CC BY
4II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.8
Vladislav A. Kholodnov, Marina Yu. Lebedeva
SYSTEM ANALYSIS OF WATER ENVIRONMENTAL PROCESSES UNDER THE CONDITIONS OF INTERVAL AND PROBABILISTIC PARTIAL INDETERMINACY OF INITIAL INFORMATION
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia Branch "National Research University" «MPEI» in Smolensk Energetichesky Pr-d, 1, Smolensk, 214013, Russia e-mail: holodnow@yandex.ru
The effect of wastewater discharge of an industrial enterprise on the degree of water pollution in a river under the conditions of interval and probabilistic indeterminacy of the initial information is studied. By using the sensitivity analysis, selection of a plurality of uncertain parameters is performed. Changes in the concentrations of dissolved oxygen (DO), biochemical oxygen demand (BOD), and nitrates (N) under different perturbations of the parameters of wastewater discharge of the industrial enterprise are estimated with the help of the mathematical model of the process by using the computer mathematics system Mathcad.
Keywords: system analysis, water and environmental processes, interval and probabilistic uncertainty, sensitivity analysis, Mathcad, dissolved oxygen, biochemical oxygen demand and nitrate perturbations in the parameters of waste-water discharge
DOI: 10.15217^п998984-9.2015.32.109
Введение
В настоящее время большое внимание уделяется вопросам изучения закономерностей формирования и прогнозирования водных ресурсов.
Разработка моделей, предназначенных для приближенной оценки динамики распределения в реке загрязняющих воду ингредиентов, является полезным и конструктивным элементом успешного решения задач, связанных с прогнозом последствий антропогенного воздействия на окружающую среду [1].
В.А. Холоднов1, М.Ю. Лебедева2
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ВОДНО-ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ И ВЕРОЯТНОСТНОЙ ЧАСТИЧНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия
Филиал «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске Энергетический проезд, дом 1 , г Смоленск, 214013, Россия e-mail: holodnow@yandex.ru
Исследовано влияние выпуска сточных вод промышленного предприятия на степень загрязнения воды в реке в условиях интервальной и вероятностной неопределенности исходной информации. С использованием анализа чувствительности произведен выбор множества неопределенных параметров. На основе математической модели рассматриваемого процесса с помощью системы компьютерной математики Mathcad оцениваются изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности в кислороде (БПК) и нитратов (N) при различных возмущениях параметров выпуска сточных вод промышленным предприятием.
Ключевые слова: системный анализ, водно-экологические процессы, интервальная и вероятностная неопределенность, анализ чувствительности,Mathcad, концентрации растворенного кислорода, биохимической потребности в кислороде и нитратов, возмущения по параметрам выпуска сточных вод .
Современные математические модели в экологии включают в себя эмпирические коэффициенты и значения, которые изначально содержат в себе некоторую ошибку. Цель построения и исследования таких моделей - детальное прогнозирование поведения сложных экологических систем и обеспечение экологической безопасности [2].
Теоретический анализ
При проведении работ по математическому моделированию объектов различной природы исследователи сталкиваются с неопределенностью исходной физико-химической, технологической и экономической информации.
1 Холоднов Владислав Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, каф. системного анализа, СПбГТИ(ТУ), e-mail: holodnow@yandex.ru Vladislav A. Kholodnov, Dr Sci. (Eng.), Professor, Department of System Analysis, SPSIT(TU)
2 Лебедева Марина Юрьевна, канд техн. наук, доцент, каф. менеджмента и информационных технологий в экономике, Филиал НИУ «МЭИ»в г. Смоленске
Marina Yu. Lebedeva, Ph.D. (Eng.), Associate Professor, Department of Management and Information Technology in Economy, Branch of National Research University "MPEI" in Smolensk
Дата поступления - 16 октября 2015 года Received 16 October 2015
Степень неопределенности исходной информации существенно зависит от двух факторов [3-5]:
неточности исходных данных об условиях функционирования объекта,
неточности применяемых при моделировании и оптимизации математических моделей, связанной с необходимостью внесения упрощений при построении математических моделей.
В научной литературе рассматриваются два вида неопределенности информации:
модельная неопределенность - исходная неточность коэффициентов в математических моделях;
неопределенность исходных данных - изменение внешних условий функционирования характеристик внешних потоков (ХТС).
Для характеристики неопределенных параметров используются интервальные оценки параметров и их представление в виде случайных величин с известными законами и параметрами распределения.
Известно, что решение, найденное без учета неопределенности информации, может не соответствовать предъявляемым к системе требованиям, что, в свою очередь, может повлиять на экологическую безопасность рассматриваемых в работе природоохранных процессов.
В настоящее время задачами моделирования сложных систем с учетом неопределенности информации в области химической технологии занимаются как за рубежом, так и в России.
Среди специалистов в этой области следует выделить работы Grossmann I.E. и Biegler L.T. из Carnegie Mellon University (Pittsburgh) [6, 7], Островского Г.М. из НИФХИ им. Л.Я. Карпова (Москва) [3] и др.
Следует отметить отсутствие работ по моделированию водно-экологических процессов в условиях неопределенности исходной информации [8].
В статье рассмотрена методология моделирования водно-экологических процессов в условиях неопределённости исходной информации двух видов: интервальной и вероятностной.
Выполнен вычислительный эксперимент по математическому моделированию изменчивости параметров стоков воды, выпускаемых предприятием, и приведена оценка границ концентраций веществ. Разработаны модели для расчёта вероятностей экстремальных значений показателей качества речной воды.
В работе рассматриваются следующие задачи моделирования сложного объекта с учетом неопределённости исходной информации [3-5]:
задача 1 - моделирование процесса при интервальной неопределенности информации;
задача 2 - моделирование с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения.
При этом для задачи 1 используется вектор неопределенных параметров X с заданными интервалами допустимых значений:
(x,eX; X = {V x, : inf x, < x, < sup x, }), i = (1, ... m) для задачи 2 используются заданные значения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайных величин:
M[Xi] - 3ст [Xi] < [Xi] < M[Xi] + 3ст [Xi], где M[Xi], ст [Xi] С использованием этих величин вычисляется математическое ожидание значения целевой функции на основе известных распределений плотности вероятности неопределенных параметров в виде независимых случайных величин Pl(Xi), P2(X2), ...Pm(Xm).
В статье рассмотрены следующие аспекты выбора множества неопределенных параметров с использованием анализа чувствительности математической модели:
на основе корреляционного анализа оценена чувствительность объекта исследования к неточности параметров математического описания и к флюктуациям ис-
ходного состава;
на основе дифференциального метода анализа чувствительности определены чувствительности объекта исследования к неточности параметров математического описания по мере развития процесса.
Приводятся результаты исследования процесса при изменении условий его функционирования, а также рассматривается влияние различного типа неопределенности параметров модели на результаты моделирования.
Источник
Рисунок 1. Выпуск сточных вод в реку
Объект исследования
На рисунке 1 представлена блок-схема объекта исследования [9]. Объектом исследования в статье является модель одной ячейки реки, в которой учитывается экологическая обстановка после предприятия, которое выпускает промышленные отходы в реку.
Сточные воды отличаются от речной воды температурой, биохимической потребностью в кислороде (БПК) ^ - показатель качества воды, характеризующий суммарное содержание в воде органических веществ), концентрациями растворенного кислорода (РК) Р) и нитратов
С помощью предлагаемого подхода на основе математического моделирования можно предсказать концентрации растворенного кислорода, нитратов, значение биохимической потребностью в кислороде, которые могут встретиться в реке ниже по течению по истечении определенного периода времени (в работе рассматривается период 20 сут)
В естественных условиях химический состав вод регулируется природными процессами. Поддерживается равновесие между поступлением химических веществ в воду и выведением и нее. Однако антропогенный фактор обусловливает попадание в гидросферу огромного количества сточных вод, содержащих отходы промышленности и сельскохозяйственного производства, коммунально-бытовые стоки, что, в конечном счете, ухудшает качество воды. Качество воды - это характеристика состава и свойств воды, определяющая ее пригодность для конкретных видов водопользования. Качество воды оценивается комплексом разнообразных показателей.
Предложенная математическая модель позволяет оценить влияние выпуска сточных вод на экологическое состояние реки (изменение концентраций РК, БПК и нитратов), а также прогнозировать их изменения по длине реки.
В статье исследуется влияние сточных вод промышленного предприятия на экологию реки в условиях неопределенности информации на основе использования математической модели процесса и вычислительного эксперимента.
Обычно содержание РК, БПК и нитратов мало изменяются по ширине реки, а если река не слишком глубока, то и по глубине. Таким образом, можно при моделиро-
вании учитывать изменение этих показателей только по длине реки.
Математическое описание рассматриваемого процесса [9] состоит из уравнений материального и теплового балансов (уравнения 1-16).
Общий баланс для объемного расхода:
Q = Qr+Qw.
(1)
£> =
Рг<2г+РугЧуг
N =
ЛТ^+ЛГи^и,
Т =
ТгЧг+ТууЧит
(2)
(3)
(4)
(5)
V = ■
3600 • <!• ь
(15)
Расстояние вниз по течению реки определяется по формуле (16):
г = 3.6 • V t .
(16)
Изменение концентраций растворенного кислорода Р), биохимической потребности в кислороде нитратов (^ и температуры Т во времени (и по длине) в рассматриваемой ячейке смешения реки можно представить в следующем виде:
На рисунке 2 представлен листинг программы моделирования рассматриваемого процесса с помощью системы компьютерной математики Mathcad [13] для номинального режима.
Параметры реки
л 2.5 ь - 1
<3г 1900 Бг 8 Тг 22 № := 0.1 вг := 2
Параметры промышленных стоков <)т\ := 50 1)и := 0 Ги := 25 Чи := 50 Ни- := 400
Исходные данные Кя20 := 0.01 Кп20 := 0.005 а := 4.3
Результаты вычислений
Дефицит растворенного кислорода £ вычисляется как разность между насыщенной и фактической его концентрациями:
(6)
<2 <?г + <2ТУ
(дг1)г уи !>»)
<Зг 3600 л ь
Т :=
((¡г-Тг+ о^-ту)
3600-11 Ь (<2г-5г+ дтувпО
о
(<Эг №■+ <2тт №у)
Насыщенная концентрация растворенного кислорода Dm зависит от температуры Т (°С) [9]:
От = 14.652 - 0.41 • Т + 0.0008 • Т2
(7)
Бш := 14.652 - 0.41-Т + 0.008-Т
Ка20 2.26 —1— ,0.667
Ю КяМ 1.05
(Т 20)
Кислород потребляется микроорганизмами и попадает в реку в результате предварительной аэрации поверхности. Скорость реакций нитрификации и БПК предполагают первый порядок по концентрации со значениями констант скоростей к„ и кв которые зависят от температуры.
Математическое описание процесса изменения концентраций можно представить в виде системы дифференциальных уравнений (8) - (10):
йЕ _ V
—— — а •
м п
м - к
• М + К^ 5- Ка• £ , N,
м Б
(8) (9) (10)
Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (8) - (10) определяются с учетом формул (1) - (6).
Параметры математического описания даются эмпирическими формулами (11) - (14) [9]:
Кп= Кп20 • 1.07(г"2°),
Кс - К С
1.05(г"2°),
Ка2 о = 2.26 • у й~0-667,
^ _ Кдго . е0.024 (Г-20) а 24
(11) (12)
(13)
(14)
Линейная скорость потока определяется по следующей формуле:
Кп Кп20 1.07
(т—203
Ка «р[0.024-(т-20)]
Решение системы дифференциальных уравнений
(. П 4 1 ■
£'(0 = 1'КпА(() + К1-8(0 -КЯ-Е(0 Е(0) = Рт - Б
N'(0 = -КпМ(0 Р((о) = ГШ
8'(0 = -Кя-БЩ 8(0)=5в
Ге^
N ОбеяоЬе N ,1,480,500
БПК(0 :=
Значения параметров номинального режима указаны в таблице 1.
Выбор множества неопределенных параметров с использованием анализа чувствительности математической модели
Выбор множества параметров, которые должны рассматриваться как неопределенные, очень важен. Выбор большего числа параметров в качестве неопределенных может сделать задачу оптимизации в условиях неопределенности крайне трудоемкой. С другой стороны, невключение некоторых параметров в число неопределенных может значительно повлиять на результаты анализа гибкости процесса. К сожалению, не существует строгих правил выбора множества неопределенных параметров [3]. Однако большую помощь здесь может оказать анализ чувствительности математической модели, поскольку с его помощью можно выбрать параметры, которые в наибольшей степени влияют на процесс [14, 18].
Таблица 1. Параметры номинального режима
Наименование параметра Значение параметра номинального режима
Расход потока воды в реке, Рг 1900 м3/час
Расход сточной воды, Qw 60 м3/час
Стехиометрический коэффициент, а 4.3
Константа скорости биодеградации при Т = 20, ^20 0.01 час-1
Константа скорости нитрификации при Т = 20, Кп20 0.005 час-1
Входная температура на входе в реку, Тг 22 °C
Температура сточной воды, Tw 25 °C
Концентрация растворенного кислорода в сточной воде, Dw 0 мг/л
Концентрация растворенного кислорода в реке, Dr 8 мг/л
Концентрация нитратов в сточной воде, ^ 50 мг/л
Концентрация нитратов в реке, К 0.1 мг/л
Концентрация БПК в сточной воде, Sw 400 мг/л
Концентрация БПК в реке, Sr 2 мг/л
Температура реки, Т °C
Таблица 3 - Исходные данные вычислительного эксперимента. Ротатабельный план второго порядка.
Использование корреляционного анализа для выбора множества неопределенных параметров
Для оценки влияния неопределенных параметров на динамику изменения концентраций РК, БПК и нитратов в конце реки произведем вычислительный эксперимент.
В качестве факторов были выбраны интервальные оценки неопределенных параметров, характеризующих основные параметры стоков промышленного предприятия Qw, Nw, Sw и интервальные оценки неопределенных параметров математического описания Кп20, ^20.
Основной уровень, интервалы варьирования и границы области исследования приведены в таблице 2.
Таблица 2. Численные значения основного уровня,
интервалов варьирования и границы области исследования
Основной
Физические и безразмерные значения неопределённых параметров
интервалы варьирования Qw (х1) Nw (х2) Sw (х3) Kn20 (Х4) Ks20 (Х5)
Номинальный режим 50 50 400 0,005 0,01
Интервал варьирования 10 10 100 0,001 0,004
+ 1 60 60 500 0,006 0,014
-1 40 40 300 0,004 0,006
+2 70 70 600 0,007 0,018
-2 30 30 200 0,003 0,002
№ опыта Факторы Концентрация, мг/л
х1 х2 х3 х4 х5 РК БПК N
1 +1 +1 +1 + 1 +1 8887 0,0101 0,0701
2 -1 +1 +1 + 1 -1 8,5996 0,5077 0,0487
3 +1 -1 +1 + 1 -1 8,3743 0,7104 0,0479
4 -1 -1 +1 + 1 +1 9,1441 0,0073 0,0337
5 +1 +1 -1 + 1 -1 8,5525 0,4582 0,0701
6 -1 +1 -1 + 1 +1 9,1123 0,0048 0,0487
7 +1 -1 -1 + 1 +1 9,0869 0,0065 0,0479
8 -1 -1 -1 + 1 -1 8,8927 0,3371 0,0337
9 +1 +1 +1 -1 -1 8,0698 0.7104 0,2117
10 -1 +1 +1 -1 +1 8,9334 0,0073 0,1468
11 +1 -1 +1 -1 +1 8,8873 0,0101 0,1447
12 -1 -1 +1 -1 -1 8,5982 0,5077 0,1015
13 +1 +1 -1 -1 +1 8,7824 0,0065 0,2117
14 -1 +1 -1 -1 -1 8,682 0,3371 0,1468
15 +1 -1 -1 -1 -1 8,5529 0,4582 0,1447
16 -1 -1 -1 -1 +1 9,1109 0,0048 0,1015
17 -2 0 0 0 0 9,078 0,0407 0,0556
18 +2 0 0 0 0 8,6745 0,079 0,1176
19 0 -2 0 0 0 8,9971 0,0602 0,0547
20 0 +2 0 0 0 8,7408 0,0602 0,1195
21 0 0 -2 0 0 8,9864 0,0349 0,0871
22 0 0 +2 0 0 8,7515 0,0855 0,0871
23 0 0 0 -2 0 8,746 0,0602 0,263
24 0 0 0 +2 0 8,9845 0,0602 0,0289
25 0 0 0 0 -2 8,1687 4,2185 0,0871
26 0 0 0 0 +2 9,0406 0,0009 0,0871
27 0 0 0 0 0 8,869 0,0602 0,0871
28 0 0 0 0 0 8,869 0,0602 0,0871
29 0 0 0 0 0 8,869 0,0602 0,0871
30 0 0 0 0 0 8,869 0,0602 0,0871
31 0 0 0 0 0 8,869 0,0602 0,0871
32 0 0 0 0 0 8,869 0,0602 0,0871
Область изменения независимых факторов соответствует диапазону изменений параметров с учетом интервальной неопределенности.
При проведении вычислительного эксперимента используется ротатабельный план второго порядка [11] и учитывается отсутствие мультиколлинеарности [12].
Число опытов в матрице планирования для пяти факторов равно 32. Ядро плана представляет собой полуреплику 25-1 с генерирующим соотношением. Величина звездного плеча а = 2 определяем в соответствии с [11].
Переход от физических переменных к безразмерным осуществляем по очевидным формулам.
По данным таблицы 3 с помощью программы SPSS вычисляем коэффициенты частной корреляции [21].
Таблица 4. Коэффициенты частной корреляции (Й) и уровень двухсторонней статистической значимости (р).
Коэффициенты корреляции между соответствующими концентрациями и значениями параметров сточной воды
Наименование неопределенного параметра для растворенного кислорода для биохимической потребности кислорода для нитратов
R Р R Р R Р
Расход сточной воды -0,809 0,000 0,082 0,709 0,696 0,000
Содержание нитратов в сточной воде -0,627 0,001 0,033 0,880 0,708 0,000
БПК в сточной воде -0,683 0,000 0,097 0,659 0,057 0,797
Константа скорости нитрификации 0,538 0,008 0,033 0,880 -0,947 0,000
Константа скорости биодеградации 0,940 0,000 -0,640 0,001 0,057 0,797
По результатам, приведенным в таблице 4, можно сделать следующие выводы:
стоки промышленного предприятия, описываемые параметрами Qw, Nw, Sw и неопределенными параметрами математического описания Кп20 К^о, оказывают значительное влияние на концентрацию кислорода в реке, о чем свидетельствует значение уровня статистической значимости Р < 0,001 (высокая статистическая значимость);
стоки промышленного предприятия, описываемые параметрами Nw, Sw и неопределенным параметром математического описания Кп20, незначительно влияют на биохимическую потребность в кислороде в реке, о чем свидетельствует значение уровня статистической значимости р > 0,1 (незначимый показатель);
стоки промышленного предприятия, описываемые неопределенным параметром математического описания ^20, оказывают влияние на биохимическую потребность в кислороде, о чем свидетельствует значение уровня статистической значимости 0,001 < Р < 0,01 (значимый показатель).
стоки промышленного предприятия, описываемые параметрами Qw, Nw и неопределенным параметром математического описания К120, оказывают значительное влияние на концентрацию нитратов в реке, о чем свидетельствует значение уровня статистической значимости Р < 0,001 (высокая статистическая значимость).
стоки промышленного предприятия, описываемые неопределенным параметром математического описания Кйо содержанием БПК в сточной воде, незначительно влияют на концентрацию нитратов в реке, о чем свидетельствует значение уровня статистической значимости р > 0,1 (незначимый показатель).
Частный коэффициент корреляции - это показатель, измеряющий степень сопряженности двух признаков при постоянном значении других.
Подобно парным коэффициентам корреляции частные коэффициенты могут принимать значения, заключенные между -1 и +1.
При этом отрицательный коэффициент корреляции говорит о том, что увеличение значения одной переменной в большинстве случаев соответствует уменьшению значения коррелирующей с ней переменной. Положительный коэффициент корреляции свидетельствует о положительной связи переменных: увеличение одной переменной соответствует увеличению значения коррелирующей с ней переменной.
Использование дифференциального метода анализа для выбора множества неопределенных параметров
В соответствии с методом дифференциального метода анализа для выбора множества неопределенных параметров [10, 20] необходимо продифференцировать исходную системы уравнений по соответствующим неопределённым параметрам. Полученные системы уравнений следует решать совместно с исходной системой при соответствующих начальных условиях.
При этом получаются не только значения неизвестных функций £(Ц, N(0, Эр:), но значения функций у1(0, у2(0, у3(0 для каждого момента времени, но и значения функций v1(t),v2(t),v3(t), которые характеризуют оценку чувствительности неизвестных функций к изменению параметров К^о и Кп20 .
Для оценки чувствительности неизвестных функций к изменению ^20 необходимо решать систему уравнений
У1=Ш О = !.05(г-20) • ^ + К5 • у3 — Ка • У1
' = д ( л = о
У2 - дь(дк,20) =
У3=и1ёг) = -1О5(Т-20)^-к^Уз
е' = а • Кп • N + К5 • Б — Ка • е Ы' = —Кп • N 5" =
На рисунке 3 показаны результаты решения в системе компьютерной математики Mathcad.
Рисунок 3. Зависимость чувствительности функций у1() у2(1), у3(3) к изменению неопределенного параметра
Для оценки чувствительности неизвестных функций к изменению К120 необходимо решать систему уравнений:
(т^) = а • 1-07(Т-20)Ы + а • Кп • у2 — Ка • у1
1 дЬ дКп2о п а 1,1
Э , дБ
V4 = 0
3 д^дК, у
е' = а • Кп • N + Ks • S — Ка • е N' = —Кп • N S' = —Ks • S
На рисунке 4 показаны результаты решения в системе компьютерной математики Mathcad.
250
-105
5 =
ds
0 - exp (—Ks • t)
Аналитическое решение уравнения
0 120 240 360 480
Г, час
Рисунок 4. Зависимость чувствительности функций v1(t), v2(t), v3(3) к изменению параметра
Обсуждение результатов выбора множества неопределенных параметров
Из приведенного исследования следует, что результаты по исследованию влияния неопределенных параметров на концентрации веществ аналогичны результатам, полученным с помощью корреляционного анализа.
Рисунки 3 и 4 еще раз подчеркивают, что
Влияние неопределенных параметров математического описания КП2о, К82о на концентрацию кислорода с учетом уровня статистической двухсторонней значимости Р < 0,001 максимально значима.
На биохимическую потребность в кислороде с учетом уровня статистической двухсторонней значимости 0,001 < Р < 0,01 оказывает очень значимое влияние параметр Кв20. Влияние параметра К„20 с учетом уровня статистической двухсторонней значимости р > 0,1 незначима.
Влияние параметра Кп20 на концентрацию нитратов с учетом уровня статистической двухсторонней значимости Р < 0,001 максимально значима. Влияние К820 с учетом уровня статистической двухсторонней значимости р > 0,1 незначима.
Имитационное моделирование системы с учетом интервальной неопределённости
Для оценки верхних и нижние оценок для концентраций растворенного кислорода, биохимической потребности в кислороде и нитратов с учетом интервальной неопределенности воспользуемся аналитическим решением уравнений математического описания.
Аналитическое решение уравнений математического описания (8)-(9) имеет следующий вид:
N = Ы0 • ехр(-Кп • О
для дефицита растворенного кислорода имеет вид [16] : £&) = ((А1 + А2)/АЪ + (Л4 + А5)/А6) ■ ехр(-Ка ■ О,
где
А1 = Кб^ Б0^ (Кп - Ка) • ехр(Кп • ^ А2 = а • Кп • N0 • (Кб- Ка) • ехр(КБ • ^ АЗ = (Кп - Ка) • (Ка - Кб) • ехр (Кп + Кб- Ка) • t А4 = -Кп • Кб • а- Ка2 + Кп • Ка + Кб• Ка - а•Кп•КБ•N0
Л5 = +а* Кп • Ка* N0- Кп • Кб • Б0 + Кб• Ка• Б0 А6 = (Кп - Ка) • (Ка - Кб)
Вычислим верхние и нижние оценки для концентраций растворенного кислорода, биохимическо потребности в кислороде и нитратов с учетом интервальной неопределенности в соответствии с правилами интервальной математики по формулам:
= ехр(-Кп •Ь) ^ = ехр(-~Кп • Ь) Б = Б0 • ехр(-К£ • Ь) Б = Б0 • ехр(-КБ • Ь) £(Ь) = ((Ж + ~А2)/АЗ + (А4 + АБ)/А6 ) • ехр (-Ка • Ь) £(Ь) = ((А1 +АТ)/~АЗ + (А4 + А5)/А6) • ехр(-Ка • Ь)
Полученные результаты для биохимической потребности кислорода и нитратов (^ в реке с учетом интервальной неопределенности показаны на рисунке 5.
18
14,4
Sn(t) Sv(t) S(t)"
10,8
7,2
3,6
1 1 1 Sn(480) = 0,0097 1 1 1
% Sv(480) = 0,978 1 1
\ \ % % % \ * i 1 i
96 192 288 384 480
t, час
1,6
Nn(t) Nv(t) N(t)"
1,2
0,8
0,4
1 1 Nn(480) = 0,0513
* I I Nv(480) = 0,2864 1 1 M 1ЛОГ\\ - А ЛОНА
* % s \
ч„ \ s.
* 1
96
192 288 384 480
— = а • Кп • N0 exp (—Kn • t) + Ks • S0 • exp (—Ks • t) — Ka * £
Рисунок 5. Изменение биохимической потребности кислорода и нитратов с учетом интервальной неопределенности
График, представленный на рисунке 5 вверху, показывает нижнюю границу Sn(t), номинальное значение S(t) и верхнюю границу Sv(t) биохимической потребности кислорода с учетом интервальной неопределенности и, соответственно, внизу - нитратов: ^(0, N(0, МО).
Полученные результаты для концентрации дефицита растворенного кислорода с учетом интервальной неопределенности показаны на рисунке 6.
Таблица 5. Значения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайных величин
Наименование параметра, характеризующего вероятностную неопределенность Численные значения неопределенных параметров
Qw, м3/ час Nw, мг/л Sw, мг/л Kn20, час-1 Ks20, час-1
Математическое ожидание, М[х] 50 50 400 0,005 0,01
Среднеквадратичное отклонение случайных величин, о[х] 6,7 6,7 66,7 0,0007 0,002
Разброс математического ожидания, (М[х]-3о[х]) 30 30 300 0,003 0,004
Разброс математического ожидания, (М[х]+3о[х]) 70 70 600 0.007 0,016
Математическое ожидание концентрации дефицита растворенного кислорода вычисляется по следующей формуле:
J-0.016 г0.007 г600 г70 г70
I III £(Qw,Nw,Sw,Kn20,Ks20,t)pQ(Qw)
0.004 ¿0.003 hoo J30 J30
• pN(Nw) • pSw(Sw) • pKn(Kn20) • pKs(Ks20) • dQw • dNw
• dSw • dKn20 • dKs20
Листинг программы для вычисления математического ожидания концентрации дефицита кислорода представлен на рисунке 7.
Рисунок 6. Изменение концентрации дефицита растворенного кислорода с учетом интервальной неопределенности
График, представленный на рисунке 6, показывает нижнюю границу дефицита растворенного кислорода £п(0, номинальное значение е(0 и верхнюю границу sv(t).
В общем случае не всегда удается найти аналитическое решение уравнений математического описания. В этом случае, для вычисления верхних и нижних границ концентраций растворенного кислорода, биохимической потребности в кислороде и нитратов возможно воспользоваться известными компьютерными технологиями интервального решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Подробный обзор интервальных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений содержится в [15].
Задача была решена в интервальной постановке с помощью комплекса МаШетайса [19]. Полученные результаты идентичны результатам, найденным по аналитическому решению, что свидетельствует о работоспособности предложенного метода решения дифференциальных уравнений в интервальной форме.
Имитационное моделирование системы с учетом вероятностной неопределенностью
Для моделирования процесса в условиях вероятностной неопределенности параметров математического описания воспользуемся для математического ожидания и среднеквадратичное отклонение случайных величин данными таблицы.
В качестве законов распределения для параметров, характеризующих вероятностную неопределенность, рассмотрим нормальный закон распределения и равномерное распределение [4].
С использованием данных таблицы 5 и на основе выбора множества неопределенных параметров вычислим математические ожидания для концентраций е(0, N(0, S(t).
исходные данные Qr := 1900 Тг := 22 Уг := 0.1 DOw := О Sr := 2 KiiJO := O.OOS Sw := 400 d := 2.5 Ъ := I DOr := 8 1 := 4.3
Результаты вычислений
Qw := JO Tw := 25
Nn := 50
t(Qv . Sw,Sw, Kb20, fCs20,t)
Q Qr - Q"
(Qr Tr + QwTiv)
Ks «- Ks20 1
W<T-2Q) ,7(T-J0)
Кл *- KD20 1.07 NN *- ^
Q
3600 d-b Ka20 4- 2.26 —i—
DOmic 1- 14.652 - 0.41 T - 0.Ш
(Qr- DOr +■ Qw- DOw) DO- -
4 DOnic - DO
(Qr Sr t Qw Sw) SS< Q
(Qr-Nr + QwNw)
NN
V
Al(t) *- Kt-SS-(KD- Ka)-up(Kn t)
A2(t) *- a-Kn NN (Ki - К») *ip{K« ll
A3(t) (Kb - Ki)(Ki - Ki)-<zp[(Kii Ki - Ka)-f]
A4 <--KnKs-d - d-Ka2 - Kn-d-Ka - Ks-d-Ka - aKn-Ks NN
AS i Ki Ki-NN - Ka-Ks SS - Ks-Ka-SS A6 «- (Kn - Ka) (Ki - Ks) __ f AJ(Q * A2(t) A4j_A5"j " + AS J
«p(-Ka t)
I := 250 e(Qw. Nw. Sw. Kn20, K»20.1) = 3.131 fQ(Qn) ;= dnOnn{Qw.50,6.7) fli{Nw) ;= dnOrm{Nw.50,6.7)
(1ui(Kn20) :» dnormf Kn20.0.005,0.0007) ISw(Sw) := dnorml Sw.400,66.7) Iks<K»10j : doorm(Ks20.0.01,0.002)
Ioic(t)
,-0.016 лО.и07 .600 л70 .-70 := £( Qw, Nw, Sw. Kn 20, Ks 2 0.1)" IQ (Qw)• ES( Nw)£Sw (Sw) Пш (Kn 20)
0 004 -o.oos ■ Л OO ЯО * 10
-fks(Ks20) dQw dNw dSw dKn20 dKs20
Рисунок 7. Листинг программы для вычисления математического ожидания концентрации дефицита кислорода
Математическое ожидание для концентрации нитратов вычисляется по следующей формуле:
,•0.007 г70 г-70
M{N(t)} = I II N(Qw, Nw, Кп20, t)pQ(Qw) • pN(Nw) • pKn(Kn20)
■¿0.003 ->30 ->30
• dQw • dNw • dKn20
Листинг программы для вычисления математического ожидания концентрации нитратов представлен на рисунке 8.
Исходные данные Qr 1900 Тг 22 Кг 0.1 Qw 50 Tw := 2S Nw := 50 Кп20 := 0.005 Результаты вычислений
N,(0» , Nw, Кн20.1) :-
Q Qr + Qw Т( (QrTr - Qw-Tiy)
Q
(Qr-Nr , Q. N.) 0
Kll Kn20 1.07(T_2O:i XI < NNesp(-Knt)
tQ(Qw) := dnormiQw, 50.6.7) fN(Nw) :=■ dnorm(Nw,S0,t.7) fkn(Kii20) := dnorm!Kü20 0.005.0.0007)
t0 N(Qw,Nw , Kn20, t) - 1.379
Л007 j-70 (-70
IatN(t) :- N(Qw.Nw, Кл20 . t) ■ IQ(Qw)■ fN(Nw) ■ iküfКи20) dQw dNw dKn20
J0.003 J30 - 30
IntN(t) = 1.365
Рисунок 8. Листинг программы для вычисления математического ожидания концентрации нитратов
Математическое ожидание для концентрации биохимической потребности кислорода вычисляется по следующей формуле:
Jr.0.016 /.600 .-70
I I S(Qw, Sw, Ks20, t)pQ(Qw) • pSw(Sw) •
0.004 J 300 J 30
• pKs(Ks2 )• dQw • dSw • dKs20
Листинг программы для вычисления математического ожидания концентрации БПК представлен на рисунке 9.
Qr := 1900 Sr ;= 2 Sw := 400 Ki20 := 0.01 Qw := 50 Tr := 22 Tw := 25 Nw := 50
S;Q\v.Siv.Ks20.t) :=
Q -i- Qr + Qw
(Qr Tr+ Qii lw)
-Q-
(Qr-5r-QwSw) SS< Q
(T-20)
Ks Ks20-1.05 S1 -t- SSeip(-Kjt)
fQ(Qw) dtiorml Qw, 50 ,6.7) fSw(Sw) := dnonn(Sw, 400 ,66.7) fks(Ks20) := dno™(Ks20,0.01,0.002)
S(Qw,Sw,Ks20,t) = 4.036
t:- 100
.-0-016 (-600 j-70
IntS(t) S(Qw,Sw,Ks20,t) fQ(Qw) fSw(Sw) fki(Ki20)dQwdSwdKi20
.-0.0Ii (-600 j-71
1
' 0.004 - 300 J30 IntS(t) = 3.9
Рисунок 9. Листинг программы для вычисления математического ожидания концентрации БПК
При вычислении распределения плотности вероятности неопределенных параметров в виде независимых случайных величин использовалась статистическая функция Mathcad dnorm (х,М,) для нормального распре-
деления и статистическая функция Mathcad dunif (х, a, b) для равномерного распределения [13].
На рисунке 10 представлены результаты вычисления математического ожидания концентраций БПК, дефицита растворенного кислорода и нитратов при нормальном распределении неопределенных параметров.
М, мг/л
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1, час
Рисунок 10. Зависимость: 1 - изменение математического ожидания концентрации БПК; 2 - изменение математического ожидания конЦентраЦии дефицита растворенного кислорода; 3 - изменение математического ожидания концентрации нитратов при нормальном распределении неопределенных параметров
На рисунке 11 представлены вычисления математического ожидания для концентрации дефицита растворенного кислорода при двух статистических функциях распределения.
Рисунок 11. Зависимость: 1 - изменение математического ожидания концентрации дефицита растворенного кислорода при равномерном распределении; 2 - изменение математического ожидания концентрации дефицита растворенного кислорода при нормальном распределении
Заключение
Предложенный в статье метод математического моделирования с учетом интервальной неопределенности исходной информации обеспечивает возможность преодолеть информационные дефициты и получить достаточно приемлемые и практически значимые результаты моделирования.
Прогнозные оценки предполагаемых последствий антропогенного воздействия на водные объекты, получаемые в результате математического моделирования с учетом интервальной неопределенности параметров математического описания, позволяют более полно оценить ожидаемые ущербы и сформулировать рекомендации по их минимизации.
Имитационное моделирование является существенным методическим дополнением для получения информации о динамике распределенных параметров водных объектов.
Разработанная методология моделирования водно-экологических процессов в условиях интервальной неопределенности параметров позволяет получить нижние и верхние оценки концентраций растворенного кислорода, биохимической потребности в кислороде и нитратов в речной воде.
Разработанная методология моделирования водно-экологических процессов в условиях вероятностной неопределенности параметров позволяет получить численные значения математического ожидания для концентраций растворенного кислорода, биохимической потребности в кислороде и нитратов в речной воде .
Моделирование водно-экологических процессов в условиях вероятностной неопределенности параметров с учетом двух функций распределения: нормального распределения и равномерного распределения показали несущественное различие полученных при этом результатов.
Результаты проведенного исследования свидетельствуют о том, что традиционный метод вычислений при номинальных значениях параметров математического описания является не совсем корректным. Для повышения надежности результатов моделирования следует использовать интервальные оценки неопределённых параметров математического описания.
Обозначения
a - стехиометрический коэффициент; b - ширина участка реки, м; D - концентрация растворенного кислорода, мг/л; d - глубина участка реки, м; Dm - насыщенная концентрация растворенного кислорода, мг/л;
Dr - концентрация растворенного кислорода в реке, мг/л;
DW - концентрация растворенного кислорода в сточной воде, мг/л;
Ka - коэффициент реаэрации, час-1; Ka20 - коэффициент реаэрации при T = 20, час-1; Kn - константа скорости нитрификации, час-1; Kn20 - константа скорости нитрификации при T = 20, час-1;
Ks - константа скорости биодеградации, час-1; Ks20 - константа скорости биодеградации при T = 20, час-1;
N - концентрация нитратов, мг/л; Nr - концентрация нитратов в реке, мг/л; NW - концентрация нитратов в сточной воде, мг/л; Q - общий расход воды, м3/час; Qr - расход потока воды в реке, м3/час; QW - расход сточной воды, м3/час; S - концентрация биохимической потребности кислорода, мг/л;
Sr - концентрация БПК в реке, мг/л;
Sw - концентрация БПК в сточной воде, мг/л;
T - температура, °С;
Tr - температура в реке, °С;
TW - температура сточной воды, °С;
t - время, час;
v - линейная скорость потока, м/с; z - расстояние вниз по течению реки, км; а - величина звездного плеча; £ - дефицит кислорода, мг/л.
Индексы
20 - температура; а - аэрация;
m - растворенный кислород; n - нитраты; r - река;
s - биохимическая потребность кислорода; W - сточная вода.
Литература
1. Долгоносов Б.М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов. М.: Либроком, 2009. 440 с.
2. Лаборатория моделирования водно-экологических процессов URL: http://www.iwp.ru/lab/labo-ratoriya-modelirovaniya-vodno-ekologicheskikh-protsessov.
(Дата обращения 1.12.2013).
3. Островский Г.М., Волин Ю.М. Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация: уч. пособие. М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 319 с.
4. Лебедева М.Ю. Оптимизация химико-технологических систем при неопределенности исходной информации. Методы и программная реализация: дис. ... канд. техн. наук. Л: СПбГТИ(ТУ), 2005 141 с.
5. Первухин Д.Д. Одноэтапная задача проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями. дис. . канд. техн. наук. Казань: КНИТУ, 2013.
6. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraints strategy for flexibility analysis in chemical processes. // Comp. Chem. Eng. 1987. V. 11. № 6. P. 675-693.
7. Grossmann I.E., Sargent R.W.H. Optimum design of chemical plants with uncertain parameters. // AIChE J. 1978. V. 24. № 6. P. 1021-1028.
8. Мазухина С.И., Маслобоев В.А. Институт проблем промышленной экологии Севера КНЦ РАН. Физико-химическое моделирование геоэкосистем в условиях неопределенности входной информации, URL: http:// www.kolasc.net.ru/russian/ksc75/4.6.pdf.
9. Snape Jonatan B., Dunn Irving J. , Ingham John, Prenosil Jiri E. Dynamics of Environmental Bioprocesses. Modelling and Simulation. Weinheim, New York, Basel, Cambridge, Tokyo: 1995. S. 396.
10. Полак Л.С. Применение вычислительной математики в химической и физической кинетике. М: Наука, 1969. 282 с.
11. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. М.: Высшая школа, 1985. С. 327.
12. Лебедева М.Ю. Построение регрессионных моделей в условиях мультиколлинеарности // Известия ОрелГТУ, серия Информационные системы и технологии. 2010. № 4. С. 22-27
13. Холоднов В.А., Дьяконов В.П, Иванова Е.Н, Кирьянова Л.С. Математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов: практ. руководство. СПб. АНО НПО "Профессионал", 2003. 480 с.
14. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / под. ред. И.П. Мухленова Л.: Химия, 1986. 424 с.
15. Nickel K.L.E. Using Interval Methods for the Numerical Solution of ODE's // ZAMM. 1986. Vol. 66. N 11. Р. 513-523.
16. Решение дифференциальных уравнений онлайн URL: http://reshit-online.ru/diff-equation.html (дата обращения: 06.09.2013).
17. Холоднов В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel: уч. пособие. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2005. 220 с.
18. Холоднов В.А., Хартманн К. [и др.]. Системный анализ и принятие решений. Компьютерные технологии моделирования химико-технологических систем: уч. пособие. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2007. 160 с.
19. Холоднов В.А., Хайдаров А.Г. [и др.]. Использование системы WolframMathematica для оценивания чувствительности значений констант скоростей в системах уравнений химической кинетики на примере окисления метана // Известия СмолГУ. 2010. № 4. С. 99109.
20. Холоднов В.А., Хайдаров А.Г. [и др.]. Интервальный метод оценки чувствительности констант скоростей при решении системы уравнений химической кинетики окисления метана // Информационные системы и технологии. 2010. № 6. С. 61-65.
21. Дубнов П.Ю. Обработка статистической информации с помощью SPSS. М.: ООО «Издательство ACT»: Издательство «НТ Пресс», 2004. 221 с.
