О матрице фрейма Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 10. 2009

УДК 519.61

О МАТРИЦЕ ФРЕЙМА В.Н. Малозёмов, H.A. Соловьёва

Решается задача: для данной положительно определённой эрмитовой матрицы S порядка п и заданных положительных чисел ai,..., am, где т ^ п, найти фрейм ..., (рт} в пространстве Сп, для которого S является матрицей фрейма и выполнены равенства ||| = ai,..., ||^m|| — ат- Дано детальное доказательство теоремы о необходимых и достаточных условиях существования такого фрейма.

Напомним [1,2], что система ненулевых векторов ..., (рт} из Сп при т ^ п называется фреймом, если эрмитова матрица 5 = ФФ*, где Ф — матрица со столбцами <р1з..., положительно определена. Матрица 5 называется матрицей фрейма. Отметим, что

т

3 = 1

поэтому матрица фрейма 5 не зависит от порядка векторов ipj. Обозначим dj = и будем считать, что

аг ^ а2 ^ " - ^ ат > 0.

Пусть Ai ^ Л2 ^ • • • ^ Ап > 0 — собственные числа матрицы S и V2-, • • •, ~~ соответствующие ортонормированные собственные векторы.

Нас интересуют две задачи.

Прямая задача. Как связаны собственные числа \\ и величины ар Обратная задача. При каких условиях на положительно определённую эрмитову матрицу S и числа aj существует фрейм {<р1з..., такой, что матрица фрейма совпадает с S и \\(fij\\ = aj при j е 1 : тР.

Эти задачи изучались в [3]. Мы предпринимаем дальнейший их анализ.

© Малозёмов В.Н., Соловьёва H.A., 2009.

1°. Начнём с прямой задачи. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Справедливы соотношения

п т к к

А/ = а2- ; Л/ ^ а^ при всех к Е 1 : п. (1)

/=1 ¿=1 /=1 ¿=1

Доказательство. Равенство в (1) проверяется просто. Обозначим через 1г(5) след матрицы 5. Имеем

$> = = Ь(ФФ*) = И(Ф'Ф) = £ 1Ы12 = •

Обратимся к неравенствам. Зафиксируем к Е 1 : п и обозначим через С линейную оболочку векторов <р1з..., Построим в £ ортонор-мированный базис т/^,...,?/^, где 8 ^ и дополним его векторами ^+1,..., гфп до ортонормированного базиса в Сп.

Обозначим через Ф матрицу со столбцами ,..., ф8 и положим Р = Ф^*. При всех х Е Сп имеем

= (2)

г=1

В частности,

^ = 4>з > ^ Е 1 : /с. (3)

Кроме того, при всех ^ Е 1 : т согласно (2)

1М2 = ЕК^>12- (4)

г=1

Вычислим величину

т

« = Е1М'

¿ = 1

О матрице фрейма На основании (4) запишем

те п

12

^ = X X I ^ I = X X | ('

¿=1 г=1 .7 = 1 г=1 /=1 ¿' = 1

теп ^

¿=1 г=1 г=1

т в п п

= X X X ^ ^

¿=1 ¿=1 /=1 ¿' = 1

теп

И, \ I

11

,7 = 1 г=1 /=1

Мы воспользовались тем, что при I ф V

т в

X ^ =

¿=1 г=1

т в

¿=1 г=1

поскольку

т т

¿=1 ¿=1 = (Ф^Ф*^) = (Бу^уй = Х^уу^д =0. Приходим к формуле

п т в п в

/=1 .7 = 1 г=1 /=1 г=1

Обозначим

г=1

Имеем

п

х1 ^ = 1НГ=

г=1

п в п в

Е*< = ЕЕ1«'.^>12 = ЕМ2 = -

Значит,

п

V = Аг XI,

1=1

п

где = Учитывая упорядоченность собственных

1=1

чисел А/ и равенство

п 8 8

=5 - = С1 - > / = 8 + 1 / = 1 / = 1

получаем,

8 П 8 8 8

сг ^ ^ Аг XI + А,+1 ^ XI = ^ Аг - ^ Аг (1 - + А,+1 ^ (1 - хг) =

/ = 1 / = 8 + 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 8 8 8

1=1 1=1 1=1

Теперь доказательство требуемого неравенства заканчивается просто. Согласно (3) и (5)

к к к т

3 = 1 ¿ = 1 ¿ = 1 ¿ = 1

8 к

1=1 1=1

□

2°. Предложение 1 допускает обращение в следующем смысле.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть 5 — произвольная эрмитова положительно определённая матрица порядка п с собственными числами А1 ^ А2 ^

• • • ^ Хп > 0 и соответствующими ортонормированными собственными векторами Возьмём положительные числа а 1 ^ <22 ^

• • • ^ ат > 0, где т ^ п. Если выполняются соотношения (1), то в Сп существует фрейм ..., такой, что \\tpjW — а^ при ] Е 1 : ш и матрица 5 является матрицей этого фрейма.

Доказательству предложения 2 предпошлём вспомогательное утверждение.

ЛЕММА. Пусть заданы вещественные числа Ах,..., Лш и аш,

причём ах ^ а2 ^ • • • ^ аш > 0. Введём диагональную матрицу Л = diag(Ax,..., Аш). Если выполнены условия

1 = 1

= аз

3=1

к к

^1 ^ 53 ПРИ всех ^ ^ 1 : 771 — 1; (6)

3=1

1=1

то существует ортогональная матрица (3, такая, что у матрицы С^)АСдт на диагонали стоят числа а\,..., а^.

Доказательство леммы отложим до следующего пункта и сразу перейдём к доказательству предложения 2.

Запишем спектральное разложение матрицы 5,

^ = УЛУ*,

где У — матрица со столбцами г;1з..., г;п и Л = diag(Ax,..., Ап). Введём матрицу С размера п х т,

С

'УАТ ... о о ... о'

О ... у/Х^ О ... о

Имеем = Л и = с!1а§(Л1,. -., Л^, 0,..., 0) =: Л. Обозначим

А/ = А/, I е 1 : п; А/ = 0, I е п + 1 : т. Тогда Л = diag(Ax,..., Аш).

Для чисел Ах,..., Ат и ах,..., ат выполняются условия леммы. Действительно, согласно (1)

Е^ = ЕЛг = Еа?;

3 = 1

1=1

1=1

при к е 1 : п

и при к Е п + 1 : т — 1

к

к к к 3=1

1=1

1=1

¿=1 ¿=1

/=1

/=1

По лемме существует ортогональная матрица (3, такая, что у матрицы (ЗЛ(Зт на диагонали стоят числа а\,..., с?т.

Положим

Ф = УСЦТ

и обозначим через • • •, (рт столбцы матрицы Ф. Имеем

ф Ф* = ув вТу¥ = УС сту* = улу* = 5.

Учитывая свойства матрицы 5, заключаем, что {<^х,..., — фрейм в Сп и 5 — матрица этого фрейма. При этом

= Q СтУ*ус дт = <2 дт = д л дт.

Значит, на диагонали матрицы стоят числа а^,..., а^, а это равносильно тому, что = аз при ] Е 1 : т. Предложение 2 доказано.

3°. Докажем лемму.

Воспользуемся индукцией по т. При т — 2 условия (6) принимают

вид

Ai + Л2 = а\ + а\ , Ai ^ а^ .

(7)

Отсюда следует, что

а? — А2 = Лх — а\ ^ Лх — а\ ^ 0.

Значит, Лх ^ а\ ^ Л2. В частности, Лх ^ Л2.

Сначала рассмотрим случай Лх > Л2. Выберем параметр £ Е [0, |] так, чтобы

siní =

%- а?

cosí

Ах — Л2

Введём ортогональную матрицу

'aj- Л2 Ах — Л2

Q

eos í sin í — sin í eos í

Получим

eos í sin í — sin í eos í

Ax cosí A2 sin í

—Лх siní A2 eos í

b~

_b oo oo

где b — — у (Ai — а2)(а2 — А2). Действительно,

^___^ ^___^ ^___^ / _ д ч ^___^ / Д _ \

Ai cos21 + Л2 sin21 = Ai ( ^—J-) + Л2 ( ^—^ ) = a\ ,

^___^ ^___^ ^___^ / Д _ ^2 \ ^___^ / ^2 _ д ч ^___^ ^___^

Ai sin21 + A2 cos2 t = АЛ ^—^ ) + A2 ( ^—J-J = Ai + A2 - a2 = a2 .

Ui-A,^ VAi-A2^

Таким образом, на диагонали матрицы QAQT стоят числа а2, а^. Перейдём к случаю Ai = А2. В силу (7)

о2! ^ Ai ^ 2Ai - a2 = a\ ^ a2 .

Значит, a2 = a^ = Ai = А2. Достаточно взять Q — 12.

Сделаем индукционный переход отш-1кш. Согласно (6), Ai ^ а\. Допустим, что Ai ^ а\ при всех I G 1 : т. Тогда

т т

та\ ^ А/ = a2 ^ та2 .

i=i j=i

Отсюда следует, что а\ — - - - — а2т — Ai = • • • = Аш. Достаточно взять Q 1т-

Остаётся предположить, что существует s G 2 : m, такое, что

As < a2 ; Xi ^ а2 при I G 1 : s - 1. (8)

Покажем, что для чисел А2,..., As_i, Ai+A5 — a2, As+i,..., Am и a2,..., am выполняются условия, аналогичные (6). Имеем

А2 Н-----Ь As_i + (Ai + As - a2) + As+i H-----h Am = a\ Л-----b a2m;

при к G 1 : s — 1

A2 + • • • + Ak>{k- 1 )a\ ^ (к - 1 )a\ ^ a\ + • • • + a\ ; при к G 5 : m — 1

A2 +----h As-i + (Ai + As - a\) + As+i + • • • + АЛ =

= AH-----h A* - a2 ^ a^ H-----h a2k .

Обозначим Лх = diag(Л2,..., Л5_х, Ах + Л5 — а2, Л5+1,..., Лш). По индукционному предположению найдётся ортогональная матрица порядка т — 1, такая, что у матрицы С^хкхО^ на диагонали стоят числа

2 2 ' ' ' J ^т'

Вернёмся к соотношениям (8). Выбор индекса 8 обеспечивает неравенство Лх > Л5. Найдём £ Е [0, исходя из условий

siní =

'Ai- а?

cosí =

al - Xs

Ai — Xs y Xi — Xs

Обозначим через ©s матрицу порядка s вида

Оя

(9)

cos t 0 .. .. 0 siní

0 1 .. .. 0 0

0 0 .. .. 1 0

— sint 0 .. .. 0 cos t

и положим

е=\в- 0

0 1

Нетрудно проверить, что О — ортогональная матрица порядка т. Нас интересует матрица

Н = вАвТ

e8A[l:s,l:s] Oj О

6>s 0 '

О J-m—s

Л

'е? о

О Im—я

О

Покажем, что

Н

A[s + 1 : m, s + 1 : m]

a\ hT' h Ai

(10)

где Лх — введённая выше диагональная матрица порядка m — 1. Согласно (9) имеем

Н[ 1,1] = Лх cos2 t + Xs sin21 = a\ ,

H[s, s] = Лх sin21 + Xs cos21 = Лх + Л5 - a\ .

Кроме того, очевидно, что H[l,l] = Л/ при I Е 2 : s — 1. Таким образом, на диагональных элементах равенство (10) выполняется. Остаётся

проверить, что = 0 при /, ] е 2 : I ф Это проверяется в два

приёма: Н[1^] = 0 при I е 2 : 8 — 1, ] е 2 : I ф ] и = 0 при

^ £ 2 : 8 — 1. Отметим, что у (тп — 1)-мерного вектора к лишь одна компонента, возможно, отлична от нуля. Точнее,

Н[1, з] = Н[з, 1] = -^(А1-а?)(а?-Ав).

Формула (10) установлена.

Рассмотрим ортогональную матрицу фо порядка т,

<Эо =

1 0 0 <^1

где матрица (^ъ как и Лх, определена выше. Согласно (10) имеем

Со Н =

"1 0" "а? 1гт~ "1 0 "

о к 0

(ОхЛ)2

Сх/г СхАхС^

Видим, что у матрицы С^^НО^ на диагонали стоят числа а?, а^,..., а^. При этом

<Э0я<Эо =<Эовлет<э*\

Ортогональная матрица = обладает тем свойством, что у матрицы на диагонали стоят числа а^,..., а^.

Лемма доказана. □

Замечание 1. В предложении 2 речь, по существу, идёт о представлении положительно определённой эрмитовой матрицы 5 в виде 5 = ФФ*, где Ф — (п х т)-матрица, тп ^ п, причём так, чтобы выполнялось дополнительное условие

4°. Приведём одно следствие из предложения 2. Напомним, что фрейм • • •, ^т} называется равномерным, если ||^х|| = • • • =

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть 5 — эрмитова положительно определённая матрица порядка п. Тогда при каждом тп ^ п в С существует равномерный фрейм {</?х, • • •, У которого матрица фрейма равна

Доказательство. Пусть Ах ^ Л2 ^ • • • ^ Хп > 0 — собственные числа

п

матрицы 5. Обозначим А = ^ А/. Фиксируем т ^ п и положим

1=1

а« = \/ — , 7 е 1 : т .

3 \/ т, ' ^

Тогда

п т

£> = ¿ = £«3

/=1 ¿=1

и при к е 1 : п

к п к к

/ ^ 3 т т п / ^ 1 ^ т к / ^ 1 ^ / ^ 1

.7 = 1 /=1 /=1 /=1

Мы воспользовались тем, что в силу упорядоченности А г

к

к

(11)

/=1 /=1 Проверим это неравенство. Имеем

к к+1

х Хк+1

1=1 1=1 1=1

Отсюда следует, что

к к+1

\ Лг ^ ш Е Лг •

1=1 1=1

Продолжив аналогично, придём к (11).

Показано, что для чисел Ах ^ • • • ^ Хп > 0 и

д

а\ — • • • — ат — \ / — V т

условия предложения 2 выполнены. Согласно этому предложению требуемый фрейм существует. □

5°. Сформулируем аналоги предложений 1 и 2 для жёстких фреймов, у которых по определению Ах = • • • = Хп =: А > 0.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть {сри ..., - жёсткий фрейм вСс константой фрейма Л и а= причём а! ^ а2 ^ • • • ^ ат > 0. Тогда

т

= и А^а?. (12)

¿=1

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть заданы натуральное число п ^ 2 и вещественное Л > 0. При т ^ п возьмём числа а\ ^ <22 ^ • • • ^ ат > 0, удовлетворяющие условиям (12). Тогда в Сп существует жёсткий фрейм {<^1,..., <рш} с константой фрейма Л, такой, что Ц^-Ц — апри ^ е 1 : т.

Отметим, что из неравенства А ^ а\ следует, что при всех к Е 1 : п

к

к X ^ к а2- .

¿=1

Замечание 2. По ходу доказательства предложения 2 было установлено, что требуемый фрейм ..., состоит из столбцов матрицы Ф = где матрицы С и зависят только от чисел Ах,..., Хп и ах,..., аш, а унитарная матрица У участвует в спектральном разложении матрицы 5, 5 = УЛУ*. В случае жёсткого фрейма 5 = А/п, так что в качестве V можно взять любую унитарную матрицу порядка п.

Литература

1. Kovacevic J., Chebira A. Life beyond bases: the advent of frames (Part 1) // IEEE Signal Processing Magazine, July 2007. P. 86-1Ц.

2. Kovacevic J., Chebira A. Life beyond bases: the advent of frames (Part 2) // IEEE Signal Processing Magazine, September 2007. P. 115-125.

3. Casazza P. G., Leon M. T. Frames with a given frame operator. 2002. Preprint.

Summary

Malozemov V.N., Solov'eva N.A. On the frame matrix

The authors consider the following problem. Given positive-definite Hermitian matrix S and positive numbers ai,...,am, m ^ n, find a frame in such that S is frame matrix and equations

1111 = ai,..., 11 tprn 11 = hold. The authors give new proof of the theorem on necessary and sufficient conditions for existence of such frame.

Санкт-Петербургский университет

Поступила Ц. 10.2009