CC BY
6СИСТЕМА ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ ПРИРОДНИЧОГО ХАРАКТЕРУ ЯК ЗАС1Б ФОРМУВАННЯ ЕВРИСТИЧНО1 Д1ЯЛЬНОСТ1 УЧН1В
Л.О.Соколенко, канд. педагог. наук, доцент, Чернтвський державний педагогiчний умверситет м. Т.Г.Шевченка,
м. Черншв, УКРА1НА
Доведена необхгднгсть створення системи прикладних задач природничого характеру для профшьного навчання математики та розкрито методичш засади, на основ1 яких створено цю систему.
Ключов1 слова: прикладна задача, математична модель, евристична д^яльтсть, розумов1 / практична дп.
Наповнення навчального процесу приклад-ними задачами е одним з головних шляхГв реашзацГ! прикладно! спрямованосп школьного курсу алгебри 1 початкГв аналiзу.
Прикладш задач! - це задач!, яю вини-каюгь поза курсом математики 1 розв'я-зуюгься магемагичними методами га способами, що вивчаються в шкiльному курс!
Проблема вГдбору шюстративного ма-терГалу (сучаснГсть, актуальнГсть, тематика задач); розкригiсгь питання здшснення вза-емозв'язку математики з шшими шкГльни-ми предметами, зокрема бюлогГею, хiмiею, а також медициною в плаш прикладно! спрямованосгi; розробленiсть методики навчання розв'язувати прикладш задачi з урахуванням розумових дiй, що входять до складу дiяльносгi при розв'язуваннГ задач; змiсг навчального матерiалу курсу алгебри i початкiв аналiзу, що вiдповiдае чиннiй програмi з математики для загальноосвггшх навчальних закладiв [1], стан проблеми у навчально-мегодичнш лггературГ зокрема у чинних шкiльних пщручниках та юную-чих посiбниках, i шкiльнiй практицi пере-конують у необхщност! сгворення сисгеми прикладних задач природничого характеру для профшьного навчання математики [3].
Метою статт1 е обгрунтування необ-х1дност1 створення системи прикладних задач для роботи в систем1 евристичного навчання математики.
Створюючи цю систему, ми сформу-лювали специфiчнi вимоги до прикладних задач природничого характеру, яю викори-сговуються пiд час вивчення шкГльного курсу алгебри i початкГв аналiзу, та дидак-тичнi вимоги до сисгеми прикладних задач.
Прикладш задачi створено! системи за-довольняють таю методичнг вимоги: 1) за-дачi мають реальний практичний змГст який забезпечуе iлюстрацiю практично! цшносп i значущосгi набутих математич-них знань; 2) задачi вiдповiдають шкГльним програмам i чинним пiдручникам з курсу алгебри i початк1в аналiзу щодо мегодiв i факта яю будуть викорисговуватися в процесi !х розв'язування; 3) прикладш за-дачi природничого характеру демонсгру-ють практичне засгосування математичних iдей в рiзних галузях природознавсгва, зокрема в бюлогГ!, генегицi, еколог!!, х1мГ!, медицин!, фармацГ!; 4) змГсг задач повинен викликати в учнГв шзнавальний iнгерес, давати можливГсгь демонсгрувати ефектив-не використання математичних знань на практицi; 5) понягтя г термши задач мають бути вГдомГ або штуггивно зрозумГлГ учням; 6) числовГ данГ в прикладних задачах вщ-повГдають Гснуючим на практицГ, тобто е реальними. У процесГ розв'язування задач потрГбно дотримуватись правил наближе-них обчислень, а також викорисговувати обчислювальнГ засоби, зокрема персональ-нГ комп'ютери.
© 8око1епко Ь.
Створена система прикладних задач за-довольняе такi дидактичш вимоги: 1) вщ-61р задач системи вщповщае математично -му зм!сту курсу алгебри 1 початюв анал1зу, на якому доцшьно реашувати прикладну спрямовашсть; 2) в основу класифжаци задач системи покладеш види математич-них моделей, яю створюються пщ час !х розв'язування або м1стяться в умовах окремих задач; 3) задач! системи вщповь дають !х функщям у процеа навчання математики; 4) юнуе можлив1сть одержувати розв'язання задач системи не тшьки неза-лежно вщ шших задач, а й, для деяких задач, на основ! розв'язування попередшх; 5) вмшня розв'язувати задач! одного типу полегшуе розв'язування задач деяких ш-ших титв; 6) вщб1р задач системи здшсне-но диференцшовано для р!зних типолопч-них груп учшв; 7) задач! системи сприяють м!жпредметному узагальненню набутих знань 1 вмшь; 8) тематика прикладних задач сучасна 1 актуальна; 9) пщ час розв'язування деяких титв задач може використо-вуватися алгортмчний пщхщ; 10) до системи прикладних задач включен р!зш за зм1стом задач!, розв'язування яких зво-диться до побудови одше! 1 т1е'1 ж моделц 11) передбачена можливють розв'язування деяких задач ргзними способами; 12) створена система задач сприяе оволодшню уч-нями прийомами як алгортмчно! так 1 ев-ристично! д1яльносп.
Система задач поеднуе задач! прикладного характеру, що приводять до матема-тичних понять з прикладними задачами на застосування цих понять. До не! увшшли задач! прикладного характеру, яю доцшьно розглядати поряд з задачами чинних шкщь-них пщручниюв. Система мютить трина-дцять титв задач: 1) задачу в основу сюжету яких покладеш загальнофункцюнальш поняття, що вивчались в основнш школц 2) прикладш задачу математичш модел1 яких включають показникову, логарифм1ч-ну, степеневу функци; 3) задач! в яких роль математично! модел1 вщграють показни-ков1 та логарифм1чш р1вняння 1 нер!вносп; 4) задач!, яю приводять до поняття похщно! та задач! в розв'язанш яких це поняття вщь
грае першорядну роль; 5) прикладш задачу в яких похщна застосовуеться: до дослщ-ження на монотоншсть функци, яка вщь грае роль математично! модел1, дано! задачу з метою дослщження функци на екстре-мум; з метою знаходження найбшьшого 1 найменшого значень функци; пщ час дослщження функци за загальною схемою, на основ! якого будуеться !! графж; до обчис-лення наближеного значення функци; 6) задач!, як! приводять до поняття первю-но!, та задач! в розв'язуванш яких це поняття вдаграе першорядну роль; 7) задач! яю приводять до поняття штеграла; 8) задач! на застосування ¿нтеграла у природни-чих науках; 9) прикладш задач! природни-чого змюту, що приводять до диференщаль-них р1внянь; 10) задач! природничого змю-ту на розв'язування диференщальних р1в-нянь; 11) задач! з комбшаторики; 12) при-кладн! задач!, в яких йдеться про випадков! под!! та !х !мов!рносп; 13) статистичш задач! природничого змкту.
Серед прикладних задач на застосуван-ня математичних понять зустр1чаються задач!, математична модель яких м1ститься в умов! задач!, та задач!, розв'язування яких передбачае побудову модели
Прикладш задач!, математична модель яких м1ститься в умов! задач!, вносять еле-мент защкавленосп в процес навчання, але !х розв'язування значно проспше у пор1в-нянш з розв'язуванням неформалгзованих прикладних задач.
Розумов! та практичн! д!!, володшня якими необхщне для розв'язування цього типу задач, складають так званий мммум дщ, необхщний для розв'язування будь-яко! прикладно! задач! системи . До цього мЫмуму вщносяться таю розумов! та практичн! ди: 1) розчленування формулю-вання задач! на умови та вимоги; 2) вияв-лення в умов! задач! об'екпв ! !х характеристик (властивостей об'екпв, вщношень м!ж об'ектами); 3) ствставлення умов з вимо-гами; 4) встановлення типу прикладно! за-дачц 5) видшення з умови задач! математич-ного стввщношення, яке складае матема-тичну модель прикладно! задач!; 6) виб1р методу дослщження побудовано! моделц
7) crBopeHHa Ha 0CH0Bi saranbHux npaBHj ($opMyn, TOTO^HOcreM) a6o saranbHux no-no^eHb (osHaHeHb, TeopeM) anropHTMy posB'asyBaHHa $opManisoBaHoi sagaHi;
8) posB'asyBaHHa $opManisoBaHoi sagaHi 3a crBopeHHM ajropuTMoM; 9) gorpuMyBaHHa npaBHj Ha6nH^eHHx o6HHcneHb, a TaKo« bh-KopucraHHa o6HHcnK>Ba.nbHHx 3ac06iB y npo-Leci posB'asyBaHHa sagaHi; 10) nepeKnag Ha 3MiCT0BHy M0By npuKjjagHoi sagaHi ogep>ka-hhx pesy^bTaTiB posB'asaHH«.
nig Hac posB'asyBaHHa He^opManisoBa-hhx npuKnagHux sagaH n'ara gia ^omho sra-gaH0r0 MiHiMyMy (BugineHHa s yM0BH sagaHi MaTeMaTHHHoro cniBBigHomeHHa, «Ke CKna-gae MaTeMaTHHHy Mogenb npHKnagHoi sagaHi) 3aMHK>CTbCfl geKinbK0Ma posyM0BHMH i npaKTHHHHMH giaMH, BonogiHHa «khmh He-06xigHe gna no6ygoBH MaTeMaTHHHoi Mogeni, cepeg «khx: 1) Bu6ip gaHHx, Heo6xigHHx gna posB'asyBaHHa sagaHi (BigoKpeMneHHa icroT-hhx xapaKTepHCTHK 06'eKriB Big gpyropag-hhx; oцiнкa tobhoth BHxigH0i iH^opMaLii; BBegeHHa npu Heo6xigH0CTi hhcjobhx gaHHx, «khx HegocTae; BugineHHa napaMeTpiB; BBegeHHa smIhhhx; BHaB^eHHa ^aKiiB, ^o bhkhh-KaroTb noxu6Ky; s'acyBaHHa ToHHocri gaHHx sagaHi); 2) saMiHa BuxigHux TepMiHiB Bu6pa-hhmh MaTeMaTHHHHMH eKBiBaneHraMH; 3) Bcra-H0B^eHHa MaTeMaTHHHHx cniBBigHomeHb Mm BBegeHHMH sMiHHHMH i napaMerpaMH sagaHi (6esnocepegHa no6ygoBa anre6paiHHoi Moge-ni); 4) Bu6ip cyKynHocTi Bcix mo^jhbhx MaTeMaTHHHHx cniBBigHomeHb, ^o onucyrorb CHTyaLiro sagaHi, thx aKi CKjagaroTb MaTeMaTHHHy Mogenb; 5) nepe^opMynroBaHHa He-craHgapTHoi sagaHi go eKBiBaneHTHoi iM craH-gapTHoi; 6) nogin HecraHgaprHoi sagaH Ha geKinbKa craHgapTHHx sagaH Ta iH. [2, 22].
CaMe TaKi sagaHi i e 6esnocepegHbo saco-6om ^opMyBaHH« eBpucTHHHoi gianbHocri yHHiB. 3ragaHa cucreMa npuKjjagHHx sagaH npupogHHHoro xapaKrepy CKjagae 0CH0By HoBoro noci6HHKa "npuKnagHi sagaHi b Kypci anre6pu i nonarxiB aHanisy: npaKTHKyM" [7].
3ynuHHM0Cb Ha geaKHx Tunax npuKjag-hhx sagaH crBopeHoi cucreMH, «Ki He posrna-ganucb y nonepegHix ny6niKaLiax, npoinroc-TpyeMo npuKjagu sagaH цнx TuniB Ta pos-
rnaHeMo MeroguKy HaBHaHHa yHHiB ix posB'asyBaHHro.
PosnoHHeMo s sagaHi, «Ky Mo^Ha bhko-pucroByBaTH «k Ha erani noBTopeHHa saranb-H0$yHKLi0HanbHux noHarb ochobhoi mKonu, soKpeMa sHaHb npo reoMerpuHHy nporpeciro, TaK i Ha erani ^opMyBaHHa hobhx ^yHKLio-HanbHux noHarb.
3aaana 2.3 (c.22). OgHa pocnuHa Kyjb6a-6h (KopHeBH^e) saMMae nno^y Ha6nu»eH0 10 m 2 i gae sa piK 100 nerroHux HaciHHH. CrijbKH KBagparHux KinoMerpiB rrno^i noKpurorb Bci Ha^agKH ogHiei oco6hhh Kyjb6a6u Hepes 6 poKiB sa yM0BH, ^o B0Ha posMHo^y-eTbca 6es nepemKog y reoMerpuHHiM nporpe-cii. BigoMo, ^o nno^a noBepxHi cymi seMHoi Kyni CKjagae 148 mjh. kb. km. Hh BucraHHTb l(hm pocjHHaM Ha cboMuM piK Miciia Ha noBepxHi seMHoi Kyni?
Pose HexaM S 0 = 10 m 2 - noHaT-
K0Ba nno^a, «Ky saMMae ogHa pocnuHa Kyjb-6a6u. Togi Sj,S2,...,Sn - nno^i, aKi noKpu-
roTb Ha^agKH ogHiei Kyjb6a6u Hepes 1, 2, ..., n poKiB BignoBigHo sa yM0BH, ^o pocnuHa posMHo^yeTbca 6es nepemKog y reoMerpuH-HiM nporpecii. npu LboMy
Sj = S0 • 102, S2 = Sj • 102 = S0 • 104,
S3 = S2 • 102 = S0 • 106,...,
Sn = Sn-1 • 102 = S 0 • 102 n.
Qr^e, S6 = 10 • 1012 = 1013( M 2).
OcKijbKH nno^a noBepxHi cymi seMHoi Kyji CKjagae 148 • 106 km2 =1,48 • 1014 m2, to Ha cboMHM piK Ha noBepxHi cymi MicLa gjja Lux pocjHH He BHCTaHHTb, T0My ^o S7 = 1015 m 2.
Bidnoeidb. 3a 3eadaHUX yMoe Ha cbOMUU piK MieijH Ha noeepxHi cymi 3eMHOi Kyjii dun Kym6a6u He eucmmumb.
PosrnaHyra sagaHa ^kthhho npuBoguTb go noHaTTa noKasHUKoeoi $yH*yii S(n) = S0 • 102n. Ane ogHoHacHo gna Bigno-Bigi Ha nocTaBneHe nuTaHHa Mo^Ha 6yno bh-KopucraTH ^opMyny n-ro HneHa reoMerpuH-Hoi nporpecii bn = b1 • qn, ge = 102 (Ha-
®
© Sokolenko L.
сшин), q = 100. Тод b7 = 102 • 1006 = 1014 а S7 = S0 • b7 = 10 •Ю14 = 1015 (м2).
Показникова, логарифмiчна та степене-ва функцiй вiдiграють роль математичних моделей численних прикладних задач при-родничого характеру. Розглянемо приклад задачi хiмiчного змiсту, використовуючи яку можна навчати учнiв найпоширешшо-му способу розв'язування показникових рiвнянь - зведенню обох частин ргвняння до смльног основы.
Задача 2.9 (с.35). Залежшсть швидкосп реакцй вiд температури виражаеться фор-
мулою vТ = vT g 10 , де vTi, vT - швидкосп при температурах Tl, Т2, g - температу-рний коефiцiент (правило Вант-Гоффа). На сюльки градусiв слiд пiдвищити температуру, щоб швидюсть хiмiчноi реакцй зросла у 8 разiв, якщо температурний коефiцiент g = 2?
Розв язання. Оскшьки швидюсть реак-
vT
ци повинна зрости у 8 разiв, то —- = 8,
T -T
отже, маемо р1вняння 2 10 = 8. Використовуючи споаб зведення обох частин р1в-
Т2 -Т
няння до основи 2, одержимо 2 10 = 23.
т -т
Звщки —2—- = 3, Т2 - Т = 30(0С).
10 21
В1дпов1дь. Температуру сл1д тдвищу-вати на 30 0 С .
Введення означення логарифмгчного р1в-няння та вивчення способ1в розв'язування логарифм1чних р1внянь також повинно по-можливосп супроводжуватись розглядом природничих проблемних ситуацш.
Задача 2.12 (с.38). В наслщок зростання температури води Швтчного моря виник-ла еколопчна катастрофа - забруднення синьо-зеленими водоростями територГ! дов-жиною бия 10 км (площа, на яюй повшстю вбито морське життя). Визначте середнш прир1ст синьо-зелених водоростей протя-гом доби ( у %) , якщо кожного мюяця !х ю-лькiсть збшьшуеться у 10 раз1в.
Розв язання Використаемо формулу l = /0(1 + p)t, де l - довжина забруднено'].' водоростями територи в момент часу t, /0 - початкова довжина забруднено'].' територй, p - середнiй прирiст водоростей протягом доби, виражений у %, t - час, вимiрюеться добами. Звiдси, згiдно даних задачi одер-жуемо рiвнiсть: 10(1+p)30 =100, якш рiвно-сильна рiвнiсть (1 + p)30 = 10. Для визна-чення p можна пщнести обидвi частини 1 .
рiвняння до степеня — i, виконавши певнi 30
перетворення, одержати
p = 3^10 -1» 0,079 » 8(%).
Можна дiяти по-iншому. Пролагориф-мувавши рiвнiсть (1 + p)30 = 10 за основою
10 i скориставшись властивiстю логарифма, одержуемо: 30lg (1 + p ) = 1, звiдси
lg (1 + p) = ^ . Тобто маемо рiвняння в
якому змiнна мiститься лише пщ знаком логарифма. Такi рiвняння називають лога-рыфмгчнымы.
За означенням логарифма приходимо до тие! ж вщповод. В1дпов1дь. 8%.
Пiд час дослщження функцй за загаль-ною схемою з метою побудови !х графiкiв слiд розглянути з учнями декiлька прикладних задач. Це внесе елемент защкавленосп у навчальний процес i активiзуе тзнаваль-ну дiяльнiсть учнiв.
Задача 3.7 (с. 54). При вливани глюкози
11 юльюсть в кровi хворого (виражена у вщпо-в1дних одиницях) пiсля t годин складае C(t) = 10 - 8e-1. Побудуйте графiк C(t) як
функцй часу при t > 0. Знайдггь lim C (t) -
t
рiвноважну кiлькiсть глюкози в кров!
Розв язання. Областю визначення дано! функцй е ва невiд'емнi числа (t > 0), C(0) = 2. Для того щоб з'ясувати, який пром1жок е множиною значень дано'].' функцй, знайдемо рiвноважну юльюсть глюкози в кровi хворого:
T -T
2
v
lim(10 - 8e) = 10 - 8lim — = 10 (од.).
t te
Отже, E(C) = [2;10). Оскшьки похщна 8
C '(t) = 8e "t = — додатна, то функцiя C (t) e
зростаюча на всш обласгi визначення. Ii графк зображено на рис. 18.
В1дпов1дь. р1вноважна юльюсть глюкозы 10 одыныць.
У
t>
2 t Б f 0 t 2 и t
Рис. 18
Ми розглянули деяк з задач створено'1' нами системи прикладних задач природни-чого характеру, яю разом з шшими задачами системи були апробоваш пiд час прове-дення уроюв з курсу алгебри i початюв аналiзу у Чернiгiвському обласному лще'1' для обдаровано'1' сшьсько'1' молодi та у ЗНЗ № 20, 27 м. Чершгова. Результати навчання свщчать про ефективнiсгь розроблено'1' методики, а отже, корисш для учшв, виклада-чiв та сгудентiв фiзико-математичних i природничих факультегiв.
1. Программ для загстъноосегттх навчалъних заклад1в. Математика. 5-12 класи. Мтстерство освти / науки Украгни. - К: 1ртнъ, 2005. - 64с.
2. Соколенко Л. О. Прикладна спрямоватстъ шкшъного курсу алгебри i початш анал1зу: Навч. поабник - Чернтв: Оверянсъка думка, 2002. -128с.
3. Соколенко Л.О. Про необх1днгстъ створен-ня системи прикладних задач природничого характеру для профтъного навчання математики // Дидактика математики: проблеми 7 дошджен-ня: Мжшродний зб. наук. робт. -Донецък, 2005. - Вип. 24. - С.218-222.
4. Соколенко Л. О. Математичне моделю-вання бюлог1чних, х1мчних, медичних процессе 7 явищ у класах природничого профтю. - Дидактика математики: проблеми 7 дошдження: Мж-народний зб. наук. робт. - Донецък, 2006. -Вип.. 25. - С.99-105.
5. Соколенко Л. О. Прикладт аспекти математики: 1нтеграл та його застосування в класах природничого профтю. - Ысник Черншвсъкого державного педун1верситету. Сер1я: Педагоачн науки. - Чернтв, 2006. - Вип. 42. - С. 74-77.
6. Методичн засади побудови нсечслъного поабника "Прикладт задач1 природничого характеру в кура математики старшог школи" / Л.О.Соколенко, ЛГ.Фглон, В.О.Швецъ // Ысник Чертггвсъкого державного педутверситету. Сер1я: Педагоггчш науки. -Чернтв, 2009. -Вип. 60. - С.121-126.
7. Прикладт задач1 в курс алгебри 7 початюв снсл1зу: практикум / Л.О.Соколенко, ЛГ.Фшон, В.ОШвецъ. - К: НПУгм. МЛ.Драгоманова, 2009. -112 с.
Резюме. Соколенко Л.А. СИСТЕМА ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ЕСТЕСТВЕННОГО ХАРАКТЕРА КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ. Доказана необходимость создания системы прикладных задач естественного характера для профильного обучения математике и раскрыты методические принципы, на основании которых создана эта система.
Ключевые слова: прикладная задача, математическая модель, эвристическая деятельность, умственные и практические действия.
Summary. Sokolenko L. SYSTEM OF APPLIED PROBLEMS WITH NATURAL CHARACTER AS MEANS OF STUDENTS' HEURISTIC ACTIVITY FORMATION. The necessity of creation the system of natural applied problems for profile training in mathematics is proved. The methodical principles, on the basis of which the system is created, are revealed.
Keywords: applied task, mathematical model, heuristic activity, mental and practical actions.
Стаття представлена професором В.О.Швецом.
Надшшла доредакци 5.10.2009р.
