CC BY
27Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006
УДК 519.652
ФРЕЙМ МЕРСЕДЕС-БЕНЦ В П-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1
А.Б. Певный, М.Н. Истомина
В пространстве К” построен жёсткий фрейм, состоящий из п+1 векторов такой, что углы между любыми двумя различными векторами равны | + агсзіп ^.
Система векторов {ек К” называется жёстким фреймом в К”
если существует число А > 0 такое, что для любого х Є К” выполнено равенство
к
£
к=1
((х,вк ))2 = А||х|
(1)
Здесь (х, у) = ^2”=1 ХіУі — скалярное произведение векторов х, у Є К”, ||х||2 = (х,х), Из (1) следует, что К > п. Кроме того (см, [1], разд. 3,2),
х Є К”
1 К
Х = Д У^;ІХ>Єк)Єк-
к= 1
(2)
Классическим примером жёсткого фрейма является фрейм Мерседес-Бенц в М2, состоящий из трех векторов единичной длины, расположенных под углом 120°
.N(0,1), 4= ),е2=
(3)
Для него равенство (1) принимает вид
3 3
„2\\2 _ _ 11^112
2
^((ж, е2))2 = -\\х\\2,х Є М2.
І= 1
1 Работа поддержана грантом РФФИ 06-01-72032 - МНТИ-а
2
© Певный А.Б., Истомина М.Н., 2006.
Характеристическим свойством этого фрейма является то, что углы между различными векторами равны 120°,
Оказывается, для любого п > 3 можно построить аналогичную конструкцию в М”,
Теорема. Для любого п > 2 можно построить систему из п + 1 векторов %п = {е”, е”,..., е”+1} со свойствами:
1. <е?,е?) = г,;) е1:п + 1,г^г,
1|е”У = 1, і Є 1 : п +1;
5. ЕП+11 е” = О;
4- Система 3” является жёстким фреймом с константой А = (п + 1)/п.
Доказательство проводится индукцией по п. При п = 2 фрейм (2) удовлетворяет всем утверждениям теоремы.
Допустим, ЧТО ДЛЯ п — 1 все утверждения выполнены. Система получается из ^п-1 с помощью процедуры добавления.
Для і Є 1 : п вектор е” строится из е”-1 добавлением п-ой компоненты —Л,” и нормированием получившегося вектора:
Єі = Сп[Єі~\ -К], где сп 1
л/1 + К,
Положим е”+1 = (0, 0,..., 0, 1) Є М”, По индуктивному предположению (еГ1, ) = —гг; % І Є 1 : п, і Ф 3- Тогда
” \ е” 1) + Л”) > і> З Є 1 : п> і < і'>
\еІ , еІ) =
с2 (/е”-1 е”-1\
\° І 5 /
—С”Л” , і Є 1 : п, І = п + 1.
Получим уравнение для определения Л”
1 • Г /і!--------—^
І + ІІІ V " П-1) " " уг+
Отсюда /1п = ^тргт, сп = Тогда (егп, ef) = -±,iфj. Имеем
1к”||2 = сП(Уе”-1у2 + ^ 1 е 1 : П К+Л = 1
Так же просто проверяется свойство 3,
Фрейм Мерседес-Бенц в n-мерном пространстве
221
Осталось доказать, что для любого х £ М” выполняется тождество
n+l
i=l
n
По индуктивному предположению верны равенства
nn
5^((ж,еГ1))2 = ^зу||ж||2 Ух £ Mn_1, ^еГ1 = 0.
i=l
Dn-l ^ ^ en-l
i=l
Построим е” с помощью процедуры добавления. Тогда из индуктивного предположения следует искомое тождество. Теорема доказана. Замечания
1, Угол ^n между двумя различными векторами е” и е” находится из условия cosipn = (е",е") = —отсюда ipn = arccos(—=
| + arcsm ^, значит
2п п п
— = (/?2 > >•••>(/?„>•••>-, І1Ш (/?„ = -.
3 2 n—2
2, Избыточное количество векторов (n+l) в разложении (2) повыша-
x
С = (x, е”), і Є l : n + l. Если любой из коэффициентов {ci}”+ll
x
Допустим, что утрачен коэффициент ck = (x, е”) с некоторым номером k Є l : n + l. Рассмотрим систему
(4)
с выкинутым вектором е£. В системе (4) скалярное произведение двух различных векторов равно — а норма каждого вектора равна 1, Поэтому матрица Грама системы (4) имеет вид
G=
1
1
.1
l
Эта матрица имеет диагональное преобладание, поэтому det С = 0 и, значит, система (4) линейно независима. Поэтому существует
единственная система {ei,..., ek-i, ek+1 ...,en+i}, биортогональ-ная к (4), и вектор x восстанавливается по формуле
к — 1 n+1
x = ^2 + ^2 ce
i=1 i=k+1
x
вых коэффициентов утрачена, рассматривался во многих работах, см,, например, [2], Там же использовалось название Mercedes-Benz frame,
4, Из стандартного фрейма можно получить другие жёсткие фреймы. Умножим все векторы фрейма на произвольную ортогональную матрицу Q и перед получившимися векторами в произвольном порядке расставим знаки + и —:
{±Qen, ±Q еП,..., ±Q еП+1}. (5)
Система (5) является жёстким фреймом.
Нерешенная задача. Доказать, что любой жёсткий фрейм с константой , состоящий из п + 1 единичных векторов, после некоторой перестановки элементов фрейма принимает вид (5),
Литература
1, Daubechies Ingrid. Ten lectures on wavelets, Philadelphia: SIAM,
1992.
2, Casazza Peter, KovaCevic Jelena. Equal-norm tight frames with
erasures // Advances in Comp. Math. (Special issue on frames). 2002.
P. 387-430.
Summary
Pevnyi A.B., Istomina M.N. Mercedes-Benz frame in n-dimensional space
We construct an equal-norm tight frame in Rn consisting of n+1 vectors. The angles between any different vectors are equal | + arcsin ^,
Сыктывкарский университет Поступила 7.03.2006
