CC BY
29
Науки о Земле
УДК 519.6:311
Краковский Юрий Мечеславович Yury Krakovsky
Михайлова Елена Александровна Elena Mikhailova
СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД к ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ПРОМЫШЛЕННЫХ ВЫБРОСОВ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ
THE SYSTEM APPROACH ТО FORECASTING OF INDUSTRY OUTLET OF CONTIMINATION PRODUCTS
Приводятся обоснование, математическая постановка, методы оценки нелинейных прогнозных моделей задачи прогнозирования, когда помимо многофакторной регрессионной модели по каждому фактору создаются прогнозные модели на основе временных рядов. По последним моделям делаются прогнозы, результаты которых используются в многофакторной модели
Ключевые слова: прогнозирование, выбросы загрязняющих веществ, мониторинг
Mathematical statement, methods of evaluation of non-linear predictive models of forecasting are given, when not only multi-factor regression models but on every factor new predictive models are made on the time series basis. A forecast is made on the basis of the last models and its results are used in a multi-factor model
Key words: forecasting, contaminants, monitoring
ведение. Для поддержания устойчивого баланса между развитием экономики и состоянием окружающей среды, а также создания комфортных условий проживания населения в регионе необходимо разработать программно-математическое обеспечение прогнозирования промышленных выбросов загрязняющих веществ на основе статистической и экспертной информации. Это, в свою очередь, позволит реализовать комплекс мер, направленных на улучшение экологической ситуации и обеспечение экологической безопасности с целью повышения качества управления мероприятиями по социально-экономическому развитию региона.
В рамках программы социально-экономического развития региона для обес-
печения стабильного и сбалансированного развития его экономики необходимо владеть информацией, в том числе и о выбросах загрязняющих веществ, отходящих от различных источников народного хозяйства, с целью определения экологических ограничений реализации инвестиционных проектов [1]- Экологические ограничения реализации инвестиционных проектов связаны с необходимостью усиления роли экологической экспертизы и мониторинга выбросов загрязняющих веществ при разработке новых инвестиционных проектов, а также с использованием инновационного потенциала международных соглашений региона для снижения нагрузки на окружающую среду.
Для снижения существующей нагруз-
ки в зонах ее концентрации на природную среду необходимо добиваться повышения экологической и энергетической эффективности экономики на основе развития возобновляемой энергетики, внедрения экологически чистых технологий, технологического усовершенствования автомобильного транспорта.
На состояние атмосферного воздуха значительное влияние оказывают выбросы загрязняющих веществ от действующих на территории края предприятий различных сфер деятельности. В связи с этим к исследованию данного процесса необходимо подходить с позиций системного анализа [2].
Система, характеризующая состояние атмосферного воздуха, является сложной, так как содержит множество компонент, находящихся в различных связях. Объем выбросов загрязняющих веществ, в связи со сказанным, зависит от множества факторов, которые надо проанализировать с точки зрения их статистической значимости.
Многофакторное прогнозирование. В работе предлагается многофакторное прогнозирование, основанное на оценке суммарного объема выбросов загрязняющих веществ, отходящих от различных источников народного хозяйства, предлагается многофакторная регрессионная модель (см. рисунок).
По каждому фактору создаются прогнозные модели на основе временных рядов с применением двух типов информации — статистической и экспертной. Это позволяет обеспечить два подхода к прогнозированию:
1) на основе только статистической информации {однородная информация, когда используется только «предыстория» рассматриваемого показателя);
2) на основе статистической и экспертной информации {разнородная информация, когда помимо предыстории используется информация, полученная от квалифицированных в рассматриваемой области специалистов-экспертов).
По последним моделям делаются прогнозы, результаты которых используются в многофакторной модели. Прогнозные мо-
дели для временных рядов могут быть линейными и нелинейными.
Общая схема многофакторного прогнозирования выбросов загрязняющих веществ
В качестве базовой модели для прогнозирования суммарного объема выбросов предлагается модель множественной линейной регрессии
у = Ь0 + Ь} ■ + Ь2 ■ х2 + ... + Ър ■ Хр . (1)
Возможно также применение нелинейных регрессионных моделей, приводимых к линейным функциям относительно параметров.
Прогнозирование факторов. Для прогнозирования факторов в работе предлагается сглаживание и аппроксимация временных рядов одним из типов функций (в представленных формулах т — число членов динамического ряда).
1. Сглаживание:
— метод простой скользящей средней:
(2)
— метод взвешенной скользящей сред-
ней:
+1 =
I *,г,
,=т- N +1 т
IЩ
г=т-N+1
(3)
— экспоненциальное сглаживание:
Zt+1 = а• Yt+1 + (1 — а) • Zt • (4)
2. Аппроксимация функцией:
— полиномиальная функция:
P(t)
2 n-1
= + ajt + ^t + ... + &n-$ ■
(5)
— экспонента:
0>(t) = ab; (6)
— модифицированная экспонента:
p(t) = k + abt; (7)
— логарифмическая парабола:
p(t ) = ab1 c ; (8)
— криваяГомперца: p(t) = kab ; (9)
— логистическая кривая:
P(t ) =
a
1 + b • e
—kt
(10)
При оценке параметров прогнозной модели только по статистическим данным (однородная информация) рекомендуется метод наименьших квадратов (МНК).
Случай разнородной информации. В случае, если помимо статистической информации используются экспертные суждения (разнородная информация) и они являются интервальными, рекомендуется метод наименьших модулей (МНМ), когда значения вектора параметров минимизируют функцию
J(6) = I
t=1
yt — (6. P(t))
(11)
где 0— вектор параметров. В случае (11), когда функция <р(0 линейная или может быть сведена к линейной, решается задача линейного программирования, для чего вводятся вспомогательные переменные [3]
rt = <
yt
st =<
Очевидно, что
yt
(6.p(t))=
rt + st и
yt —(в. P(0) = rt — st •
(14)
Преимуществом МНМ по отношению к МНК является устойчивость оценок параметров прогнозной модели относительно отклонений случайных ошибок от нормального закона.
В случае, если высказанное экспертами «прогнозное значение будет в интервале
А1... ВВ получаем следующую постановку:
I (rt + st) ^ min
t=1
(6. p(t)) + rt — st = yt (6. p(t1)) > Al. (6. p(t1)) < Bl. rt,st > °.
(15)
t = 1.m. l = 1.L.
где I — номер суждения, I = 1, 2,..., Ь ;
Ь — число суждений.
Решение задачи в произвольном (нелинейном) случае предлагается выполнять методом Ньютона-Гаусса [4]. В частности, это относится к моделям Гомперца и модифицированной экспоненте. Так, например, для модели Гомперца в случае высказывания «прогнозное значение будет в интервале А ••• В », получаем следующую постановку:
I lnyt — Ink — b1 lna
t=1
(16)
(6.p(t)). yt >(6.p(t)).{l2)
0. yt <(. p(t));
(6.p(t))—yt. y±<(6.p(t)),{l3)
0. yt >(6 . P(t)) •
[ 1пк + Ът+р 1па > 1пА1,1пк + Ът+р 1па < 1пВ1,
= 1, т, I = 1, Ь.
Метод Нъютона—Гаусса определения параметров нелинейного тренда
В случае тренда, нелинейного относительно параметров, имеет место следующая теоретико-вероятностная схема:
у{ = p(t, 0) + £1 >
где р(, 0) — тренд, нелинейный относительно параметров 0 = (01,02, ...,0п );
<£7 — случайная составляющая. Предполагается, что значения ег не-коррелированы.
Рассмотрим сумму квадратов отклонений фактических значений ряда
у{, г = 1,т от трендовых т
Ф)=Т(-р(г>0У) . (17)
г=1
Для минимизации суммы квадратов отклонений (17) необходимо приравнять к нулю производные по параметрам
дф
дО ~21(-ф(’в)дп
Щ ,=1 д°
где п — число параметров. дф
= 0, і = 1,п,
Если
да
п
дф(,б)
да
г = 1,т, і = 1,п.
Н д 2Я у да ев,.
= 21
дф дф
1=1 дв дО,
т
21( -Ф(,оО)
г=1
= и (1
д 2ф дв. дві
= Ні + Ну
(2)
(0()— 0*) мала.
Исходя из этих предположений, рассмотрим разложение тренда в окрестности некоторойточки 0(г)
др(г,0())
фг,О) = фі, О( 0+Ї ■О, -О(>)+ о(л)
дО
где Л = тах
і
- О()
в -О\
В разложении отсутствуют вторые производные вследствие сделанных предположений. Последовательность точек
О() г = 0 12 строигсятакимобразом,
чтобы она сходилась к О .
Введем следующие обозначения:
линеино независимы как
функции времени, то матрица X имеет ранг
Г у,' (г Л
У = V у т > ф°) = кф{т,°)) , р = \рт )
Для исследования движения к точке экстремума необходимо рассмотреть и вторые производные
г, О
дв
г = 1, т, і = 1, п.
Исследование проводится при следующих предположениях, которые сознательно сформулированы нестрого, чтобы можно было изложить суть метода:
— нелинейный тренд имеет относительно невысокий порядок нелинейности, иными словами, вторые производные имеют не очень большие по модулю значения;
— точка 0(о) с которой начато исследование, находится вблизи минимуму
0* = а^1п/ Q(0), т.е. разность
Тогда
У = р(0) + е = р[в{г))+ Хг(0-0())+ е ,
где е величина вобрала в себя остаточные члены разложения каждой временной компоненты р(0 ).
Если предыдущая точка 0^г) уже каким-то образом определена, искать последующую точку 0(+1 следует с помощью
МИК, рассматривая в качестве исходной модели (в матричной форме) преобразованное в следующий вид выражение:
У-ре(г))= Xr(в-в(r))+е . (18)
Данное выражение представляет собой модель тренда, линейного относительно коэффициентов 0 - 0(')), причем наблюдаемыми значениями ряда являются у1 - р(г, 0^г)), а значениями функций времени при пара-
метрах регрессии —
p#
Chpt, #(
дв,
Применяя МНК к оценке параметров линейной модели, получаем
Ор - 0х> = (х'гхг ) X- (у - фХ))).
Обозначив полученную оценку ^через +1) , по методу Ньютона-Гаусса имеем
О(+1) = оу )+[х'гХг У X- (у-ф((г ))
(19)
В результате, начиная с некоторой точки О(0), получаем рекуррентную последовательность точек (2),0(3),... ,в
которой каждая последующая точка получена из предыдущей методом наименьших квадратов для линейного относительно ко-
эффициентов тренда. Данная последовательность при ранее указанных предположениях сходится к точке минимума
0^^ ^ 0* = ащ^Q(o). (20)
Выводы. Учитывая, что объем промышленных выбросов загрязняющих веществ зависит от множества факторов, в работе предлагается многофакторное прогнозирование, основанное на том, что для оценки суммарного объема выбросов, отходящих от различных источников народного хозяйства, создается многофакторная регрессионная модель. По каждому фактору создаются прогнозные модели на основе временных рядов с применением двух типов информации — статистической и экспертной. Прогнозные модели для временных рядов могут быть линейными и нелинейными. В случае нелинейности прогнозных моделей для оценки их параметров по МНМ предлагается метод Ньютона-Гаусса.
Литература
1. О стратегических направлениях развития Забайкальского края на период до 2025 года и программе социально-экономического развития Забайкальского края на 2010-2014 годы [Электронный ресурс]: Закон Забайкальского края от 10 декабря 2009 года № 295-ЗЗК. — Режим доступа: URL: http://www.economy.e-zab.ru/page/program/programma_ser.php.
2. Теория систем и системный анализ в управлении организации / Под ред. А.А. Емельянова.
— М.: Финансы и статистика, 2006. — 848 с.
3. Мудров В.И., Кушко В.А. Методы обработки измерений. Квазиподобные оценки. — М.: Радио и связь, 1983. — 304 с.
4. Колемаев В.А. Эконометрика. — М.: Инфра-М, 2006. — 160 с.
Коротко об авторах______________________________________________Briefly about the authors
Краковский Ю.М., д-р техн. наук, профессор, Yu.Krakovsky, Doctor ofTechnicalsciences,profes-
зав. кафедрой ИС ИрГУПС sor, head of Department of IS, Irkutsk National Uni-
Служ.тел.: (3952) 638395-156 versityofRailwayTransport
Научные интересы: современные технологии, системный анализ, моделирование
МихайловаЕ.А., соискатель, старшийпреподава-тель кафедры «Математика», Читинский институт БГУЭП
Служ.тел.: (3022) 26-18-05
Научные интересы: современные технологии, системный анализ, моделирование
Scientific interests: modern technology, system analysis, modeling
E. Mikhailova, applicant, senior teacher of mathematics, Chita Institute of Baikal State University of Economics and Law
Scientific interests: modern technology,system analysis, modeling
