CC BY
73СИСТЕМА ЗАДАЧ З ПОЧАТК1В ТЕОРП ЙМОВ1РНОСТЕЙ ТА ВСТУПУ ДО СТАТИСТИКИ I МЕТОДИКА IX РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
О.В. Трунова, ст. викладач,
Чернтвський держшститут економжи i управлтня,
м. Чернтв, УКРА1НА
Розглянуто основы! принципи побудови системи задач з початюв теорп ймов!рностей та вступу до статистики в лщеях г класах з поглибленим вивченням математики.
При вивченш початюв теори ймовiр-ностей i вступу до статистики, як i при вивченш будь-яко'1 змютово1 лши алгебри i початюв аналiзу, найбiльшi труднощi викликае використання теори для розв'я-зування практичних i прикладних задач.
При розробщ методики формування iмовiрнiсно-статистичного мислення учшв у процесi розв'язування задач з елеменпв стохастики необхiдно вказати, що однiею з основних проблем при цьому е добiр до кожноГ теми вiдповiдних видiв задач, яю найбiльш доречнi з точки зору формуван-ня стохастичного мислення, формування вiдповiдних умшь i, разом з тим, доступних учням [8].
Цш проблемi присвяченi роботи багатьох науковщв (М.1.Жалдак, В.С.Лю-тiкас, Г.О.Михалш, А.Плоцю, З.1.Слепкань та iн.). Незважаючи на це вона потребуе подальшо'' розробки. Тобто постае проблема створення системи задач з початюв теорп ймовiрностей та вступу до статистики, яка б вщповщала сучасним вимо-гам до навчання. Мета системи - озна-йомити учшв з елементами математич-ного моделювання реальних стохастич-них сташв або процеав тд час розв'я-зування задач, сприяти формуванню вмшь i навичок у застосуванш вiдомих iмовiрнiсно-статистичних методiв у рiз-них галузях природознавства, економь ки, технiки. Система задач повинна да-вати приклади отримання одного й того ж результату рiзними шляхами й спону-
кати учня до подiбних самостiйних дiй, до самостшного розв'язування прикладних задач, розвитку стохастичного мислення, розвитку гнучкосп i критичностi мислення.
На пiдставi аналiзу вщповщно1 пси-холого-педагопчно'' й методично'' лiте-ратури, з урахуванням особливостей навчання елемешив стохастики в умовах профшьно1 й рiвневоi диференщацп, а також особистого досвщу роботи в лще-ях i класах з поглибленим вивченням математики, нами були видiленi таю принципи, зпдно з якими здшснювався добiр задач до системи.
Змют кожного iз принципiв полягае в наступному.
1. Принцип доступность Новий ма-терiал буде опанований учнями краще й швидше, якщо вдасться знайти зв'язки або аналоги з уже вщомим матерiалом, який може служити пщгрунтям для нового. У цьому випадку учш можуть засвою-вати новi вiдомостi з певною часткою самостiйностi, що приводить до бшьш мiцного й свiдомого оволодiння новим матерiалом. Поняття i термiни задач по-виннi бути вiдомi або штуггивно зрозу-мiлi учням. Задачi повиннi мати реальнi числовi даш, що не ведуть до громiздких обчислень.
2. Принцип диференщащ1 навчання. Добiр задач повинен базуватися на двовимiрнiй моделi диференшаци навчання, основними вимiрами яког е навчальний
матерiал i рiвень вимог до опанування цим навчальним матерiалом.
Необхiдно прагнути навчити й "слаб-ких" й "сильних" учтв, не створюючи непереборних труднощiв першим i не даючи нудьгувати й розслаблюватися iншим. Варто пiдвищувати рiвень матема-тичного й загального розвитку учтв, допомагати розкриттю 'хшх здiбностей. Також необхiдно враховувати, що рiзним дiтям потрiбен рiзний час для засвоення того самого матерiалу в силу 'хшх вдивь дуальних особливостей. При доборi нав-чального матерiалу для профiльних класiв ми користувалися: критерiем науковоi й практичноi значимости та критерiем вщпо-вiдностi змюту профiлю навчання.
У математичних класах, де бшьшють задач розв'язуеться учнями самостiйно, матерiал задач може бути побудований з погляду доказовосп, строгосп й склад-ностi викладу на високому рiвнi. Увага буде придшена i прикладним задачам з рiзних галузей.
У класах природничого, техтчного, економгчного профшв, вгйськових лще-ях одна iз цшей - навчити учнiв правильно ставити та розв'язувати задач^ пов'язаш з реальною ситуацiею, тобто навчити застосовувати процес матема-тичного моделювання. У класах зазначе-них профшв акцентуеться увага на розв'я-зуваннi задач прикладного характеру.
Для клаав техтчного та економгчного профшв найбшьш вiдповiдними навчаль-ними завданнями е тi, у яких поняття iмовiрностi повинне вводитися в нероз-ривному зв'язку з 11 використанням у вщ-повiдних галузях. Уже пiдхiд до елемен-тiв стохастики повинен бути пов'язаний з прикладним змютом. Необхщна велика кшьюсть задач на мiжпредметнi зв'язки й використання обчислювально1 техшки. У сучасних пiдручниках i поабниках майже немае задач на геометрично заданi ймо-вiрностi, що впливають на розвиток кон-структорських навичок. Важливi за ступе-нем професшно! значимостi задачi на зас-тосування похщно! при вивченнi число-
вих характеристик неперервних випадко-вих величин.
3. Принцип однотипность Для фор-мування мщних навичок та умiнь, ви-роблення мiцних i стiйких асощащй необ-хiднi однотипнi задачi в розумнш к1ль-костi. Як показуе досвщ, ефективнiсть навчання елементiв стохастики ютотно пiдвищуеться, якщо в процеа навчання розглядаються базовi задачi, тобто таю за-дачi, спираючись на яю можна розв'язувати багато шших задач. При розв'язу-ванш базових задач використовуеться алгоритмiчний тдхщ.
Вiдзначимо, що принцип подання матерiалу, при якому у якостi прикладiв використаються базовi задачi, лежить в основi дiючих пiдручникiв [1,2]. Однак й у цьому випадку треба проявити помiр-нють, розумнiсть У психологи встановле-но, що виконання однотипних завдань приводить до ряду негативних явищ: учнi починають розв'язувати задачi шаблонно, за аналогiею з попередшми, не аналiзую-чи умови дано'].' задач^ опускаючи при цьому окремi iстотнi мiркування. Треба вщзначити, що послiдовнiсть мiркувань, що повторюються при розв'язуваннi задач, може згортатися до асощацп, що надал^ якщо буде потреба, повинна легко розгорнутися в первинний ланцюг мiрку-вань. Згортання мiркувань - природний процес, однак не у вах учтв зворотний процес - розгортання - проходить без втрат яких-небудь ютотних елементiв мiркувань, саме тому до системи задач включеш рiзнi за змютом задачi, розв'я-зування яких зводиться до побудови од-нiеi i тiеi ж моделi .
4. Принцип р1зномаштност1. Одно-типш задачi, незважаючи на важливiсть, приводять до зниження штересу, уваги, активность Для нейтралiзацii негативних наслщюв однотипностi, треба одно-часно використати й iншi вимоги, од-шею iз яких е наявнiсть в достатнш кiлькостi задач, рiзноманiтних за формою й змютом, а також i за способом розв'язування, юнуе можливiсть розв'я-зування деяких задач рiзними способа-
ми. Важливе систематичне використан-ня "провокуючих" вправ, яю сприяють розвитку уваги й самостiйностi, пщви-щенню точностi. Досить цiнною в методичному вщношенш групою задач е тi, якi е результатом розвинення якоюь од-ше'1' задача
Навчання школярiв розв'язування iмовiрнiсних задач, як правило, здш-снюеться при розв'язуванш тих з них, яю сформульованi вчителем, узятi з пщ-ручника або з навчального поабника, з шшо'1' лiтератури. Однак ютотну роль при цьому вiдiграе дiяльнiсть учнiв що до ix складання. Справа в тому, що складання задач часто вимагае вщ учшв тако'1' розумово'1' роботи, що не мала мюця при розв'язуваннi "готових" задач. Складання задач можна розглядати як творчу дiяльнiсть учшв, вкрай важли-ву для 1'хнього розвитку.
Один з аспектiв дiяльностi стосовно складання задач - це складання й роз-в' язування задач, породжених даною задачею, або, шакше кажучи, складання й розв'язування задач, в яких розвиваеть-ся тема дано'1' задачi.
Складання й розв'язування задач, породжених даною, - це творча дiяль-нiсть учшв. Мюце ще'1" дiяльностi не обмежуеться часом, рiвнем пiдготовки, але особливу увагу ш потрiбно придши-ти на стади завершального, узагальню-ючого навчання початкiв теори ймовiр-ностей i вступу до статистики. Напевно не варто вводити системи спешальних уроюв або позакласних занять для цих цiлей. Краще систематично, час вщ часу, звертатися до складання задач, спорщнених данiй, при вивченш рiзниx тем у класах рiзниx рiвнiв i профiлiв.
Зупинимося ще на такому видi задач, як задачi на доведення. Такого роду вправи в кура початюв теори ймовiр-ностей i вступу до статистики вважа-ються одними iз найскладшших, та й теоретична база для розв'язування таких задач iнодi дшсно виявляеться не-достатньою. Для клаав з поглибленим
вивченням математики необхщно пщь брати такого роду задача
5. Принцип повторення та послщов-ного зростання труднощ1в. Включення задач на вивченi ранiше теми дозволяе не тшьки актуалiзувати знання, набутi у ми-нулому, не тшьки шдкреслити особли-востi дослщжуваного матерiалу, але й по-казати його зв'язок з рашше вивченими темами, допомагае тдтримувати увагу учшв на високому рiвнi, сприяе нейтраль зацii негативних наслiдкiв принципу од-нотипностi. Ще один клас задач, яю допо-магають зробити роботу рiзноманiтнiшою й зацiкавити учнiв рiзних рiвнiв - це зада-чi на описову статистику. Ц^ вправи корисш й для учнiв iз не досить високим рiвнем математично1 пiдготовки i для школярiв, що цшавляться математикою, тому що щ задачi змушують уявити ту модель, якою описуеться той чи шший процес. Учитель сам повинен визначити мiру пiдказки учневi й частку допомоги при визначенш моделi. Варто поступово ускладнювати навчальнi задачi з метою забезпечення усвiдомленостi при розв'язуванш, збереження iнтересу й уваги, дотримання принципу доступностi. Разом з тим розв'язуваш задачi повиннi вести учня до бiльш високого рiвня оволодiння матерiалом, сприяти розвитку його розу-мових i математичних здiбностей. Свое мiсце повиннi посiдати при цьому нестандарта^ дослiдницькi й цiкавi задачi.
6. Принцип прикладной' спрямова-ност1 та м1жпредметних 1 м1жнауко-вих зв'язк1в. Задачi, пов'язаш з практикою, допомагають формувати в школя-рiв умiння застосовувати отримаш знання в житп. Вони пiдвищують iнтерес до дослщжуваного предмета й усвщомлене його вивчення, розвивають математичне мислення й практичну км^ливють. Крiм того розгляд таких задач дае можливють ознайомити учшв з поняттям матема-тично1 моделi й роллю математичного моделювання в рiзних науках й на практиш.
При розв'язаннi задач прикладного характеру учш одержують уявлення про
®
необхiднiсть i ушверсальшсть математики та и методiв. Задачею прикладного характеру називають ту, що виникла поза математичною ситуащею i розв'я-зування яко'1 вщбуваеться в три етапи: формалiзацiя (побудова математичноi моделi), розв'язування внутршньомоде-льно'1 математичноi задачi й штерпре-тащя одержаного результату [10].
Цiннiсть iмовiрнiсних задач визна-чаеться не стшьки тим апаратом, який ви-користовуеться при 1х розв'язуваннi, сюльки можливютю продемонструвати процес використання математики для розв'язування життевих задач [10]. Ц задачi повиннi знайомити учтв з реальним ви-користанням стохастики, й iдей i методiв.
Реальш задачi прикладного змiсту в шюльному курсi математики зус^чають-ся не часто, осюльки етап формалiзацii потребуе великих знань i математичноi культури. Реальнi прикладнi задачi досить складш i розрахованi саме на учтв шюл (класiв) з поглибленим вивченням математики. У методицi для спрощення реальноi ситуаци зменшують кшьюсть змшних, вводять додатковi припущення i так далi. У розробленому нами поабнику здiйснено добiр задач прикладного характеру для кожно! теми шюльного курсу стохастики.
Розширення кола прикладних задач при вивченнi стохастики позитивно впли-вае на ставлення учтв до математики тому, що розв'язування цих задач:
• тдвищуе мотиващю навчання;
• виховуе потребу в розширенш математичних знань;
• пiдводить до „математичного вщкриття";
• сприяе рацiональному вибору адекватного математичного апарату для розв'язування позаматематичних задач.
Якщо проблема взята з реального життя, а не з задачника, пвдручника, нав-чального посiбника, то найважчим i най-складнiшим е сформулювати ввдповвдну задачу математичною мовою. При доборi прикладних задач необхiдно вимагати, щоб поняття i термiни, якi використову-ються у формулюваннi задачi, не потре-
бували спецiальних громiздких пояснень. Досвщ проведення експерименту тдтвер-див, що в прикладних задачах з елеменпв стохастики найбшьшу складнiсть при розв'язуванш викликае процедура форма-лiзацii, створення математичноi моделi. Основною причиною е вщсутшсть унiвер-сальних алгортмв формалiзацii реальних проблем. Тiльки завдяки практичнiй дiяль-ност^ можна здобути навички розв'язуван-ня таких задач.
Починати розв'язування 6удь-яко1 за-дачi необхiдно iз з'ясування, чи всi необ-хiднi дат наявт, як1 саме з даних необ-хiднi, а як1 непотрiбнi для розв'язання. Необхiдно проаналiзувати властивосп описаного реального об'екту, зiставити 1х з означеннями i властивостями абстракт-них математичних об'ектiв. Спробувати створити математичну модель, що ба-зуеться на словесному опиа, яка вщобра-жае найбiльш важливi сторони.
У багатьох задачах знаходження ймо-вiрностi не е к1нцевою метою розв'язування. Бшьш важливо навчитися створю-вати iмовiрнiсну модель задачi, яка сфор-мульована технiчною, i навт побутовою мовою.
Прикладнi задачi демонструють прак-тичне застосування iмовiрнiсно-статистич-них iдей i методiв, та шюструють матерiал сумiжних предметiв, рiзних галузей життя, вiдповiдають рiзним профiлям навчання.
Ьлюстращя мiжпредметних i мiжнау-кових зв'язк1в при розв'язаннi задач на уроках математики сприяе бшьш мщному засвоенню шюльного курсу математики, розкривае його практичну й наукову зна-чимють, розширюе кругозiр школярiв, тдвищуе 1хню активнiсть i зацiкавленiсть у навчант, певною мiрою допомагае у виборi майбутньоi професii, сприяють мiжпредметному узагальненню набутих знань i вмшь.
7. Принцип експериментально-досл1дницький. Вш пов'язаний з про-веденням експерименпв i статистичних дослiджень, з встановленням статистичних закономiрностей, перш за все, шляхом стохастичного експерименту.
AHa.i3 cniBBigHomeHb Mi« iMOBipmc-Horo Moge..ro Ta ii eMnipuHHHM npoToTH-noM noBHHeH craTH o6ob'.h3kobhm aTpu6yTOM po3B'^3yBaHHa 6araTbox 3agan 3 croxacTHKH b mmm. KpiM cniBBigHo-meHHa Tuny „Hacrora ^ HMoBipHicTb", Heo6xigHO mupoKo BucBiT.flTH TaKi Tunu: „cepegHe apu^MeTHHHe ^ MaTeMaTHHHe cnogiBaHHfl", „.mm HaKonuneHHA nacTOT ^ rpa^iK ^yHK^'i po3nogmy", „ricTorpa-Ma ^ rpa^iK ^i^bHocTi po3nogmy", „Koe^mieHT Kope.^ii ^ TeopeTHHHHH Koe^mieHT Kope.^ii". BKa3aHi cniB-BigHomeHHa po3raagaroTb npu po3B'^3y-BaHHi 6araTbox TuniB 3agan. npu pea.i3a-uii gaHoro npннцнny 6yge go^.bHHM BHKopHcraHHfl KoMn'roTepa.
HaBegeMo npuK.ag pea.i3a^i цнx npннцнmв npu po3B'.H3yBaHm 3agan 3 TeMH „HMoBipHocreM cyMH i go6yTKy nogiM". 3ayBa«HMo, ^o no3HaHKH 0, , BignoBigaroTb cepegHboMy, gocTaTHboMy i BHcoKoMy piBHHM.
AHani3 i po3B'^3yBaHHa 3agan go^.bHo npoBogrnu 3a npaemoM-opienmupoM:
1. YcBigoMHTH, b HoMy no.arae po3r.flHyre b 3agani Bunpo6yBaHHH.
2. no3HaHHTH 6yKBaMH nogii, po3r.a-HyTi b yMoBi 3agani.
3. 3a gonoMororo BBegeHux no3Ha-neHb BHpa3HTH nogiro, HMoBipHicTb no^BH aKoi Heo6xigHo 3HaHTH.
4. ^k^o Heo6xigHo 3HaHTH HMoBip-HicTb cyMH nogiH, 3'acyBaTH cyMicHi hh HecyMicHi po3r.flHyri nogii. ^k^o Heo6xigHo 3HaHTH HMoBipHicTb go6yTKy nogii, 3'acyBaTH 3a.e«Hi hh He3a.e«Hi po3r.flHyri nogii.
5. Bu6paTH BignoBigHy yMoBi 3agani ^opMy.y i BHKoHaTH Heo6xigHi o6nuc.eHHH.
HMoBipHicTb cyMH nogiH
Hh BigoMo, ^o nogii HecyMicHi?
- TaK:
• gBox nogrn:
P(A + B ) = P(A)+ P(B)
• Tpbox nogrn:
P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C)
• n nogiH:
P(Ai + A2 +.. + An ) = P(Ai) + P() +... + P()
3a aKcioMoro (B.acrHBicrro agHTHBHocri 2p) [4]
- Hi:
• gBox nogiM:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
• Tpbox nogrn:
P (A + B + C ) = P (A) + P (B) + P (C )-
- P (AB)-P (AC)-P (BC) + P (ABC) n nogrn:
P(Ai + A2 +.. + An) = ¿P(A,)- X P(AA) +
i=1 1</< j <n
+ X P (AAA)-... + (-l)n-1 P(AiA2...An)
1<i< j< k<n
HMoBipHicTb go6yTKy nogiH hh BigoMo, ^o nogii He3a.e«Hi?
- TaK:
• gBox nogiM: P(AB) = P(A)• P(B)
• Tpbox nogin:
P(A1 A2 A3 ) = P(A1 )-P(A2 ).P(()
• n nogin:
P(( A2.A ) = P(( )-P(A2)... • P(An)
- Hi.:
• gBox nogrn:
P(AB) = P(A)■ P(B/A) = P(B) P(A/B)
• Tpbox nogrn:
p(4 a2 a3) = p((1) P(AJ A1 YpM A A2)
• n nogin
P (A1A2... An ) = P (A1 )P (AJ A )
•P (AJ A A2)... • P (A/A A2... An-1).
npHK^ag 10. Y цexy npaцroroтb 7 ho.o-BiKiB i 3 «iHKH. 3a Ta6e.bHHMH HoMepaMH HaBMaHHH Bu6uparoTb Tpbox oci6. 3HaHTH HMoBipHicTb Toro, ^o Bigi6paHi 6ygyTb Bci Ho.oBiKH.
Po.36 'H3yeaHHH.
1 cnoci6.
nogrn A - Bigi6paHi 6ygyTb Bci ho.o-BiKH. 3 10 po6iTHHKiB, ^o npaцroroтb y цexy, rpyny 3 3 po6iTHHKiB Mo«Ha cK.acTH C130
cnoco6aMH. TaKHM hhhom, 3ara.bHa Ki.b-KicTb pe3y.bTaTiB eKcnepuMeHTy 6yge gopiBHroBaTH CNN = C10.
nogii A cnpuaroTb cTi.bKH pe3y.b-TaTiB eKcnepuMeHTy, cKi.bKoMa cnoco6a-
ми 7 чоловшв можуть утворити трiйки без участ в них жшок. Тому будь-яка сприятлива тршка може бути утворена С7 способами.
Таким чином, вважаючи ус резуль-тати експерименту рiвно можливими,
С 3
7
дiстанемо: Р(А) = = — - 0,29.
С1о 24 '
Узагальнюючи цю задачу, можна замшити число 7 на М, число 3 - на п, а шшу тршку - на т. Тодi можна скористатися таблицею 2.2 А розв'язок узагальненоi задачi мае вигляд:
Таблиця 1
Всього Вибрали
К=М+т= Робiтникiв п=3
10
М=7 Ж1нок т=3
К-М=т= 3 Чоловiкiв п-т=0
т г^п-т
Р(А) = См 'С-м , а саме
п
Сы
Г3 го
Р(А)= С 'С
С3
^10
: - - 0,29 .
24
2 споаб.
Нехай подiя А з першого способу, а поди Аг - г-м ввдбраний чоловiк (г = 1,2,3). Тодi А = А:, А2, Аз i за формулою множення ймовiрностей маемо:
Р (А) = Р (А1А2 А3 ) = Р (А1 )'Р (А2/А! )•
Р (А /АА)= — '6'5 = — У 3/ 1 2) 1 0 9 8 24'
Приклад 2. Два автобуси, для яких
ймовiрностi вчасного приходу на
фшсовану зупинки дорiвнюють вщпо-
вiдно 0,7 i 0,8, вшхали на маршрут.
Знайти ймовiрнiсть таких подiй:
а0) А - обидва автобуси пршдуть
вчасно на цю зупинку;
Ь0) В - обидва автобуси затзняться;
с ) С - тiльки один автобус пршде
вчасно;
*
ё ) Б - принаймнi один автобус прийде вчасно.
Розв 'язування.
Нехай подiя А1 - 1-й автобус пршхав на зупинку вчасно, тодi подiя Аг - 1-й автобус затзнився. За умовою: Р(А1 ) = 0,7, Р(А2) = 0,8, а ймовiрностi
протилежних подiй: Р(А1) = 1 - 0,7 = 0,3; Р(А2 )= 1 - 0,8 = 0,2.
a) Подiя А - обидва автобуси пршдуть вчасно, тобто А = А1А2. Врахо-вуючи незалежшсть цих подш А: i А2 одержимо:
Р (А) = Р (А А ) = Р (А)' Р (А ) = = 0,7' 0,8 = 0,56.
b) Подiя В - обидва автобуси затзняться, тобто В = А1А2. Оскшьки поди А1 i А2 незалежш, то:
Р (в ) = Р (а А ) = Р (а ) Р (А ) =
= 0,3' 0,2 = 0,06.
c) Подiя С е сумою двох подш: А1А2 -перший пршхав вчасно i другий запiзнять-ся, та А1А - перший затзнився i другий при1хав вчасно, тобто С = А1А2 + А1А2. Тодi, враховуючи несумiснiсть подiй А1А2 i А1А та незалежн1сть подiй спiвмножникiв, дiстанемо: Р(С) = Р(А1А2) + Р((А2) =
=Р (а )' Р (А)+Р (А ) Р (А ) =
= 0,7' 0,2 + 0,3' 0,8 = 0,38.
ё) Подiя Б - принаймт один автобус пртде вчасно. Вона е сумою подш А i С, тобто Б = А + С . Тому, враховуючи несумюшсть подш А i С маемо: Р(Б) = Р(А) + Р(С) = 0,56 + 0,38 = 0,94 .
Ймовiрнiсть поди Б можна знайти ви-користовуючи теорему про появу при-наймт однiеi з двох незалежних подш. Подая Б вщбудеться тодi, коли вiдбудеться або тдая А1, або тдая А2, тобто
Р (Б ) = Р (А+А2 ) = 1 - Р (А А ) =
= 1 - 0,06 = 0,94.
Приклад 3. Трое друзiв складають те-матичний залш з математики. Iмовiрнiсть того, що перший учень складе тематич-
<ш)
hhh 3a.iK, gopiBHroe 0,9; gpyruH - 0,9; Tpe-•riH - 0,8. 3HaHTH HMoBipHicTb Toro, ^o TeMaTHHHHH 3a.iK: a0) cK.age Ti.bKH gpyruH
yneHb; b0) cKnage Ti.bKH oguH yneHb; 0 * c ) cK.agyTb Bci Tpu ynHa; d ) cKnagyTb
npuHaHMHi gBa; e0) He cK.age «ogeH yneHb;
f ) cK.age npuHaHMHi oguH yneHb.
Po36 H3y6aHHH.
no3HaHHMo nogiro Ai - i-H yneHb cKnage TeMaTHHHHH 3aniK (i=1, 2, 3). Togi, nogia Ai - i-H yneHb He cKnage TeMaTHHHHH 3aniK. 3a yMoBoro: P(A1 ) = 0,9, P(A2 ) = 0,9, P(A3 ) = 0,8; a HMoBipHocri npoTHne«HHx nogiH BignoBigHo gopiBHroroTb:
P(A1 ) = 1 - P(A1 ) = 1 - 0,9 = 0,1; P(A ) = 1 - P(A2 ) = 1 - 0,9 = 0,1; P(A3 ) = 1 - P(A3 ) = 1 - 0,8 = 0,2 .
a) nogia A - Ti.bKH gpyruH yneHb cK.age TeMaTHHHHH 3a.iK. 3po3yMi.o, ^o A = A1A2 A3 - cyMicHe BHKoHaHHa Tpbox
nogiH, aKi no.araroTb y ToMy, ^o Ti.bKH gpyruH yneHb cK.age 3a.iK, a gBa mmux He cK.agyTb. BpaxoByronu, ^o nogii A1, A2, A3 He3a.e«Hi, oTpuMaeMo:
p (a) = p ((a2 a, ) = p (a)• p (a )• p (a3 ) = = 0,10,90,2 = 0,018.
b) nogia B - Ti.bKH oguH yneHb 3 Tpbox cK.age 3a.iK. To6to, nogia B Big6ygeTbca, aK^o Ti.bKH nepmuH yneHb cK.age 3aniK, a6o Ti.bKH gpyruH yneHb cKnage 3aniK, a6o Ti.bKH TperiH yneHb cKnage 3aniK. OT«e, BpaxoByronu, ^o Tpu ocTaHHi nogii nonapHo-HecyMicHi, gicTaHeMo:
P (B ) = P (A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3) =
= 0,9 • 0,1 • 0,2 + 0,10,9 • 0,2 + 0,10,10,8 = = 0,044.
c) HexaH nogia C - Bci Tpu ynHa cK.agyTb 3a.iK. Togi:
p (C ) = p (a A A3 ) = p (A )• p (A )• p (A3 ) = = 0,9 0,9 0,8 = 0,648.
d) HexaH nogia D - npuHaHMHi gBa ynrn cK.agyTb TeMaTHHHHH 3a.iK („He MeHme gBox" ynrnB). 3po3yMi.o, ^o nogia D o3Hanae, ^o 3a.iK cK.agyTb a6o gBa ynHi, a6o Bci Tpu. Togi:
P (d) = P (A a2 a3 + a1a2 a3 + a1a2 a3 + a1a2 a3) = = 0,9-0,9-0,2 + 0,90,10,8 + 0,10,90,8 + +0,9 • 0,9 • 0,8 = 0,954.
e) HexaH nogia E - «ogeH 3 ynrnB He cK.age 3a.iKy. Togi:
p (e ) = p ((A A3 ) = p (A) p (A )• P (A ) = = 0,10,10,2 = 0,002.
f) HexaH nogia F - npuHaHMHi oguH yneHb cK.age TeMaTHHHHH 3a.iK (iHmHMH c.oBaMH - „He MeHme Hi« ogHH" yneHb cK.age 3a.iK). nogia F aB.ae co6oro cyMy nogiH B (aKa BK.ronae Tpu gogaHKiB) i D (noTupu gogaHKa), TaKHM hhhom F = A1 + A2 + A3 = B + D (ciM gogaHKiB).
OgHaK npocrime 3HaHTH HMoBipHicTb nogii F, aK^o nepeHTH go npoTH.e«Hoi nogii F = E - «ogeH 3 ynrnB He cK.age 3a.iKy, aKa BK.ronae .ume oguH BapiaHT. Togi:
P (F ) = P (A + A2 + A3 ) = 1 - P (F ) =
= 1 - P (E ) = 1 - 0,002 = 0,998.
*
npHK^ag 4 . iMoBipHicTb Toro, ^o 3a pe3y.bTaTaMH noTupbox He3a.e«Hux Bunpo6yBaHb nogia A Big6ygeTbca npu-HaHMHi oguH pa3 gopiBHroe 0,4. 3HaHra HMoBipHicTb Toro, ^o nogia A Big6ygeTb-ca y nepmoMy Bunpo6yBaHHi. IMoBipHicTb Big6yBaHHa nogii A y Ko«HoMy Bunpo-6yBaHHi ogHaKoBa. Po36 H3y6aHHH.
Ai - nogia A Big6y.aca b i-My Bunpo6y-BaHHi, BignoBigHo P(Ai ) = p;
Ai - nogia A He Big6y.aca b i-My Bunpo-
6yBaHHi, BignoBigHo p(a, )= 1 - p ;
B - nogia A Big6y.aca npuHaHMHi oguH pa3, y 4-x Bunpo6yBaHHax P(B ) = 0,4 ;
B - nogia A He Big6y.aca, y 4-x Bunpo-6yBaHHax «ogHoro pa3y B = A1A2 A3 A4 . Togi:
P (B ) = 1 - P (B ) = 1 - P (( A2 A3A4 ) =
=1 - p (A )P (A2 )P (A3 )P (A ) = = 1 -(1 - p )(1 - p )(1 - p )(1 - p ) = 1 -(1 - p )4;
1 -(1 - р )= 0,4; (1 - р )= 0,6; 1 - р = ^0,6;
р = 1 -^0,6 « 1 -0,88 « 0,12.
Приклад 5**. Пакети акцiй, яю маються на ринку цiнних паперiв, можуть дати прибуток власнику з iмовiрнiстю 0,5 для кожного пакета, не залежно вiд iнших пакетiв. Скшьки пакет1в акцiй рiзних фiрм необхщно придбати, щоб з iмовiрнiстю, не меншою 0,999, можна було чекати прибу-ток принаймт по одному пакету акцш?
Розв 'язування. Нехай подiя Аг -прибуток по г-му пакету акцiй (¡=1, 2, ..., п), а подiя Аг - вщсутшсть прибутку по 1-му пакету акцш. Вщповщш ймовiрностi дорiвнюють: Р(Аг) = 0,5 ;
Р(лг ) = 1 - 0,5 = 0,5.
Подiя А - прибуток принаймш по одному з п паке^в акцш:
А = А1 + А2 + ... + Ап .
Тодi Р(А) = Р(А + Л2 +... + Ап). Використаемо теорему про ймовiр-шсть настання принаймнi однiеi з п незалежних подiй:
р(л)=р(Л+Л+...+л ) = 1-р(АЛ,-А) = = 1 - р (Л )• р (Л )..' р (А ) =
= 1 -0,5'0,5'...'0,5 = 1 -0,5п.
За умовою задачi Р(Л)> 0,999, отже 1 -0,5п > 0,999, 0,5п < 0,001. Логариф-муемо обидвi частини нерiвностi, за основою 10, враховуючи 10 > 1: 1§0,5" < 1ё0,001, п 1ё0,5 <-3, оскiльки -3
1§0,5 < 0, то п >
1§0,5
п > 9,96 тобто
п > 10 . Отже, необхiдно придбати не
менше 10 паке^в акцiй рiзних фiрм.
**
Приклад 6 . Дано значення: р(ЛВ)= 0,7; Р(ЛВ)= 0,4; р(Лв)= 0,2. Довести, що поди А i В залежш. Обчислити Р(А/В) та Р(В/А). Розв 'язування. Поди залежш, якщо
Р(АВ) Р(А)■ Р(В).
Оскiльки подii АВ, АВ, АВ, АВ утворюють повну групу подш, то
р(ав )+ р(лВ)+р(лв )+ Р(ЛВ)=1
Звщси, враховуючи що Р (АВ )= 0,4;
р(Ав)= 0,2 i р(В) = 1 -р(лВ)= 1 -0,7 = 0,3 отримаемо Р(АВ) = 0,1.
Оскшьки А = АВ и АВ, до того ж АВ i АВ несумюш подii, то Р(А) = 0,1 + 0,4 = 0,5 .
Оскшьки В = АВ и АВ, до того ж АВ i АВ несумюш поди, то Р(В ) = 0,1 + 0,2 = 0,3. Отже
0,1 = Р(АВ) ф Р(А)'Р(В) = 0,5 ' 0,3, тобто поди А i В залежш.
Р(АВ)_ 0,^ 1
Р(АВ ) Р(В/А)
Р(В) 0,3 3 Р(АВ) = 0,1 = 1
Р(А) 0,5 5 '
Вiдповiдно перелiченим принципам розроблена система задач. Поряд з традицiйними типами задач [3,5,6,9], до неi увiйшли задачi, якi вщсутш у дiючих шкiльних пiдручниках [1,2], але мають важливе значення в процеа вивчення даноi змiстовоi лшп. Тематика тради-цiйних типiв задач розширена, фабула переважноi бiльшостi змшена.
Система побудована за принципом взаемозамiнностi i мiнiмальностi, але не виключаеться можливють И розши-рення.
Задачi системи вiдрiзняються не тiльки за фабулою (практичним змютом задачi) та математичним апаратом, що використовуеться при 1х розв'язанш, а й за складшстю. Вони подiленi за трьома рiвнями складностi.
Деякi з них можна використовувати для мотивацп нового навчального мате-рiалу, iншi - для з'ясування рiвня засво-ення учнями основних понять змiстовоi лшп. Включеш прикладнi задачi, якi будуть сприяти активiзацii пiзнавальноi дiяльностi учшв та пiдвищенню 1хнього
п
Пересу до предмету, до своеi майбутньоi спещальносп.
Для кожно'1 теми нами розроблена система шдивщуальних задач, яка вщпо-вiдае визначеним принципам. Дана система може бути використана як при вико-нанш домашшх завдань, так i для само-стiйних робiт.
Задачi для самостшного розв'язування можна використовувати для шдивщуаль-но'1 роботи з обдарованими дтми або учнями, яю цiкавляться математикою.
1. Алгебра 7 початки анал1зу: Шдруч. для 11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. закл. освти /МРШктъ, Т.В.Колесник, Т.М.Хмара. -К.: Освгта, 2001. - 311с.
2. Алгебра i початки анал1зу: Шдруч. для 11 кл. загалъноосвт. навч. заклад1в / МР.Шктъ, З.1.Слепканъ, О.С.Дубинчук. - К.: Зодгак - ЕКО, 2002. - 384с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей. - М.: Высш. шк., 1985. - 400с.
4. Жалдак М.1., Михал1 Г. О. Елементи стохастики з комп 'ютерною тдтримкою: Поабник для вчителгв / Спецгалъний випуск: Додаток до газети «1нформатика» № 29-30 (365-366), серпенъ 2006. - К.: Шктъний свт, 2006. - 119с.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТА-ДАНА, 2000. -543с.
6. Лютикас В. С. Факулътативный курс по математике. Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9-11 кл. средней шк.- 3-е изд. перераб. -М.: Просвещение, 1990. -160с.
7. Плоцки А. Вероятностъ в задачах для школъников: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1996. - 191с.
8. Слепканъ З.1. Методика навчання математики. Шдруч. для студ. мат. спещалъ-ностей пед. навч. заклад1в. - К.: Зод1ак-ЕКО, 2000. - 512с.
9. Слепканъ З.1., Соколовсъка 1.С. Методика вивчення елемент!в комбтаторики. Початшв теорИ' ймов1рностей 7 вступ до статистики: Поабник для вчител1в / Спещалъний випуск: Додаток до газети «Математика» № 29-30 (281-282), серпенъ 2004. - К.: Шктъний свт, 2005. - 112с.
10. Соколенко Л. О. Зб1рник прикладних задач з алгебри 7 початшв анал1зу 10-11 кл.: Навч.-метод. поабник для вчител1в 7 учшв 1011 кл. середнъог школи, лщегв та ггмназШ ф1зико-математичного спрямування. - К.: Тираж, 1997. - 127с.
Резюме. Трунова Е.В. СИСТЕМА ЗАДАЧ НАЧАЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ВВЕДЕНИЯ В СТАТИСТИКУ И МЕТОДИКА ИХ РЕШЕНИЯ. В статье рассмотрены основные принципы построения системы задач начал теории вероятностей и введения в статистику в лицеях и классах с углубленным изучением математики и методика их решения.
Summary. Trunova O. SYSTEM OF PROBLEMS OF THE BEGINNINGS OF THEORY OF PROBABILITY AND INTRODUCTION TO STATISTICS AND THE TECHNIQUE OF THEIR DECISION. In article main principles of construction of system of problems of the beginnings of Theory of probability and introduction to Statistics in lyceums and classes with the profound studying of Mathematics and a technique of their decision are considered.
Надшшла доредакцп 28.10.2006р.
