CC BY
75
УДК 576/8
В. А. Холоднов, М. Ю. Лебедева, А. М. Гумеров
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ СТОЧНЫХ ВОД НА ЭКОЛОГИЮ РЕКИ
С УЧЕТОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Ключевые слова: сточные воды, концентрация растворенного кислорода, дефицит кислорода, биохимическая потребность кислорода, концентрация нитратов, Mathcad, интервальная неопределенность информации, интервальный анализ.
В статье исследовано влияние выпуска сточных вод промышленных предприятий на степень загрязнения воды в реке города в условиях интервальной неопределенности исходной информации. На основе математической модели рассматриваемого процесса с помощью системы компьютерной математики Mathcad рассматривается стационарный неконсервативный перенос загрязняющих веществ и оцениваются изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (N) по длине реки при различных возмущениях параметров выпуска сточных вод промышленными предприятиями.
Keywords: kinetics, waste water, dissolved oxygen concentration, lack of oxygen, biochemical oxygen demand, nitrate concentration,
Mathcad, interval uncertainty of data, interval analysis.
The paper studied the effect of wastewater discharge of industrial enterprises on the extent of water pollution in the river city under interval uncertainty of the initial information. On the basis of a mathematical model of the process by a system of computer mathematics Mathcad is considered a stationary non-conservative transport of pollutants and the estimated change in the concentration of dissolved oxygen (DO), biochemical oxygen demand (BOD) and nitrate (N) along the river at various perturbations ofparameters of industrial wastewater discharge enterprises.
Введение
Вопросам изучения закономерностей формирования и прогнозирования водных ресурсов в настоящее время уделяется большое внимание. Все более значимыми становятся проблемы их рационального использования и защиты от загрязнения, разрешения конфликтных ситуаций между водопользователями. Успешное продвижение вперед в этой области требует совместного учета большого количества данных и применения методов, позволяющих находить наиболее объективные и наилучшие, в определенном смысле, решения. Значительную помощь в этом плане оказывает разработка математических моделей, позволяющих системно организовать имеющуюся информацию [3, 4].
Разработка моделей, предназначенных для приближенной оценки динамики распределения в реке загрязняющих воду ингредиентов, является полезным и конструктивным элементом успешного решения нестандартных задач, связанных с прогнозом последствий антропогенного воздействия на окружающую среду.
Эффективность данного подхода продемонстрирована на примере исследования математической модели экологического состояния реки с интервальной неопределённостью параметров математического описания. Предложенная математическая модель позволяет оценить влияние выпуска сточных вод на экологическое состояние реки (изменение концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК), нитратов), а также прогнозировать динамику их изменения по длине реки.
Объектом исследования является модель участка реки, расположенного ниже по течению от точечного источника загрязняющих веществ (ЗВ). Предполагается, что сточные воды содержат два вида ЗВ, а именно: нитраты (Ы) и органику (8), измеряемую в единицах БПК (биохимической потребности в кисло-
роде). Исследуется процесс стационарного неконсервативного переноса ЗВ, когда в каждом сечении реки сохраняются постоянные значения расхода воды и концентраций ЗВ, а все изменения происходят только по длине реки. Время, в течении которого рассматривается состояние воды в реке, составляет 20 суток.
На рисунке 1 представлена схема объекта исследования [18].
Рис. 1 - Выпуск сточных вод в реку
Для исследования влияния сточных вод промышленного предприятия на экологическое состояние реки в условиях неопределенности информации необходимо построить математическую модель процесса с использованием элементов интервального анализа.
Поскольку сточные воды отличаются от речной воды температурой, биохимической потребностью кислорода (БПК (8) - показатель качества воды, характеризующий суммарное содержание в воде органических веществ), концентрациями растворенного кислорода (ВО) и нитратов (Ы), то при
моделировании были учтены описанные ниже допущения.
1) Минимальное содержание растворенного кислорода для нормальной жизнедеятельности микроорганизмов составляет 2 мг/л.
2) Природные воды имеют невысокие показатели БПК (обычно их БПК не превышает 0,5-2 мг/л). Более высокие показатели БПК указывают на загрязнение природных вод. Наибольшую санитарную опасность представляют загрязнения органического происхождения.
3) БПК промышленных стоков в зависимости от производства и состава стоков составляет 200-3000 мг/л.
4) Очищенные сточные воды, выпускаемые в водоем, обычно содержат 4-8 мг/л растворенного кислорода.
5) В поверхностных водах содержание растворенного кислорода может колебаться от 0 до 14 мг/л и подвержено значительным сезонным и суточным колебаниям. Уменьшение концентрации РК до 2 мг/л вызывает массовую гибель рыб и других гидробио-нтов. В воде водоемов в любой период года концентрация РК должна быть не менее 4 мг/л.
6) Обычно содержание РК, БПК и нитратов мало изменяются по ширине реки, а если река не слишком глубока, то и по глубине. Таким образом, при моделировании будет достаточным учитывать изменение этих показателей только по длине реки.
Обсуждение результатов
Математическое описание рассматриваемого процесса [18] состоит из уравнений материального и теплового балансов и эмпирических соотношений (уравнения 1-17).
Общий баланс для объемного расхода:
<1 = <}г + (}п(1 = аг+<гп (1)
Математическое описание процесса изменения дефицита растворенного кислорода е(1) и концентраций 8(1) и N(1) во времени 1 можно представить в виде системы дифференциальных уравнений (2)-(4):
яг
= а-Кп- ВД + КБ - 5[» - Ка - £(1)
(2)
(3)
а г
а г
а г
(4)
яг
где е(1) - концентрация дефицита кислорода в момент времени 1; N(1) - концентрация нитратов в момент времени 1; 8(1) - концентрация суммарного содержания в воде органических веществ в момент времени 1; 1 -переменная, имеющая размерность времени, пропорциональная расстоянию по длине реки (может быть определена как «время пребывания»), вычисляется по следующей формуле: I ' I I = ——Ь = ■
,
где 1 - расстояние вниз по течению реки от места выпуска ЗВ; V - линейная скорость потока, вычисляемая по следующей формуле:
. (6)
Запись дифференциальных уравнений выполнена в системе координат, привязанной к перемещающейся частице (объему) воды. Рассматривается изменение во времени концентрации ЗВ в этом перемещающемся объёме. Начальный момент времени (1=0) соответствует моменту, когда частица проходит створ реки, в котором производится сброс ЗВ.
С помощью тождественных преобразований рассматриваемую систему дифференциальных уравнений можно изменить таким образом, чтобы в левой части стояли производные по расстоянию вдоль течения реки.
Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (2)-(4) определяются по формулам (7)-(9).
Изменение дефицита растворенного кислорода е(0), концентраций 8(0) и N(0) в начальный момент времени в рассматриваемой ячейке смешения реки можно представить в следующем виде:
ЕСО) = £Юнас. - ООВД (7)
+
5(0)
ш =
(8)
, (9)
где Б0(0) - концентрация растворенного кислорода в начальный момент времени, вычисляемая по формуле:
Концентрация растворенного кислорода ООО) в момент времени I вычисляется по формуле:
1ЮС0 = £>0нас. - ЕСО (И)
Насыщенная концентрация растворенного кислорода Онас. зависит от температуры Т (0С) по эмпирической зависимости:
= 14.652 - 0.41 ■ Т + 0.0003 ■ Г: (12) Кислород потребляется микроорганизмами и попадает в реку в результате предварительной аэрации поверхности. Скорость реакций нитрификации и БПК предполагают первый порядок по концентрации со значениями констант скоростей Кп и 1С,, которые зависят от температуры:
г _ тгдг + тузи,
■? . (13)
Параметры математического описания даются эмпирическими формулами (14)—(17):
Ка2й = 2.2 б
V - а
-О 667
ка =
к
сЮ
24
е 0.02 4-(7 -20)
(14)
(15)
(16)
(17)
На рисунке 1 приведен листинг программы для моделирования процесса по оценке влияния параметров выпуска промышленных стоков на экологическое состояние реки с помощью системы компьютерной математики Mathcad [9] («номинальный режим»).
В работе приняты следующие значения параметров «номинального режима»: К820 = 0.01 час-1, КЫ20 = 0.005 час-1, а = 4.3 (стехиометрический параметр), 0* = 50 м3/час, 0г = 1900 м3/час, Тг = 22.0 (температура в реке, 0С), = 25.0 (температура сточной воды, 0С), = 0 (концентрация растворенного кислорода в сточной воде, мг/л), БОг = 8 (концентрация растворенного кислорода в реке, мг/л), Ы* = 50 (концентрация нитратов в сточной воде, мг/л), Ыг = 0.1 (концентрация нитратов в реке, мг/л), = 400 (БПК в сточной воде, мг/л), 8г = 2 ( БПК в реке, мг/л), d = 2.5 м, Ь = 1 м.
Предполагается, что величины 0г, 0*, БОг, БО№, 8г, 8№, Ыг, Тг и являются постоянными во времени.
На рисунках 3, 4 представлены результаты исследования рассматриваемого процесса с помощью системы компьютерной математики Mathcad [8].
График, представленный на рисунке 3 позволяет оценить изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК), нитратов в реке без стоков.
Условное обозначени е параметра Наименование параметра Размерност ь
£ Дефицит кислорода мг/л
0г Расход потока воды в реке м3/час
0* Расход сточной воды м3/час
0 Общий расход воды м3/час
а Стехиометрический коэффициент -
БО Концентрация растворенного кислорода мг/л
ООнас. Насыщенная концентрация РК мг/л
N Концентрация нитратов мг/л
N0 Начальная концентрация нитратов мг/л
8 Концентрация БПК мг/л
8о Начальная концентрация БПК мг/л
Ка Коэффициент реаэрации час-1
Кп Константа скорости нитрификации час-1
К8 Константа скорости биодеградации час-1
t Время час
Т Температура 0С
V Линейная скорость потока м/с
Ь Ширина участка реки м
d Глубина участка реки м
1 Расстояние вниз по течению реки от места выпуска ЗВ км
Индексы: w - сточная вода, г - вода в реке
График, представленный на рисунке 4, позволяет оценить изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК), нитратов в реке при температуре воды Тг = 5 0С.
Выполненные расчеты позволяет оценить изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК), нитратов в реке («номинальный режим») при температуре воды Т = 250С, 45 0С. Из анализа расчетов следует, что концентрация РК не опускается ниже 2 мг/л.
Данное исследование является традиционным, основано на номинальных значениях параметров и позволяет выявить некоторые закономерности:
• выпуск промышленных отходов оказывает существенное влияние на экологическое состояние реки, причем выпуск сточных вод наиболее сильно влияет на концентрацию растворенного кислорода (РК);
• сезонное влияние температуры реки приводит к резкому изменению концентрации растворенного кислорода (РК);
• температура сточных вод оказывает незначительное влияние на изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (Ы) в реке.
Данное исследование является традиционным, основано на номинальных значениях параметров и позволяет выявить некоторые закономерности:
• выпуск промышленных отходов оказывает существенное влияние на экологическое состояние реки, причем выпуск сточных вод наиболее сильно влияет на концентрацию растворенного кислорода (РК);
• сезонное влияние температуры реки приводит к резкому изменению концентрации растворенного кислорода (РК);
• температура сточных вод оказывает незначительное влияние на изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (Ы) в реке.
При моделировании различных объектов практически всегда имеет место неопределенность («недоопределенность») исходной информации. В силу этого обстоятельства для решения подобного рода задач появилось новое научное направление, которое учитывает неопределенность исходной информации.
За рубежом и в России этой проблемой применительно к химической технологии занимает-
ся ряд научных школ [5, 9, 10, 15, 16, 17, 18]. В России основы этой теории были заложены в 1965 году [6]. Большой вклад в развитие этих методов вносят работы по интервальному анализу [1, 2, 13, 14].
Когда исследователь сталкивается с неопределенностью исходной информации в процессе принятия решений, то он чаще всего игнорирует существование неопределенности и использует детерминированные модели [8].
Параметры реки (1 := 2.5 Ь 1
От := 1900 1)Ог := И Тг := 22 Кг := 0.1 Мг := 2
Параметры промышленных стоков о* ;= 50 ПО« := О Туг ;= 25 Мч := 50 Яте :- 400
Исходные данные К*20 :- 0.01 Кп20 0.005 а :- 4.3 Результаты вычислений
у '= уг I yiv Расстояние
Or
DO
3600-d-b }:= 3.6-v-480 (Qr-DOr + Qw-DOw)
SS ;=
3600'db 1 - 374.4 (Qr Sr+ Q\v Sw)
T
(Qr Tr + QwTw)
(Qr-Nr i Qw Nw) О
DOaac := 14.651 0.41 KalO 2.26
(T-JU)
,11.66 7
kn Kn20 1.07
(T 10)
Ks :- Ks20 1.05
Ka ^ii-cip[0.024 (T - 20)]
N Odesolve N ,t,480,500
Решение системы дифференциальных уравнений CitV'CD
c'(t) = a Ko N(t) Ks-S(t) - Ka c(t)
Tii'lt) = - Kn-N(t) E(o)t=lK>nar DO
S'(t) ш -Ks-S(t)
N(o) = NN s{o)к SS
bllk'(t)S(t) Kfco(t) I)()nar - t) t := 0.. 4H0 [(t) := 3.6 v t
Рис. 2 - Листинг программы для исследования влияния параметров выпуска промышленных стоков на экологическое состояние реки с помощью Mathcad («номинальный режим»)
Для оценки влияния неопределенных параметров на динамику изменения концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (Ы) в реке произведем вычислительный эксперимент.
При построении математической модели исследуемого процесса в качестве неопределенности исходной информации были определены интервальные оценки неопределенных параметров, характеризующих основные параметры стоков промышленного предприятия 0и, Ми,, 8«,, и интервальные оценки неопределенных параметров математического описания
Kn20, К820.
Основной уровень, интервалы варьирования и границы области значений неопределенных параметров приведены в таблице 2.
Область изменения независимых факторов соответствует диапазону изменений параметров с учетом интервальной неопределенности.
Таблица 2 параметров
- Значения неопределенных
Значения
Уровни/гр неопред
аницы еленных
интервало парамет
в ров
Qw Nw Sw Kn20 KS20
Номиналь 50 50 400 0.005 0.01
ный
режим
Интервал 10 10 100 0.001 0.00
варьирова 4
ния
Верхняя 60 60 500 0.006 0.01
граница 4
интервала
Нижняя 40 40 300 0.004 0.00
граница 6
интервала
Для расчета значений верхних и нижние границ концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (N) в реке с учетом интервальной неопределенности воспользуемся аналитическим решением уравнений (3)-(4) математического описания. Аналитические решения представлены в виде уравнений (18)-(19):
N(t) = N0 ■ expC-Jfn ■ О (18)
S(t) = S0 ■ ехр( —Ks ■ t). (19)
Аналитическое решение уравнения (2) имеет вид:
'Щр- = а - Кп - iVn exp(-Jfn -1) + Ks - S, ■ exp(-Ks - t) - Ka - t(r)
(20)
Для дефицита растворенного кислорода это решение представим в следующем виде [6]:
т
_ ((А1 + А2).
ЛЗ +
,
(21)
где
.41 = Ks - 5В - {Кп - К а) ■ е-хр(Кп ■ t) _ (22) А2 = а-Кп- Na (Ks- Ка) ■ exp(Ks ■ t)_ 23) A3 = (Кп - Ка) ■'.Ка- Ks) ■ еяр( (Кп + Ks- К а) ■ t)
(24)
л4 = -Кп - Ks - а - а - Ка'- + Кп- d - Ка + Ks - d - Ка-а- Кп ■ Ks ■ N„
(25)
А5 = +а * Кп - Ка * N„ - Кп - Ks - Sa + Ks - Ка-Sa
(26)
А6 = (Кп - Ка) ■ (Ка - Ks) (27)
Результаты моделирования -изменение концентраций после источника загрязнений по длина ракя
Растворенный кислород- ККОЫ Бионимичаскан потребность кислорада ' ЕХЕК( |} Нитраты - N(l)
ы«НЙ t БШС10 f
N(I>*~
1 kkoi JS(0 9.421?
] ПК(4М) O.tlOl
NUaOl- (LOOM
■■^Ifcv...
и ЯП I MI Jill JrHh
L( 1 > расстоянвг, км
Результаты моделироевниц - измрнвмиё концентраций погпв
источника загрязнений по длине |>еки
Растворенный кислород - ККО i t)
Sim имическа я погрей ноет н кислорода - Ы1Ь'<|)
Нитраты - N(t)
s
7
km>-:I;i t HDC(l)
N(<>
******* 4 3 2
1
1
t I 1
\ \ / I IKOfJKO) я.кй*
V \
\ V I ЯК(4М) вша
V *\ NUSMI) o.iwn
t4 t \
leg 240 .ил «ю
КО ряссгояввс, кя|
Рис. 3, 4 - Результаты моделирования процесса по оценке влияния параметров выпуска промышленных стоков на экологическое состояние реки с помощью Mathcad
Вычислим верхние и нижние границы для концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (Ы) в реке с учетом интервальной неопределенности в соответствии с правилами интервальной математики [1, 13, 14] по формулам (28)-(31):
JVO) = N0 ■ ехр(-Кп ■ t)
Mf) =
S{t) = 5а ■ expi -Ks ■ t )
Ш+ЯГ)
A3+■
\
A6 ■expl.-Ea-t)^
(28)
(29)
(30)
¡Л1 + Л21 /
/ A 6
-.V.; ■ : i ■
(31)
В формулах (28)-(31) нижняя черта под символом соответствует наименьшему значению неопределенного параметра, верхняя черта - наибольшему.
Получены результаты для биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (Ы) в реке с учетом интервальной неопределенности
Определена нижняя граница 8п(1), номинальное значение 8(1) и верхняя граница 8„(1) биохимической потребности кислорода (БПК) с учетом интервальной неопределенности и, нитратов: Ып(1), N(1), Щ1).
Полученны результаты для концентрации растворенного кислорода и дефицита растворенного кислорода с учетом интервальной неопределенности.
Определена нижняя граница ЯК0п(1), номинальное значение ЯК0(1) и верхняя граница КК0^1) концентрации растворенного кислорода (РК) с учетом интервальной неопределенности и, соответственно, справа - дефицита растворенного кислорода:
£п(1), е(1), ^(1).
В общем случае не всегда удается найти аналитическое решение уравнений математического описания. В этом случае, для вычисления верхних и нижних границ концентраций РК, БПК и нитратов возможно воспользоваться известными компьютерными технологиями интервального решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Подробный обзор интервальных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений содержится в [19].
В этом случае система обыкновенных дифференциальных уравнений решается в интервальной постановке в следующем виде (32)-(34):
П?(Г> = а - \Кп, ■ ВД + ■ 5({) - К,
at
dm)
■т
(32)
лгео
зео
интервальными
(33)
(34) на-
С соответствующими чальными условиями, которые вычисляются по правилам интервальной математики из уравнений (7)-(9).
Для вычисления нижних и верхних границ неизвестных функций нами был использован метод огибающих, который при сравнительно небольших вычислительных затратах позволяет построить сходящееся двустороннее решение с приемлемой точностью [11]. Задача была решена в интервальной постановке с помощью комплекса МаШешайса [12]. Одно из достоинств выбора программы МаШешайса состоит в том, что на любом многоядерном компьютере система МаШешайса автоматически включает параллельные вычисления, уменьшая время решения задач.
Полученные результаты идентичны результатам, найденным по аналитическому решению, что свидетельствует о работоспособности предложенного метода решения дифференциальных уравнений в интервальной форме.
Выводы
На основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Предложенный в статье метод математического моделирования с учетом интервальной неопределенности исходной информации обеспечивает возможность преодолеть информационные дефициты и получить достаточно приемлемые и практически значимые результаты моделирования.
2. Прогнозные оценки предполагаемых последствий антропогенного воздействия на водные объекты, получаемые в результате математического моделирования с учетом интервальной неопределенности параметров математического описания, позволяют более полно оценить ожидаемые ущербы и сформулировать рекомендации по их минимизации.
3. Имитационное моделирование является существенным методическим дополнением для получения информации о динамике распределенных параметров водных объектов.
4. Разработанная методология моделирования водно-экологических процессов позволяет получить нижние и верхние оценки концентраций растворенного кислорода (РК), биохимической потребности кислорода (БПК) и нитратов (Ы) в речной воде в условиях неопределённости исходной информации.
5. Результаты проведенного исследования свидетельствуют о том, что традиционный метод вычислений при номинальных значениях параметров математического описания является не совсем корректным. Для повышения надежности результатов моделирования следует использовать интервальные оценки неопределённых параметров математического описания.
Литература
1. Алефельд Г, Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 360 с.
2. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - М.: Наука, 1989. - 320 с.
3. Долгоносов Б.М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов. - М.: Либроком/иК^Б, 2009. -440 с. .
4. Лаборатория моделирования водно-экологических процессов [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.iwp.ru/1ab/1aboratoriya-mode1irovaniya-vodno-eko1ogicheskikh-protsessov (дата обращения 01.12.2013).
5. Островский Г.М. Волин Ю.М. Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация: уч. пособие. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 319 с.
6. Письмен Л.М. О чувствительности оптимальных режимов химических процессов. Моделирование и оптимизация каталитических процессов. - Москва: Наука, 1965. С.225-233.
7. Решение дифференциальных уравнений онлайн [Электронный ресурс].- Электронные данные. - Режим доступа: http://reshit-online.ru/diff-equation.html (дата обращения: 06.09.2013).
8. Холоднов В.А., Краснобородько Д.А., Фролова С.В. Интервальное оценивание параметров зависимостей Аррениуса, Лэнгмюра и Антуана. // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2009. Т.52. № 7. С.61-
9.6Холоднов В.А., Лебедева М.Ю. Системный анализ и принятие решений. Решение задач оптимизации химико-технологических систем в среде Mathcad и Excel: уч. пособие. - СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2005. - 220 с.
10. Холоднов В.А., Хартманн К. [и др.]. Системный анализ и принятие решений. Компьютерные технологии моделирования химико-технологических систем: уч. пособие. - СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2007. - 160 с.
11. Холоднов В.А., Хайдаров А.Г. и др. Использование системы WolframMathematica для оценивания чувствительности значений констант скоростей в системах уравнений химической кинетики на примере окисления метана // Известия Смоленского государственного университета. 2010. № 4. С.99-109.
12. Холоднов В.А., Хайдаров А.Г. и др. Интервальный метод оценки чувствительности констант скоростей при решении системы уравнений химической кинетики окисления метана // Информационные системы и технологии. 2010. № 6. С. 61-65.
13. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. -М.: Издательство «XYZ», 2010. - 602.с
14. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука, 1981. - 112 с.
15. Ditmar R., Hartmann K. Modellierung und Optiemerung verfarenstechnischer Systeme. - Berlin: Akademie-Verlag, 1973. S.217-256.
16. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraints strategy for flexibility analysis in chemical processes. // Comp. Chem. Eng. 1987. V.11. № 6. P.675-693.
17. Grossmann I.E., Sargent R. W. H. Optimum design of chemical plants with uncertain parameters. // AIChE J. 1978. V.24. № 6. P.1021-1028.
18. Jonatan B. Snape, Irving J. Dunn, John Ingham, Jiri E. Prenosil. Dynamics of Environmental Bioprocesses. Modelling and Simulation. - Weinheim-New York, Basel, Cambridge, Tokyo, 1995. S. 396.
19. Nickel K.L.E. Using Interval Methods for the Numerical Solution of ODE's / Nickel K.L.E // ZAMM, 1986, Vol. 66, N 11, Р.513-523.
© В. А. Холоднов, проф. каф. «Mатематическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов» Cанкт-Петербургского госуд. технол. института (Технический университет), holodnow@yandex.ru; М. Ю. Лебедева, доц. каф. «Mе-неджмент и информационные технологии» Филиала «Национальный исследовательский университет «MЭИ» в г. Cмоленске, marilieb@yandex.ru; А. М. Гумеров, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, gumerov_a@mail.ru.
© V. A. Kholodnov, Professor of "Mathematical modeling and optimization of chemical-technological processes" Department, St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), holodnow@yandex.ru; M. Y. Lebedeva, assistant professor of "Management and Information Technologies" Department of the branch of National Research University MEI in Smolensk, marilieb@yandex.ru A. M. Gumerov, professor, Department of Chemical Cybernetics, KNRTU, gumerov_a@mail.ru.
