О жестких фреймах специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ЖЕСТКИХ ФРЕЙМАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА*

Н. А. Соловьева

С.-Петербургский государственный университет, аспирантка, [email protected]

В линейном комплексном пространстве С” наряду с базисами существуют фреймы — избыточные системы векторов, по которым стандартным образом можно разложить любой вектор из С”. В обзорных статьях [1, 2] приведены основные понятия и результаты теории фреймов вместе с приложениями к вопросам обработки и передачи информации.

Нас интересуют жесткие фреймы, в определенном смысле близкие к ортогональным базисам. Ранее были исследованы различные классы жестких фреймов: гармонические и обобщенные гармонические фреймы, фреймы Мерседес-Бенц, равноугольные жесткие фреймы и т. д. Мы рассматриваем системы векторов специального вида, в которых каждый вектор получается из предыдущего умножением на унитарную матрицу. В теореме 1 установлено, когда такие системы образуют жесткие фреймы. В теореме 2 выяснена связь между рассматриваемыми фреймами и обобщенными гармоническими фреймами. В частности, показано, как преобразовать фрейм Мерседес-Бенц в обобщенный гармонический фрейм.

1. Пусть и — унитарная матрица порядка п с собственными числами Аі,..., А”, по модулю равными единице, и соответствующими ортонормированными собственными векторами рі,... ,Р”. Возьмем единичный вектор ро Є С” и построим при т > п систему векторов

{ро, иро, и2ро,..., ит-1<ро} . (1)

Когда система (1) будет жестким фреймом?

Теорема 1. Для того чтобы система (1) была жестким фреймом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

(і) собственные числа Аі, . .., Ап матрицы и суть попарно различные корни степени т из некоторого числа с Є С, |с| = 1;

(И) |(ро,£>й)| = при всех к Є 1 : п.

2. Напомним [1], что система ненулевых векторов {ро, рі,..., рт—і} из С” при т > п называется жестким фреймом с константой фрейма А, если выполнено одно из трех эквивалентных условий:

1 т — 1

х = — (х, при всех х (Е Сп ; (2)

к=о

т— 1

]Г |{х,рк)| = А ||х|| при всех х Є С” ;

к=о

* Работа выполнена под руководством проф. В. Н. Малоземова.

© Н.А.Соловьева, 2009

ФФ* = А/„,

где Ф — матрица со столбцами ро, р1,..., рт-1 и /„ — единичная матрица порядка п.

Если \\рк\\ = 1 при всех к € 0 : т — 1, то константа фрейма А необходимо равна т/п.

3. При доказательстве теоремы 1 важную роль будет играть приводимая ниже лемма.

Лемма 1. Если система (1) образует жесткий фрейм, то найдется число с € С, |с| = 1, такое, что

ит = с/„ .

Этот результат установлен в [3]. Мы дадим упрощенное его доказательство.

Обозначим рк = икро. При всех к € 0 : т — 1 векторы рк имеют единичную длину.

Разложим векторы рт-1 и ирт-1 по фрейму (1). Согласно (2)

/ т—2 \

1 = ( / {^т— 1? ^т— 1 ) ? (3)

т V /

V г-—п /

к=0

г—1

г*,

П / т—1 ч

^ Рт-1 = — [{и Рт-1, ^о)РО + ^ (^™-Ь и*ірк)<Рк ) • т ' к=1 '

Приняв во внимание, что и*рк = и*ирк-1 = рк-1 при к € 1 : т — 1, перепишем последнее равенство в виде

1

^Рт-1 = — ( Рт-1, ^о) ии*ір0 + V (Рт-Ъ Рй-і) ^¥>й-1 ) =

т

\ к=1 /

(т—1 \

(£/рт_1, ро) ?7*ро + '^2 (рт-1, Рй-і)Рй-1 і •

Отсюда следует, что

(т —2 \

(ирт_ 1, ро) г/*ро + У] (рт-1, • (4)

— /

к=0 /

Вычтем (4) из (3). После сокращения на общий множитель получим

Рт—1 = (иРт— 1, Ро) и*ро

и

итро = (ирт—1,ро)ро . (5)

Обозначим с = (ирт—1, ро) = (итро, ро). Тогда формула (5) примет вид

итро = сро . (6)

Равенство норм У сро У = ||итро|| = ||ро|| гарантирует, что |с| = 1.

итрк = ит(икро) = ик(итро) = срк .

Значит,

(ит — с/„)рк = О при к € 0 : т — 1.

В силу (2) линейная оболочка элементов жесткого фрейма совпадает с С”, поэтому равенство (ит — с/”) х = О выполняется для всех х € С”. Взяв в качестве х последовательно все единичные орты, придем к требуемой формуле ит = с/”. Лемма доказана.

4. Запишем спектральное разложение матрицы и:

и = Р Л Р*,

где Р — унитарная матрица со столбцами р1,... ,рп и Л — диагональная матрица, Л = diag(A1,..., А”). Имеем

рк = икро = Р ЛкР*ро .

Обозначим до = л/пР*р>о; ди = \/пР*<Рк = Лкдо, к £ 1 : то — 1. По определению

0оС?) = V7™ (ро,^) ='-Ъэ, з £ 1 : п;

дк (?) = Ь;Ак , .? € 1 : п, к € 1 : т — 1. (7)

Последнее равенство справедливо и при к = 0.

Приходим к такому результату.

Лемма 2. Векторы рк = икро допускают представление

<Рк = -^Рдк, к £ 0 : т — 1, (8)

где дк определяются формулой (7).

5. Обратимся к доказательству теоремы 1.

Необходимость. Пусть система (1) образует жесткий фрейм. Согласно (8) и (7) (<Рк,Рэ) = {Рдк,Рэ) = (дк,Р*Рэ) =

11

к

поэтому Крй,^')! = 1/у/п\Ъ^, з £ 1 : п. По определению жесткого фрейма

т— 1

1=\\рз\\2 = ~^2\^^к)\2 = \^\2, 1£1:п. (9)

к=о

Вспоминая определение Ь;, заключаем, что выполняется условие (И).

Далее, из леммы 1 и спектрального разложения матрицы и следует, что Ат = с при всех ] € 1 : п, то есть А; действительно являются корнями степени т из комплексного числа с, по модулю равного единице. Покажем, что эти корни попарно различны.

Обозначим через Ф и О матрицы со столбцами ро, р1,..., рт—1 и до, д1,..., дт—1 соответственно. Согласно (8), Ф = 1 /\fnPG. По определению жесткого фрейма, состоящего из единичных векторов, ФФ* = т/п/”. Значит,

ОО* = пР*ФФ*Р = т/” .

т — 1 т — 1

(СС*)Ь',5] = ]Г дк{з)дк{а) = ЪйЪа ]Г (Л,-Л8) • (10)

к=0 к=0

Учитывая (9), при j = 5 получаем

т— 1

Е(АА)к = о.

к=0

Это равенство гарантирует, что Л^- = Ля при j = в.

Видим, что условие (1) также выполнено.

Достаточность. Покажем, что ФФ* = т/п1п. Как отмечалось, Ф = 1 /л/пРС, поэтому

ФФ* = -РСХГР*. п

Остается проверить, что СС* = ш/„.

Напомним, что В силу условия (п) имеем \Ь^ \ = 1 при всех j (Е 1 : п.

Теперь воспользуемся формулой (10). При j = в получаем (СС*)[?, ^ = т. При j = в согласно условию (1) числа Ау и Ля суть различные корни степени то из комлексного числа с, по модулю равного единице. В частности, XjXs = AjA~1 ^ 1 и

Х;(лд,)‘ = 1^21 = 0.

к=о 1 ЛЛя

Отсюда и из (10) следует, что (СС* )[і, в] = 0 при і = в.

Теорема доказана.

6. Приведем три примера. Будем использовать стандартное обозначение ехр(2п*/то).

Пример 1 [фрейм Мерседес-Бенц]. Рассмотрим три единичных вектора (а Ґ ^ ЬТ

Нетрудно проверить, что рі = и^о, Р2 = и^і, где

и =

Матрица и — унитарная с собственными числами

. 1 .>/3 1 - >/3 2

Аі-с^3, \2 — ---г — — ш3

' 1 %/з"

~2 2

V* 1

- 2 ~2 -

и собственными векторами

жестким фреймом.

Конечно, этот факт хо условия ФФ* = 3/2 /2, где

Ф

с =1), поэтому система {ро, Рі, Р2} является

[1] и может быть получен проще, исходя из

^3-

2 1 2 1

“ 2 ~2-

Однако пример 1 хорошо демонстрирует содержание теоремы 1.

Фрейм |ро, Рі, Р2} называется фреймом Мерседес-Бенц.

Пример 2 [нарушено условие (іі)]. Пусть п = 2, т = 3. Рассмотрим унитарную матрицу и второго порядка с собственными числами Лі = 1, Л2 = и ортонорми-рованными собственными векторами

Рі

В этом случае

и=

Р2

(11)

Возьмем начальный вектор р0 = (1,0)т. Для него

|(^0,Р1)| = 1 , |(Р0,Р2)| = 0 ,

то есть условие (11) нарушено. Далее,

1

Рі = иРо = ^0) , Р2 = иРі = (0) •

Векторы ро = Рі = Р2 = (о) не образуют жесткого фрейма.

Пример 3 [нарушено условие (і)]. Рассмотрим унитарную матрицу и второго порядка с собственными числами Лі = 1, Л2 = і и ортонормированными собственными векторами (11). В этом случае

Г1 0"

и

0і

Возьмем начальный вектор ро = }). Для него

|(Р0,_Р1)| = |(ро,_р2)I = ,

то есть условие (11) выполнено. Найдем векторы р1 и р2:

Рі =

— у/2 V*

Р2 =

— ( 1 у/2 V-1;

У матрицы

Ф=~Т

у/2.

1 1 1 1 і 1

строки не ортогональны. Значит, система {ро, рі, Р2} не является жестким фреймом.

Причина в том, что нарушено условие (і), поскольку ^

Если к системе {ро, Ръ ^2} добавить вектор рз = ?Ур2 = 1 /%/2 (), то расширенная система {ро, р1, р2, Рз}, как легко проверить, будет жестким фреймом. Это соответствует теореме 1.

7. Покажем, что систему (1) можно преобразовать в обобщенный гармонический фрейм. Возьмем комплексное число с, |с| = 1, и обозначим через сі,...,сп попарно различные корни степени т из с. Возьмем также п комплексных чисел 61,... , 6П, по модулю равных единице. Напомним, что система |^о, ^1,..., ^т-і}, состоящая из единичных векторов с компонентами

= 7^ЬісЬ Іє1:п>

называется обобщенным гармоническим фреймом [3]. При с =1 и 61 = ••• = 6П = 1 получаем гармонический фрейм.

Нетрудно проверить, что обобщенный гармонический фрейм является жестким фреймом. Действительно, обозначим через Ф матрицу со столбцами ^о, ^1,..., ^т—1 и покажем, что ФФ* = т/п/„. Имеем

т—1 т—1

(фф*)\з:,в\ = ^2 Фки)Фк(в) = ^2 (сз^)к-

к=о к=о

В частности, = т/п при всех j Є 1 : п. При j ^ в будет с^с8 = с”1 ^ 1,

поэтому

(фф*)\з, з] = - ц ъ31 ~(Сд' С!Г = о.

П 1 — С-7 С8

Вернемся к последовательности (1). Наряду с векторами рк = Vк ро рассмотрим единичные векторы

Пк = Р*Рк , к Є 0 : т — 1, (12)

где Р — унитарная матрица, столбцами которой являются ортонормированные собственные векторы р1,... ,рп матрицы V.

Теорема 2. Для того чтобы система {по, П1, .. ., Пт—1} была обобщенным гармоническим фреймом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (і) и (іі) из теоремы 1.

Доказательство. Обозначим через Н матрицу со столбцами по, Пъ ..., Пт—1. Согласно (12), Н = Р*Ф. Система {по, П1,..., Пт— 1} как обобщенный гармонический фрейм является жестким фреймом. В этом случае НН* = т/п/„. Отсюда следует, что

ФФ* = РНН*Р* = — I,

т

V

п

то есть система (1) также является жестким фреймом. Остается сослаться на теорему 1. Достаточность. Согласно (12), (8) и (7)

щ{з) = А= 9к{з) = ~7= М? > кеО: т-1,

пп

причем условие (І) гарантирует, что А1,..., Ап —попарно различные корни степени т из некоторого числа с Є С, |с| = 1. Далее, ро = Рпо, поэтому

(<ро,рі) = {т, р*Рз) = тіз) = ^ьі-

В силу условия (ІІ) получаем |6^ | = 1 при всех і Є 1 : п. Значит, система {по,П1, ..., пт—1} — обобщенный гармонический фрейм.

Теорема доказана.

8. Покажем, как фрейм Мерседес-Бенц из примера 1 преобразовать в обобщенный гармонический фрейм. Имеем

Р = 75

ІІ , p* = -*-= І i '

-i i V2 І -i

п* 1 ( *

* = р и = 751-

/ 1

— — %

2 2 а/3 1

\ - -—Н -

V 2 2'

i ^3

т = ^ = Т2

--г 2 2 *

у/3 1

V 2 2 '

= _L (iuJ3

а/2 V-*^

Система {по,Пі,П2} образует обобщенный гармонический фрейм с 61 = i, 62 A1 = W3, A2 = ш3.

2

3

i

Литература

1. KovaCevic J., Chebira A. Life beyond bases: The advent of frames (Part ) // IEEE Signal Processing Magazine. 2007. Vol. 24. N 4. P. 86-104.

2. KovaCevic J., Chebira A. Life beyond bases: The advent of frames (Part ) // IEEE Signal Processing Magazine. 2007. Vol. 24. N 5. P. 115-125.

3. Casazza P. G., KovaCevic J. Uniform Tight Frames with Erasures // Adv. Comp. Math. 2003. Vol. 18. N 2-4. P. 387-430.

Статья поступила в редакцию 12 марта 2009 г.