Прямая лифтинговая схема Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 519.652

ПРЯМАЯ ЛИФТИНГОВАЯ СХЕМА 1 В.Н. Малозёмов, А. Б. Певный, H.A. Селянинова

Даётся детальный анализ прямой лифтинговой схемы построения вейвлетных разложений дискретных периодических сигналов, основанной на интерполяции дискретными периодическими сплайнами.

Введение

За последние лет десять оформилась новая математическая дисциплина —дискретный гармонический анализ — со своей проблематикой и методами [1], На возникновение этой дисциплины существенное влияние оказало открытие в 1965 г, быстрого преобразования Фурье, Дискретный гармонический анализ ориентирован на цифровую обработку сигналов и на построение быстрых алгоритмов,

Лифтинговые схемы вейвлетных преобразований дискретных периодических сигналов, предложенные в [2], естественно вкладываются в дискретный гармонический анализ, В данной статье предпринято детальное исследование прямой лифтинговой схемы, основанной на интерполяции дискретными периодическими сплайнами. Особое внимание уделяется выбору управляющих функций.

Используются следующие обозначения:

— пространство сигналов (комплекснозначных Nпериодических функций целочисленного аргумента х = х(]), ] € Z),

= ехр(2пг/^) — тарень ^-й степени из единицы,

1Работа поддержана грантом РФФИ 06-01-72032 - МНТИ-а

© Малозёмов В.H., Певный А.Б., Селянинова H.A., 2006.

— дискретное преобразование Фурье порядка N (сопоставляющее сигналу ж сигнал X = (х) с компонентами

N —1

X(к) = ^2 х(з) „-кз, к е Z).

3=0

Предполагается, что читатель знаком с основами теории дискретного преобразования Фурье [1],

1. Предварительные сведения

1.1. Пусть сигнал х принадлежит пространству С^, где N = 2т. Обозначим

е(') = х(2]), й(з) = х(2' + 1), ' е 0 : т - 1.

Предложение 1. Спектры X = ТN(х), Е = Тт(е), В = Тт(д) связаны соотношением

X(к) = Е(к) + „-кВ(к), к е Z. (1)

Доказательство. При к е Ъ имеем

1 1 2т—1

- [А’(А) + X'(к + т)} = - £ ,ф') шйк’(1 + (-1У) =

3=0

т—1 т—1

= £ х(21) „—“ = £ е(1) к = Е(к),

1=0 1=0

1 1 2т—1

- [Х(к) - X-(к + т)]--•£ .т ы?1{1 - (-1)') =

3=0

т-1 т-1

= £ ж(21 + 1) к(2 ,+1) = к Е ¿(‘) „тк = „—кв(к).

1=0 1=0

Сложив эти равенства, придём к (1),

1.2. Напомним (см, [3]), что при N = пт и натуральном г Б-сплайн <^г е CN определяется формулой

1 ^1

а(л = ^Х>’ (*)“#> <2)

к=0

где

{и2 при к = 0,

Г k / kч —il 2 (3)

sin ^ (sin при к = 1,..., N — 1,

Сплайном порядка r называется линейная комбинация с комплексными коэффициентами сдвигов В-сплайна:

m — 1

S(j) = c(p) Qr (j - pn) ■

p=0

Рассмотрим задачу сплайн-интерполяции

S(In) = z(l), l E 0 : m — 1. (4)

Предложение 2. Задача (4) имеет единственное решение. Для дискретного преобразования Фурье C = Fm(c) коэффициентов интерполяционного сплайна справедлива формула

C(k) = Z(k)/Tr(к), к E 0 : m — 1,

где Z = Fm(z) и

m — 1

Tr (k) = Y. Qr (pn) wmkp ■

p=0

1.3. В дальнейшем нас будет интересовать случай и = 2.

Предложение 3. Коэффициенты Tr(к) при и = 2 допускают представление

Tr(k) = \U 2cos^)2r+(2sin^)21 , k Е 0 : т — I. (5)

Доказательство. Формула (5) при и = 2 (при N = 2т) принимает вид

u{k) = {2cos^)\ к Е 0 : N — 1.

В силу (2)

[TN{Qr)\{k) = ur{k)= {2cosf)2r, к Е 0 : N — 1. (6)

Вместе с тем,

2m 1

[Fn (Qr)] (к) + [Fn (Qr )](к + m)=Y; Qr (j) ^Nkj {1 + (—1)j)

j=0

m 1

= 2^ Qr (2p) Umkp = 2 Tr (к).

p=0

Отсюда и из (6) следует (5),

Л —

1.4. Пусть 5 - интерполяционный сплайн при N = 2т. Он определяется условием

5(21) = г(1), I е 0: т — 1.

Вычислим значения а(1) = 5(21+1) I е 0 : т—1. Для этого достаточно найти Тт(а).

Предложение 4. Справедлива формула

\Тт(а)\ (к) = ^ и1(к) X(к), к е 0 : т — 1, (7)

где X = Тт(г) и

1Л(к) =

,сов$)2г-(вш$)2г

(сов^)2г+ (вш ^)2г Доказательство. По определению сплайна при N = 2т имеем

т 1

5(21 + 1) = ^ ' с(р) (^г (2(1 — р) + 1) .

'V \

р=0

Обозначим Л(р) = QV(2р + 1), Тогда последнее равенство можно переписать в виде а = с * Л, По теореме о свёртке

Тт(а) = Тт(с) Тт(Л). (8)

Найдём Тт(К). Поскольку

2т 1

^^)] (к) — Т^)] (к + т)= ^ Qv(з) „-кз( 1 — —У) =

3=0

т 1 т 1

2 ^ Qv(2р + 1) „—-к(2р+1) = 2 „—-к^ Л(р) „ткр = 2 „—-к \Тт(Ь)\ (к),

V (2р + 1) „N =2 л(р) „т =2 „ N К т(

р=0 р=0

ТО

[ГтЩ(к) = К[(2со8^)2г- (2 8ш^)2г] . (9)

Теперь (7) следует из (8), предложения 2, (5) и (9),

Отметим, что Апериодический сигнал и1 удовлетворяет условию и1(к + т) = —и1 (к). Это гарантирует, в частности, что сигнал и1^и1(к) т

2. Лифтинговое преобразование сигнала

2.1. Пусть z E Cn, где N = 2m. Имея в виду дальнейшее развитие событий, введем обозначения N0 = N. N1 = m. e0 = z. Лифтинговое

z

e0

6i(l) = e0(21), di(l) = e0(21 +1), l E 0: Ni — 1. Обозначим E1 = FNl (e1), D1 = FNl (d^.

Predict. Предскажем значения d1(l) с помощью интерполяционного сплайна S1(j'). определяемого условием

S1(21) = e^l), l E 0: N1 — 1.

Положим a1 (l) = S1(21 + 1) l E 0 : N1 — 1. Разность d1(l) = d-j_(l) — o1(l), l E 0 : N1 — 1,

вообще говоря, мала. Для спектра D1 = FNl (d^_) этой разности согласно (7) справедлива формула

D^) = D 1(к) — uN0 и1(к) Е1(к), к E 0: N1 — 1. (10)

ee1 e1

рого E1 = FNl (e1) определим так:

E1 (к) = 1^1 (к) + @1(к) шNk D1(к), к E 0 : N1 — 1. (И)

Здесь в1 — произвольный N0-nepnoflH4ecKHtt сигнал, удовлетворяющий условию

1З1 (к + N1) = —01(к), к E 0: N1 — 1.

N1

2.2. Пара (Б1, Е1) называется лифтинговым преобразованием сигнала, г в спектральной форме. Спектр Е1 содержит основную информацию о спектре Е0 = Тщ (е0) сигнал а г, а спектр Б1 — детали.

Выразим Е1 через Е0. Для этого введём два вспомогательных сигнала

91(к) = „N0 (1 — и1(к)) , Л1(к) = 1 + в1(к)(1 — и1(к)) , к е 0: No — 1.

Предложение 5. При к е 0 : N — 1 справедливы равенства,

^\(к) = \ [91 (к) Ео(к) + д\(к + N1) Ео(к + Л^)] , Е\{к) = 7} \hiik) Ео(к) + Н\{к + А^) Е$(к + Л^)] .

Доказательство. Из предложения 1, в частности, следует, что

Е0 (к) = Е1 (к) + „щ Е1 (к), к е 0 : N1 — 1.

Заменив к на к + N1, запишем

Е0(к + N) = Е1(к) — „^ 5 1(к), к е 0 : N — 1.

Сложим и вычтем данные равенства. При к е 0 : N1 — 1 получим

Е\(к) = \ [Е0(к) + Е0(к + А^)] , Е\(к) = | [Ео(к) — Ео(к + А^)] .

Остаётся подставить (13) в (10) и (11):

0\(к) = \ | [Е0(к) — Е0(к + А^)] — и^к) [Е0(к) + Е0(к + А^)] | =

= \ \_9iik) Ео(к) + д\(к + А^) Ео(к + ЛЛ1)] ; Е\(к) = || [Ео(к) + Ео(к + ЛЛ1)] + ¡3\(к) [(1 — [/-[(к))Ео(к) — — (1 + и-1_(к))Ео(к + ЛАх)] | = | [Л-1 (к) Е^(к) + к\(к + N1) Е$(к + Л^)] .

Предложение доказано.

2.3. Обратная задача восстановления спектра Е0 исходного сигнала г то паре (В1, Е1) решается легко. Введём ещё два вспомогательных сигнала

к1(к) = 1 + и (к), д1(к) = „щ(1 — @1(к) Ь(к)) , к е 0: N0 — 1.

Предложение 6. Справедлива формула обращения

Е0(к) = Н1(к) Е1(к) + д1(к) В1(к), к е 0: N — 1. (14)

Доказательство. Согласно (11) и (10)

Е1 (к) = Е1 (к) — в1 (к) „мк В1 (к), В 1(к) = П1(к) + „N0 и1(к) Е1(к) = = В( (к) + „%0 и1(к) Е1 (к) — в1 (к) и1(к) В1 (к) = = (1 — в1(к) и1(к)) п1(к) + „к0 и1(к) Е1(к).

На основании предложения 1 заключаем, что при к е 0 : Щ — 1

Ео(к) = Е1(к) + „^ В 1(к) = Е1(к) — в1 (к) „Щ п1(к)+ +„Щ (1 — в1(к) и1 (к))В1(к) + и1(к) Е1 (к) = = ]%1 (к) Е1(к) + д1(к) В^к).

Предложение доказано,

С вычислительной точки зрения формулу (14) лучше записать так: при к е 0 : N1 — 1

Ео(к) = Ь(к) Е1(к) + д1(к) В^к),

Ео(к + N1) = Н1(к + N1) Е1(к) + д1(к + N1) В1(к).

3. Многоуровневое лифтинговое преобразование

3.1. Теперь будем считать, что N = 2е. Обозначим Nv = N/2”,

V = 0,1,..., в. Это обозначение согласовано с обозначениями N из предыдущего раздела. Отметим также, что Ns = 1.

В разделе 2 было описано лифтинговое преобразование Е0 ^ (В1,Е1). Это преобразование можно продолжить:

Е1 ^ (В2, Е2) , Е2 ^ (В3, Е3) , . . . , Ев -1 ^ (Вв, Ев) .

Выведем соответствующие формулы. Положим при к е 0 : Nv-1 — 1

сое тг^)2г — (вт ■ 7гк ^2г

(«•*)*+(*И&)*Р’

ди (к) = „^^ (1 — и (к)) , ки (к) = 1 + ри (к)(1 — ии (к)).

Здесь (к) — произвольная N-^периодическая функция, удовлетворяющая условию

Ри(к + Nv) = —Ри(к), к е 0 : Nu — 1.

Аналогично предложению 5 доказывается следующее утверждение: при к е 0 : N — 1 справедливы равенства

Еи(к) — | [ди(к) Еи-\{к) + ди(к + Л^) Еи-\(к + Л^)],

(16)

Е„{к) — | \hvik) Еи-\(к) + 1ги(к + А^) Еи-\(к + Л^)].

Набор спектров (В1, В2,... ,В3,Е3) называется полным лифтинго-вым преобразованием сигнала, г. Отметим, что В8, Е3 — это числа,

3.2. По полному лифтинговому преобразованию (В1, В2,..., В3, Е3)

Е0 г

вспомогательных сигнала

Ни (к) = 1 + ии (к), ди (к) = „\-к_1 (1 — Р„ (к) К (к)) , к е 0: N^-1 — 1.

Согласно (15) имеем

Еи-1(к) = К (к) Еи (к) + ди (к) Ви(к),

Еи-1 (к + Nv) = (к + Nv) Еи(к) + ди(к + Nv) Ви(к), (17)

к е 0: ^ — 1, V = в, в — 1,..., 1.

При V = 1 получим Е0 = ТN(г).

4. Лифтинговые разложения сигнала

4.1. Перепишем (17) в виде

Еи-1 = Еи + ди Ви , V = в, в — 1,..., 1. (18)

Предложение 7. При любом £ е 1 : в справедлива, формула

г

Ео = .. .кг Ег + ... Ь^-1 д„ В„. (19)

и=1

Доказательство. При £ = 1 соотношение (19) совпадает с (14), Индукционный переход легко осуществить, опираясь на (18),

Введём обозначения И = Н1Н2 ... Н„, Си = Н1Н2 ... Ни-1 ди,

^ = Г-1 (И), Фи = Т-1(Си).

Предложение 8. Пусть N = 23 и £ € 1 : 8. Для любого сигнала, г Е СМ справедливо разложение

Щ-1 г М-1

г(3) = ^2 е*(к) - 2*к) + Е Е ^(к) Фи(3 - 2йк), 3 Е Z, (20)

к = 0 и=1 к=0

где ег = ?м](Ег'), = Т-1(Ви).

Доказательство. Применим к (19) обратное преобразование Фурье порядка N. Получим

г = Т-1{НЕ) + У2 Р-\СиВ„). (21)

~—1( И е\ I ^ ' Т-1 I

и=1

Отметим, что

1 М—1

[^'(вжш = - Ес„(0а.(04

N

1=0

. N-1 N-1

1 , и , -¡к

'¡Тс-(04£ Ъ(к)“-'к = (22>

N

'=0 к=0

N-1 1 N-1 N-1

Е <ьт{^£адш«"эт,)} = Е <мвд,с? -2-*)

к=0 '=0 к=0

Аналогично показывается, что

N^1

[Т—1(ЩЕг)] (3) = ^ ег(к) ^(] - 2гк) . (23)

к=0

Подставив (22), (23) в (21), придём к (20),

Формула (20) называется лифтинговым разложением сигнала, г. Правая часть (20) при каждом £ Е 1 : в содержит ровно N слагаемых (по размерности пространства СМ), Поскольку разложение (20) справедливо для любого сигнала г Е СМ, то система сигналов

{{&(3 - 2*к)}М=-1 ; {ФV(3 - 2 к)}М=—1 , ^ =1,...,£]

необходимо является базисом в См-

4.2. При £ = в формула (20) называется полным лифтинговым разг

вырождается до одного слагаемого ев(0) <^8(3).

Предложение 9. Имеет место тождество <^8(3) = 1.

Доказательство. Достаточно проверить, что Ив = N5^. Напомним, что

Ясно, что И3(0) = N. Нужно показать, что И8(к) = 0 при к Е 1 : N - 1. Возьмём к Е 1 : N — 1 и представим его в виде

то Нр(к) = 0. Значит, и Ив(к) = 0. Предложение доказано.

На основании предложений 8 и 9 заключаем, что полное лифтинго-вое разложение сигнала г Е СМ имеет вид

4.3. Сигналы = Т-1(Ии), V Е 1 : в. вещественны и чётны, поскольку вещественными и чётными являются их дискретные преобразования Фурье Ии, Разберёмся с сиг налом фи = Т-1(Си), зависящим от управляющей NV ^-периодической фу нкции ви. Пока что на ви накладывалось одно условие

Предложение 10. Допустим, что наряду с (25) функция ви обладает, следующими свойствами:

и

в

И.Лк) = Ц К (к).

и=1

к = (к3-1,..., к3-р+1,1, 0 ..., 0) 2 = (2п + 1)^

при некотором р Е 1 : в. Так как

С08^ = С08|(2п+1) =0’

г(з) = ев(0) + ^2 ^ ^(к) ФV(3 - 2йк), 3 Е ^. (24)

и=1 к=0

ви(к + Nv) = -ви(к), к Е 0 : Nv - 1.

(25)

ви вещественна и чётна,

ДД 0) =

Тогда сдвинутый сигнал хи (і) = фи (і + Аи), где Аи = 2и-1, будет вещественным и чётным. При этом

N -1

(і) = 0. (26)

з=о

Доказательство. Имеем

(фи )](к) = Си (к) = Ь(к) ...К-і(к) (1 - ви (к)К (к)) ,

поэтому

N -1

(XV )](к) = £ фи (і + Аи ) ш--к(з+А^)+кА* =

3=0

= шкм— (фи)] (к) = кі(к) ...К-1(к)(1 - ви (к)К (к)) .

Видим, что дискретное преобразование Фурье сигнала хи вещественно

хи

Далее,

N -1

^2 фи (і) = Си (0) = И,і(0) ..Ли-і(0)(і - ви (0)К (0)) .

3 =0

Поскольку ви{0) = \ и /і„(0) = 2, то выполняется (26), Предложение доказано.

Предложение 11. Если исходный сигнал, г (і) — вещественный и выполнены условия предложения 10, то все коэффициенты полного лиф-тингового разложения (24) вещественны.

Доказательство. В силу (26)

N-1

Є*(°) = ЖЕ

3=0

так что вещественность г8 (0) очевидна. Вещественность сигнала г порождает чётность его спектра Е0 = Т^(г) (вообще говоря, комплексного), Последнее означает, что Е0(—к) = Е0(к).

Обратимся к формулам (16) и проверим чётность спектров , Е„ при условии чётности Еи_1. Для этого достаточно убедиться в чётности всех сигналов, входящих в правую часть (16), Относительно 'д1/(к) и 1ги (к) это очевидно, В силу Аи_^периодичности

Еи-\(—к + А^) = Е^-х^—к — А^) = Е^-^^к + А^),

что подтверждает чётность Е„_1(к + А„), Аналогично проверяется чётность д,(к + Аи). Ни(к + Аи), В результате приходим к заключению о чётности , Е^ при всех V = 1,..., в , Это гарантирует вещественность векторов коэффициентов в„ = Т_1(Еи), <1и = Т_1(Би). Предложение доказано,

5. Описание множества управляющих функций

5.1. Займёмся описанием множества управляющих функций в1-в2, • • •, вз, удовлетворяющих условиям предложения 10, Напомним, ЧТО ОСНОВНЫМ периодом ви является множество 0 : Аи_1 — 1.

Функции Д, и Д,_ 1 определяются однозначно: ДДО) = ¡З3(1) = —\-

{ \ при к = 0,

Рз-1(к) = I при к = 2,

^ 0 при к = 1, 3,

То, что вз_1 (1) = вв_1 (3) = 0 следует из равенства в.?-Д3) = —вв_1 (1) и чётности вв_1, в силу кото рой вв_1(3) = вв_1(1) ■

Отметим, что вв_1(2к) = вв(к), к = 0, 1. Потребуем, чтобы и в общем случае при V = в — 2, в — 3,, 1 выполнялось соотношение

ви(2к) = ви+1(к), к Е 0 : Аи — 1. (27)

Таким образом, нас интересуют управляющие функции в1,..., в в, которые наряду с условиями предложения 10 удовлетворяют ещё и условию (27),

У функции вз_2(к) с основным периодом 0 : 7 есть только одна степень свободы — значение в.з_2(1) ■ Действительно,

вз_2(2к) = вз_1(к), к Е 0 : 3 (согласно (27)), вз_2(5) = —вз_2(1) (в силу (25)), вз_2(3) = вз_2(5) (на основании чётности вз_2(к)), вз_2(7) = — вз_2(3) (сновав силу (25)).

Видим, что значение Ps-2(1) однозначно определяет ещё три значения:

fîs-2(5), Ps-2(3) И Рз-2(7)-

Возьмём функцию Pv (к) при v G 1 : s — 3, Её значения на чётных индексах определены формулой (27), Что касается нечётных индексов,

то достаточно задать значения Pv (2к + 1) только при к G 0 : Nv+2 — 1.

Действительно,

Pv(2к + 1 + Nu) = —Pu(2к + 1) (в силу (25)),

Pv(—2к — 1 + Nv) = Pv(2к + 1 + Nv) (на основании чётности Р„(к)), Ри(—2к — 1 — Nv-1) = —Pu(—2к — 1 + Nv) (снова в силу (25)).

Отметим, что

2к + 1 + Nu = 2(Nv+i + к) + 1,

—2к — 1 + Nu = 2(Nv+i — к — 1) + 1,

—2к — 1 — Nv-i = 2(NV — к — 1) + 1.

При к G 0 : Nv+2 — 1 имеем

Nv+1 — к — 1 G Nv+2 : Nv+1 — 1,

Nv+1 + к G Nv+1 : Nv+1 + Nv+2 — 1,

Nv — к — 1 G Nv+i + Nv+2 : Nv — 1.

Получили, что функция Pv (к) определена на всех нечётных индексах из основного периода.

Указанным способом строится функция Р1(к), к G 0 : N — 1. Остальные управляющие функции Р2(к),..., Ps(k) восстанавливаются с помощью соотношения (27), если его переписать в виде

Pv+i(к) = Pv (2к), к G 0 : Nv — 1. (28)

Предложение 12. Размерность множества, функций р1 равнa, N/4 — 1

Доказательство. Обозначим

Pvk = Pv(2к +1), к G 0 : Nv+2 — 1, v = s — 2, s — 3,..., 1.

Это и есть те степени свободы, из которых складывается размерность множества функций ^ ■ Их количество равно 1 + 2 + 22 + ■ ■ ■ + 2s-3 = N/4 — 1.

Предложение доказано.

5.2. Много конкретных функций Р1 мы получим, если в качестве Рик будем использовать значения 1/2, 0 и -1/2. Например, если все Р^к равны нулю, то

( ^ при к = 0,

Рі{к) = Ї — | при к = ІУі,

[ 0 при остальных к Є 0 : N — 1.

Если все Р^к равны 1/2, то (см, рис, 1)

( \ при к Є 0 : N2 — 1 ш к Є N2 + N1 + 1 : N — 1,

Р1 (к) = ^ 0 при к = N2 и к = N2 + (29)

[ —^ при к Є N2 + 1 : N2 + N1 — 1.

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 24 25 26 27 28 29 30 31

Рис, 1, График функции Р1(к) вида (29) при N = 32

5.3. Отметим, что функции р1 из предложения 12 полностью определяются своими значениями ук = Р1(к) при к € 1 : N2 — 1, Действительно, согласно (25) р1(к + N1) = — ук, к € 1 : N2 — 1, В силу чётности Р1^ — к) = ук , к € 1 : N — 1, и Р1^1 — к) = /?1 (А^1 + /с) = — ук , к е 1 : N2 — 1- Кроме того, /ЗДА^) = — /ЗДО) = —| и в1 ^2) = в1 (^ + ^) = 0, поскольку в1(N2) = Р1^2 + N1) в силу чётности и Р1^2) = —в1 ^2 + N1) по условию (25),

Приведём вид Р1(к) на основном периоде при N = 16:

р1 = (ь 2/ъ 2/2, Уз, о, -уг, -У2, -2/1, -2/1, ~У2, ~Уз, 0, уз, 2/2, 2/1) •

5.4. В [2] в качестве Р„(к) предлагаются функции

Ри{к) = \ии(к), ри(к) = ии(к)/(1 + III (к)), к е 0 : А^_1 - 1.

Они обладают всеми свойствами, отмеченными в п.5.1, включая (28). На рис. 2 изображена функция Р\(к) = \ и\(к) при N = 32.

[ 9 10 11 121314 15 16171819 20 2122 23 |

0 1 2 3 4 5 6 7 8 | | 24 25 26 27 28 29 30 31

Рис, 2, График функции ¡3\(к) = \ 11\(к) при N = 32

5.5. Выбор управляющих функций определяет свойства базисных сигналов в полном лифтинговом разложении (24),

Предложение 13. Пусть N-периодическая функция в1(к) вещественна, чётна, в нуле равна | и сдвиг аргумента на N1 лишь меняет её знак на противоположный. Пусть остальные управляющие функции в2(к),..., вв(к) строятся, с помощью прореживания по правилу (28). Тогда, при всех V € 1 : 5 — 1 справедливо тождество

■^+1 (2.7) = ■ (7) + ■ (7 + N/2), 3 € Z. (30)

Доказательство. Отметим, что левая и правая части (30) являются ^-периодическими сигналами. Вычислим ДПФ от левой части (30):

N1-1 N—1

чк) = ^ ^+1(2.7)^ = 1X^+1 и)и}^кз(1+(~1У) =

3=0 3=0

= \ /11 (к)... К(к)( 1 - (Зи+1(к)К+1(к)) +

+ ш—, + 1) Л.1 (к + N1)... (к + N1 )(1 — в^+1(к + N1)^+1 (к + N1))] .

Имеем Д1 (к) = 1 + и1 (к), Д1 (к + N) = 1 — и1 (к), Поскольку N1 делится на Nv при V € 1: 5 — 1,тов силу периодичности

Л,2(к + N1) = Л,2(к), ... , Л^+Дк + N1) = ^+1(к), в^+Дк + N1) = в^+Дк).

В результате получаем £(к) = ш—к Л2(к)... (к) (1 — в^+1(к)Л^+1(к)).

Теперь вычислим ДПФ от правой части (30):

N —1

Д(к) = £ ■ (а) 2к3 = ш—2-1 Л1(2к) ...Л„—1(2к)(1 — ви (2к)Л^ (2к)).

3=0

Учитывая, что Лр(2к) = Л^+Дк) (по определению) и в^(2к) = в^+1 (к) (согласно (27)), приходим к равенству

Я(к) = ш^ Л (к) . ..Л„ (к) (1 — в^+1(к)Л^+1 (к)).

Видим, что £(к) = Я(к), откуда и следует (30),

Аналогичное утверждение справедливо для функций ^ = Т— 1(Я^), которые не зависят от ви ■

Предложение 14. При всех V € 1 : 5 — 1 справедливо тождество

^+1 (23) = ^(3) + ^(3 + N/2), а € Z. Доказательство по сравнению с предложением 13 лишь упрощается.

Литература

1, Малозёмов В.Н., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. Части 1-3, СПб: IIIIIl.\I.\I. 2003, 288 с,

2, Жёлудев В.А., Певный А.Б. Биортогональные вейвлетные схемы, основанные на интерполяции дискретными сплайнами // Журивши. мат. и матем. физ. 2001. Т.41. №4■ С. 537-548.

3, Малозёмов В.Н., Певный А.Б. Дискретные периодические сплайны и их вычислительные применения // Жури. выч. мат. и матем. физ. 1998. Т.38. №8. С. 1235-Щ6.

Summary

Malozemov V.N., Pevnyi А.В., Selyaninova N.A. Primal lifting scheme.

We present the analysis of the primal lifting scheme for the constructing of the wavelet decomposition of the discrete periodic signals, A description of the set of all control functions Pv (k) is given.

Сыктывкарский университет Санкт-Петербургский университет

Поступила 9.12.2005