-хМ Ъэ - 2Ък + 2&л+х = 0

¿=1

[Е/3(т,-) - С/1 (г,-)] Ъэ - 2Ък + 2Ьл+1 = 0 (19)

¿=1 к-1

^ Штэ) - и^тэ)] Ъэ + 26, + 2Ь*+1 = 0 . ¿=1

Теперь в (19) четное (2&) число уравнений. Вычтем из первого уравнения (19) не последнее, а предпоследнее, и так далее. Индексы в

полиномах Чебышева увеличены на единицу. Выполним те же преобразования и получим

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

v] = (г/ - 1) ик+1(ф, = 0, j = 1, ... , к - 1.

Таким образом, 7~х,..., т^-i должны быть корнями вида

4 = cos-^, j = l,...,k + l. (20)

Выполним вычитания в (19) еще раз, но по-другому. Вычтем из второго уравнения последнее, из третьего - предпоследнее и так далее. Как и в случае VI, приходим к выводу, что 7~х,... , т^-х должны быть корнями вида (17)

Sj = eos у~~~~~т j = 1, • •А; + 1 .

к + 1

Но корни (17) и (20) не могут совпадать, так полиномы Чебышева являются классическими ортогональными полиномами, для которых выполнено свойство перемежаемости корней для двух последовательных полиномов. Впрочем, это видно и непосредственно из формул (17) и (20). Это противоречие показывает, что случай VII невозможен.

Случай VIII. m = к + 1, п = 2к + 2, I = /с, — 1.

Выделим в (9) слагаемое с b^i и получим СЛАУ к

Y^ [^+1 (Tj) - U2k-i(Tj)] bj + 2^+1 = 0

3 = 1

k (21) ^[и2(т3)-Щ(т3)]Ъ3 + 2 6,+1 = 0

j=i

к

^Шт3)-и,(т3)]Ъ3 + = -2. j=i

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Вычтем из первого уравнения (21) последнее, из второго предпоследнее и так далее. Последнюю, к - ю разность запишем в виде к

X) Vj = 0, где Vj = [£4+2(^-) - £4(7}) - C4+i(Tj) + bj .

j=i

Упростив выражение в квадратных скобках, как и в случае VI, для V] получим более простое выражение

Щ = - 1) [Uk+iiTi) + Uk-^Tj)] b3 .

к

Предпоследняя разность приведет к уравнению ^ {2тj — l)vj = 0, от-

з=1

к

куда ^ TjVj = 0, и так далее. i=i

Делаем заключение, что 7~х,..., т^ должны совпадать с корнями полинома Uk+i(t) + Uk-i(t) вида

2 J 7Г 2 J 7Г

57 = cos ^-- = cos--, 7 = 1. ... , к + 1 . (22)

J 2/с + 3 п + 2 J v 7

Пусть го единственный оставшийся свободным корень (22). Отбросив первые к уравнений (21), для bj получаем СЛАУ с матрицей

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Ая =

Тк+1(тг)

Т2(п) 271 (n) - 1

Тк+\{тк)

1 \

Ып-г) 1 2Ti(rA_i)-l 1 /

(23)

и правой частью (0, 0,..., — 2)т.

Согласно утверждению 4 матрица (23) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (43) и, в частности,

h+1 = ~(2к + 3)(1 + т0) < ° "

Это неравенство противоречит условию b^i > 0. Таким образом, решения (8) в случае VIII нет.

Случай IX. m = к + 1, п = 2к + 2, I = /с, т/^+х = —1.

Выделим в (9) слагаемое с b^+i и получим СЛАУ

- U2k-i(Tj)] bj -2bk+i = О

з=i к

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

iU^(rj) - и2к_2(тэ)] b3 + 2Ь*+1 = О

j=i

J=1 к

J2mrJ)-U0(rJ)]bJ+2bk+1=0

(24)

i=1 к

j=i

Сложим первое уравнение (24) с последним однородным, второе с предпоследним и так далее.

Как и в других случаях, получим ^ = ... = vk = 0, где

= (tj + 1) Pk+iirj) - ик(т3)\ bj .

Следовательно т\, ... , т^ должны быть среди корней полинома Uk+i(t) - Uk(t) вида

(2j+ 1)тг (2j+ 1)тг . tj = cos —^-~— = cos-:— , j = 0, ... , к .

2/с + 3

+ 1

Это та же формула (13). Пусть снова т0 единственный свободный корень (13), не совпадающий г^ при ^ = 1, ... , к.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Отбросив первые к уравнений (24), для неизвестных bj получаем СЛАУ с матрицей

/ тк+1(п) ■■■ Тк+1(тк) (~1)к+1\

Ад

Un)

Т2(тк)

(25)

\2TI(ti)-1 ••• 2Ti(rk) — 1 -3 J

и правой частью (0, 0,..., — 2)т.

Согласно утверждению 5, матрица (25) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (44)

Ьн = 4 , 7 Г° N,Т]-- , j = 1,..., к,

J (2к + 3)(1 + т0) ' J ' ' '

bk+i —

(2к + 3) '

Чтобы неравенства bj > 0 выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы го был старшим корнем (13) ть = to — cos . Но ть

11 | 1

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

единственный свободный корень из (13), поэтому можно считать, что Tj = tj при всех j — 0, ... , к.

Показано таким образом, что оптимальное решение ЗЛП (8) при четном п = 2к + 2 также существует, единственно и дается формулами: при j = 1,...,/с

^ ^ to — tj ^ COS CJq — cos GJj

J ~ (2k + 3)(1 + to) ~ (2k + 3)(1 + coscjq) '

где ij, cjj определены в (13).

Теперь симметричности ujj относительно угла ио — тг/2 нет, но к к

2 Ё ^ -1 =0 j или Ё ^ = V2 - h •

i=0 i=l

Используя это равенство при сложении в (26), получаем

/с + 1 ^ii Г)

,г = 1-5> = 1-5:4

J=1

^ (2к + 3)(1 + to) 2к + 3

1 - to ,2 7Г = tg

1 + io 2(2к + 3)'

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

то есть ту же формулу, что и в случае нечетного п.

По теореме двойствен] при четном п также доказана.

По теореме двойственности М* = ctg2 ^ и формула (5)

Установив значения корней ..., , теперь можно найти значения оптимальных параметров а*.

Из доказанного теперь представления

г) = 2п-1ах- Ь)2^ - ¿2)2 при п = 2к + 1,

= г71-1^!^ - ¿1)2(^ - ¿2)2 + 1) при п = 2к + 2

для каждого внутреннего корня получаем два равенства:

Я{а\Ъ) = 0; (27)

Вычисляя производные в (27), исходя из определения (¿(а*^) через полиномы Чебышева, можно найти следующие соотношения между значениями а*

* *

ап = п • аг 2 • а*п = (п - 1) •

(28)

к • а*+2 = (к + 2) • а*к п = 2к + 1,

(А; + 1) • о£+2 = (А; + 2) • о£+1 п = 2к + 2 .

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Соотношения (28) подробно выведены в [2] в предположении невырожденности матрицы из утверждения 6. Поэтому здесь их вывод не приводится, но невырожденность А$ доказывается в утверждении 6.

Получение точных формул для а*.

Условие (2) с учетом (28) дает равенство

+ У + + Т + 62(к^Т) ~ ^тт' (29)

с _ \ 1, при п = 2к + 1, ГД6 \ 2, при гс = 2к + 2 .

При нечетном п = 2к + 1 корни ^ удовлетворяют равенству = , откуда по формулам (11) находим

ик+2&) = - ЕЗД) = - ик{13) = ,

и так далее, и2к(^) — ^о(^) • Тогда

(.< + а1)и2к{Ь) + • • • + (а*к+2 + а*к)ик-1^) + а*к+1ик{^) = (п + 1) [аШ^) + •'' + f ик.г{13) + ВД) ] = 0.

При четном п = 2к + 2 получаем из равенств

ик+!(Ъ) = , — , ... , =

аналогичное представление, только в последнем коэффициенте не будет 2 в знаменателе при

Обозначим через хр переменные

Хр

7 al

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2р) '

р = 0,... ,к ,

(30)

где 7 = 1 только если одновременно п = 2/с + 1 и р = £; + 1, 7 = 2 в остальных случаях.

Равенство = 0 после разделения на п+1 даст условия

fc+l

(27 + 1W

^ Up-i(tj) хр = 0, j = 1, ... , к. Умножим их на sin = sinUj

р=i

и из определения полиномов Чебышева получим однородные уравнения

k+1 Esi

snip

P=1

(2j + 1)тг

П+1

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

— 0, i — 15 ... , A;.

(31)

Для неизвестных ... , х/с+х из (30) условия (29) и (31) образуют СЛАУ с матрицей

л =

( 1 1 \

••• sinífc + l)^

. (2fc + 1)тг . „ , ^(2fc + l)7T

Sm n + 1 ••• Sin (fe + 1) n + ^

1

sinÍTFT

(32)

Согласно утверждению 7, матрица (32) является невырожденной и полученная СЛАУ имеет единственное решение (46)

7 . ртт хп = ——г sm ——г tg

р = 1, ... ,к + 1.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

п + 1 п + 1 2 (п + 1)' Тогда из определения (30) для всех п, р = 1,..., /с + 1 получаем

* Рхр а =-

Р 7

2]9 . J97T

sm-г tg

-, р = l,...,fc + l ,

п + 1 п+1 2(п + 1): то есть формулу (4) при всех п и всех р = 1,..., /с + 1.

Из соотношений (28) следует справедливость (4) также и для р = к + 1 ..., п. Теорема доказана.

3°. Ортонормированные базисы точек деления круга.

Обозначим через ср константы

с° = \1 ~ГТ ' = Т (33)

п + 1 V^ + l

Утверждение 1.

1) Пусть при n = 2к + 1 и р = 0, ...,£; через обозначены векторы

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

/ J97T 3j97T (2fc + l)j97T ч

0»D — cv COS-, cos-,.... cos- = , ч

p n +1' n +1' ' n + 1 J (34)

= (Tp(to), Tp(ii), ... ,Tp(ifc)). Тогда ap, p = 0, ... , к образуют ортонормированный базис в Rk+1.

2) Пусть при n = 2к + 1 и р = 1, ... , А; через Ьр обозначены векторы

7 / . ртг Зртг . (2А; + 1)ртг\

bjj = sm-, sm-,..., sm- ,

Р Р V n + V n + V ' n + 1 ) ' (35)

Ь*+1 = со (1, -1, ... , (-1)') . Тогда bp ^ р = 1,..., А; + 1, образуют ортонормированный базис в

3) Пусть при п = 2к + 1ир = 0, ... ,к + 1 через ар обозначены векторы

( 1 2ртг 4ртг 2кртт 1 \

ар = ср cos cos ..., cos (-1)" j . (36)

Тогда ар, р = 0,..., к + 1 образуют ортонормированный базис в Rk+2.

4) Пусть при n = 2А; + 2 и р = 0, ... , А; + 1 через ар обозначены

векторы

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

I 2 ртг 4 ртг (2 к + 2)ртг 1 \

ар = ср cos ——, cos ——,..., cos-——, — . (37)

V n + 1 n + 1 n + 1 v 2 /

Тогда ap, p = 0,..., A;+l образуют ортонормированный базис в i?/c+2.

5) Пусть при п — 2к + 2 и р = 0, ... , А; + 1 через ар обозначены векторы

( Р^ Зрк (2к + 1)ртг 1 \

аР = СР cos ——, cos ——,..., cos-——, -If — . 38

\ n + 1 n + 1 n + 1 v 2 /

Тогда api p = 0,..., A; +1 образуют ортонормированный базис в Rk+2.

6) Пусть при п = 2к + 2 и р = 1, ... , А; + 1 через Ьр обозначены векторы

Ьр = ср sin ——, sin ——,..., sin-—— . (39)

\ n+1 n+1 n+1 J

Тогда bpi p = 1,..., к образуют ортонормированный базис в Rk+l.

Доказательство. Ортонормированность для всех наборов (34)-(39) доказывается подобно и стандартно использует свойства первообразных корней из единицы. Докажем, например, ортонормированность (38).

Обозначим через е — ехр [тг i/(n + 1)) = ехр (2 7г г/(4к + 6)) первообразный корень из 1 порядка 2п + 2 = 4А; + 6. Тогда верны равенства

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

£2к+3 _ £2к+А _ и подобные.

Введем при р — 0, ... , к + 1 векторы

. I . ]97Г 3j97T . (2 А; + 1)р7Г _ bp = sin ——, sin ——,..., sin-——, 0

v n + 1 n + 1 n + 1

и комплекснозначные векторы

= Ср"1 (ар + гЬр) = (е*, е..., (-1)' +

Пусть и-у обозначает сумму произведений координат векторов и, V, как для вещественнозначных векторов (тогда и • V скалярное произведение, так и для комплекснозначных векторов (тогда и • V скалярное произведение).

Тогда при р, д = 0,..., к + 1, р ф д справедливо

& • = £р+я + £3{р+<1) + ■ • • + + (-1)Р+9 -

2

1 _ р2(А:+1)(р+д) 1

__I _

1 _ ч 2 "

Аналогично,

1 _ ^2(*+1)(р+<7) 2

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

^ • - €р • - 1 _ -2(р+д) + ( 2 '

откуда

ё, = -в2(/г+1)(р+<?) + (-1 г* = о.

Также, учитывая равенство = получаем при р ф q

£р-£Я + £Р-£Я = о.

Тогда при р ф q

С1р ' (2 д

СрСд

■ ъ + 4 • & + • ё, + & • = о,

что означает ортогональность векторов при р ф д. При р = д ф 0 также верно • + • £р = 0, но

^ ? ^ л , 1 2к +3

• = • = 1 + • • • +1 + 2 = —

поэтому, с учетом множителя (33), г,2

(1р • (1р

с - - - - / 2Л; + 3 \

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

а0 • а0 = с2й (1, 1,..., 1, • (1, 1,..., 1, = с2 (2/С2ЬЗ) = 1.

Ортонормированность (38) доказана.

Утверждение 2. Пусть 71,..., Тй - различные корни вида (13). Последний оставшийся свободным корень (13) обозначим через то. Тогда СЛАУ А\ х = у с матрицей (14)

/ Т/ь(г1) ••• Тк(тк) \

Л1= Т2(п) ••• Т2(тк)

\2Т1{т1)-1 ■■■ 2Т\{тк) — 1 У

для произвольного у — (ух,..., ук)т имеет единственное решение х, задаваемое при р — 1, ... , к формулой

ХР = /7. , 1Х/1 , _ Ч У к +

ъ то (к + 1)(1 + го)

2 к (40)

(к + 1)(1 + То) ^ ^ + ~ ^ + '

В частности, при у — (0, 0,..., — 2)т и 7~о = ¿о? гДе ¿о -старший корень (13), получаем положительные решения хр > 0.

Доказательство. Строки матрицы А1 являются неполными и видоизмененными векторами ар, р = 1,..., к из набора (34). Неполнота заключается в отсутствии в строках А\ координат, соответствующих свободному корню го, видоизменение заключается в перестановке порядка координат: т0,..., тк вместо • • • и отсутствии нормирующих множителей ср. Порядок координат не влияет на свойство ортонор-мированности. Кроме того, в последней строке А1 вместо а\ находится линейная комбинация а\ и а0- Однако ясно, что систему А\х — у можно расширить до системы А\х — у так, чтобы А\ имела строками базисные векторы (34), а при соответствующем подборе у давала решение А1 х — у. Опишем последовательность такого расширения.

1) Добавим к вектоу х переменную Хо и образуем новый вектор х = (#0, х\ч • • • ? хк)Т• Соответственно к матрице А1 добавим нулевой столбец из Тр(то), подобный другим столбцам (в последней строке будет

2Тг(т0)-1).

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2) Добавим к уравнениям новое уравнение Х^+Х1+- • -+хк = Ун+ъ

3) Сложим добавленное уравнение с последним уравнением для системы А\ х — у, то есть с уравнением с правой частью ук , и разделим полученную сумму на 2.

4) Умножим первые к уравнений на нормирующий множитель С1, а дополнительное на Со и получим систему

7 ~ ~ ( Ук + Ук+1 \Т Агх = у = (С12/1, С\у21 ..., схук_ъ с 1---, с0ук+1) .

Матрица А\, состоящая из векторов ортонормированного базиса, является ортогональной, поэтому ее столбцы также образуют ор-тонормированный базис о! , р = 0,..., к. Систему А1х = у можно представить в виде

а'0х0 + а[х1 Н-----Ь а'кхк = у ,

что после скалярного умножения на а'р дает формулу

Хр = а'р-у, р = 0,..., к . (41)

Из (34) видно, что

а'р = (с1Тк(тр),С1Тк-1(тр), ... , С\ ТЦтр), с0 ).

Подберем теперь так, чтобы дополнительная переменная х0 — 0.

Тогда разрешимость расширенной системы дает разрешимость исходной системы. Из (41) находим

х0 = а'0 • у = ci ТзЫ Ук+i-j + с? Ti(r0)

J=2

Для равенства Xq = 0 необходимо взять

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2//С+1 = - го2//с +

Ук + 2//С+1 , 2 --- +С0 Ук+1-

к \ х

3 =2 / 0

Здесь учтено, что ТЦтр) = и что с\ — 2Сд. Тогда при р = 1,..., к из (41) получаем

Хр • У

/ ~ V^ 2 гг ( \ ,2 Ук + 2/fc+l , 2

р'У = С1 + С1 -9- + С0 Ук+1 =

3=2

71+ 1

(п+ !)(! +То)

2 ^^(rpj^+i-j + уктр + (1 + тр)ук+1

3=2

)

(тр - То) Ук +

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Ё К1 + r°)ri(rp) - (! + тр)тЗЫ] Vk+1-j ■

(п + 1)(1 + г0)

Так как п = 2к + 1, то получаем (40). Утверждение доказано.

Утверждение 3. Пусть п = 2к + 1 и ti, ..., 7>_i - различные корни вида (17)

2^ ■ 1 ^ S,- = cos-, 7 = 1,.... к .

J n + 1' ' '

Последний оставшийся свободным корень (17) обозначим через tq.

Тогда СЛАУ А2 х — у с матрицей (18)

(-1)*+1 1 \

а2 = т2(п) • ^2(^-1) 1 1

•• 2Т1{тк.1)-1 -3 1 /

для произвольного у — (ух, ... , х)т имеет единственное решение х, а при у — (0, 0,..., — 2)т это решение равно

Хр

2 (т0 - тр) (к + 1)(1 + т0)

Хк = кТ1>01

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Хк+1 =

(42)

1-го

(А; + 1)(1 + го)

< 0.

Доказательство аналогично доказательству утверждения 2. При этом используется ортонормированный базис (36). Кроме того, в расширенной системе используется вектор неизвестных

х

= (хо, ... , хк-Ъ л/2 X/,, л/2 Х/С+1)Т .

Утверждение 4. Пусть п = 2к + 2 и тх,..., тк - различные корни вида (22)

2] тг 2] тг

8п = СОй —- = СОй

2к + 3

п + 2'

3 = \, ... ,к + 1.

Оставшийся свободным корень (22) обозначим через ть. Тогда СЛАУ А3 х = у с матрицей (23)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

А,

( Тк+1(тг) Ып)

V 2Тх(п)-1

Г/с+х^)

1 \

Г2(г,_х) 1 2Тх(г,_х)-1 1 /

для произвольного у — (ух, • • •, 2//с+1)Т имеет единственное решение х, а при у — (0, 0, ... , —2)т это решение равно

Хр

Хк+1

4(т0 - тр) (п + 1)(1 + г0) 2

(п + 1)(1 + то)

, р = 1, ... <0.

Доказательство вполне аналогично доказательству утверждений 2, 3. При этом используется ортонормированный базис (37).

Утверждение 5. Пусть п = 2к + 2 и тх,..., тк - различные корни вида (13)

2] 7Т 2] 7г

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

= сой —-= СОЙ-,

3 2/с + 3 гс + 1'

.7 = 0, ... ,к + 1.

Оставшийся свободным корень (13) обозначим через то. Тогда СЛАУ Л4 х = у с матрицей (25)

А4 =

( Тк+1(п)

Т2(п) гг^п)-!

т2(тк-1) 2Т1{тк-1)-1

/

для произвольного у — (ух, • • • ,2//с+1)Т имеет единственное решение х, и при у — (0, 0, ... , —2)т это решение равно

Хр

Хк+1

4 (то - Тр)

(2к + 3)(1 + г0)' 2

~ 2/с + 3 '

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(44)

Замечание. Так как решения с правой частью у — (0, ... ,0,1)т пропорциональны по формуле Крамера алгебраическим дополнениям по последней строке, то утверждение доказывает справедливость пункта 2 леммы-гипотезы из работы [2].

Доказательство вполне аналогично доказательству утверждений 2-4. При этом используется ортонормированный базис (38).

Утверждение 6. При нечетном п = 2к + 1 матрица А$

/ЗД) тк(ь) ... тк(гк)\

А5 =

Т2(*х) Т2(*2) V Гх(^х) Тх(*2)

Т2(**)

Гх(^) /

невырождена. Здесь р = 1, ... , А;- корни (13).

Система Аъх — у при у — (0, ... , 0,1)т имеет знакопостоянное (отрицательное) решение

Хр

2 — ¿о) + 1

р = 1, ... ,к.

Доказательство аналогично доказательству утверждений 2-5. Используется ортонормированность базиса (34). Так как решения с правой частью у — (0, ... , О,1)т пропорциональны по формуле Крамера алгебраическим дополнениям по последней строке, то утверждение доказывает пункт 1 леммы-гипотезы из [2].

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Утверждение 7. Пусть при всех п (четных и нечетных) значения

uüj заданы формулой (13): Uj — j — 0, ... , к.

Тогда СЛАУ Aq х — у с матрицей (32)

i ••• i \

А _ sincji ••• sin {к + 1)60*1

\ s'muük ••• sm(k + l)uk )

для произвольного у — (уо, • • •, Ук)Т имеет единственное решение х, задаваемое при р — 1, ... , к + 1 формулой

хр = 7 Бтршо tg —2/0

27 v^ Г . , ^о . ,

tgy2^ [sin puj ctg y - sinpuo Ctg

3 = 1

n + 1 0 2 ^ L 0 2 2 J

(45)

У31

где 7 = 1 только если n = + 1, p = к + 1, и 7 = 2 в остальных случаях.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

При у — (l/(n + 1), 0, ... , 0)т это решение равно

7 ртг тг

Хр = —— sin —— tg ———, р = 1, ... , к + 1. (46) п + 1 п + 1 2 (n + 1)

Утверждение доказывает пункт 3 леммы-гипотезы из [2].

Доказательство. Используем ортонормированность базисов (35) и (39) при нечетном и четном п соответственно. В отличие от предыдущих случаев, неполными и видоизмененными базисными векторами являются столбцы матрицы А6.

Заменим первое уравнение системы х\ + • • • + Xk+i = Уо другим уравнением

sin Cüq Х\ -Ь • • • + sin ик хк+1 = у'0 ,

где yf0 требуется подобрать так, чтобы замененное уравнение выполнялось.

Для нормировки столбцов матрицы введем новые переменные х'р формулой

Со х'к+1 = х/с+ь в случае п = 2к + 1 С\ х' — хр, в остальных случаях .

Тогда систему с замененным уравнением относительно новых переменных можно записать в виде

Ь\ х\ + • • • + Ък+1 х'к+1 = г = (у'0, ух, ... , ?//с)Т с базисными векторами Ьр из (35) или (39). Тогда

к

йтршо ^ + . (47)

х'Р-Ьр'г- \1 п + 1

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

3=1

Теперь найдем у'0 из условия х\ + • • • + = ?/о: /с+1 I——— 2 27 к

р=1 р=1 р=1 ^=1

Это выражение упрощается, так как

^ 27 . 4 Л . 2 . (к + 1)тг

> —— йш рсоо = —— > ътрш о + —— 81п-—— =

п + 1 п + 1 п + 1 п + 1

р=1 Р=1

О ™

2 ^-л . дтг

ЕЦ! I

йш--

п + 1

п + _

<7=1

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

как для четных, так и для нечетных п. Последняя сумма равна

/т [ехр (гиоо) + • • • + ехр (тио^)] —

1 + ехр (го;0) ш0 тг

1т-——- = ctg — = ctg

1 — ехр (гиоо) 2 2(п + 1) ' Аналогично,

у- 27 ^ . у- 27 .

р=1 ,7 = 1 ,7 = 1 р=1

к о п ^

^—> . ^—> ^ (а) А

3 = 1 д=1 J = l

Получаем

к

2 ujq . 2 ^—> ujj

У0 = ПTictgTy° + —i2~<ctgYy^

3 =1

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ИЛИ

к

/ П + 1 , Wov^ X из

Уо = У* tgy - tgy ctg 2 '

j=i

Подставим это выражение в (47) и после упрощений получаем (45). Формула (46) получается из (45) очевидным образом. Утверждение доказано.

Литература

1. Никитенков В. Л., Холопов А. А. Оптимальные области сходимости линейных многослойных итерационных процедур// Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения) : Межвуз. сб. науч. тр. /Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1991. С. 134 ~ Ц2.

2. Никитенков В. Л., Холопов А. А. Оптимальные параметры метода аддитивного расщепления (MAP) // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 12. С. 53 - 70.

Summary

Nikitenkov V. L., Kholopov A. A. The exact formulae for the optimal parameters of ASM

An additive-split method (ASM) is used for solving an equation x = b — Ax in a Banach space with linear operator A. The exact formulae for the optimal parameters of ASM which extend mostly the real spectral interval of convergence are given.

Keywords: region of convergence, Chebyshev polynom, dual linear programming task, optimal parameters.

Сыктывкарский университет

Поступила 11.10.2011

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.