Равномерные фреймы в пространстве r^n Текст научной статьи по специальности «Математика»

112

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

УДК 517.51+517.98

РАВНОМЕРНЫЕ ФРЕЙМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ^1

© 2008 М.А.Лапшина2

В данной статье приведена конструкция равномерного фрейма Пар-севаля в пространстве сколь угодно большого объема. Выяснено какие из построенных фреймов являются фреймами Грассмана и равноугольными фреймами.

Ключевые слова: границы фрейма, оператор анализа, оператор синтеза, фрейм, равномерный фрейм.

Введение

Основное внимание в данной работе уделяется равномерным фреймам для пространства RN, то есть фреймам, состоящим из элементов одинаковой нормы. В первом параграфе приведена конструкция равномерного фрейма Парсеваля в пространстве RN сколь угодно большого объема. Аналогичная конструкция в пространстве CN была описана в статье [1] и там же было показано, что стандартный переход к вещественной или мнимой части этой конструкции не приводит к цели.

В работе [2] также были приведены примеры равномерных фреймов Парсеваля в пространстве RN, однако при проверке обнаружилось, что требование равномерности нарушается. Поэтому первую часть данной работы можно рассмотреть как уточнение работы [2].

Во второй части работы приводятся другие варианты ограничений на фреймы (это так называемые фреймы Грассмана и равноугольные) и выясняется какие из построенных в первой части фреймы удовлетворяют этим ограничениям.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором С.В. Асташки-ным.

2Лапшина Мария Александровна ([email protected]), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

1. Построение равномерного фрейма Парсеваля в пространстве R^

Все рассуждения в работе будем проводить в конечномерном пространстве Rw, в котором введено стандартное скалярное произведение (-, ■) и норма ||х|| = лЦх, х). Пусть М и N — натуральные числа, причем М ^ N.

Введем понятие фрейма:

Определение 1.1: Набор элементов {ф;}^ из Rw называется фреймом для пространства Rw, если существуют положительные числа А и B такие, что для всех х из Rw

м

АУх||2 ^^ |<х, ф;>|2 < B\\х||2.

;=1

Числа А и B называются соответственно нижней и верхней границей фрейма, причем inf B — оптимальная верхняя граница фрейма, а sup А — оптимальная нижняя граница фрейма. Если оптимальные верхняя и нижняя границы совпадают, то есть А = B, то фрейм называется жестким. Жесткий фрейм, у которого А = B = 1, называется фреймом Парсеваля.

Определение 1.2: Фрейм {ф;}Mi называется равномерным, если существует число а такое, что ||ф;У = а для любого i.

[N

Заметим, что для равномерного фрейма Парсеваля а = [1].

С каждым фреймом связаны три оператора:

1) оператор анализа F : х ^ {<х, ф;>}М=1, F : Rw ^ RM;

м

2) оператор синтеза F* : {a;} е RM а;ф; е Rw, сопряженный для

;=1

оператора анализа;

3) фреймовый оператор Sх:

^ <х, ф;> ф;.

M

Ях= F* Fх =

;=i

Для каждого х из Rw справедливо фреймовое представление:

M

х=

;=1

^ <х, S 1ф;> ф;.

Перечисленные выше факты с доказательствами изложены в книге [3] и в статье [1]. Следующая теорема в статье [1] получена в качестве следствия общей теоремы П. Касацы (Г. Cacazza) и его соавторов. В данной работе предлагается конструктивное доказательство для пространства RN.

Теорема 1.1: В пространстве RN существует фрейм Парсеваля {ф;}= с одинаковыми нормами для любого М ^ N.

Доказательство: Введем в расмотрение следующие М X М матрицы отдельно для четного и нечетного числа М.

Пусть М = 2к + 1, в этом случае определяем матрицу

1 1 1

ф0 ф1

ф2

фМ-2 фМ-1

1 сое 2л— сое 2л— М

О вт 2л— вт 2л— М

М 2_

Л

пространстве КМ.

Покажем сначала, что

Если г = 0, то

к 2к

сое 2л— сое 2л—

М М

к 2к

вт 2 л— вт 2 л—

М М

{фг}М—1 образует

ео8 2п 8Ш 2п

У2

М1

М М1

М

ео8 2п вт 2л

к(М - 1) М

к(М - 1)

= 1 для всех г = 0,...,М — 1.

22М

= — X — = 1. Если г = 2а - 1, а = 1,... ,к, то М 2 4 ' 4

0 М—1 0 1 М—1

2 ^ о _ д7 2 1

= ||ф2д-11|2 = — ^ сое2 2л-^- = — } 11 + сое 4л—_ | =

2 1 ^

М ~ М2 ^

2_

М

1=0 М—1

1=0

М

М 1 ^ --1— > сое 4л—

2 2 М

1=0

2_

~М

1 М—1

1=0

_ 2_ /М 1 /1 -(со2^ ~М\Т + 2 СI 1 - со2? ,

Ш .2 ,

где со = ] =

Рассмотрим цепочку равенств

2п ]2дМ

Ке('-(ш2!>М| = Ке

1 - ш2?

1 - ехр м 2п /2д 1 - ехр М

= Ие

1 — ео8 4лд — 8Ш 4лд

4лд . 4лд

1 - сое--/ вш-

ММ

4лд\

(1 - сое 4лй) 1 - сое-

1 М (1 - сое 4л<?) .2

- - = вт 2лд = 0

2 - 2 ео8

4лд

2

для д = 1,..., к. Таким образом, получаем ||ф2?—1N = 1 для д = 1,..., к. Аналогично, если г = 2?, д = 1,...,к, то

2 2 м—1 ? д7 2 = ||ф2,11 = Т7 8111 2л~ = ~~

7=0

ММ

1 М—1 ,

м 1 V ---> сое 4л—

2 2 М

7=0

= 1.

1

2

2

Таким образом, имеем равенство ||ф2д||2 = 1 для всех q = 1,...,к.

2я/

Пусть ш = ехр М . Покажем, что ф; — попарно ортогональны для значений I = 0,..., М - 1

М-1 „ М-1

2 V „ (2q - 1)l

<фо, ф2?-1>= -F > J cos 2л-

mV

2

M

Мл/2

Re^(œ2q-1/ = 0,

l=0

M-1

<ф0, ф2q> =

2 2ql 2

mV2%

Z. 0 2qi

sin 2л— M

M-1

_ Im У (со29)'

m mV2 to

2n j2qM

2 1 - œ2qM 2 1 - exp M Im--— =-— Im-

mV2 1 - co2? м V2

2n j2q 1 - exp M

• 4nq . 2nq

о (1 - cos Ana + i sin 4jm)(1 - cos--1- / sin-)

2 I_4 J HJy M M

Мл/2

2 - 2 cos

4nq ~M

• 2 о • 4jt<7

о sin 2jto sin-

2 4 M

mV2

1 cos

4nq

= 0,

M-1

<Ф29-ЬФ29>= TT J]

= —Im M

M J_

" M

M-1

2nl(2q - 1) . 4nql cos-sin ■

l=1 M-1

M

M

Z. 2nl(4q - 1) v- . 2nl

sin--1- > sin-

MM

/=1

/=1

M-1

^(œ4q+1/ + £ œl l=1 l=1

1

= —Im M

M-1

M-1

+ X - 2

l=0 l=0

= 0.

Аналогично показывается, что <ф2^1, ф2р-1>= 0 и <ф2q, ф2р>= 0. Таким образом, мы показали, что матрица ортогональная. Транспонируем матрицу

T

ф'о

T

Ф5

T

Ф2

T

фM-2

T

фM-1

V2 1

V5 i

Vi

1

cos 2n— M , 2 cos 2я— M

sin2jt— M . _ 2

sui2jt— M

M - 1 _ cos2jt-

V2 M

sin2n

M- 1 M

1

ч k

cos 2я—

M

ч 2к cos 2я—

M

0

• о к

sin 2 л;—

M

• о 2к

sin 2 л;—

M

cos 2п

к(М - 1) M

sin2n

k(M - 1) M

Далее применяем универсальный метод построения фреймов Парсеваля [1].

Если N нечетно, то удаляем последние М - N столбцов и получаем,

что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что

нормы будут одинаковые.

и . п .. т..» 2 /1 N - 1 \ N

Для I = 0, имеет место равенство

рГн2 = -\- +

M \2

„Г, |2

Для i = 1,..., M - 1 находим ( ¡ы.

1 2 ^ li • 2 ^ li

—I- > cos 2jt--1- > sin 2л—

2 ¿-L M ^ M

( N^X

1 2

2

M

M

/=1

N-1 2

/=1

2_ ~M

2 r\ /i 2 H

. . , cos 2л--1- sin 2л—

2 M M

-— - N-1\ N ~ M\2+ 2 / ~~ M

Если N четно, то удаляем первые М - N столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковыми.

тг т 2 2 NN

Для г = 0, справедливо равенство ||ф- | — " — ~~ —

Для г = 1,..., М - 1 имеем равенство 2

M 2 M

( М-1

2

T2

M

Z cos

/=(M-N-1)/2 2

м-i 2

2 2л— + V sin2 2л— MM

/=(M-N-1)/2

м-1 2

- У

M

/=(M-N-1)/2

cos2 2л--1- sinz 2л— I = — — = —.

/i

2

/i

M

M

2 N N

M 2 M

Примеры:

1) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 3 и М = 5

т Ф1 т ф2 т

фЗ ф4

■Т 1 °

f - 21

—— cos 2л— sin 2л—

V2 5 5

1 „ 2 . „ 2

—— cos 2л— sin 2л—

V2 5 5

1 „ 3 . „ 3

—— cos 2л— sin 2л—

V2 5 5

1 „ 4 • „ 4

—— cos 2л— sin 2л—

V2 5 5

Норма каждого вектора равна л/^-

2) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 4 и М = 7

' Фо 4

Т ф1 т ф2 т

Ф3

т

ф4

т

Ф5

т ф6

1

9 2 сое 2л— 7

9 4

сое 2л— 7

0

• о 2 вш 2л—

7

• о 4

вш 2л—

7

сое 2л— 7

9 6

сое 2л— 7

0

вт 2л— 7

• о 6 вт 2л—

7

„ 6 6 „ 9 9

сое 2л— вш 2л— сое 2л— вт 2л—

7 7 7 7

„ 8 8 12 12

сое 2л— вш 2л— сое 2л— вт 2л—

7 7 7 7

10 10 „ 15 • „ 15

сое 2л— вт 2л— сое 2л— вт 2л—

7 7 7 7

12 12 18 18

сое 2л— вт 2л— сое 2л— вт 2л—

Норма каждого вектора равна у-. Пусть теперь М = 2к. Определяем матрицу

фо Ф1 ф2

фМ-3 фМ-2 фМ-1

1

и 1

0

1

сое 2я—

ч

81П2Я —

М

1

и , 2

сое 2я—

8П12Я —

М

к - 1 2(к - 1) 1 ее« 2л;- соз2я-

0 1

и

N¡112;т-

к-1

М

sm2л

2(кМ 1)

1

1

а

М

1

и

М - 1 сое 2л-

8111 2л-

cos 2п

sm2л

М

{к - 1 )(М - 1) М

(£ - 1 ){М - 1) —^

VI

Аналогично случаю М = 2к + 1, можно показать что семейство ф;М=-1 образует ортонормированный базис в пространстве RM. Покажем сначала, что ||ф;|| = 1 для всех ; = 0,...,М - 1.

2 2 М

Если г = 0 и г = М-1, то ||ф,-|| = = Если г = 2д-1, q = 1,... Д-1,

то

М-1

II2 = 11ф2«-1||2 = — У С0822Л— = 1.

м ||Т2q 1 м М ¿-I М

М

1=0

'I

Аналогично, если ; = 2q, q = 1,..., к - 1.

М-1

= 11ф2«||2 = — У 8Ш22Л— = 1.

"Ч^" М М

1=0

7

7

7

7

Можно далее показать, что ф, — попарно ортогональны для значений индекса , = 0,..., М - 1, следовательно

<фо, ф2?-1> =

2 ^ (2д - 1)1

> сое 2л-—- = 0;

МУ2%

о

М

2 М-1

... 2д/ <фо,ф2д>=-р > , 81п2л— = 0;

МУ2 ^ м

М-1

<Ф29-ЬФ29>= - 2

2п1(2д - 1) . 4лд/ сое-—-8111 = 0;

М

М

<ф2?-1, ф2р-1> = 0 <ф2д, ф2р>= 0.

Таким образом, данная матрица является ортогональной. Транспонируем матрицу

т

Фо т

фТ

т

Фт

ФМ-2

т

ФМ-1

1

1

I

л/2

1

сое 2я— М , 2 сое 2 л—

М

1

81П2Я — М . _ 2 81П2Я — М

1 М - 1 —— ее« 2л;-

VI м

8П12Я-

М- 1 М

sin2я

0

(к - 1)

Бт2л;

М 2(к-1)

М

Бт2л;

(к - 1 )(М - 1) М

1

I

V?

Аналогично предыдущему строим равномерный фрейм Парсеваля. Если N нечетно, то удаляем последние М - N столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковые.

тт . „ .. Т-..0 2 /1 N - 1 \ N

Для I = 0 имеем

РГн2 = — I - +

М2

Для i = 1,..., М - 1 имеем

2

М

„Т| |2

2_

~М

ы-1 2

Ы-1 2

12

- + > сое2 2л--1- > вт2 2л—

2^-1 М ¿-ь М

ЛГ-1 1 2

2_

М

2 /л I- • 2 /л I,

. . , сое 2л--1- вт 2л—

2 М М

_ 2/1 N-1 ~ М\2+ 2

N М'

Если N четно, то удаляем первый и М - N - 1 последних столбцов и получаем, что строки образуют равномерный фрейм Парсеваля в RN. Проверим, что нормы будут одинаковыми.

т 2 2 NN Если г = 0, то I|ср- || = — • — = —.

" М 2 М

Для i = 1,..., M - 1

t к

2

T i2

M

У cos2 2л--1- У sin2 2л—

к м к м

l=1

2 ^ 7п li . 7п li\ 2 N N

— > cos 2л--1- sin 2л— =--= —.

M ¿-i \ M M) M 2 M

Теорема доказана. Примеры:

3) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 3 и M = 6

— 1

' Фт N

T ф1 T

Ф2

т

Фт т Фт т

Фт

( J_

V2

J_

vï

J_

Vf j_

vï

J_

vï

J_

vï

0

cos 2л— sin 2л—

6 2 С6

3

с-

6

4

с6

5 С6

22 cos 2л— sin 2л—

33 cos 2л— sin 2л—

44

cos 2л— sin 2л—

55 cos 2л— sin 2л—

6 2 С6

3

с-

6

4

с6

5 с6

Норма каждого вектора равна Л/ —.

6

4) Фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами для N = 4 и M = 6

/ фТ 4

т ф{

т

Ф2

T

ФТ т Ф4 T

Ф4 т фт6

cos 2л— sin 2л— cos 2л— sin 2л—

6 2 С6

5

6 2 С6

2 2 4 4

cos 2л— sin 2л— cos 2л— sin 2л—

6 4

С6

5

6

6

6

6 4 С6

3 3 6 6

cos 2л— sin 2л— cos 2л— sin 2л—

cos 2л— sin 2л— cos 2л— sin 2л— 6 6 6 6

10

10

cos 2л— sin 2л— cos 2л— sin 2л—

6

Норма каждого вектора равна Л/ —.

6

2

1

2. Фреймы Грассмана в пространстве

Для прикладных исследований большой интерес представляют фреймы со специальными свойствами. Рассмотрим, например, фреймы Грассмана [4].

Пусть М и N — натуральные числа, причем М ^ N.

Определение 2.1: Пусть ХМ = {х^^ —набор векторов из RN такой, что \\х{\\ = 1 для любого г. Максимальную корреляцию в RN обозначим Мет(ХМ) и определим как

Мте(ХМ) = тах |<хг, хр>. гф р

Определение 2.2: Последовательность ФМ = {фг}-=1 из RN такую, что \\ф,-\\ = 1 для любого г назовем (М,N) — фреймом Грассмана, если она является фреймом и выполнено равенство

Мте(ФМ) = М МЮ(ХМ),

где инфинум берется по всем наборам из М единичных векторов.

Определение 2.3: Набор нормированных векторов ХМ = {хг}М=1 называется равноугольным, если существует число а е [0,1] такое, что выполняется равенство |<х,-, хр> = а для г ф р.

В работе [4] доказана Теорема 2.1 [4, Ш 1У.2].

Пусть ХМ = {хг}М=! — набор нормированных векторов пространства RN и

N ■

пусть N0 = dim (span (XM)). Тогда справедливо неравенство

м I М-N0

причем равенство в указанном неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда справедливы два следующих условия:

1) набор векторов ХМ — равноугольный;

2) набор векторов X^—жесткий фрейм с границей А = В = —.

N0

Кроме того, если М > ---, то набор X^ не может быть равноугольным и, следовательно, равенство в рассматриваемом неравенстве невозможно.

Имея ввиду данную теорему становится естественным следующее определение.

Определение 2.4: Положим, что М, N е N и выполняются неравенства N ^ М ^ + ^. Пусть Ф^ = {ф;}^ — фрейм в RiV и ||ф,-|| = 1 для

любого г. Фрейм ФМ называется оптимальным фреймом Грассмана, если

1 м - N

Фд/ удовлетворяет равенству Мсо(Ф^) =

N(M - 1)

Пронормируем построенный фрейм из теоремы 1 и проверим, что он является оптимальным фреймом Грассмана для М = N + 1.

1) Пусть М четно. Рассмотрим <ф,, фр> для р = 0,..., М - 1

<фь фр> =

N

1 / 2то7 2npl . 2ml . 2npl\

--h > COS - COS--h Sill- Sill-

2 ¿-i\ M M M M J

N-1

1 V

2nl(i - p)

l=1 2 Ñ

- +Re 2

M 1

- +Re 2

- 1

1 - œ;-p 2 " Ñ

ч!=О 2 jv

1 ac - bd - 2c - +-

2 2c

1 „ / a - jb - + Re -—

2 \c - jd

=--1--(-1 - cos n(i - p)),

N N F

Mo, , 2jt0' - PW + 1) • 2jt(г - p)(N + 1) где со = e м и j = -1, a = 1 - cos-гт-, о = sin ■

2M

2M

2n(i - p) . 2n(i - p) 1

с = 1 - cos-—-, d = sin-—-. Таким образом, |<ф,-,фР>| = — для

любых i,p = 0,...,M - 1.

2) Пусть M нечетно. Рассмотрим <ф;, фр> для i, p = 0,..., M - 1

2 -¿Ч / 2nil 2яpl . 2nil . 2яpl\

<фф„>= — > COS - COS--h Sill- Sill- :

i p N M M M M

NAj\ M J N J N

/; „\ iV+2

1 - œ('~p)—

1 - œi-p

/ 1 cos n(i - p)(N + 2) \ d

= - iL - • fc~sd~2c = 1. J_M ' g = -I

N \c — jd ) N 2c N 2c N'

r , 2n(i - p)(N + 2) . 2n(i - p)(N + 2) где / = 1 - cos---, g = sin —

2M

2M

Таким образом, |<фьфр>1 = — Для любого i, p = 0,..., M - 1. Получаем,

что Мсо(Ф^) = .

v NJ VN(M- 1) N

M - N

1

и, значит, построенный фрейм является

оптимальным фреймом Грассмана.

Введем понятие 2-равномерного фрейма [5], используя множество матриц Dm:

Определение 2.5: Множество Dm — это множество диагональных матриц, которые имеют m-диагональных элементов равных 1 и остальные m - n элементов равны нулю.

Определение 2.6: Фрейм Ф^ называется 2-равномерным, если Ф^ — фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами и \\F*DF\\ равно константе для любой диагональной матрицы D e D2.

В работе [5] доказана следующая теорема.

2

1

1

Теорема 2.2: Фрейм Парсеваля ФМ является 2-равномерным тогда и только тогда, когда |<фг, фр>| = См,N для любого г и р, и

N(M - N) М2(М - 1)'

Используя данную теорему и уже проделанные вычисления, легко показать, что построенный нами фрейм Парсеваля является 2-равномерным

для М = N + 1 с константой Cmn = —•

' М

Литература

[1] Драбкова, Е.С. Объем фрейма Парсеваля / Е.С. Драбкова, С.Я.Новиков. // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2007. - №9Д(59) - С. 91-106.

[2] Casazza, P.G. The known equal norm Parseval frames as of - 2005. / P.G. Casazza, N.Leonhard. Preprint - 2006. - Режим доступа: www.math.missouri.edu/~pete/

[3] Christensen, O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. Boston: Birkhauser, 2002.

[4] Benedetto, J.J. Geometric properties of Grassmannian frames for R2 and R3 / J.J.Benedetto, J. Kolesar, EURASIPJ. Applied Signal Processing -2006.

[5] Holmes, R.B. Optimal frames for erasures / R.B.Holmes, V.I.Paulsen. -Linear Algebra and its Applications 377, - 2004.

Поступила в редакцию 10/vii/2008; Paper received 10/vii/2008.

в окончательном варианте — 10/ VII/2008. Paper accepted 10/VII/2008

UNIFORM PARSEVAL FRAMES FOR THE SPACE RN 3

© 2008 M.A. Lapshina4

In the paper a construction of the uniform Parseval frames with arbitrary volume for the space RN is obtained. Some of these frames are being Grassman and equiangular are elucidated.

Keywords and phrases: bounds frame, operations analysis, operations synthesis, frame, steady frame.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. S.V. Astashkin.

4Lapshina Mariya Alexandrovna ([email protected]), Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis, Samara State University, Samara, 443011, Russia.