Дискретные периодические фреймы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 519.652 ДИСКРЕТНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФРЕЙМЫ В.А. Желудев, А.Б. Певный

Предлагается общий метод построения жестких фреймов в пространстве С^ четной размерности N. состоящих из шМ/2 векторов, где т целое, т > 2, На основе фильтров Баттерворта строятся вещественные жесткие фреймы в пространстве К^, состоящие из 3^2 векторов. Такие фреймы используются в цифровой обработке сигналов.

Введение

Жестким фреймом в С^ называется табор векторов {ф1,..., }, К >

N такой, что любой вектор х Е См разлагается в сумму

1 К

х = (1)

к=1

где А называется константой фрейма. Умножив (1) скалярно на х, получим

К

£|<х,^к>|2 = А||х||2, х Е См. (2)

к=1

Обратно, из (2) следует (1) - это показано в [1], раздел 3,2, Там же можно найти другие сведения о фреймах в гильбертовом пространстве. Избыточные разложения вида (1) привлекли внимание многих исследователей, занимающихся цифровой обработкой сигналов. Фреймовые разложения более устойчивы к потерям при передаче коэффициентов, Они могут служить инструментом для исправления ошибок, допущенных при передаче по каналам связи.

© Желудев В.А., Певный А.Б., 2006.

Будем смотреть на векторы х как на функции х = х(7), целочис-ленног аргумента ] Е Ъ, имеющие пер иод N х(7 + N) = х(7) для всех j, и будем записывать (1) в виде

1К

ХУ) = -д^2{х>'Фк)Ыз)1

к=1

где функции фк (j) будут иметь разную степень колебательности (разную частоту). Типичный вид этих функций приведен на рис, 1 справа. Инициирующими для нас были работы [2, 3], где строились фреймы в пространстве I2 (Ъ), Но для цифровой обработки представляют интерес и Апериодические сигналы, В статье строятся фреймовые разложения таких сигналов. Базисные функции будут фк (7) строиться с помощью банка фильтров (см, раздел 1), Условия, при которых построенные функции образуют фрейм, устанавливаются разделе 2, Конкретные примеры фреймов, построенные на основе фильтров Баттерворта, строятся в разделе 3, Используются следующие обозначения:

См — пространство сигналов ( Апериодических функций х = х(7), 7 Е Ъ)

(х, у) = х{з)у{з) ~ скалярное произведение сигнало х,у,

= ехр(2пг/А) — тарень А-й степени из единицы,

_ дискретное преобразование Фурье (ДПФ) порядка N. сопоставляющее сигналу х сигнал X = Тм(х) с компонентами

N-1

X(к) = ^2 х(з) , к Е Ъ .

3=0

Нужные факты из теории ДПФ можно найти в [1],

1. Банки фильтров

т

тров анализа и т фильтров синтеза, где т > 2, Но в отличие от [2], будем предполагать, что все сигналы и фильтры являются N периодическими.

Итак, рассмотрим т фильтров анализа д0, д1,... ,дт-1 Е См, которые, действуя на сигнал х Е См, выдают т сигналов й°,й1,..., ёт-1 Е

См\, где N = N/2 (предполагается, что N чётное), ДПФ этих сигналов Бг = Тм1 (Яг) связаны с ДПФ X по формуле

' £°(к) ' ’ 0о(й) #4^ + ^) ’

Д1(к) 1 - 2 ^(/с) д1(/с + N1)

Дт—1(к) дт-1(к + ЛГХ)_

X (к)

X (к + N1)

к Е 0 : N - 1.

(3)

Из формулы (3) следует, что функции Дг(к) имеют пер под N1, Сигналы йг определяются с помощью обратного ДПФ длины N1.

<1г = Т-!(£г), г Е 0: т - 1.

(4)

Сигналы {<¥} передаются по каналу связи и на «другом конце провода»

х

т— 1

Х(к) = ^дг(к)£г(к), к Е 0: N - 1

(5)

к=0

где {д0, д1,..., д™'-1} - набор фильтров синтеза. Сигнал х = Т—1(.^) принимается за восстановленное значение х. Если х = х, то набор {дг,дг, г Е 0 : т — 1} называется банком фильтров совершенной реконструкции.

Выведем условие совершенной реконструкции. Запишем (5) в виде

*(к) д0(к) д1(к) . . дт—1(к)

Д(к + N1) д 0(к + N1) д1(к + N1) . . дт-1(к + N1)

£°(к) ' Д1(к)

Вт—1(к) (6)

где к Е 0 : N — 1. Матрицы в (3) и (6) обозначим Р*(к) и Р(к). Тогда условие совершенной реконструкции запишется в виде

\р1к)Р1к) = I : =

10

01

, к Е 0 : N - 1.

(7)

2. Разложение по фреймовому базису

Числа ^*(к) имеют смысл коэффициентов разложения сигнала X по фреймовому базису. Этот базис строится так. Введем сигналы

= ^-1(/), і Є 0: т — 1.

Предложение 1. Справедливо разложение

т— 1 N1-1

Х0') = ЕЕ ^(*)Л‘ - 2к), ^ Є Z. (8)

і=0 к=0

Доказательство. Основано на формуле реконструкции (5), Обозначим

ж* = ^—^(д*^*), і Є 0 : т — 1. Тогда X = х0 + х1 + ■ ■ ■ + хт—ь По формуле обращения ДПФ

1 "—1 1=0

Поскольку £*(/) = X]^=01 ^(к)^^, ТО

N1-1 1 N-1 N1-1

• = Е дЕ^^' 2А = Е -2/г)-

к=0 1=0 к=0

Суммируя по г € 0 : т — 1, придем к (8),

Для того, чтобы разложение (8) было фреймовым нужно, чтобы коэффициенты ^г(к) были скалярными произведениями сигнала х на •0г(- — 2к), Выясним, когда это будет, Обозначим вг(к) = (х, ^г(- — 2к)), По равенству Парсеваля

1 N-1 _________ 1 N-1

8<<*> = ту Е х(Ш)иъш = й Е Х(‘Ш< ■ (в)

г=о г=о

С другой стороны, поскольку = ^^(Д*), где находятся по формуле (3), то

N1-1 N-1

1 ^ ^ Г~- /,ч ^ , - X „ /, ч! и 1

<?(*)-щ'Е Иохю + »•(( + !*,№ + ЛГ,)] <тхМк-

(10)

1

1 1=0 1=0

Для того, чтобы зг(к) = (іі{к) для всех X Є См, необходимо и достаточно, чтобы ді(1)шЩї = 'ді{1)шЩї для всех I, т,е, дг = дг. В дальнейшем будем предполагать, что фильтры анализа совпадают с фильтрами синтеза:

д* = д*, і Є 0 : т — 1. (11)

Тогда, как было показано выше, справедливо

Предложение 2. При выполнении условий (11) и условий совершенной реконструкции (7) любой сигнал представляется в виде

т—1 N1 — 1

X =Е — 2к))#0 — 2к), ж Є ^ . (12)

*=0 к=0

Согласно определению во Введении система

{•*0' — 2к), к Є 0 : N1 — 1, і Є 0 : т — 1} . (13)

является нормализованным жестким фреймом в С^ Термин «жёсткий фрейм» использовался в [5], Термин «нормализованный» означает, что константа А =1,

Разложение (12) по форме совпадает с разложением по ортонормированному базису (ОНБ), Но в (12) количество слагаемых равно т#1 > N Так как т > 2, Значит, система (13) линейно зависима,

В [1], р,57, доказано, что если система ^ является жестким фреймом с константой А = 1 и ||^-У = 1 для всех 0 то ^ образуют ОНБ, В нашем случае хотя бы одна из норм ||^*|| не равна 1,

3. Фреймы Баттерворта

3.1. Рассмотрим частный случай теории, полезный для цифровой обработки синалов. По-прежнему N чётное, N = 2^,

Пусть т = 3 и фильтры, соответствующие трем каналам будем традиционно обозначть Д(к), д1(к), д2(к). Условия совершенной реконструкции (7) переписываются в виде

|Д(к)|2 + |д1(к)|2 + |д2(к)|2 = 2, к Є 0 : N — 1, (14)

1і(к)1г(к + А^) + д1(к)д1(к + А^) + д2(к)д2(к + А^) = 0, к Є 0 : А^ — 1.

(15)

Для цифровой обработки синалов весьма желательныы фильтры, которые являются дробно-рациональными функциями от а>дг. Дробнорациональные фильтры, удовлетворяющие (14)-(15), можно построить на основе фильтров Баттерворта,

Возьмём нечётное число г и положим

кп\

С08лг)

2г

8т^) , ВД = ^, д\к)

І8

(16)

Функция Л(к) является дискретным аналогом известного фильтра Баттерворта, Фильтр д2(к) в силу (14) должен удовлетворять условию

|д2(к)|2 = 2 —

2с2 + 2^2

4с8

(с+з)2 (с + з)2 (с+з)2 \28 N )

2кп\

2г

В качестве д2(к) возьмём

д2(к) =

2 (\ . 2ЬгУ

(17)

Отметим, что д2 € С^ и д2(к + N) = — д2(к) при всех к в силу нечетности г, Фильтры (16) и (17) удовлетворяют (14) по построению и непосредственно проверяется условие (15), Построенные фильтры являются дробно-рациональными функциями от г = так как

кп

кп

4 сое — = г + 2 + г , 4вііГ — = -г + 2 - г

N

N

В случае дробно-рациональных фильтров возможна рекурсивная реализация, позволяющая осуществлять декомпозицию и реконструкцию сигнала х € С^ за 0^) операций. Подробнее об этом в [6],

Очевидно, что сигналы Л(к) и д1(к) являются вещественными и четными, Поэтому вейвлеты = ^—ЧЛ,) и ф = ^—1(д1) являются чётными и вещественными.

Сигнал (17) является вещественным и нечетным, поэтому его обратное ДПФ ф2 = 1(д2) является четным и чисто мнимым (чётность

означает, что ф2{—]) = ф20) для всех ]). А тогда сигнал

0(7) = 1т Ф20')

является вещественным и нечетным: 0( —7) = —0(7).

При рассмотрении графиков вейвлетов на рис, 1 обращает на себя внимание малый размер вейвлета 0 то сравнению с ^ и ф, Численный подсчет квадратов норм дает ||^||2 = ||ф||2 = 0.898, ||0||2 = 0.203, Заметим, что из равенств (3,1) следует, что ||Л||2 + Цд112 + ||д2||2 = 2А отсюда в силу равенства Парсеваля

С

4

1

1

Рис. 1.Фильтры (слова) и соответствующие им вейвлеты (справа)

3.2. Жёсткий фрейм в Мм. При вычислении скалярных произведений в (12) имеем

(ж,ф2(- — 2к))ф2(- — 2к) = — г(ж,0(- — 2к))г^(- — 2к) = (ж,0(- — 2к))^(- — 2к).

Поэтому для любого х Є справедливо вещественное разложение

N1 -1 N1-1

х = Е (ж> — 2к)М' — 2к) + Е (ж> — 2к)Ж' — 2к) +

й=0

й=0

N1-1

+ £ (МО — 2к))^(- — 2к)

й=0

Литература

1, Daubechies I. Ten lectures on wavelets, Philadelphia: SIAM, 1992,

2, Cvetkovic Z.. Vetterli M. Oversampled filter banks // IEEE Trans. Sign. Proc. 1998. V.46. №5. P. Щ5-1255.

3, Averbuch A.Z., Zheludev V.A. Interpolatory frames in signal spaces. To appear in IEEE Trans, Sign, Proc, 2006,

4, Малозёмов B.H., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. Части 1-3, СПб.: НИИММ, 2003, 288 с,

5, Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 6(324). С- 53-128.

6, Жёлудев В.А., Певный А.Б. Вейвлетное преобразование Баттер-ворта и его реализация с помощью рекурсивных фильтров // Журн. выч. мат. и матем. физ. 2002. Т.42. Ms4- С. 607-618.

7, Жёлудев В.А., Певный А.Б. Биортогональные вейвлетные схемы, основанные на интерполяции дискретными сплайнами // Журн. выч. мат. и матем. физ. 2001. Т.41. №4■ С. 537-548.

8, Малозёмов В.Н., Певный А.Б. Дискретные периодические сплайны и их вычислительные применения // Журн. выч. мат. и матем. физ. 1998. Т.38. №8. С. 1235-1246.

Summary

Zheludev V.A., Pevnyi А.В. Discrete periodic frames We construct the filter bank of perfect reconstruction for the discrete N-periodic signals. This bank generates the wavelet tight frames in the spaces CN and

Сыктывкарский университет Тель-Авивский университет

Поступила 7.03.2006