Дополнительные жёсткие фреймы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 9. 2009

УДК 519.652

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЖЁСТКИЕ ФРЕЙМЫ A.B. Певный, М.Н. Истомина, В.В. Максименко

Для каждого (гг, т) - фрейма Парсеваля в Мп, т > гг, определяются дополнительные фреймы Парсеваля в пространстве размерности п' = т — п. Путём перенормировки дополнительные фреймы можно определить для любого жёсткого фрейма.

1°. В пространстве Мп будем использовать обычное скалярное произведение (х,у) и норму ||гг|| = у/(х, х).

Пусть т,п — натуральные числа, т > п. Напомним, что фреймом Парсеваля называется жёсткий фрейм с константой А = 1, т. е. система векторов {х\,... ,хт} в Rn называется фреймом Парсеваля, если

ГП

[(я, Xk)]2 = ||х||2 Vx е Mn. (1)

k=1

Через Ф обозначим матрицу со столбцами х\,..., хт. Тогда хорошо известно (см. [1]), что условие (1) равносильно условию

ФФТ = 4, (2)

где 1п - единичная матрица порядка п. Строки матрицы Ф обозначим

7П. В силу (2)

(Тг? 7к) ^г/с?

где Sik - символ Кронекера. Здесь, в отличие от (1), угловые скобки () обозначают скалярное произведение в Rm.

Дополним систему 7i,..., 7П строками 7п+ь • • • ? 7т так> чтобы все т строк {71,..., 7П, 7п+1,..., 7т} образовали ортонормированный базис в Мш. Такое дополнение, конечно, возможно. Через Ф0 обозначим матрицу со строками 71,..., 7т. Она является ортогональной:

ф0ф^ = 1т. (з)

© Певный А.Б., Истомина М.Н., Максименко В.В. , 2009.

Отсюда следует, что

Ф^Ф0 = 1т.

Это означает, что столбцы Х\,..., Хт матрицы Фо также образуют ор-тонормированную систему. Столбец Хк можно записать в виде

Хк =

Хк

Ук

к е 1 : т,

где хь £ — исходные векторы-столбцы, а у к 6

ные вектор-столбцы.

(4)

дополнитель-

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Система {у\,..., ут} является фреймом Пар-севаля в Мт_п, при этом выполнены соотношения

1Ы2 + НЫ12 = 1,

{хк, х8) + {ук, Уз) = 0 при к Ф 8.

(5)

(6)

Доказательство. Через Ф обозначим матрицу со столбцами ..., ут. Она состоит из добавленных строк 7п+ь • • • ?7т? удовлетворяющих соотношению

(ъ,ъ) = ^к, г,кеп + 1:т,

что равносильно равенству = /от_п, значит, {у\,... ,ут} - фрейм

Парсеваля в Кт_га. Соотношения (5) и (6) вытекают из ортонормиро-ванности векторов (4).

Предложение доказано. □

Построенный фрейм {у1,... ,Ут} называется дополнительным фреймом Парсеваля. Он обладает характерным свойством

(Ук,Уз) = ~{хк,х8) при кфз.

2°. Конструкции из п. 1° можно придать другую форму. Введём матрицу размера п х т

1 0 ., .. 0 0 .. .. 0

р = 0 1 ., .. 0 0 .. .. 0

0 0 .. .. 1 0 .. .. 0

Умножение Р на вектор X = (жх,... ,хт)Т приводит к отбрасыванию последних т — п компонент вектора X:

РХ = {хъ .. ,,хпУ

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Система векторов {хі,..., хт} является фреймом Парсеваля в Мп тогда и только тогда, когда существует орто-нормированный базис ..., Хт} в Мш такой, что

Доказательство. Необходимость. Если {хь}™=1 фрейм Парсеваля, то существует ортоиормироваиная система в Мш вида (4), а тогда РХк = я*., к Є 1 : т.

Достаточность. Если существует ортонормированная система {Хь}™=1 и выполнено (7), то рассмотрим матрицу Ф0 из столбцов Хі,..., Хт. Это ортогональная матрица. Её строки 71,..., 7т также образуют ортонор-мированный базис:

Из векторов Хк = РХ^ к е 1 : т, составим матрицу Ф размера пхт. Её строками являются 71,..., 7П. В силу (8) выполнено равенство ФФТ = /п, значит {хк}™=1 фрейм Парсеваля.

Формула (7) даёт единообразный способ получения фреймов Парсеваля в пространстве Мп. На этот способ обращали внимание многие авторы, например, [2, 3].

3°. Построение дополнительных равноугольных жёстких фреймов. Обратимся к получению дополнительных фреймов для равноугольных жёстких фреймов.

Напомним [1], что система {</?!,..., (рт} в Мп называется равноугольным жёстким фреймом, если

Равноугольные жёсткие фреймы существуют не для всех пар (п, т). Полезным является следующее утверждение.

РХк = £/с, к Є 1 : т.

(7)

Ь»1к)=йік, і, к Є 1 : т.

(8)

Предложение доказано.

□

1) Ц^Ц = 1, к Є 1 : т;

2) \{<Рк,<Рв)\ = с при к ф з;

3) ЕГ=іК^>]2 = ^ІМІ2 УяєК",

где с и А - некоторые константы.

Показывается [1], что константы определяются однозначно:

А

т

п

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть т> п. Если для данной пары (п, т) существует равноугольный жёсткий фрейм {<¿>1,..., (рт}, то существует равноугольный жёсткий фрейм {фі,-фт} для пары (п',т), где п' = т — п, при этом

Фз) = - В1ёР(<Рк, <Рз} при к ф в. Доказательство. Векторы

хк = \ ~<Рк, к Є 1 : т, у т

образуют фрейм Парсеваля в Кга. По построению п. 1° существует дополнительный фрейм Парсеваля {ук} в Мп , при этом выполнены равенства (5) и (6).

Из этих равенств получаем

ЫГ = 1-Ы2 = 1-- = ~

т т

Ті Ті

ІУк,Уз) = -(хк,х8) =------------{ч>к,Ч>8) =-------с при кфз.

т тп

Введём теперь векторы

Фк = \1 т Ук, к Є 1 : т.

т — п

Они обладают свойствами:

1) ||^А|| = 1, к е 1 : т;

2) \{Фк,Фз)\ = (Ук, Уз)\ = при к ф в;

3) {фх,..., фт} является жёстким фреймом в Мп с константой

тп тп

Значит, {^1,..., фт} равноугольный жёсткий фрейм в Мп/, где п' — т — п.

Предложение доказано. □

Пусть тп > п и {</?!,..., (рт} равноугольный жёсткий фрейм в Мп. Введём матрицу Ф = [у?1,..., (рт\ размера пхт со столбцами ..., Тогда условие жёсткого фрейма как и выше можно записать в виде

Строки матрицы Ф обозначим 71,...,7П. Тогда (9) переписывается в

где ( ,) скалярное произведение в Мш.

Процесс построения дополнительного фрейма можно конкретизировать следующим образом :

1. Введём нормированные векторы-строки

2. Дополним систему {<§1, . . . , 5П} строками 5п+1, . . . , до ортонор-мированного базиса пространства Мш. Из строк ^ = ($¿1, • • •, ^ш),

г Є 1: т, составим матрицу Эта матрица является ортогональной, т. е. ББ7" = 1т. Кроме того, выполнено равенство БТБ — /ш, которое означает, что столбцы матрицы 5 также образуют ортонормированную систему. Столбец матрицы 5 с номером к можно записать в виде

(9)

виде

(ТьТк) ^ікі І) к Є 1 . П,

П

%к

Ук

, хк Є Мга, Ук е М’

:пг—п

Условие ортонормированности записывается так:

Ы2 + \\ук

2 = 1, к Є 1 : т;

(10)

(хк, Ху) + (ук, Уз) = о при к ф І-

(П)

3. По предложению 1 система {уі,..., ут} является жёстким фреймом в Мт-П, который называется дополнительным к фрейму {жі,..., жто}. По построению

Отсюда и из (10) следует, что

НЫ1 = Vі - 1Ы12 = \!

тп — п

т

к Є 1 : т.

Нормированные векторы = у/^^Ук, к Е 1 : т, образуют дополнительный равноугольный жёсткий фрейм.

5°. Введём симметричную матрицу размера т х т

которая является конференц-матрицей (см. [4]).

ТЕОРЕМА. Столбцы ,..., являются собственными векторами матрицы <5, соответствующими собственному числу А і = т^г-Столбцы ..., ^ являются собственными векторами матрицы

<5, соответствующими собственному числу Л2 = —

Доказательство. Введём матрицу Грама С = ФТФ, состоящую из скалярных произведений (<Рі,<Рк)і і, к Є 1 : т, и найдём её собственные числа. Для к Є 1 : п вычислим = ФТФ^. Строки матрицы Ф ранее были обозначены 71,..., 7П- Имеем

Кроме того, С?8^ = О при к е п + 1 : т. Значит, собственными числами С являются числа — и 0.

П

Ввиду равноугольности фрейма {</?!,..., (рт} справедливо равенство — /ш). Отсюда получаем, что

т

п

Отсюда

Теорема доказана.

□

6°. Один из возможных способов построения дополнительного равноугольного фрейма {ф\,..., фт} основан на теореме. Найдём ортонор-мированные собственные векторы 5;

п_\_ 1, • • • , От

матрицы (3, соответствующие собственному числу —К Из строк 8П+1, ..., зт составим матрицу

®п+1,1 ■ ■ ■ ®п+1,т

^т! •• • ®тт

Г =

Столбцы этой матрицы обозначим ух,... ,ут. Тогда векторы

Фк =

т

-ук, к £ 1 : т,

т — п

образуют дополнительный равноугольный жёсткий фрейм.

Пример. Пусть п = 3, т = 6. Известным примером равноугольной системы в М3 является набор из 6 векторов:

9\ (^5 1} 0) ч 94: (^5 1? 0) ч

92 (0? 1)? 9ъ (0? 1)?

93 (15 0? о^)9 9б ( 1, 0, а),

где а = золотое сечение.

Нормированные векторы ^ = дь/\/1 + а2, к £ 1:6, образуют равноугольный жёсткий фрейм в М3, причём

\(<Рк,<Рз) \ = 4= =• с при к Ф в.

V 5

Построим дополнительный равноугольный жёсткий фрейм.

я =

рица <5 имеет вид:

' 0 +1 +1 +1 +1 -1

+1 0 +1 -1 +1 +1

+1 +1 0 +1 -1 +1

+1 -1 +1 0 -1 -1

+1 +1 -1 -1 0 -1

-1 +1 +1 -1 -1 0

У этой симметричной матрицы можно найти собственные векторы, со-отвествующие собственному числу = — 1/с = — \/5- Запишем эти векторы в строчку:

74 = (-1,0, 0, а, а, 1),

75 (О, О, 1, а, 1, а),

76 (0, 1} 0,1, о?, «).

После ортогонализации и нормировки этих векторов получим векторы ^4, ^5, <?б, которые запишем в виде строк матрицы ¥ размера 3x6.

Столбцы этой матрицы, как и выше, обозначим у\,..., у§. Векторы фк = л/^Ук = л/%Ук, к Е 1:6, образуют дополнительный равноугольный жёсткий фрейм. Матрица Ф = [Ф\, • • •, фб] имеет вид

Ф = л/2 Y

0

\Д+х/2

П ____3+\/5

U 5+х/5

1 ~7Е

0 -

2

1.

V5

х/2

Vs+vl

З+л/5

5+%/5

___L

V5

1

’ л/10

5+%/5

____L

л/5

____L_

л/Ш

2

5+\/5

75 .

При этом

|(^*,^в>| = ~^=, (Фк,Фз) = -{фк,Ч>») при к ф s.

Литература

1. Малозёмов В. Н., Певный А. Б. Равноугольные жёсткие фреймы// Проблемы математического анализа. 2009. Вып. 39. С. 3-25.

2. Han D., Larson D. R. Frames, bases and group representation// Mem. Amer. Math. Soc. 2000. V. Ц7. № 697. P. 1-94.

3. Casazza P. G., Redmond D., Tremain J. C. Real equiangular frames// (http: //www.math.missouri .edu/~pete)

4. Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere packing, Lattices and Groups. 3rd edition// Springer-Verlag, 1999.

Summary

Pevnyi A.B., Istomina M.N., Maksimenko V.V. Complementary tight frames

For any tight frame in the space Rn consisting of m vectors, m > n, the authors construct a complimentary tight frame in the space of dimension

n' = m — n.

Сыктывкарский университет

Поступила 01.04-09