CC BY
5Grachek V.J., Shunkevich A.A., Martsinkevich R.V. //
Zhurn. Prikl. Khimii. 2011. V. 84. N 8. P. 1270-1275 (in Russian).
8. Ергожин Е.Е., Чалов Т.К., Никитина А.И., Ковригина Т.В., Хакимболатова К.Х. // Цветн. металлы. 2008. № 3. С. 35-37;
Ergozhin E.E., Chalov T.K., Nikitina AL, Kovrigina T.V., Khakimbolatova K.Kh. // Tsvetnye metally. 2008. N 3. P. 35-37 (in Russian).
9. Ергожин Е.Е., Чалов Т.К., Мельников Е.А., Хакимболатова К.Х., Никитина А.И. // Хим. журн. Казахстана. 2012. № 2. С. 93-97;
Ergozhin E.E., Chalov T.K., Melnikov E.A., Khakimbolatova K.Kh., Nikitina A! // Khim. Zhurn. Kazakhstana 2012. N 2. P. 93-97 (in Russian). 10. Сенявин М.М. Основные этапы и перспективы развития исследования ионообменных процессов / Сб. «Ионный обмен». М.: Наука. 1981. С. 5-24;
Senyavin M.M. Basic stages and prospects of development of studies of ion exchange processes / Collection «Ion exchange». M.: Nauka. 1981. P.5-24 (in Russian).
Лаборатория ионообменных смол и мембран
УДК 576/8
В.А. Холоднов, М.Ю. Лебедева
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОДНО-ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ (НА ПРИМЕРЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ВЫПУСКА СТОЧНЫХ ВОД ПРОМЫШЛЕННОГО
ПРЕДПРИЯТИЯ В РЕКУ)
(Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), Филиал Национального исследовательского университета «МЭИ») e-mail: holodnow@yandex.ru; marilieb@yandex.ru
В статье исследовано влияние выпуска сточных вод промышленных предприятий на степень загрязнения воды в реке города в условиях интервальной неопределенности исходной информации. На основе математической модели рассматриваемого процесса с помощью системы компьютерной математики Mathcadрассматривается стационарный неконсервативный перенос загрязняющих веществ и оцениваются изменения концентраций растворенного кислорода, биохимической потребности кислорода и нитратов по длине реки при различных возмущениях параметров выпуска сточных вод промышленными предприятиями.
Ключевые слова: сточные воды, интервальная неопределенность, концентрация растворенного кислорода, дефицит кислорода, биохимическая потребность кислорода, концентрация нитратов, Mathcad
Математическое описание процесса стационарного неконсервативного переноса загрязняющих веществ состоит из уравнений материального и теплового балансов и эмпирических соотношений. Ранее нами предложена модель, позволяющая проанализировать динамику распределения загрязнений на основе полной информации об источнике загрязнений и гидродинамике водного потока реки, принимающего в себя сточные воды. Система уравнений предложенной модели и условные обозначения приведены в [1].
При моделировании различных объектов практически всегда имеет место неопределенность исходной информации. В силу этого обстоятельства для решения подобного рода задач
появилось новое научное направление, которое учитывает неопределенность исходной информации [3, 4, 6, 8].
При построении математической модели исследуемого процесса в качестве неопределенности исходной информации были приняты интервальные оценки неопределенных параметров стоков промышленного предприятия Qw, и интервальные оценки неопределенных параметров математического описания Кп2о, К320.
Основной уровень, интервалы варьирования и границы области значений неопределенных параметров приведены в таблице.
Для расчета значений верхних и нижних границ концентраций растворенного кислорода,
биохимической потребности кислорода и нитратов в реке с учетом интервальной неопределенности воспользуемся аналитическим решением соответствующих уравнений математического описания [1]. Аналитические решения представлены в виде уравнений:
Щ ь) = N0 • ехр (-Кп • 0, (1)
5( 0 = 50 • ехр (-К я • Ь). (2)
Таблица
Значения неопределенных параметров
Для дефицита растворенного кислорода аналитическое решение имеет вид: й£(0
—-— = а • Кп • N 0 ехр (-Кп • Ь)+ Кб • 50 х
а£
хехр(-Кз • 0 - К а • е ( 0 (3)
Представим это решение в следующем виде [5]:
£( о = (041 + А 2)/А 3 + (А 4 + А 5)/А 6)Х
хехр(-К а • Ь), (4)
где
А1 = Кэ •бо • (Кп - Ка) • ехр (Кп • 0, (5) А 2 = а •Кп •Ыо •(Кб - Ка) • ехр (Кб • £ ), (6) А3 = (Кп - К а) • (К а - Кб) • ехр ((Кп + Кб - К а) • £),(7) А 4 = -Кп • Кб • ((-((• Ка2 + Кп^ &• Ка +
+Кб • С • Ка - а • Кп • Кб • Л?0, (8)
А5 = +а *Кп^Ка * N0 - Кп • Кб • Б0 + Кб • Ка • Б0, (9) А 6 = (Кп-Ка) • (Ка-Кя). (10) Вычислим верхние и нижние границы для концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (К) в реке с учетом интервальной неопределенности в соответствии с правилами интервальной математики [2] по формулам (11)-(14): Л(ь) = ~ы0 • ехр (-Кп • (Ь) = N • ехр (-Кп • Ь), (11) Б^) = ^ • ехр(-Кб_ • £) ,5(0 = 50 • ехр (-Ш • £) (12) £(0 = ((Ж + А2)/А33 + (А4 + Ж) /А6 ) х
х ехр (-Ка • Ь) , (13)
£(0 = ((А1 + А2)/А3 + (М + А55)/А6) х
хехр{-Ка • £) . (14)
В формулах (11)-(14) нижняя черта под символом соответствует наименьшему значению
неопределенного параметра, верхняя черта - наибольшему. Полученные результаты для биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (К) в реке с учетом интервальной неопределенности показаны на рис. 1.
t,4
Рис. 1. Динамика изменения концентраций с учетом интервальной неопределенности а) - биохимической потребности кислорода, 1 - Sn(t), 2 -Sv(t), 3 - S(t), б) - нитратов, 1 - Nn(t),
2 -Nv(t), 3 - N(t) Fig. 1. Dynamics of change in biochemical oxygen demand taking into account interval uncertainty. 1 - Sn(t), 2 -Sv(t), 3 - S(t), б) - нитратов, 1 - Nn(t), 2 -Nv(t), 3 - N(t)
График, представленный на рис. 1а, показывает нижнюю границу Sn(t), номинальное значение S(t) и верхнюю границу Sv(t) биохимической потребности кислорода (БПК) с учетом интервальной неопределенности и, соответственно, на рис. 1б - нитратов: Nn(t), N(t), Nv(t).
Полученные результаты для концентрации растворенного кислорода и дефицита растворенного кислорода с учетом интервальной неопределенности показаны на рис. 2.
График, представленный на рис. 2а, показывает нижнюю границу RKOn(t), номинальное значение RKO(t) и верхнюю границу RKOv(t) концентрации растворенного кислорода (РК) с учетом интервальной неопределенности и, соответствен-
Values of uncertain parameters
Уровни/границы интервалов Значения па неопределенных раметров
Qw Nw Sw Кд20 KS20
Номинальный режим 50 50 400 0.005 0.01
Интервал варьирования 10 10 100 0.001 0.004
Верхняя граница интервала 60 60 500 0.006 0.014
Нижняя граница интервала 40 40 300 0.004 0.006
но, на рис. 2б - дефицита растворенного кислорода: Sn(t), e(t), Sv(t).
ts4
t. 41
Рис. 2. Динамика изменения концентрации с учетом интервальной неопределенности а) - растворенного кислорода, 1 - RKO(t), 2 - RKOv(t), 3 - RKOn(t), б) - дефицита растворенного кислорода, 1 - e(t), 2 - ev(t), 3 - en(t) Fig. 2. Dynamics of change in dissolved oxygen and deficit of dissolved oxygen taking into account interval uncertainty. 1 -RKO(t), 2 - RKOv(t), 3 - RKOn(t), б) - dissolved oxygen deficit, 1 - S(t), 2 - Sv(t), 3 - Sn(t)
В общем случае не всегда удается найти аналитическое решение уравнений математического описания. При этом для вычисления верхних и нижних границ концентраций РК, БПК и нитратов возможно воспользоваться известными компьютерными технологиями интервального решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений [7, 9].
На основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Прогнозные оценки предполагаемых последствий антропогенного воздействия на водные объекты, получаемые в результате математического моделирования с учетом интервальной неопределенности параметров математического описания, позволяют более полно оценить ожи-
Кафедра системного анализа СПбГТИ(ТУ)
даемые ущербы и сформулировать рекомендации по их минимизации.
2. Разработанная методология моделирования водно-экологических процессов позволяет получить нижние и верхние оценки концентраций растворенного кислорода, биохимической потребности кислорода и нитратов в речной воде в условиях неопределенности исходной информации.
3. Результаты проведенного исследования свидетельствуют о том, что традиционный метод вычислений при номинальных значениях параметров математического описания является не совсем корректным. Для повышения надежности результатов моделирования следует использовать интервальные оценки неопределенных параметров математического описания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Холоднов В. А., Лебедева М.Ю. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2015. Т. 58. Вып. 9. С. 76-79; Kholodnov V.A., Lebedeva M.Yu. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2015. V. 58. N 9. С. 76-79 (in Russian).
2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: М.: Мир. 1987. 360 с.;
Alefeldt G., Hertzberger Yu. Introduction to interval computations: M.: Mir. 1987. 360 p. (in Russian).
3. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В. Оптимизация технических систем. М.: КНОРУС. 2012. 432 с.; Ostrovskiy G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V. Optimization of technical systems M.: KNORUS. 2012. 432 p. (in Russian).
4. Лаптева Т.В. Основы методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации. Дис ... д.т.н. Казань: КНИТУ. 2014. 401 с.;
Lapteva T.V. Fundamentals of problem of solving methodology of designing optimal chemical processes taking into account the uncertainty in a initial information. Dissertation for doctor degree on technical sciences. Kazan: KNITU. 2014. 401 p. (in Russian).
5. Решение дифференциальных уравнений онлайн [Электронный ресурс]. http://reshit-online.ru/diff-equation.html (дата обращения: 06.09.2013);
Differential Equations online [electronic resource]. http://re-shit-online.ru/diff-equation.html (date of access: 06.09.2013).
6. Холоднов В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel: уч. пособие. СПб.: СПбГТИ (ТУ). 2005. 220 с.;
Kholodnov V.A., Lebedevа M.Yu. System analysis and decision making. Solution of problems of optimization of chemi-cal-technologial systems in Mathcad and Excel. Tutorial. St. Petersburg.: SPbSTI (TU). 2005. 220 p. (in Russian).
7. Холоднов В.А., Хайдаров А.Г. // Изв. Смоленск. гос. ун-та. 2010. № 4. С. 99-109;
Kholodnov V.A., Khaiydarov A.G. // Izv. Smolensk Gos. Un-ta. 2010. N 4. P. 99-109 (in Russian).
8. Grossmann IE., Floudas C.A. // Comp. Chem. Eng. 1987. V. 11. N 6. P. 675-693.
9. Nickel K.L.E. // ZAMM. 1986. V. 66. N 11. Р. 513-523.
