CC BY
5ПРО НЕОБХ1ДН1СТЬ СТВОРЕННЯ СИСТЕМИ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ ПРИРОДНИЧОГО ХАРАКТЕРУ ДЛЯ ПРОФ1ЛЬНОГО НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
Л.О.Соколенко, кандидат педагог. наук, доцент, Чернтвський державний педумверситет ж. Т.Г.Шевченка
м. Черншв, УКРАША
Розкрита роль задач природничого характеру як засобу формування евристичног д1яльност1 учмв та студент1в. Поставлено певт проблеми з цього питання.
Сучасну науку характеризуе грунтов-не застосування математичних метсдав у рiзних галузях природознавства. 1стотно зросгае роль математики в розвитку бю-логл, екологи, ими, медицини, фармаци. Майбутнi спецiалiсги згаданих галузей повиннi одержати достатньо серйозну математичну пiдготовку, яка допоможе 1'м оволодгти фаховими дисциплiнами.
У час реформування системи освiти, коли вiтчизняна наука прагне вийти на свiтовий рiвень, навчання математики, як i шших предмегiв, повинно сприяти забез-печенню суспiльства спецiалiстами рiзного рiвня та профiлю. А це вимагае профшьно'1 диференщаци математично!' освiти, яка забезпечуеться в першу чергу прикладною спрямовашстю навчання математики.
Однiею з методичних вимог щодо реалiзацii прикладно'1 спрямованосп шкшь-ноi алгебри i початюв аналiзу е наповнення навчального процесу прикладними задачами, що задовольняють певнi специфiчнi ви-моги та утворюють систему, яка вщповщае ряду дидактичних вимог i забезпечуе орга-ичний зв'язок з теоретичним матерiалом [5].
Необхiднiсть у такш систем задач виникае не лише при вивченш курсу алгебри i початкiв аналiзу старшоi школи за програмою [3], а i при вивченш вузивсь-кого курсу вищоi математики для студентiв вищих хiмiчних, бiологiчних, фармацев-тичних та медичних закладiв освiти Ш-1У рiвнiв акредитаци [6].
Досвiд читання згаданих курав математики переконуе у необхiдносгi ство-рення системи прикладних задач природничого характеру як засобу формування евристично! даяльносп учнiв при профшь-ному навчаннi.
До системи прикладних задач при-родничого характеру повинш увiйти наступнi типи задач: 1) задач^ в основу сюжету яких покладенi загально-функцiональнi поняття, що вивчались в основнiй школi; 2) прикладш задачi, мате-матичнi моделi яких включають показни-кову, логарифмiчну, степеневу функци; 3) задачi в яких роль математично! моделi ввдграють показниковi та логарифмiчнi рiвняння i нерiвностi; 4) задачi, яю приво-дять до поняття похiдноi та задачi в розв'я-заннi яких це поняття ввдграе першорядну роль; 5) прикладш задач^ в яких похщна застосовуеться: до дослiдження на моно-тоннiсгь функци, яка ввдграе роль мате-матично! моделi, дано! задачу з метою дослiдження функци на екстремум; з метою знаходження найбiльшого i наймен-шого значень функци; пвд час дослiдження функци за загальною схемою, на основi якого будуеться ii графiк; до обчислення наближеного значення функци; 6) задач^ якi приводять до поняття первюно1', та задачi в розв'язуванш яких це поняття вiдiграе першорядну роль; 7) задачi яю приводять до поняття ^еграла; 8) задачi на застосування iнгеграла у природничих
© Sokolenko L.
rayrax; 9) ^ик^т зaдaчi пpиpoдничoгo змicтy, щo ^rao^i-b дo дифepeнцiaльниx piвнянь; lO) зaдaчi пpиpoдничoгo змicтy нa poзв'язyвaння дифepeнцiaльниx piвнянь; ll) зaдaчi з кoмбiнaтopики; l2) пpиклaднi зaдaчi, в якж йдеться пpo випaдкoвi годи !a ïx iмoвipнocтi; 1З) cтaтиcтичнi зaдaчi пpиpoдничoгo змicтy.
Пpиклaднi зaдaчi пpиpoдничoгo xapaктepy, як oдин з титв нaвчaльниx зaдaч, пoвиннi rapara тдготовщ дo вивчeння тeopeтичниx питaнь ^pcy. Тaкe пpизнaчeння мaють зaдaчi: a) яю пepeдyють вивчeнню нoвиx мaтeмaтичниx фaктiв; вoни cпpияють ^^empa^'í yвaги yчнiв нa iдeяx, пoняттяx, мeтoдax кypcy aлгeбpи i пoчaткiв aнaлiзy, щo 6удуть вивчaтиcя; б) яю зaбeзпeчyють мoтивaцiю нaвчaння пpи ввeдeннi нoвиx пoнять i мeтoдiв; в) яю cтвopюють пpoблeмy cитyaцiю з метою фopмyвaння в yчнiв гов^ знaнь.
Шкiльний кypc aлгeбpи i пoчaтюв aнaлiзy мicтить чиcлeннi мaтeмaтичнi го-няття, якi вiдpiзняютьcя вщ пoнять iншиx нayк виcoким piвнeм yзaгaльнeння i aбcтpaкцiï. В нaвчaннi цим пoняття, як i 6удь-яким шшим, yмoвнo видiляють чоти-pи ocнoвнi eтaпи [4] :
1) Пpoпeдeвтичний eтaп - пiдгoтoвкy дo фopмaлiзaцiï (aктyaлiзaцiя знaнь i моти-вaцiя ввeдeння пoняття) - ввeдeння.
2) Етaп poзкpиття змicтy гоняття i cтвopeння yявлeння пpo röra oбcяг, a тaкoж зacвoeння тepмiнoлoгiï i cимвoлiки -зacвoeння.
3) Етaп вiдпpaцювaння нaвичoк виш-p^n^ra пoняття пpи poзв'язyвaннi шй-пpocгiшиx зaдaч - зaкpiплeння.
4) Етaп включeння пoняггя в cиcгeмy змicгoвиx зв'язкiв з iншими пoнятгями -зacтocyвaння.
Ha пepшoмy eram нaвчaння пoнятгям кypcy, який включae мoтивaцiю, пepeвaгy вapтo нaдaвaти зaдaчaм ш дocлiджeння, вcтaнoвлeння зaкoнoмipнocгeй, a тaкoж зaдaчaм, яю вимaгaють нeшaблoннoгo, opигiнaльнoгo eвpиcтичнoгo миcлeння. Як пoкaзye дocвiд, нiщo тaк нe aктивiзye нaвчaльнo-mзнaвaльнy дiяльнicть yчнiв, як вдaлo chopera пpaктичнa, фaxoвa ^o6-лeмнa cитyaцiя. В ocнoвy cтвopeнoï пpoблe-ми мoжe бути пoклaдeнa пeвнa функщ-oнaльнa зaлeжнicть, нaпpиклaд лiнiйнa зaлeжнicть вeличини cиcтoлiчнoгo тиску вiд вeличини дiacтoлiчнoгo тиску, зaлeж-нicть eфeктивнocгi лiкapcькoгo пpeпapaтy вiд вмicтy ^p^^nx лiкapcькиx peчoвин pocлиннoгo пoxoджeння (у вiдcoткax), aбo зaлeжнicть кiлькocтi шпулям зaйцiв Nз вiд
кiлькocтi гопуляци вoвкiв Nu : N3 = -jk~
^e k - пapaмeтp, щo визнaчaeтьcя нa ocнoвi дaниx нaтypниx cпocтepeжeнь) [2]. Цe мoжyть бути тaкoж пpoблeмнi crnya^ï ^o зшну чиceльнocгi нapoдoнaceлeння, пpo пoдвoeння лiлiй у cтaвкy, зaдaчa ^o poзмнoжeння бaктepiй тa iншi, шжта з якиx пpивoдить дo гоняття пoкaзникoвoï функци.
Кoнкpeтизyeмo щoйнo c^aro нaвiв-ши пpиклaди пepшoгo !a дpyгoгo титв зaдaч cиcтeми.
Задача 1. У тaблицi вкaзaнi лiкapcью пpeпapaти, яю дoпoмaгaють пpи у, (у %) кiлькocтi xвopoб i гфи цьoмy вкaзaний вмicт ^pM^nx лiкapcькиx peчoвин pocлиннoгo пoxoджeння х, (у %).
Haзвa лiкapcькoгo пpeпapaтy 5 'й 'Í л н < Фyкapцин Бpoмгeкca н Уpoлecaн Iндoвaзин Дpoтaвepи н Цинapeзин e о o г В ip ™ i-е Ё Я 'С & Б 5 'й w
х, 2 4 5 7 в 1O 12 1З 14 15
у, 1O 14 15 2O 25 27 2В Зб З9 4O
Визнaчтe зaлeжнicть eфeктивнocгi лiкapcькoгo пpeпapaтy (кiлькocтi xвopoб у, у вiдcoткax, яю вилiкoвyютьcя цим ^e-пapaтoм) вiд вмicтy кopиcниx лiкapcькиx
peчoвин pocлиннoгo пoxoджeння х, ( у %). Який вiдcoтoк peчoвин pocлиннoгo пoxoд-жeння мae мicтити пpeпapaт, щoб röro eфeктивнicть бyлa 47%.
Po3B'a3aBmu 3agaHy MerogoM nifflM-hofo BupiBHroBaHHa mho^uhu tohok cTaTuc-tuhhoto pagy yHHi ogep^aTb 3ane«HicTb y = 2,26x+5,05, aKa nepeKOHye b TOMy, ^o e^eKTHBHicTb niKapcbKoro npenapaTy 3poc-Tae npu 36i.bmeHHi BMiciy b HbOMy KopHCHHx niKapcbKHx peHOBuH pocnuHHoro noxog^eHHa.
3adanu 2. y npo6ipKy noTpanuB oguH MiKpo6, aKHH Bigpa3y noHaB p03MH0^yBaTuca mnaxoM gineHHa HaBnin Hepe3 KO^Hy roguHy. CKinbKH MiKpo6iB 6yge y npo6ipL Hepe3 go6y? Hepe3 aKuM Hac y пpо6ipцi 6yge
MinbHOH MiKpo6iB.
Po3B'a3yroHH lto 3agaHy yHHi BH3HanaroTb, ^o Hepe3 x roguH y npo6ipL 6yge 2x2x2...x2=2x MiKpo6iB. Hepe3 go6y ix KinbKicTb craHOBHTHMe 224=16777216 MiKpo-6iB. A gna BignoBigi Ha gpyre 3anHTaHHa im Heo6xigH0 6yge p03B'a3aTu n0Ka3HHK0Be
piBHaHHa 2x=10 .
flaHa 3agana MO^e 6yru BuKopucraHa gna BBegeHHa noHaTb n0Ka3HuK0B0i ^yHKLii Ta n0Ka3HHK0B0r0 piBHaHHa npu po3rnagi цнx 3agaH BHmenb Mae 3anponoHyBaTu yHHaM npogyMaHy cucTeMy 3anHTaHb, ogep^aBmH BignoBigi Ha aKi yHHi npuMgyTb go " BigKpHTTa" H0B0r0 gna hhx MaTeMa-THHHoro noHaTTa. ycnimHe 3acT0cyBaHHa eBpHCTHHHoi 6ecigu npuBege go cnpHHHaTTa, ocMHcneHHa i 3anaM'aT0ByBaHHa noHaTTa yHHaMH.
fly^e kophchhmh Ha gpyroMy eTani HaBHaHHa MaTeMaTHHHHM noHaTTaM - eTani 3acB0eHHa e BnpaBH Ta 3agani Ha p03ni3Ha-BaHHa 06'eKTiB, aKi Hane^aTb go o6cary no-
HaTTa, BnpaBH Ha BugineHHa HacnigKiB 3 03HaneHHa noHaTTa, BnpaBH Ha no6ygoBy 06'eKTiB, aKi 3ag0B0nbHaroTb 3a3HaneHi Bnac-THBocTi [4].
npuKnagoM TaKux 3agaH MO^yTb cTaTH npuKnagHi 3agani, b aKHx MgeTbca npo Bunag-KOBi nogii Ta ix iM0BipH0cTi. P03rnaHeM0 geaKi 3 hux.
3adana 3. BcTaHOBneHO, ^o Ha KO^Hy Tucany HOBOHapog^eHux npunagae cepeg-HbOMy 515 xnonnuKiB i 485 giBHaTOK. B geaKiH ciM'i 6 giTeM. 3HaMTu iMOBipHicTb Toro, ^o cepeg hux gBi giBHuHKu.
3adana 4. BcraHOBneHO, ^o bobk, aKuM oguH Hanagae Ha noca gocarae ycnixy b 8 % BunagKiB. ^Ka iMOBipHicTb Toro, ^o b n'am BunagKax ycnimHuMu 6ygyTb gBi cnpo6u?
Po3B'a3yroHu цi 3agaHi yHHi MaroTb giHTu go BucHOBKy, ^o b KO^HiM 3 hux
MgeTbca npo B3aeMH0 He3ane^Hi Bunpo6y-BaHHa i TOMy gna BignoBigi Ha nuTaHHa cnig BuKopucTaTu ^opMyny EepHynni:
Pn (k) = Cknpkqn~k.
B nepmiM 3agaHi yHHi Bu3HaHaTb iMOBipHicTb Toro, ^o cepeg 6 giTeM gBi giBHuHKu:
P6(2) = C62 • 0,4852 • 0,5154 - 0,247. A y gpyriM - iMOBipHicTb Toro ^o b 5 BunagKax gBi cnpo6u 6ygyTb ycnimHuMu: P5 (2) = C52 • 0,082 • 0,923 - 0,049 .
Ha TpeTbOMy eTani - eTani 3aKpinneHHa noHaTTa 06'eKTOM BuBHeHHa noBuHHa cTaTu KO^Ha cyTTeBa BnacTuBicTb, ^o BuKopucTO-ByeTbca b 03HaHeHHi. BuginaroTb Tpu ocHOBHi Bugu BnpaB, a caMe BnpaBu Ha po3ni3HaBaHHa 06'eKTiB, BnpaBu Ha BuBegeHHa HacnigKiB i3 Hane^HocTi 06'eKTa noHaTTro Ta BnpaBu Ha gonoBHeHHa yMOB (po3ni3HaBaHHa i BugineH-Ha HacnigKiB), aKi 3a6e3neHyroTb BuKOHaHHa gaHoi BuMoru [4].
npu po3B'a3yBaHHi BnpaB Ta 3agaH Ha p03ni3HaBaHHa 06'eKiiB gy^e n0Tpi6Hi yMiH-Ha aHani3yBaTu, nopiBHroBaTu, 3icTaBnaTu i npoTucTaBnaTu. nepeK0HaeM0cb b цbомy p03rnaHyBmu TaKy 3agaHy.
3abana 5. 3a оцiнкоro nicHuKa, 3anac gepeBuHu Ha ogHiM ginaH^ nicy cKnagae 10000 Ky6oMeTpiB. Hepe3 cKinbKu poKiB Ha цiн ginaHL(i 6yge 12800 Ky6oMeTpiB gepeBu-hu 3a yMOBu, ^o cepegHiM piHHuM npupicT cKnagae 2,5%.
Po3B'a3yroHu lto 3agaHy yHHi MaroTb ycBigoMuTu, ^o b HiM igeTbca npo 3HaHeHHa BenunuHu, aKa 3MiHroeTbca 3a 3aK0H0M
P n
cKnagHux BigcoTKiB y = C(1 +--)n, ge C -
100
n0HaTK0Be 3HaHeHHa BenunuHu, p - BigcoTKu, n - Hucno npoMi^KiB Hacy, y - 3HaHeHHa BenunuHu nicna n npoMi^KiB Hacy. Buko-pucTaBmu lto $opMyny yHHi ogep^aTb
2 5
piBHaHHa 12800 = 10000(1 + —)n, aKOMy
100
piBHocunbHe n0Ka3HuK0Be piBHaHHa 1,025n = 1,28, ^o po3B'a3yeTbca MerogoM norapu^MyBaHHa.
npaBunbHe po3ni3HaBaHHa MaTeMaTuH-hux MogeneM gaHoi npuKnagHoi 3agaHi, a caMe ^opMynu cKnagHux BigcoTKiB Ta n0Ka3-HuKOBoro piBHaHHa i Moro cnoco6y p03B'a3y-BaHHa, aK HacnigKy i3 Hane^HocTi 06'eKTa go noHaTTa, garoTb MO^nuBicTb ogep^aTu npaBunbHy BignoBigb 3agaHi.
© 8око1епко Ь.
Серед задач на виведення наслiдкiв належгосп об'екта поняттю слiд видiлити серiю задач природничого змiсту на визначення швидкост хiмiчноi реакци та швидкост зростання популяци, як1 в перекладi на математичну мову е задачами на знаходження пох1дно1 функци. Сформу-люемо 1х.
Задача 6. Розкладання деяко'1' х1м1ч-ноi речовини вiдбуваеться за законом т^) = т0е-кк, де - маса речовини, в грамах, в монет часу ^ в секундах; т00 -початкова маса; к - деяка стала. Знайти швидк1сть розкладу в момент t=8 с.
Задача 7. К1льк1сть бактерiй N в деякiй бюмаа зм1нюеться за законом N(V) = 500 + 54t + 2t2. Ск1льки бактерш було в бiомасi на початку? Яка швидк1сть росту при V = 4 хвилини?
Останнiй етап - використання понят-тя в конкретних ситуацiях ставить за мету формувати в учнiв усвiдомлене розумшня ролi дослiджуваного поняття у всш системi математичних знань.
Розглянемо цей етап на приклада задачi з теми "Похщна та 11 застосування".
Задача 8. У краiнi Меланхоли виник-ла епiдемiя депреси, яка розповсюджуеться так, що вiдсоток р захворiвших залежить вiд часу I (в добах) наступним чином р = 0,005(Ш2 - V3) де 0 < I < 12.
1) Скiльки вщсотюв мешканцiв захворiе до к1нця друго! доби?
2) Скiльки дiб вщсоток захворiвши буде збiльшуватись?
3) Починаючи з яко! доби епiдемiя почне спадати?
4) На який день вщсоток захворю-ваностi досягне максимуму?
Дана прикладна задача е задачею на застосування пох1дно1 до дослщження функци, яка вiдiграе роль й математичноi моделi, на монотоннiсть та екстремум. Ё розв'язування вимагае володшня учнями достатнiми умовами зростання та спадання функци та достатньою умовою юнування екстремуму функци в точцт
Вiдповiдь на перше питания одержу-еться дуже легко, а саме знаходиться значення функид рф при г=2, яке дорiвиюе 0,2%.
Для вщповвд на наступнi запитання учш знайдуть пох1дну функци р'(V) = 0,005(24t - 3t2), стацiонарнi точки t=0 та t=8. Оск1льки час >0, то м1ж юнцями
вiдрiзка [0; 12] iснуе едина стащонарна точка t=8. При переходi через цю точку похiдна змiнюе знак з плюса на м1нус, а отже функцiя в нш мае максимум i завдяки едност стацiонарноi точки, досягае в цш точцi найбiльшого значення.
Тому першi 8 дiб епiдемiя буде зростати, починаючи з 9-1 доби почне спадати, а вщсоток захворiвших досягне максимуму на 8-му добу.
Не менш корисними на етат застосування понять е задачi як1 встановлюють зв'язок мiж рiзними поняттями курсу.
Розглянемо приклади таких задач.
Задача 9. Популящя комах, початкова чисельшсть яко! дорiвнюе 1000 зм1ню-
„„ . 9000 еться зi швидк1стю Ж ц) =-- комах в
. (1 + ^ . день. Знайдiть закон змши чисельностi Р популяци комах в залежносп в1д t, час виражено у днях.
При розв'язуваннi сформульованоi задачi встановлюеться зв язок м1ж поняттями похщна та первюна. Оскшьки швид-к1сть зм1ни популяци Ж ^) = Р'() , де Р(0 - чисельнiсть популяци, то функщя Р(0 е первюною для функци Ж(0. За основною властив1стю первiсноi учн1 одержать
) = - 9000 + с. Оскшьки Р(0) = 1000, 1 +1
то 1000=-9000+С. Отже, С=10000 i чисельнiсть популяци зм!нюеться за
законом Р^)
9000 1 + г
+10000.
Розглянемо задачу природничого зм1ст, що приводить до диференщального р!вняння.
Задача 10. швидк1сть розпаду рад!я пропорцiйна його кшькосп у даний момент часу. Знайти закон радюактивного розпаду, якщо в1домо, що через 1600 роюв зали-шиться половина вщ тiеi кшькосп радiя, то яка була на початку.
Позначивши через К({) - к1льк1сть рад!я в момент часу t 1 пригадавши, що швидк1сть його розпаду е похщною в1д кшькосп Я'^(t), учн1 одержать диферен-ц1альне р1вняння показникового спадання Я ^) = -кЩ), де к>0, яке е математичною моделлю даноi задачт
Оск1льки Я(t) > 0, то подшивши обидв1 частини одержаного р1вняння на
R(t) д^ануть
R'(t)
—k, що рiвносильно
R(t)
рiвнянню (ln R(t))' = —k . Звiдси ln R(t) = —kt + C1, де C1 - деяка стала, яку для зручносп слiд позначити ln C. Пхсля певних тотожшх перетворень на основi властивостей логарифмiв буде одержаний загальний розвязок R(t) = Ce ~kt.
Щоб з цiеi множини функцш видали-ти ту, яка описуе процес радюактивного розпаду радiя слщ використати початковi
умови: R(0) = R0, R(1600) = -2 R0. Ско-
риставшись першою рiвнiсгю учнi одержать, що C=Ro, а врахувавши другу умову
визначать значення e ~k . 1 r = r e ~1600 k.
2 0 0
1 J_
Звiдси e k = (^)1600. Отже, закон радаак-
тивного розпаду матиме вигляд
t
R(t) = R0 • 0,51600.
Розглянута щойно задача вiдноситься до задач пщвищеного рiвня складносп, ii розвязування вимагае вщ учнiв володiння численними математичними поняттями, а саме поняттям похщно'1, первiсноi, логарифма, степеня, загального та окремого розв'язюв диференщального рiвня.
Розгляд задач прикладного характеру (про радiоактивний розпад, про розчинення солi, про вливання глюкози в кровоносну систему, про теорш епiдемiй та iн.) математичними моделями яких е диферен-цiальнi рiвняння, полегшуе оволодiння
учнями методами розв язування певних типiв рiвнянь [1].
Серед вах згаданих задач бшьшють -евристичнi, розв язування яких вимагае вмшня аналiзувати структуру задачi, стввщносити дану задачу з вiдомими задачами, знаходити приховаш зв'язки мiж даними i невiдомими елементами, аналiзу-вати ппотези щодо можливого розв язу-вання задачi, логичного опрацьовувати знайдене розвязання задачi.
Навички та вмшня яю одержать учнi, розв'язуючи цi задачу допоможуть 1'м при засвоеннi вузiвського курсу вищо!' математики.
1. Гросс ман С., ТернерДж. Математика для биологов: Пер. с анг. - М. : Высш. школа, 1983. - 383 с.
2. Лаврик В.1. Методы математичного моделювання в екологИ. - Кигв: Фтосоцюцентр, 1998. -132 с.
3. Програми для загальноосвтшх нав-чальних закладв, спецгалгзованих шкл, гшнстй, лцегв природничого профтю./ БродськийЯ.С., Павлов О.Л., Сл1пенько А.К., Афанасьева О.М. -Кигв: Навчальна книга, 2003.
4. Скафа О.1. Методичн складов1 етатв формування понять у евристичному навчанш математики // Математика в школ1. - 2004. -№1. - С. 2-6.
5. Соколенко Л. О. Прикладна спрямо-вашсть шмльного курсу алгебри i початмв анал1зу: Навч. поабник. - ЧернШв: Оверянська думка, 2002. -128 с.
6. Соколенко О.1., СоколенкоЛ.О. Особ-ливостг викладання вищог математики на природничих факультетах вищих навчальних заклад1в. // Вжник ЧернШвського державного педагоггчного ушверситету. Вип. 19. Сер1я: Педагоггчн науки. - ЧернШв, 2003. - С. 85-87.
Резюме. Соколенко Л. О НЕОБХОДИМОСТИ СОЗДАНИЯ СИСТЕМЫ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ЕСТЕСТВЕННОГО ХАРАКТЕРА ДЛЯ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ. Розкрыта роль задач естественного характера как средства формирования эвристической деятельности учеников и студентов. Поставлены определенные проблемы по этому вопросу.
Summary. Sokolenko L. ON THE NECESSITY OF CREATING OF A SYSTEM OF APPLIED SCIENCES PROBLEMS FOR THE PROFILE TEACHING OF MATHEMATICS. The
role of natural applied problems as means for the formation of the pupils' and students' research activity is discovered. Some concrete tasks on this question are set.
Надшшла доредакцп 28.10.2005р.
