CC BY
5© 8око1епко Ь.
Шановна Згнагдо Ьатвно! Сплкування з Вами приносить нимало приемникмиттевостей та незабутнЬсвражеень. Приймть щиру вдянтсть за (Ваше високе слущння обранш справу невтомний творний пошук,
добро та щедрсть душъ Нехай наступт роки множить Вашу енергт та принесуть Вам нов1 досягнення, а доля даруе м1цне здоров 'я I береже Вас вд негаразд1в. Сердечно зину, щобВаша життева стежина йшла впродовжбагатьох,рощв, а вогонь любов{ I добра спонукав Ваши^унтв до новихв1дкриттв.
Соколенко ЛШя Олексан^вна,
кандидат педагопчних наук, доцент кафедри педагопки, психолог^' та методики викладання математики Чершпвського державного педагопчного ушверситету iм. Т.ГШевченка.
Захистила кандидатську дисертацЮ у 1997 р. тд керiвництвом З.1.Слепканъ на тему: „ Методика реалiзацli прикладно'1 спрямованостi шюльног алгебри i початюв аналiзу ".
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Б1ОЛОГ1ЧНИХ, Х1М1ЧНИХ, МЕДИЧНИХ ПРОЦЕС1В I ЯВИЩ У КЛАСАХ ПРИРОДНИЧОГО ПРОФ1ЛЮ
Л. О. Соколенко, кандидат педагог.наук,доцент, Чернтвський державний педутверситет м.Т.Г.Шевченка,
м. Чернтв, УКРА1НА
Розкриmi можливостi навчання учшв математичному моделюванню в класах хiмiко-бiологiчного та екологiчного профтв. Представлен найпростш маmемаmичнi моделi природничих процеыв i явищ.
Запорукою успешно! учасп особис-тосп у сучасному суспшьному жити е оволодшня певними прийомами матема-тично1 д1яльноси та навичками 1х застосу-вань до розв'язування практичних задач. Певно'1 математично'1 подготовки вимагае також вивчення багатьох навчальних предмет1в загальноосвггньо!' школи .Тому одним з головних завдань курсу математики старшоУ школи е забезпечення умов для досягнення кожним учнем практично!' компетентноси [1],[2].
Практична компетентшсть передба-чае, що випускник загальноосвггнього навчального закладу вм1е будувати 1 дос-лщжувати найпросиш1 математичш моде-л1 реальних об'екпв ,процес1в 1 явищ, задач, пов'язаних 1з ними, за допомогою математичних об'екпв, вщповщних мате-матичних задач.
Формування навичок застосування математики е одшею з головних цшей навчання математики. Радикальним засобом реал1зац11 прикладно'1 спрямованосп
(99)
шкшьного курсу математики e широке систематичне застосування методу мате-матичного моделювання протягом усього
куРсу [2].
Доцiльнiсгь реашзаци прикладно'1 спря-мованосп при вивченнi кожно'1 змютово! л1ни курсу потрiбно з'ясовувати, виходячи з особливостей ii математичного змсту. Аналiз змiстових лiнiй курсу алгебри i по-чатюв аналiзу, яю складають основу дiючоi програми [1] та ново! програми 12-рiчноi школи [2], приводять до висновку, що змiсговi лши: елеменгарнi функци, рiвнян-ня i нерiвностi, похiдна та ii застосування Днтеграл та його застосування, елементи теори iмовiрностей та математично1' статистики мiстять теоретичний матерiал на якому доцiльно реатзовувати прикладну спрямованiсть, враховуючи його матема-тичнi особливост!
Аналiз науково-методично'1 л^ерату-ри, вiдповiдних публжаци дiючих шкшь-них пiдручникiв та стану проблеми в шкшьнш практицi переконуе в необхщ-ностi створення системи прикладных задач природничого характеру (зокрема бюло-пчного, хiмiчного, еколопчного, медично-го змюту) [4].
Необхiднiсть тако1' системи обгрунто-вуеться методичними вимогами щодо реашзаци прикладно'1 спрямованосп курсу шкшьно1' алгебри i початюв аналiзу, якими передбачено наступне :
- у процеа вивчення теоретичного матерiалу потрiбно, по можливостi, озна-йомлювати учнiв з галузями його практичного застосування, акцентуючи увагу на унiверсальностi математичних методiв, та показувати на конкретних прикладах прикладний характер цих методiв;
- тдготовку до вивчення теоретичних питань курсу потрiбно здiйснювати через прикладш задачi, що забезпечать мотива-цш навчання при введеннi нових понять i методiв, сприятимуть розвитку шзнаваль-ного iнтересу учнiв;
- наповнення навчального процесу прикладними задачами, що задовольняють певнi специфiчнi вимоги, е одним з голов-них шляив реашзаци прикладно'1 спрямо-
ваностi курсу (щ задачi повиннi утворю-вати певну систему, яка задовольняе ряд дидактичних вимог i забезпечуе оргашч-ний зв'язок з теоретичним матерiалом);
- система задач повинна поеднувати задачi прикладного характеру, що приво-дять до математичних понять, з приклад-ними задачами на застосування цих понять (це дасть змогу оргашзувати навчання учнiв елементам математичного моделювання в процеа розв'язування таких задач);
- прикладш задачi та iлюстративнi приклади повиннi давати можлив^ь поряд з математичними знаннями засвоювати науковi факти сумiжних предметив, тобто бути засобом здiйснення мiжпредметних зв'язкiв;
- пiд час реашзаци прикладно'1 спрямо-ваностi шкшьно'1 алгебри i початюв аналiзу повинно вщбуватися ознайомлен-ня учнiв з НПН (новими iнформацiйними технологиями навчання) [3].
Задачi природничого характеру (зокрема бюлопчного, хiмiчного, еколопч-ного, медичного зм^у) стали об'ектом дослiдження тому що в навчально-мето-дичнiй лiтературi 1'м придiляeться значно менше уваги нiж прикладним задачам фiзичного та економiчного змiсту.
Зупинимось на деяких типах приклад-них задач системи, визначимо 1'х мiсце та роль для вивчення курсу математики в класах природничого профiлю. Розгляне-мо питання систематичного застосування методу математичного моделювання протягом усього курсу.
Розпочнемо з прикладних задач, мате-матичш моделi яких включають показни-кову, логарифмiчну, степеневу функци та задач в яких роль математично'1 моделi вiдiграють показниковi та логарифмiчнi рiвняння i нерiвностi.
Для прикладу розглянемо таку задачу:
За ощнкою люника ,запас деревини на однiй дшянщ лiсу складае 10000 кубомет-рiв. Скшьки деревини буде на цш дiлянцi через 10 рокiв за умови, що середнш рiч-ний прир^ складатиме 2,5 %?
© 8око1епко Ь.
В данiй задачi мова йде про дослщ-ження бiологiчного процесу, внаслiдок якого буде одержана залежнють, що е прикладом показниковоГ функци. Задачу такого типу корисно розглядати в класах ммжо-бюлопчного, екологiчного профiлю перед введенням означення ц!е! функци.
Якщо в учшв виникнуть труднощi щодо розв'язування задач^ то Гм можна за-пропонувати такий алгоритм дослiдження:
1) Позначте початковий запас дереви-ни на д^нщ лiсу через Ц0, а Цп - запас
деревини на долянщ люу через п роюв. Яким буде запас деревини через рк? Виразiть Ц через Ц0.
2) Чому буде дорiвнювати запас деревини на долянщ через два роки? Виразiть Ц2 через Ц, та Ц2 через Ц0.
3) Дайте вщповщь на аналопчне питання для п=3.
4) Виразiть Цп через Цп-1. Виразiть Цп як функцiю вiд Ц0 i п.
5) Пiдставте в останню формулу значення Ц0 з умови задачт Яку
залежнiсть ви одержали?
Провiвши дослiдження за наведеним алгоритмом, учш одержать функцiю Б(п)= =10000 * 1,025п, яка е залежнютю запасу деревини Б на долянщ лiсу (в кубометрах) вщ числа минулих роюв п.
Одержана показникова функцiя е ма-тематичною моделлю даного процесу, отже визначивши Г! значення Б(10)=10000* 1,02510 =12800 (м3) досга-ють вiдповiдь на питання задачi.
Фабула такоГ задачi може бути дещо шшою. В нiй може йтися про змiну чи-сельностi населення певного мста, роз-множення лшш у ставку або мiкробiв у пробiрцi. Важливим е те, що розв'язуючи задач такого типу, учш вчаться матема-тично описувати реальш, природнi й сус-пiльнi процеси.
До щеГ задачi варто повернутись перед введенням поняття логарифма, перефор-мулювавши поставлене в нш питання таким чином: Через сюльки рокiв на цiй
дiлянцi буде 12800 кубометрiв деревини за умови, що середнш рiчний прирiст склада-тиме 2,5%?
Одержане учнями тд час розв'язування задачi рiвняння: 12800=10000 * 1,025п стане мотивацiею для введення поняття логарифма.
На еташ вивчення степеневоГ функци та формули складних вiдсоткiв ( Р
у=С * (1+-)п, де С - початкове значен-
100
ня величини, р - %, п - число промiжкiв часу, у - значення величини тсля п про-мiжкiв часу) задача такого типу також може бути розглянута з учнями, але запи-тання в нш повинно бути поставлено так: При якому середньому рiчному приростi (у %) через 10 роюв на цш дiлянцi буде 12800 м деревини?
При пiдборi задач, математичними моделями яких е показниковi функци, варто звернути увагу учнiв не лише на приклади зростання певних величин, а i на задачi в яких йдеться про розпадання хiмiчних речовин. Сформулюемо таку задачу:
Перюд пiврозпаду радiя складае 1620 роюв. Яка частина початковоГ юлькосп радiя залишаеться: 1) через 3240 роюв, 2) 4860 рокiв, 3) 810 роюв? Ощшть, сюль-ки вщсотюв складае iснуюча нинi на Землi кiлькiсть радiя вiд т1еГ кiлькостi, яка була на Землi на початку нашоГ ери.
Для ГГ розв'язування учнi можуть використати формулу кiлькостi С речови-ни, яка лишаеться через 1 одиниць часу вщ початковоГ юлькосп С0:
1 -
С= С0 * (—)т , де Т - перiод тврозпа-
ду щеГ радюактивно'Г речовини.
При розв'язуванш задачi такого типу корисно буде встановити зв'язок мж згада-ною вище формулою та формулою складних вщсотюв у випадку спадноГ величини.
До поняття показникового рiвняння приводять задачi з параметрами. Сфор-мулюемо одну з них:
3ane:HicTb cepegHboi Bara oKyHa Big Moro goB:HHH npegcraBneHa y Ta6n. 1 i
npunycKaeTbca, ^o BOHa BHpa:aeTbcb ^opMynoro y=a xb ,ge x > 6 .
Ta6nu^ 1
^obaama (cm) 6 10 14 18 22 26 30
Bara (r) 12.5 25 60 125 225 350 475
3HaMgiTb napaMerpu a i b. 06HHC.mTb Bary oKyHa goB:HHa aKoro 15 cm i 28 cm.
Bu6paBmu 3 Ta6.^i gBi napu BignoBig-hhx 3HaneHb goB:HHH Ta Bara oKyHa, ynrn cKnagaroTb cucreMy gBox piBHaHb 3 gBOMa HeBigoMHMH a i b: 25=a * 10b i 475=a * 30b. noginuBmu gpyre piBHaHHa cucreMH Ha nepme ogep:yroTb: 19=3b - noxa3HHKOBe piBHaHHa, aKe po3B'a3yeTbca MerogoM
norapu^MyBaHHa: b=1n19 « 2.7, a« 0.05 .
In3
OT:e, 3a.e:HicTb Bara oKyHa Big Moro goB:HHH Mae Burnag y=0.05 * x27.
Oa6yna цнх 3agan TaKo: pi3HoMaHiTHa, цe Mo:e 6yru 3agana npo 3ane:HicTb: cepegHboro 3pocry guTHHH Big ii BiKy; Kinb-KocTi gepeBHHH (b Ky6oMerpax), aKy ogep-:yroTb 3 ginaHKH .icy neBHoi nno^i, Big noxuny noBepxHi (b rpagycax), Ha aKiM poc-Te nic; BMicTy 6i.Ka y TpaBi Big nacy nicna ii noKocy.
npu BHBneHHi eKcnoHeH^anbHHx 3ane:HocreM, nopag 3 po3rnagoM npo^ciB HoBoyTBopeHHH i po3nagy Mo:yrb po3rnaga-Tucb TaKi 3adani 6ionoriHHoro 3Micry:
y ogHoniraix nocociB cno:HBaHHa khc-hto 3 nigBH^eHHHM mBHgKocr nnaBaHHa 3pocTae eKcnoHeH^anbHo. Bu3HaHHMo C(v) aK cno:HBaHHa khchto 3a roguHy ogHoniT-HiM nococeM, akhm nnHBe 3 cepegHboro mBHgracTro v m/c. HexaM C(0)=100 i C(3)=800 (BignoBigHux ogHHH^). 3HaMgiTb C(1) i C(2).
Po3B'a3yronu 3agany ynrn bhkophcto-ByroTb eKcnoHeH^anbHy 3ane:HicTb C(v)= C0 e k, aKa e MareMaTHHHoro Mogennro
npoцecy ^o po3rnagaeTbca, Ta nonaTKoBi yMoBH C(0)=100 i C(3)=800. npu цboмy nocTynoBo BH3HanaroTbca 3HaneHHa C0 i
ek: 100=C0(ek)0, oT:e C0=100. noTiM
ogep:yroTb piBHicTb 800=100(ek )3,3BigKH ek =2. OT:e 3ane:HicTb, npo aKy Mgerbca b 3agani, Mae Burnag: C(v)=100 * 2v .3BigKH C(1)=200, C(2)=400.
BHBneHHH eKcnoHeH^anbHHx HepiBHoc-TeM TaKo: KopucHo noB'a3yBaTH 3 po3rna-goM npo6neMHux cmya^M npo po3HHHeHHa coni, npo 3MiHy KoH^HTpa^i caxapo3H, npo BH3HaneHHH cryneHa 3a6pygHeHHa y36inHa gopir cbhh^m Ta mmux.
,3ga npuKnagy 3anponoHyeMo TaKy 3adany:
CTyniHb 3a6pygHeHHH y36inHa gopir cbhh^m (y Mr Ha m 2 3a piK) o6HHcnroeTbca
3a ^opMynoro: C=0,012Ae-011k +0,37^1, ge A - iHTeHcuBHicTb pyxy (hhc.o rpaH-cnopTHux 3aco6iB) 3a go6y i k - BigcTaHb Big Kparo goporu b Merpax. 3HaMgiTb 3ane:HicTb Mi: BenHHHHaMH C i k gna gopir, no akhm npoi:g:ae BignoBigHo 1000 i 3000 TpaHcnopTHHx 3aco6iB 3a go6y. rpaHH^ro 6e3ne-kh BBa:aeTbca ciyniHb 3a6pygHeHocTi 10 Mr/M2 cвннцro Ha piK. Ha aKiM Bigcraffl Big Kparo goporu nonHHaeTbca 6e3nenHa 3oHa b Ko:HoMy 3 цнх BHnagKiB? y cKinbKH pa3iB b Ko:HoMy 3 gaHHx BHnagKiB 3a6pyg-HeHicTb goporu nonoTHa nepeBH^ye gonyc-THMy HopMy?
3anponoHoBaHa 3agana 3BoguTbca go po3B'a3yBaHHa eкcnoнeнцia.bннх HepiBHoc-TeM: 12e-011k +3,7 < 10 i 36e-011k +5,3 < 10 cnoco6oM norapu^MyBaHHa. npu ^oMy BH3HanaroTb npu iHTeHcuBHocTi pyxy 1000 TpaHcnopTHHx 3aco6iB 3a go6y 6e3nen-Ha 3oHa nonuHaeTbca Ha Bigcrarn 5,86 m Big Kparo goporu, a npu iHTeHcuBHocTi pyxy 3000 TpaHcnopTHHx 3aco6iB 3a go6y 6e3nen-Ha 3oHa nonuHaeTbca Ha BigcraHi 18,51 m Big
© 8око1епко Ь.
краю дороги. В першому випадку забруд-ненiсть дорожного полотна перевищуе до-пустиму норму в 1,57 рази , а у другому в 4,13 рази.
У шкшьному кура алгебри i початюв аналiзу вже стало традицшним перед введенням означення похiдноi розглядати класичн задачi, якi привели до даного поняття: задачу механiки про визначення миттево! швидкостi i геометричну задачу про визначення положення дотично! до криво! в певнiй точщ. При розв'язуваннi згаданих задач доводиться проводити т ж самi мiркування, що i при розв'язуваннi численних задач природознавства, а саме задач про визначення швидкосп зростання популяци та швидкостi хiмiчноi реакци.
Розгляд цих задач буде корисним для учшв яю вивчають математику у класах природничого профiлю. Оскшьки його метою е узагальнення спшьного способу роз-в'язування рiзноманiтних задач, то для проведення розгляду доцшьно використа-ти таблицю 2, в якш будуть видiленi чоти-ри кроки даного способу: надання неза-лежнш змiннiй х приросту А х; знаход-ження приросту залежно! змшно! А у;
• Ау
складання вiдношення —, яке виражае
Ах
середню швидюсть змiни функци; знаход-
л. Ау • •
ження Дщ —, яка е швидюстю змiни
Ах^0 Ах
функци заданого значення аргументу х.
Таблиця 2
Функщя Прир1ст аргументу Прнр1ст ФуНКЦ11 С ере дня швидюсть ЗМ1НИ функц11 Миттева швидистъ ЗМ1НИ функцН
1.Р=Р($ чнсельн1сть популяци в момент часу 1, [особин] Д1 ДР=Р(Н- Д0-Р(0 АР _ Р(г + Дг) - Р(г) Ы '^Шп17.^ швидюсть зростання ПОПуЛЯЦ11
2.С=С(1) концентрац1я речовини, яка вступила в зц^ М1чну реакццо в момент часу дс=с(ндо-с® АС ¿а Ан» швидюсть Х1М1ЧН01 реакци
З'ясування бiологiчного та хiмiчного змiсгу похiдноi дае можливiсть розглядати з учнями цiкавi прикладнi задачi в яких йдеться про природничi процеси та явища ,а також задачi з медичною тематикою. Серед них можна видiлити задачi в розв'язуванш яких похiдна вiдiграе першорядну роль та прикладнi задачi на застосування похiдноi з метою дослщження функци на монотоннiсть, екстремум, знаходження найбiльшого та найменшого значень функци тощо. Розглянемо декiлька таких задач.
Задача 1. При добавлены в бактерiальне середовище
антибактерiальний агент викликае зменшення популяци бактерiй. Знайдiть швидюсть змiни чисельностi популяци в моменет часу 1, якщо вiдомо, що через 1
хвилин пiсля добавления агента популящя
t
нараховуе р(1)=р 0 * 23 бактерiй.
Використовуючи бiологiчний змiст похщно!, учнi знаходять швидюсть змiни чисельностi популяци у момент часу 1:
1
1
Р(1)= -3Р0 *2 3 * 1п2= — 1п2 р(1)
Задача 2.При якiй кислотност сума пдроген-юшв Н + i гiдроксид-iонiв ОН- в одиницi об'ему води буде найменшою?
Розв'язуючи цю задачу слщ ввести позначення: х - концентращя пдроген-iонiв Н +, у - концеитрацiя пдроксид-юшв ОН- та пригадати закон: ху=к, де к -стала для води (при 250 С к=10 -14 ).
Задача зводиться до знаходження найменшого значення функци
u=x+y=x+k. Продиференщювавши фун-
x
k
кцш u(x)=x+— знаходять: x
u (x)= 1 —k—, u (x)=0 при x= +4k. x2
Оскшьки x>0 ,то функцiя мае едину
стащонарну точку на всш област
визначення. Знайшовши другу похвдну
v ) 2k .... . u (x)=—— та и значення в стацiонарнiй x
2
точщ u (4k )=—=->0 , на основ. достат-V k
ньо'1 умови юнування екстремума функци роблять висновок, що точка x= -Jk е точкою мшмуму. Завдяки едносп стащонарно! точки, функщя u(x) досягае в нш найменшого значення. За згаданим
законом y= 4k . Отже, сума юшв води буде найменшою, якщо концентраци юшв H + i OH-, будуть р.вш мж собою, тобто при нейтральнш реакци.
Зрозумшо, що розв'язання останньо'' задач. потребуе певних знань з курсу х1ми основно.' школи i тому ii краще пропону-вати у спещатзованих класах вщповщ-ного профшю.
Задача 3. Кшьюсть хворих p(t) пд час етдеми грипу змнювалась з часом t (ви-мрюеться у днях) вщ початку вакцинаци
200t
. Виз-
населення за законом p(t):
tz +100
начте час максимуму захворювання, штер-вали його зростання i спадання та побу-дуйте графш задано.' функци.
Ця задача на ввдмшу ввд попередшх не потребуе певних знань з сумжних предме-тв, але ii фабула викликае защкавленють майбутшх спещашспв медичноi галуз.
При вивченш .нтеграла та його засто-сувань в класах природничого профшю юнуе можлив.сть продовжити навчання учшв математичному моделюванню.
Розглянемо задачу яка приводить до поняття .нтеграл i розв'язуеться за тим же алгоритмом що i традицшна для шкшь-ного курсу алгебри i початюв аналзу
задача про визначення площ. криволшш-но'1 трапеци.
Задача 4. Виведпъ формулу для об-числення кшькосп речовини, яка вступила в х.мчну реакщю за промжок часу [ т1 ; Т2 ], швидюсть х.мчного перетворен-ня яко.' v=v(t).
Оскшьки v=v(t) неперервна i неввд'ем-на функщя на ввдр.зку [ т1; Т2 ], то для розв'язання задач. виконують таю кроки:
1) Розбиття ввдр.зка [т1 ;т2] на n р.вних частин точками
Т =t0<t 1 <t2<^<t k-1 <t k <•••< „-1 <t „ T
2) Знаходження довжини кожного з
в.др.зк.в [t k-1 ;t k] (k=1, n):
t k -t k-1 =(T2-T )/n= At;
3) Утворення добутюв v(t k-1) A t -прироспв юлькосп речовини, яка вступила в реакщю за промжок часу At;
4)Знаходження суми добутюв:
m „ =(v(t0)+v(t 1 )+v(t 2 )+..+v(t „-1)) At - наближене значення приросту юлькосп речовини, яка вступила в х.мчну реакщю;
5) m=limm п - прирст юлькост! ре-
човини ,яка вступила в х.мчну реакщю за промжок часу [ т1; т2 ].
Застосувавши поняття штеграла при-ходять до висновку: кшьюсть х.мчно'1 речовини m, яка вступила в х.мчну реакщю за промжок часу [ т1; т2 ] дор.внюе
(1)
J v(t )dt
За таким же алгоритмом одержують формулу (1) приросту P особин популяци за промжок часу [ Т1; Т2 ] ,але в цьому випад-ку v(t) - швидюсть зростання популяци.
На основ. одержаних вище загальних результат1в виникае можлив.сть конкре-тизувати прикладш задач. таким чином:
Задача 5. Швидюсть змши концентраци речовини ,що вступила в реакщю, виражаеться функщею v=3t+1, де t - час (в с), v - швидюсть (в моль/с * м3). Як змь
© Sokolenko L.
ниться концентрацiя речовини за час 1 =0 до 1;2=5 с?
Задача 6. Швидюсгь зростання попу-ляци пенiцилiнових грибюв при необме-женост ресурсiв живлення описуеться експоненцiальним законом у=аек. Знай-дiть прирiст чисельност популяцГi АР за промiжок часу Аt = I -10.
Обидвi задачi розв'язуються методом безпосереднього ^егрування. Оскiльки у(1)=С(0 ,то С(1) - концентрацiя речовини i первiсна для у(1), тому
5 3Г_2 5
2
зt
C(5)-(0)= J (3t +1) dt =(— + t) | 0=42.5
(моль/м3). Прирiст
чисельностi
популяци
L
AP = J aek
dt=—ek k
a
=—(ekt -ekt0)= k
=P(t)-P(to).
Розглянутi в данш статп деяю типи прикладных задач природничого 3MiCTy переконують у можливосп систематичного застосування методу математичного моделювання пiд час вивчення курсу алгебри i початюв аналiзy старшо! школи. Такий тдхщ до побудови курсу створюе умови для досягнення кожним учнем ,який навчаеться у профiльномy класi, практично! компетентности Розв'язуючи таю задачi, учш прийдуть до висновку, що побудова навт досить простих матема-тичних моделей потребуе володiння не тшьки вiдповiдним математичним апара-
том, а й знаннями з сyмiжних природ-ничих дисциплiн (зокрема хiмii, бюлоги).
Запропонованi щойно задачi не обме-жують всi типи прикладних задач природничого змюту, що сприяють навчанню yчнiв математичному моделюванню у профшьних класах. Iншi типи таких задач будуть розглянуп в наступних публжа-цiях.
¡.Прогреми для загалъноосвттх навчалъ-них закладгв, спецгалгзованих шюл, ггмназШ, лщегв природничого профшю. / БродсъкийЯ.С., Павлов О.Л., Слтенъко А.К., Афанасьева О.М. - Кигв: Навчалъна книга, 2003.
2.Математика: Програма для загалъно-освттх навчалъних заклад1в, 5-12 класи. -Кигв, 1ртнъ: Перун, 2005. - 64 с.
3.Соколенко Л. О. Прикладна спрямова-шстъ шктъного курсу алгебри i початшв ана-л1зу: Навч. поабник. - Чернтв: Оверянсъка думка, 2002. -¡28с.
4.СоколенкоЛ.О. Про необхiднiстъ ство-рення системи прикладних задач природни-чого характеру для профтъного навчання математики //Дидактика математики: пробле-ми i до^дження: Мiжнародний збiрник наукових робт. Вип. 24. - Донецък: ДонНУ, 2005. - С. 2¡8-222.
5.Велъскер К., Лепманн Л., Леппман Т. Математика. Учебник для ¡1 класса. -Таллин: Коолибри,1999. - 336с.
б.Чалий О.В., СтучинсъкаН.В., Меленев-съш А.В. Вища математика. Навч. поабн. для студ. мед. та фармац. навч. закладiв. - К. : Технка, 2001. - 204с.
0
0
Резюме. Соколенко Л.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ, ХИМИЧЕСКИХ, МЕДИЦИНСКИХ ПРОЦЕССОВ И ЯВЛЕНИЙ В КЛАССАХ ЕСТЕСТВЕННОГО ПРОФИЛЛЯ. Раскрыты возможности обучение учеников математическому моделированию в классах химико-биологического и экологического профилей. Представленны простейшие математические модели естественных процессов и явлений.
Summary. Sokolenko L. MATHEMATICAL MODELLING OF BIOLOGICAL, CHEMICAL, MEDICAL PROCESSES AND PHENOMENA FOR THE FORMS OF NATURAL TYPE OF STUDYING. The possibilities of students'training in mathematical modeling are discovered. The most simple natural processes and phenomena are presented.
Надшшла до редакци 15.02.2006р.
