CC BY
22Всстник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 4.2001
УДК 519.652
Лифтингопые схимы для вейвлетного преобразования дискретных сигналов
В.А. Желудев, А.Б. Певный
Строится семейство биортогональных вейвлетов в пространстве дискретных периодических сигналов. Предлагаются прямой и двойственный лифтинговые алгоритмы для разложения дискретных -сигналов по вейвлетным базисам.
1. Введение
В статье предлагается общая лифтинговая схема построения базисных функции сдвиги которых образуют биортогональные базисы в пространстве Сд/ всех Л'-иериодических сигналов. В непрерывном случае аналогичные схемы рассматривались в [3]. Следует отмстить, что полное перенесение непрерывных результатов на случай дискретных сигналов невозможно. Приходится, например, отказаться oi масш табирующего уравнения ( в английском написании refinement equation). Трудности, связанные с отсутствием масштабирующего уравнения, обходятся путем перехода в частотную область. Удается получить простые выражения не для векторов коэффициентов разложения сигнала по вейвлетному базису, а для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) этих векторов (см. формулы (18)-(19) далее).
(■троятся также прямой и двойственный лифтинговый алгоритмы для быстрого получения коэффициентов разложения по базисам. В итоге получаем быстрое вейвлетное преобразование сигнала. Это преобразование можно записать с использованием фильтров высоких и низких частот [5]. В данной работе преобразование выполняется в "лифтинговой" форме [7]. что допускает эффективную компьютерную реализации;. Как и в других лифтинговых схемах, вычисления выполняются "на месте1' (в одном массиве), а обратное преобразование
© Желудев В. А., Певный А. В., 2001
заключается в выполнении действий в обратном порядке. Отличие от других лифтинговых схем состоит в том, что вычисления ведутся в частотной области с использованием быстрого дискретного преобразования Фурье.
Наличие управляющих функций ДД'.?) делает схему весьма гибкой, позволяет получать вейвлетные биортогональные базисы с разными свойствами, в частности можно добиться того, что базисные функции, принадлежащие разным уровням, станут ортогональными.
В заключительном разделе строится конструкция биортогональпых вейвлетов, основанная на интерполяции дискретными периодическими сплайнами [4]. Для данного сигнала г (к), к Е 0 : Дг — 1, где N является степенью двойки: N = 2', рассмотрим четный и нечетный подмассивы массива г:
е(к) = г{2к), к € 0 : т - 1; ¿(к) = ,г(2к + 1), к <Е 0 : т - 1; т = N/2.
При построении вейвлетных схем используем четный массив, чтобы предсказать значения нечетного на основе интерполяции дискретными Д^-периодическими сплайнами.
Наша схема идейно близка к схеме, реализованной в [1]. где были использованы непрерывные интерполяционные сплайны. Метод предсказания нечетных элементов массива с помощью интерполяции на четных элементах был предложен в работе Донохоу[2], которая была модифицирована Свелденсом [3],[7] в "лифтингорую схему" и приняла завершенный вид в работе [11].
2. Биортогональные вейвлетные схемы
Рассмотрим пространство С,\; всех Д-периодических сигналов 2 = {2(з)У ^ Щ- В этом разделе предполагаем, что N—четное, N = 2Л,1. В Сд' вводится скалярное произведения
где черта, обозначает комплексное сопряжение.
Биортогональпая вейвлетная схема определяется четырьмя функциями щ(1), щЩ, Ф 1(0) Фг{1), имеющими период Д\ которые для любых к. т € 0 : Д,Г1 — 1 обладают свойствами
(1)
1. (<р1(--2к),$1(--2т))=6(к-т)',
2. — 2к), Ф\{- ~ 2т)) = 0;
3. (фх{- - 2к), ф\{ - - 2т)) = 6(к - ш);
4. (■ф\{- — 2к),^1(- — 2т)) = 0. Здесь ¿(0) 1 и 8{к) = 0, если к ф 0.
Это эквивалентно тому, что система функций
{.-,!• - 2А-), ¿'С 0:.\,- !: 4Ч(-- 2 к), к ^ 0 : Л') - 1} (2)
биортогональна системе
Ш- - 2А-), к е 0 : /V, - 1; -0Д- - 2к), к € 0 : N. - 1}. (3)
В случае биортогональности элементы системы (2) линейно независимы и, значит, образуют базис в Сдг. То же верно для системы (3). Всякий элемент г 6 С/у разлагается по базису (2):
v, - ! v: - 1
--(•) = Е - 2к) + Е ~ 2к)- (4)
а—о л-=0
Важно разработать экономичные алгоритмы вычисления коэффициентов с1(к),с2{к).
Свойства 1-4 удобно проверять, перейдя к ДПФ
Ну = ^(91), Л-1 = 1), д1 = Э^ОМ, 91 = 1),
где ГГД ДПФ длины N.
Лемма 1 (Достаточные условия биортогональности). Если выполнены, условия
МЛ МЛ + М.; + А!)/",«:./ + М) = 2, ; € (5)
МЛЫЛ + М„/ + ^1)^1(7 + = о, зеъ, (6)
.91 (7 )</1 а) + <71 О' + ^ )д 1 (+ А'г1) = 2, ] е 2,
ЫЛМЛ+ <7117 + М)М./ + Д'1) = о, (8)
тоо справедливы свойства биортогональности 1-4-
Доказательство всех соотношений проводится по однотипным схемам. Скалярные произведения обозначим сг^, г € 1 : 4.
Имеем - 2к)) = ы^МЛ = и^/гДД ДаК^Д' - 2т)) =
^'МЛ- По равенству Па.рсеваля
. л-1 ___________ | ,у~1
- ^
4г*имлмл = к Е "ЯГ*^1 + ВД)'
А-т ]\т Л'1 '"Н-УУ'чи/ дг
.7=0 .7=0
где 1/Ц) = /мСЛМЛ ~ 1- Поэтому
/гт - /v 2-/./---0 + /v "ш -
- + ^ Е^о 1 (/) + //(7 + М)] = Ф» - А').
ибо по условию (5) #(7) + Н{] + N1) ~ 0. Свойства 2-4 доказываются аналогично. •
Было бы интересно описать все множество функций Ль Ль^ь^ь удовлетворяющих условиям (5)-(8). Ограничимся традиционным выбором функций по формулам
t -V,). <1 \{j) ■-- о,'у''h 1 (7 + A'i). (9)
Тогда если выполнено (5), то выполняются и остальные условия (6),(7),(8). Таким образом условия (5)-(8) сводятся к одному условию (5). ;
Лемма 2. Пусть функция h\ такова, что h\(j) и h\{j + N1) не обращаются одновременно в нуль и пусть h® удовлетворяет, соотношению ____
, ШШ + ьи + ьЖи + хо^ь .i е z. (10)
a h\{í) удовлетворяет (5). Тогда
^(Л = Д'.ЬО'). (11)
где 3(7)—функция с периодом N1. Обратно, если выполнено (10) и (11), то удовлетворяет (5).
Доказательство. Разность ¿(]) = %\{з) - удовлетворяет
уравнению
■ Кинл + ьи + NОФ' + А^^О, ./ ь Ъ. (12)
Нужно доказать, что ¿(7) имеет вид
</(Л-4М.У - (13)
где 3(7)—функция с периодом N1. Введем множество 3 = {7 £ Ъ : ^•1(7 + ^1) = 0} и определим 5(7) равенствами 5(7) = <1(1) / [ш^к^] + Ы\)) для 7 ^ ,7 и 5(7) = 5(7 + N1) для 7 € 3. Это определение корректно, так-как если 7 £ 3, то 7 + АГ1 ^ 3. Легко видеть, что 5-имеет период 2Л^.
Равенство (13) выполняется для 7 ^ 3. Если же j € 3, то /11(7 ) 0 и в силу (12) ¿(7) = 0. Поэтому (13) выполняется и для 7 € 3.
Покажем, что функция s(j) имеет период Рассмотрим три случая, возможных в фиксированной точке j.
1) h\(j) ф 0, hi(j + N1) ф 0. В этом случае, подставив (13) в (12), получим равенство hi(j)h1(j + Ni)u>3N[s(j) — s(j + iVi)] = 0, откуда s(j + N,) = s(j). ' .
2) hi(j) ф 0, hx(j + Ni) = 0, т.е. j € J. Тогда также s(j) - s(j + Ni).
3) hrU) = 0, Mi + M) Ф 0. Тогда j-N^J и s(j - Ny) = s(j). Отсюда (поскольку s имеет период 2Ny) следует равенство s(j + Ny) =
«(¿)- ; . -
Обратное утверждение доказывается прямой подстановкой (11) в
(5). •
В непрерывном случае аналогичную лемму можно найти в книге L Daubechies [10, р. 133].
Введем обозначение ßi{j) — ujJNs(j). Тогда функция ßy обладает свойством
ßi(j + Ni) = -ßi{j), j € Z, (14)
и, значит, ßi имеет период 2Ny = N. Формулы (11) и (9) можно переписать в виде
Ш = Щи) + МЖЦТЩ, (15)
ш=»AW+ъ) - шш]. (iß)
Получение hy и ду по этим формулам называется лифтинговой схемой (см. [3]). Таким образом, в лифтинговой схеме выявляется степень свободы в выборе hy и §\, которая остается после выполнения условий биортогональности.
3. Лифтинговый алгоритм получения коэффициентов разложения в интерполяционном случае
3.1. Прямей лифтинговый алгоритм.
Всякий сигнал г € Сдт разлагается по системе (2). В интересах дальнейшего коэффициенты обозначим еу(&), di(k):
Ni-l Ni-l
■*(•)= j 1£/11(к)ф1(--2к). . (17)
k=ß k=0 :
Для коэффициентов справедливы формулы еу(к) — (zi4?i{.' ~~ di(k) = (г,фу(- — 2к)). Вычисление всех коэффициентов по этим формулам требует N2 умножений. Выгоднее воспользоваться равенством
Парсеваля. Обозначим Z ~ Э'м(г) ДПФ исходного сигнала 2. Имеем - Щ = = ¡^(з): Тогда
, N-1 ____N1-1
-I- .ч ¿-; г , .ч 1
.¿=о 1=0
Отсюда Еу = ЗдгДе!) есть выражение в квадратных скобках с коэффициентом'
1 Г;
ЗД) = 72[Ш2{]) +М] + ЪЩ] + А\)
18)
Аналогично получим /), = Э^Дб? 1):
1
'Ш - фпиЩ)) \ + ЪЩ] + А',)]. (19)
Предполагаем, что выполнены условия (5) и (9). Тогда легко вывести формулу реконструкции
Вычисления по схеме г вычисления (18)-(19) для 7 £ 0 : АГ1 — 1
и далее обратные ДПФ £] н-> Д ь» с1\ требуют Аг) опера-
ций.
Чуть более экономичным является лифтинговый алгоритм, который реализуем в интерполяционном случае. Интерполяционным будем
называть случай, когда п\ имеет вид
Ш)"-\-г1:ЛГ). (20)
где А'-периодическая вещественная функция II\ обладает свойством
ад + АМ^-ВД), е. ж. (21)
В этом случае /¿1(7) + /¿1(7 + N1) = 2, в частности /¿1(7) и /^(7 + А^) не обращаются одновременно в нуль.
Название "интерполяционный случай" возникло под влиянием статьи Свелденса[3]. В непрерывном случае фильтр 1г(ш) называется интерполяционным, если выполнено равенство к(и>) + 1г(и> + я") = 1.
Возьмем самую простую фукцию /¡1(7) = 1, удовлетворяющую (10). Тогда равенства (15) и (9) принимают вид
чл = 1+/?10')ад + м), (22)
91(3) = - ШШ], Ыз) = Чу'М./ + М). (23)
В формулах (20), (22), (23) функции 11\{з) и /МЛ должны обладать свойствами (21)и(14),ав остальном произвольны (и при любом выборе этих функций выполняются достаточные условия биортогональности (5)-(8) ).
Лифтинговый алгоритм состоит из трех этапов. 1) Расщепление. Расщепим сигнал 2 на два массива
е^к) = *(2к), к 6 0 : N1 - 1; ^(к) = г(2к + 1), ¿€0:^-1,
и найдем их ДПФ .£1 = ДлтДех), Ву ~ (с1г). Ввиду равенства N ~ 2Л^1 справедливы соотношения
= + + в1(1) = ум[ги)-гц + м])}. (24)
(25)
2) Переход от Е\ и /Л к /9,. Для получения формул этого перехода подставим (25) в (23). Получим с учетом (9)
Эд) = \Ыз + + мл]ВД) + + м) - адЖад)-
Применив формулы(20)-(21), придем к окончательной вычислительной формуле
¿МЛ = А(Л - ВДКВД), j£Q:Nl- 1. (26)
3) Обновление /Д. Подставим (25) в (18). Получим
ВД)
1
М; + + МЛ] ВД) + - [М; + - МЛ] (Л-
С учетом (22),(24) придем к окончательной формуле
-ВД) = ВД) + Ш^ЯЫз), 3 € о : М - 1.
(27)
В некоторых работах, например [И],[12], лифтинговый алгоритм получают путем факторизации матрицы преобразования. Нечто подобное возможно и в нашем случае. Формулы (18)-(19) можно записать в матричной форме
ВД) 1Мз)\
М(з)
ад
ги + м,)
, где М{]) =
мл ад + м)
Ыз) ЛхО' + ^о
Каждый шаг лифтингового алгоритма также может быть представлен в матричной форме:
'Еу(з)' 1 '1 1 ¿0) ;
,/ЛО). ~ 2 , ' 3 /Л)
'Еу(з)' 1 о' '/'-.О)' 'ад)" 1 .^и-д'' 'Еу(з)'
,А0). .АО). .АО). 0 1 .АО).
В результате придем к факторизации матрицы М(]).
Теорема 1. Матрица М(з) представляет,ся в виде произведения
1 -^д-'' 1 0' 1 1 1
0 1 . —1 1 ' 2
Восс тановим сигнал г по 0\ и Еу. Для этого нужно проделать действия в '"обратном порядке''. Из (27) и (26) получим
£10')'= ЕУ0) - /Ш^АО), АО) = АО) + ВД4А0')- (28)
Далее обратными ДПФ Еу ех, 1)\ с/, восстанавливаем четный и нечетный подмассивы массива
3.2. Двойственный лифтинговый алгоритм.
Он дает коэффициенты разложения по двойственному базису (3). В прямом алгоритме обновленный вектор Еу содержит управляющую функцию Ву{])- Опишем двойственный алгоритм, в котором управляющая функция ах 0.) будет содержаться в обновленном векторе 1)у.
Декомпозиция. Сначала, разложим сигнал г на четный и нечетный подмассивы:
ег(к) = г(2к), к е 0 : А\ - 1; (Цк) = г{2к + 1), к.£ 0:^-1. (29) Найдем ДПФ Еу = ^(ех), Оу = 3?л/1(^ 1)- Далее вычислим
£.0) = + ^<0)А0);- ./ € 0 : .V, - 1, (30)
АО)- А0)-2а1(Я^£10), з (31)
где а.у(з)— Л^-периодическая функция со свойством ау(] + Л^) — — Ьу (3). Реконструкция. Восстановим нечетный массив
АО) = АО) + 2а,0МД0), 3 6 0 : Аг: - 1, (32)
а далее реконструируем четный:
ВД) = 2Е1и)-^,и1и)0Л])- 7 6 0: /V, - 1.
Обратным ДПФ находим ех, б?х, т.е. исходный сигнал 2.
Запишем формулы декомпозиции и реконструкции в фильтровой форме. Подставим выражения (24) в (30). Получим
Щз) - 12[Мз)2(З) + РЛЗ + я^ги + м)], з ео -1,
где рДЛ = ¿(1 + ИУД;)).= Подставим (24) в (31). Получим
ао') = I йшад+^О' + ^О' + м) ,;€0:^-1,
где ь{з) = ^'/Л1 - аДЛ/гД/))-
Из (32) и (33) легко получить формулы реконструкции в фильтровой форме
УАз) = .ВД) + А(ЛЧу' = МЛВД) + «МВД), 3 € О : я - 1, (34)
где •
р1и) = 2(1 + а1(;)(1-^а))), ?Д;)=<(1-^0-))-
Замечание 1. При «1 = будет рх = ^/гх, ^ — ^, рх = 2кг, 41 — 91- т-е- можно сказать, что фильтры декомпозиции и реконструкции в прямой схеме меняются местами с фильтрами реконструкции и декомпозиции в двойственной схеме.
Двойственный лифтинговый алгоритм ( при ах = дает коэффициенты разложения по базису (3).
Теорема 2. Пусть а\ = ¡3\. Всякий сигнал г 6 См разлагается по системе (3):
N1-1 N¡-1
*(•) = £ ЩкШ- - 2к) + £ Мк)М- - 2к), к=0 к-0
где , с/х—векторы, полученные в двойственном лифтииговом алгоритме по формулам (80), (31) (точнее, еу,^—обратные ДПФ от ЁиЗг).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и опирается на соотношения (34) и р\ — 2ку, =91. •
3.3. Многоуровневая декомпозиция сигналов.
В результате первого шага декомпозиции сигнала, с получается набор {Е\ (j). D\{j)}. Далее процесс декомпозиции можно продолжить, расщепив вектор cj = (-b'i) па два иодмассива ( ¿-^2 и продолжи» в духе формул (26)-(27).
Предположим, что .V = 2' и будем использовать обозначение Л„ = Х/2". Введем дискретную функцию
с,¡J) ••/'./¡. jez,
где (Jr~ та же функция, что и в формулах (20)-(21). Функция L'v{j) имеет период 2N„ и обладает свойством U„(j + i\) = — L'v(j)i j € Z.
Действия прямого лнфтппгового алгоритма для уровней // = 2.....t
можно описать так:
1) для j € 0 : Nt/ — 1 вычислим
ЕЛЛ = IXU) = ^JE^1(j)-E^1U+Nl/)}:
(35)
2) у пешим Е„ и 1)„ по формулам
/>„(./)" АЛЛ (36)
h{j) = E1/(j) + Mj)^Íí А. (Л, jeO: А; - 1, (37)
где ,i„(j)—вещественная функция с периодом 2N„, обладающая свой-ст вом
ад + Nu) = -ад). (38)
Замечание 2. О выборе rf„{j) речь пойдет в п.4.2. С точки ¡рения числа операций самым трудоемким этапом лифтингового алгоритма являются исходные ДНФ f j >-> Е\, di ь-► 1)\. Но и с учетом этого сложность алгоритма (9(A4og.¿ N).
Формулы (3б)-(37) можно записать в "фильтровом" виде:
DÁ3) = I ЩГ)Е,-1 и) + ШТЩЕ,. 1 (j + N„)}.
____(39)
E,AJ) = f [МЛ^МЛ + М.У + + Лу].
где / г о : Д'„ I и
мл = i +адТ(1-елл)- ил = -ад))- ио)
Формулы (39) справедливы для и = 1,..., /.. если считать Е0 = Z — ДПФ исходного сигнала
Результатом декомпозиции сигнала z является набор { Д,..., Д, Et}. Как восстановить исходный сигнал z ? Из (36)-(37) легко находим
E„(j) = Eu(j) -
АО) = АО) + АО), j € 0 : - 1,
// = t,t — 1,...,1. Зная Е] и Д, обратным ДПФ находим ei и — четный и нечетный подмассивы массива 2.
В фильтровой форме формулы реконструкции записываются в виде
Eu-i(j) = МЛЗД) + ЫЛА0), j e 0 : N^ - 1, (41) где v = t,t. — 1,..., 1, а функции hu,gu определяются по формулам
МЛ = 1 + АО), 9u{j) = <Ji - /ШМЛ)-
Последнее E0(j) совпадает с Z(j).
4. Вейвлетное разложение пространства сигналов
Введем подпространства, являющиеся линейными оболочками сдвигов функций у?! И фу:
Vi =C{tpi{--2k)\k 60: Nt-1}, Wi = - 2k)\k G 0 : jVj -1}.
Поскольку элементы базиса (2) линейно независимы, то dim Vi = dimVFi = jVi и См есть прямая сумма V\ViW\\ Qv = Vi-\-Wx.
Мы по-прежнему рассматриваем интерполяционный случай, в котором функции М hi,gi,gi определяются формулами (18), (20), (21). От содержащейся в них функции /?i не требовалось ничего, кроме свойства 0iО + ) = (j). Выбор 0i(j) является важным дополнительным ресурсом, и его можно потратить на разные цели, например добиться, чтобы подпространства Vx и W\ стали ортогональными.
Лемма 3. Пусть 0i{j) = Д(Л/(1 + Uf(j)). Тогда справедливо следующее соотношение ортогональности
{<pi(- - 2к),фг(- - 2т)) = 0 Vk,m € Z.
Доказательство. Имеем 3W(i/>i(--2fc)) = gx(j). По равенству Парсеваля скалярное произведение равно
1 N-1 1 7V-1
3=0 j=0
где Ст(у) = 1 + Ь\{]) - /?хО')( 1 + АО))2- Отсюда
Вви, 'кобка равна нулю, если выпол-
нено условие СО + N1) = СО), что эквивалентно
-АО) + /Ш(1 - АО))2 = АО) - /Ш(1 + АО))2-
Отсюда /ЛО) = А0)/(1 + А20)), что и в условиях теоремы. В итоге <Укт — 0 для всех к, т. "•
Замечание 3. В условиях леммы 3 имеем, что \\1-Wi, а тогда ^фИ^! = Сд?. Из свойства биортогональности 4 (см. начало раздела 2) следует, что у?х(" ~ 2к) 6 И, а из свойства 2 следует, что фх{- — 2к) € IV] для всех к. В силу Ц _1_IVI получаем дополнительное свойство (£>х( • — 2к),фг{- - 2т)) = О Vк,т 6 Ъ.
4.1. Базисные функции и подпространства при г/ > 1.
При V — 2,... Д введем базисные функции ф„, ф„, имеющие
период N и удовлетворяющие соотношениям
где ЗД — ДПФ длины N. В непрерывном случае такие функции введены в [1].
Введем подпространства, являющиеся линейными обо лочками сдвигов функций (¿>„ и ф„:
К = £{<Р„(- - 2" к)\к €0: N„-1}, \¥„= £{ф„{-- 2"к)\к € 0 : - 1}.
Э^Ы = А, АО) = МЛ. • • А-10)ЫА
= А, НАз) = Ыз).. .К-^кАз),
= <А, (ЗД) = /н0)... /г^-хОКО)»
= &и, дАЛ = МЛ-.Л~10ША
Наша, ближайшая цель — показать, что = К+х + И ,./+| (\'о — это пространство Сдг всех /У-периодических сигналов). Лемма 4. Справедливы включения
С V;, И/,,+ 1 С К, V € 1 : г - 1.
1
<р1/+1{1 - 2"+1 т) = — ]Г
N
J=0
Нужно доказать, что существуют коэффициенты ст(к) такие, что
<р„+1(1 - 2"+1т) = Е ~ 2Ч')-
А=о
Это выполнено, если
£ ¿"(ад? = 3 €О : ^ - 1.
А-=()
Обе части этого равенства имеют период А^. В качестве {ст(&)} возьмем обратное ДПФ (длины Л^) от {и^2™3Ъ^+х^)}. Тогда, К+1 С К-Аналогично показывается, что С К- •
На //-м уровне также выполняется свойство биортогональности. Лемма 5. Справедливы следующие соотношения биортогоналъ-ност.и и ортогональности (для любого г/ € 1 : t и любых к,т £ 0 :
■V, ■ \):
1. =
2. = 0;
- 24), - 2"?тг)) = ¿(А- - ш);
Здесь ¿(0) = 1 и 8(к) = 0, если к ф 0.
Доказательство всех соотношений проводится однотипно. Скалярные произведения обозначим г £ 1 : 4.
Имеем Зы^А- ~ 21'к)) = ^НЛЛ, - 2"т)) = чС'ВД)-
По равенству Парсеваля
. N-1 __ЛГ-1
1 V—N ,, , .. , 1
г ^к)зНЛзШ.з) = ШЫз)... /',(./)/',(./).
кт ' уу
./=0 ^'=0
Для любого к £ 1 : и имеем Л д. Л* = 1 + М*, где ЛД. = ик + $к(1 — VI) обладает свойством + Л^.) = — ЛДО) и имеет период 2Л'Д Имеем
= £ Е^1 "¡Г^1 + Мг][ 1 + Л/2] •.. [1 + М„] = = 17 ЕЙ;14ГШ[1 + АО) +1 + .иди )][1 + м2\... [1 + и,,}.
ибо выражение [1 + Л/Д • •. [1 + Ми] имеет период Л^. Но М\ {]) + М\ О + ЛД) = 0. поэтому
1
Повторяя только что использованный прием, получим
= £ Ейо"1+ ... [1 + щ =. • •
Утверждения 2-4 доказываются аналогично. •
При доказательстве леммы 5 от функции /Д не требовалось ничего, кроме свойства ¡3„(3 + М„) = — /ДО). Если же выбрать /Д в нужном виде, то можно обеспечить ортогональность подпространств V,, и ИД. Лемма 6. Зафиксируем и £ 1 : Если выбрать Д, по формуле
Ш = (МЛАЛЛ -г'ки + Ми)А„0 + А'Д)//Д+1(Л, (42)
где. функции Аи и Аи+1 определяются рекуррентно:
А-,0) = Ни)Ак(Л + 1>1и 4- Д',).4/Л./ -г АД. /,• С- 0 : /.'. А](Л = I, (43)
то подпространство К ортогонально
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При и = 1 утверждение леммы совпадает с утверждением леммы 3. При // >1 скалярные произведения акт = - — ч/'Д- — 2"яг)) будем вычислять как в лемме 5:
1 N-1- _ ,
,у=0 ' ./=0
где ПО") = (¿АЛ = МЛ(1 - -ШЫ./))- Имеем
^'п = Д7 Е "О) №') + Н+ Л ')1 ^О)- • • 0)^0)-
.7=0
Выражение в квадратных скобках есть A2(j). Далее имеем
= { Ей, ' ОД [i'i(j)Mj) + Ш.) + n2)A2(j + .v,)! hi(j)... ■ ■Л2,-! U)Qu(j).
В квадратных скобках стоит АзО)- После v — 1 шагов получим
= ¿Ейо'-1 тмлялл =
= -k Eb;1 ОД [Mj)QAj) - A„(i + iV„)Q,(j + ЛГ„)].
Элементарно проверяется, что при выборе по формуле (42) выражение в квадратных скобках обращается в нуль. Поэтому a km = 0. •
4.2. Выбор управляющей функции
Возможны три основных выбора (Зи:
1) Положим ¡i.J j) = (<v{j)/{ 1 + иЩ))- Это обеспечивает ортогональность \ i J_Ti''j (см. лемму 3). Привлекательным моментом такого выбора является то, что в„ получается прореживанием функции fa:
2)fiv{j) = f^Mi)? v = 1,... Этот выбор предложен в [1], там же приводится его обоснование.
3)Можно при каждом и выбирать /?„ из условия ортогональности, т.е. по формуле (42) в лемме 6.
4.3. Лифтинговая схема дает коэффициенты разложения
Утверждение 1 леммы 4 означает, что системы {<ри(- — 21,к)}^1 и Ш- — k)}k=o 1 биортогональны и, значит, каждая система линейно независима. Значит подпространство V„ = £{<£>„(• — 2vk)}^1 имеет размернос ть N„. Аналогично dim Wv = Nv. Отсюда Vu+i + W„+i = Vv В результате получим вейвлетное разложение пространства Qv при N = 2' в прямую сумму подпространств:
C/v = VAWt+Wt-i + ... +Wi.
Аналогичные разложения можно найти во многих работах, например [6.8]. В [6, с.53], [8] предполагается, что выполнено свойство: если / £ Vv. "то /(2-) £ V„-\. Для наших подпространств это свойство не выполняется.
•Любой сигнал с £ Сд' разлагается в сумму
l Nu -1
z(l) = et(0)ipt(l) + Е Е ¿Лк)М1 ~ 2"к). (44)
/./=! к-О
В блортогональной вейвлетной схеме, основанной на интерполяции дискретными сплайнами (см. раздел 5), при V = .1 будет <^Д/) = 1, так что первое слагаемое в разложении (44) будет постоянным. -
Коэффициенты разложения (44) получаются при многоуровневой декомпозиции сигнала z (см. и. 3.4).
Теорема 3. Векторы коэффициентов {Д, Д,....Н2, <!\ } в разложении (44) являются обратными ДПФ от, векторов { Е,, АД • • • - 02, О]). полученных при многоуровневой декомпозиции сигнала:
Д(0) -= Ё{(0), I = ^(ДД и <Е 1 : I.
Доказательство. Как было показано• в теореме 1, справедливо равенство с = С] + 1, где
л',-1
Лч-1 .
-1 \
= £ «..,(■)= £</,(*•)«',(■-2Л).
к—о
к—О
Найдем ДПФ 7.\ = Да'ДД Имеем по формулам обращения ДПФ
Л'=0
3=0
Отсюда
Л',-1
/v,-] лг-1
к=о
«=0
.¡—9
л',-1
л
к=о
Выражение в скобках есть ¿лД* — ]). Поэтому
Л'] -1
л'-1
др £ + а)] = ^ Еадмлчй
(учли, что Е\ имеет период /V] ). Отсюда, следует, что ДПФ от имеет
вид гхи) = /м(.Д£Д./).
По формуле реконструкции (41) ЬД;) = Ь2{])Е2и) + ЫЛ^ЛЛ-Отсюда
ВД) = МЛМЛВД) + МЛЫЛВД)-
Введем обозначения ~2 = Э-^1 (Лх ) и и>2 = Уд,1 (к]д202). Получим = ~2 + ■ Имеем
м-1 1 N-1 N2-1
= ^ Емлчлвд^й = ^Е^л.швд) Е =
.7=0 ' .7=0 /с=0
N2-1 . N-1 ЛГ2-1
= Е ^'л Е = Е ад^с - 4*).
А.—0 ' .7=0 к—0
Аналогично показывается, что ш2(/) = ЕГ=о * (&)?/'2(I — 4/г).
Далее показывается, что 2^0) = ¿гО ^тЫМУ) и г2 — г3 + ш3, где 2.3 С Уз, гоз £ И'з. В результате придем к разложению г = + + ... + Ш], т.е. к разложению (44). • ^
Замечание 4. При любом и £ 2 : ( ДПФ^эт и даются формулами = Ну(з)ЕМ) и Зл-(и^) - (?„0')£>„(,/').
5. Биортогональная вейвлетная схема, основа»' ная иа интерполяции дисретными сплайнами
5.1. Дискретные Л'-периодические сплайны.
Они подробно исследованы в [4] и определяются тройкой натуральных чисел (г, т,п), где тп — N. На каждом промежутке между узлами 0, п, 2п,..., тп = N сплайн 5Г(Л (] — целое число) совпадает с некоторым полиномом степени 2г — 1. Выберем п =^.2, т — N/2 и рассмотрим интерполяционную задачу
$г{2к) = е(к), к е 0 : т - 1. ' (47)
Эта задача легко решается. Всякий сплайн 5,- (при п = 2) представляется в виде
"•-! дг
= Тс№гЦ-21), т = —, ыо г
где С^г — В-сплайн (см. [4]). При указанных значениях п,т ДПФ от В-снлайна дается простой формулой (см. [4])
где = с2"^. Задача (47) переписывается в виде
/74 — 1
Е с{1)Яг{2к - 21) = е(А:), к е 0 : т - 1.
1=0
векторов суе обозначим С,:Е: С = Э*ш(с), Е = Э*„,(е). По геореме о свертке ('(./)'/',О) = А./')- 1 е В : т - 1, где
ТАЛ := ЕГ=о = I [ЗД<?г)(0) + + т)] =
Найдем теперь значении <т(к) = $г(2к + I), к € 0 : т — I, в нечетных точках 2к + I. Имеем а = с * где ц(к) = 6Д(2А' + 1), А: € 0 : т — 1, причем
•АД/АД = Н ,.)(./) - 7у(0,.)(.} + т)] = = Н - (2N¡11 )" ' .
Отсюда
А.ИО) = (АЛЪпШЛ = ,(/'№") - ВД-^АШ, ОТ
где
Г с\- )2' -
ЛЛ ~ / ]*\2г , I • /м'2'"
лсоз^) + (.4111
Отметим, что:{ДД' + -т) = чАО) и ¿ДО) имеет период Л'" = 2т. мулы (48) и (49) будут играть в дальнейшем существенную роль.
5.2. Прямой лифтинговый алгоритм.
После расщепления сигнала ~ на. четный и нечетный подмасспвы (ч(к) = Д2А:), Д(А-) = Д.2А •+ 1), к € 0 : ¿У] — I, будем предсказывать значения нечетного массива с помощью интерполяции дискретным А?-периодическпм сплайном (см. п. 5.1). Положим (1Л = Д — ег, где <т(к) = .5'Д2А: + 1) — значения интерполяционном).ештйиа -£>г в нечетных точках. Удобное выражения для Д получится, если сделать ДНФ. •'Найдем ДПФ :Е, = 5",у1(с1), /Д - ЗДДсД). ¡Подформуле (48) получим
АО') = АО') - АОИД'ДА ./ € 0 : А - I, (50)
где функция £Г] определена, формулой (49). Формула (50)-совпадает - с. (формулой (26). Значит, пришли к интерполяционному лифгииговому алгоритму, в котором /мО) = I + АО )■ Обновление Е\ проводнтс.я по общей формуле (27), выведенной в разделе 3.1:
А О) = ел:,) + /),(.,). ./ е о : /V, - I.
Многоуровневую декомпозицию сигнала г также можно интерпретировать в интерполяционном духе.
При указанном выборе /ц графики функций ф\,фимеют привычный вейвлетный вид, причем ф\ имеет самую большую частоту, а ¡/'г самую малую.
Выполним первый шаг декомпозиции, т.е. разложим сигнал ~ в сумму (17). ДПФ "-1 получается по формуле Z|(j) = к\(]) {]), где функция //1 имеет вид
2(со8#)аг
/м (Л
(cosf)2' + (sinf )2'
А' } I N ■
Она является дискретным вариантом фильтра Баттерворта (см. [9, с.128])). Графики hi(j) и hi (j) см. на Фиг. 1.
/v, Ni . заг2 N
Фиг.1. Функции hi(j)(Be\>xni]i\ график) и /г i(/)( нижнии график.) при
г = 3. et=Ui/(h+Uj2).
При увеличении г график- становится почти прямоугольным. Поэтому спектр Zi(j) = hi(])Ei(j) сосредоточен в 0 : /V2 — 1 U 3Л'2 + 1 : А', что указывает на нпзкочастотность сигнала
В заключение авторы благодарят руководителей С.-Петербургского городского семп пара "Вейвлеты и их приложения" К). К. Демьяновича, В. П. Малоземова. М. А. Скопину за полезные обсуждения материала статьи.
Литература
1. Zheludev V.A., Averbuch A.Z. A biorthogonal wavelet scheme , based on iuterpolatory splines/[Proceedings Second Int. Con}. "Tools
for math, modelling'99". June 14-19, 1999. V-4- St. Petersburg: SPTU. 1999, P.214 -231.
2. Donoho D.L. Interpolating wavelet transform//Preprint 408. Dept. of Statistics. Stanford Univ., 1992.
3. Sweldens W. The lifting scheme: A custom design construction of biorthogonal wavelets//Appl. Comput. Harm,. Anal. 1996. V.3. N 2. P. 186-200.
А. Малоземов B.H., Певный А.Б. Дискретные периодические сплайны и их вычислительные применения//Ж. вычйсл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. №8. С.1235-1246.
5. Strang G., Nguen Т. Wavelets and filter hanks. Wellesley-Cambridge Press, 1996.
6. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб: СП-6ТУ, 1999. 132 с. Ф
7. Sweldens W., Schroder P. Building your own wavelets at home// In "Wavelets in Computer GraphicsACM SIGGRAPH Course Notes. 1996.
S. Skopina M. Multiresolution analysis of periodic functions// East J. on Approximations. 1997. V.3. P.203-224.
9. Каппелини В. и др. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомизда.т, 1983.
10. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math. V.61. Philadelphia: S1AM, 1992.
11. Daubechies I., Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps//J. Fourier Anal. Appl. 1998. V.4. N 3. P. 247-269.
12. Петухов А.П. Биортогональные базисы всплесков с рациональными масками и их приложения//Тр. С.-Петербург, матем. об-ва. 1999. Т.7. С. 168-193.
Summary
Zheludev V.A., Pevnyi А. В. Lifting schemes for wavelet transform of discrete signals
In this paper we present a new family of biorthogonal wavelets in the space of discrete periodic signals. We construct primal and dual algorithms for wavelet expansion of discrete signals.
Те ль-А вивский университет
Сыктывкарский университет Поступила 20.09.00
