CC BY
15НАВЧАННЯ УЧН1В 5-6 КЛАС1В ЕЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
М. О. Фтжонова, астрант,
Нащональний педумверситет т. М.П.Драгоманова,
м. Ки1в, УКРА1НА
Окреслюються етапи навчання математичного моделювання учнгв основног школи, детальнорозглядаеться пропедевтичний етап. Пропонуються методичш рекомендаци з прикладами щодо ознайомлення учнгв 5-6 класгв з деякими видами моделей.
Ключовi слова: математичне моделювання, знако-символьнг моделг, образш моделг.
Постановка проблеми. Моделювання як метод тзнання в наукових досль дженнях застосовусться давно i незалежно розвивасться в рiзних галузях знань. Од-нак, тривалий час вщсутньою була едина система понять та едина термшолопя. Зламним моментом у розвитку моделювання виявилася середина XX ст. Саме в цей час розширилось коло дослщницьких i прикладных задач, яю розв'язувалися нау-ковими методами, а це спричинило необ-хiднiсть побудови 1х моделей. Вiдтодi моделювання стало невiд'емним шструмен-том в дiяльностi науковцiв, освiтян, шже-нерiв та iнших громадян [13].
Анал1з актуальних дослщжень. Питания необхщносп застосування елемент1в математичного моделювання (ММ) у на-вчально-виховному процесi порушувалося у багатьох наукових дослiджениях, зокре-ма Ю.А.Кусого [5], Л.Г.Петерсон [8], В.СБил-кова [3], €.В.Величка [4], Л.О.Соколенко [10], Л.Л.Панченко [7], А.В.Прус [9], ГГ.Обойщи-ково! [6] та ш. Ними доведено необхiднiсть i можливiсть засвоення учнями понять «модель», «моделювання», «математичне моделювання»; видiлено основш етапи побудови математично! моделi, 1х опера-цiйний склад; описано функци моделювання у навчально-виховному процесц ви-значено змiст навчання школярiв методу ММ; розроблено методичнi системи навчання учнiв методу ММ засобами курав
алгебри (7 - 9 класи), алгебри i початюв аналiзу (10 - 11 класи), стереометра (10 -11 класи); частково розкрито питання пропедевтичного навчання методу ММ учшв 1 - 6 клаав; запропоновано шляхи використання шформацшно-комушка-цiйних технологiй у процес навчання школярiв ММ.
Мета статл полягае у видiленнi ета-тв навчання учнiв основно! школи ММ i аналiзi першого пропедевтичного етапу.
Виклад основного матер1алу. Для набуття учнями вiдповiдного рiвня умшь застосовувати метод ММ його навчання мае бути нас^зним [11]. Ми пропонуемо органiзувати навчально-виховний процес за такими етапами:
1). Пропедевтичний етап (5 - 6 класи), який передбачае формування уяв-лень про математичну модель, й види, деяю властивосп; умшня бу-дувати математичну модель до за-дачi або складати задачу за даною математичною моделлю.
2). Початковий етап (7 - 8 класи), який передбачае формування поняття про математичну модель, й види, етапи ММ; умшня будувати доцшьш математичнi моделi до
3). Оаднивний етап (9 клас), який передбачае узагальнення знань про математичну модель, й види, етапи ММ; формування умшня викорис-
®
© Filimonova М.
товувати шформацшно-комуш-кацшш технологи при сгвореннi та дослщженш математично! моделi.
4). Дослiдницький егап (9 - 11 класи), який передбачае бiльш глибоке ви-вчення ММ на гургках, факультативах; написання наукових робiг в системi дiяльносгi МАН.
Зупинимося детальнiше на пропедев-тичному егапi навчання учтв ММ.
Аналiз дiючих пiдручникiв [1, 2, 14, 15] з математики показав, що школярi 5 -6 клаав знайомляться з рiзними видами моделей, починаючи вiд знако-символьних (числовий i буквений вираз, рiвняння) i заюнчуючи образними (схеми, таблищ, малюнки, рисунки геометричних фiгур та тш, дiаграми).
Формування уявлення про числовий вираз як математичну модель вщбуваеться в процес складання до прикладно! задачi виразу, результат обчислення якого задо-вольняе вимогу задачъ Наприклад:
Задача 1. З двох пункпв одночасно назустрiч один одному вт'хали два мото-циклiсти. Швидюсгь одного з них дорiв-нюе 56 км/год, а другого - на 13 км/год бшьша. Знайди вiдстань мiж пунктами, якщо через 4 год вщстань мiж могоциклю-тами була 15 км [1, С. 106].
Звичайно, слщ скласти графiчний за-пис задачi (рис. 1).
56км/год 8 = 15 км ^ на 13 км/год бшыне Рис. 1
Потiм, проаналiзувавши 11 умову i ви-моги, скласти план розв'язання:
1. Знайти шлях, який подолав перший мотоциклют.
2. Знайти швидкiсть другого мотоци-клiста.
3. Знайти шлях, який подолав другий мотоциклiсг.
4. Знайти загальну вiдстань мiж пунктами, просумувавши вiдсганi, подоланi обома могоциклютами, i 15 км.
Далi згщно з вище зазначеним планом розв' язати задачу.
1. 56-4 - шлях, подоланий першим мотоциклютом.
2. 56+13 - швидюсть другого мого-циктсга.
3. (56+13)-4 - шлях, подоланий другим могоци^сгом.
4. 56-4+(56+13)-4+15 - вщстань мiж пунктами.
Варто наголосиги учням, що складе-ний числовий вираз 56-4+(56+13)-4+15 е знако-символьною моделлю задачу а по-будований на початку й графiчний запис е образною моделлю. Обчисливши значення виразу, можна знайти, що вiдсгань шж пунктами дорiвнюе 515 км.
Подiбне розв'язування задач не лише формуе у школярiв уявлення про модель та 11 види, а одночасно е пропедевтикою застосування в майбутньому алгебра1чно-го способу i значно спрощуе роботу вчи-теля у цьому напрямку.
Методика вивчення теми «Числовi i буквенi вирази. Рiвняння» у контексп ма-тематичного моделювання, на нашу думку, мае складатися з двох егапiв:
1. Формування уявлення про буквений вираз як знако-символьну модель.
2. Формування уявлення про рiвнян-ня як знако-символьну модель.
На першому егат важливо сформува-ти в учтв умшня складати буквенi вирази за умовою задачi i знаходити компоненти дiй за результатом та шшими компонентами. Причому варто наголосиги, що ари-фмегична дiя та 11 результат можуть мати тотожне знакове вираження.
Також слщ звернути увагу на те, що буквений вираз, зокрема формула, дозво-ляе узагальниги розв'язання рiзних типiв задач i скласти певн правила-орiенгири.
Зазначена вище робота дозволяе спро-стити процес навчання учшв розв'язуван-ню прикладних задач за допомогою рiв-нянь. Наприклад:
Задача 2. У трьох ящиках було 70 кг яблук. У другому ящику - вдвiчi бшьше, тж у першому, а в третьому - на 5 кг ме-нше, тж у другому. Скшьки кiлограмiв яблук було у кожному ящику? [1, С.132]
Стд скласти до задачi образну модель - схему (рис. 2).
Рис. 2
Хщ розв'язання задачi може бути таким:
1. Позначимо за х - юльюсть яблук у першому ящику.
2. Тодi у другому ящику буде 2х яблук, а у третьому (2х-5) яблук.
3. За умовою задачi у всiх ящиках разом було 70 кг яблук, тому:
Йльиш яб-луку периквд
HIHHKV
Ккют
лук }' Др}Т(ВД
шщ
Йльиш яб-лук у трепдзму
HIHHKV
= 7(!
Маемо х+2х+(2х-5) = 70 - знако-символьну модель задачт
4. Розв'язавши рiвняння, отримаемо, що х = 15.
5. Теда 2х = 2-15 = 30; 2х-5 = 2-15-5 =
25.
6. Отже, у першому ящику було 15 кг яблук, у другому - 30 кг, а у третьому - 25 кг. Здшснимо перевiрку 15+30+25 = 70, 30:2 = 15, 25+5 = 30, що вщповщае умовi задачт
На основi розв'язання подiбних задач учитель мае запропонувати учням пам'ят-ку (правило-орiентир) для застосування алгебра1чного способу.
Також, враховуючи психолого-педагогiчнi особливостi учнiв 5 - 6 клаав [12], при розв'язуванн прикладних задач за допомогою рiвнянь, слiд використову-вати комп'ютерн презентацл, оскшьки наочне представлення умови задачi допо-магае навiть найслабшим школярам пра-
вильно здiйснити побудову математично'1 моделi.
Що стосуеться геометричного матерi-алу, то процес його викладання мае спе-цифiчнi риси:
1). Змют курсу i методи його викла-дання мають опиратися на життевий до-свщ i попереднi знання школярiв, причому основою курсу повинно бути максимальне використання наочносп (моделi геометри-чних об'ект1в, комп'ютернi презентацii тощо). Тому при вивченнi тiеi чи iншоi геометричноi фiгури варто пропонувати учням знайти у класi i поза ним предмети, моделями яких вона може бути, вказати випадки у повсякденному життi, коли не-обхщно побудувати, наприклад, прямi (у процеа побудови будiвель, дорiг, наса-джент дерев тощо), знайти периметр прямокутника (при визначеннi довжини огорожi, розмiрiв пришк1льно'1 дiлянки, футбольного поля i т.iн.) тощо.
2). Значна увага повинна прид^тися формуванню усного i писемного мовлення учнiв, ix грамотносп.
3). Знайомство з новими поняттями, властивостями геометричних об'ект1в мае вщбуватися п1д час проведення практичних робгт з елементами конструювання та ви-мiрювальниx робiт на м1сцевост1. Адже ви-мiрювальнi роботи дають учням можли-вiсть ознайомитися з будовою i способами використання найпрост1ших землемiрниx приладiв, iз методами розв'язування пев-них практичних задач, унаочнюють деяю геометричнi поняття, властивост^ фiгур тощо, е шюстращею застосування методу математичного моделювання.
4). Система вправ мае бути спрямова-на з одного боку на розвиток просторово'1 уяви та абстрактного мислення, а з шшого - сприяти формуванню навичок виконан-ня найпрост1ших логiчниx операцш.
5). Система вправ мае включати знач-ну частку прикладних задач, завдань на розвиток умшня бачити в навколишнш дiйсностi геометричнi фiгури, здшснювати вимiрювання «на око».
Дотримання вище зазначених вимог забезпечить цiлiснiсть i неперервнiсть ви-
© Filimonova M.
вчення систематичного курсу геометри в основнш та старшш школах.
Слiд звернути увагу i на той факт, що велим труднощi у школярiв при розв'язу-ваннi прикладних задач викликае процес замши об'екпв, яю описанi в умовi задачi, геометричними фiгурами i термiнами, оскшьки для цього мае бути добре розви-нене абстрактне мислення, що для 10 - 11-рiчних пiдлiткiв не е характерним.
Тому на початкових етапах необхiдно робити акцент на завданнях, в яких поряд iз вихщним об'ектом зазначаеться його математичний е^валент. Наприклад:
Задача 3. Щоб зробити льох, викопа-ли яму у виглядi прямокутного паралеле-пiпеда з вимiрами 2, 3 i 3 м. Скшьки кубо-метрiв землi вийняли? [1, С. 164]
Задача 4. Канютра мае форму прямокутного паралелепшеда, вимiри якого 2, 3 i 4 дм. Скшьки лiтрiв бензину вмiщуеться в шй? (1 л = 1 дм3) [1, С. 165]
Таю задачi сприяють формуванню i закрiпленню в уявi дiтей предмет1в, яю мають i можуть мати форму певно! геоме-трично! фiгури чи тша. Тому задачi, в яких немае прямого ствставлення об'екта i його математичного е^валента, в подаль-шому будуть розв'язуватися значно легше.
Формування навичок побудови дiаг-рам у 6 клаа може вщбуватися у таюй по-слiдовностi:
1). Побудова лЫйних або стовпчас-тих дiаграм, в яких певне значення вели-чини чи визначена юльюсть об'ектiв по-значаеться однiею кштинкою.
2). Побудова лiнiйних або стовпчас-тих дiаграм з використанням масштабу.
3). Побудова кругових дiаграм.
4). Побудова дiаграм за допомогою комп'ютера.
Варто продемонструвати школярам весь цикл роботи вщ отримання повщом-лення до його дослiдження шляхом побудови рiзних дiаграм, так як вони слугують одним iз засобiв зв'язку математики з життям, осюльки вiдображають данi, взят iз повсякденного життя. Д1аграми е не лише зручним засобом унаочнення, дозво-ляючи в простш i доступнiй для сприй-
мання формi показати стввщношення мiж величинами та виразити характер змши TÎeï чи iншоï величини, а й допомагають на пропедевтичному pÎBni ознайомити учнiв з прямокутною системою координат i гра-фшами функцiй.
Висновки. Таким чином, навчання учнiв 5 - 6 клаав математики iз врахуван-ням вище зазначених методичних рекоме-ндацiй сприятиме формуванню у них:
> уявлення про числовий i буквений вираз, рiвняння як знако-символьну модель;
> уявлення про к1лька видiв образних моделей: схеми, таблицi, малюнки, зображення геометричних фiгур та
> ущлёнграпрр деяк1 властивостi мо-делi;
> елементарнi навички застосування методу математичного моделюван-ня.
1. Бевз Г.П. Математика: Пдруч. для 5 кл. загальноосвт. навч. закл./Г.П.Бевз, В.Г.Бевз.
- К : Зодак-ЕКО, 2005. - 352 с.
2. Бевз Г.П. Математика: Пдруч. для 6 кл. загальноосвт. навч. закл. /Г.П.Бевз, В.Г.Бевз.
- К : Зодак-ЕКО, 2005. - 352 с.
3.БылковВ.С. Формирование понятий о математическом моделировании средствами курса алгебры и начал анализа 9 и 10 классов: дисс. ... канд. пед. наук/ В.СБытков. -М., 1986. -195с.
4. Величко С.В. Реализация прикладной направленности курса алгебры неполной средней школыь: дисс. ... канд. пед. наук/ С.В.Величко. -М, 1987. - 228 с.
5. Кусыш Ю.А. Методыi и приемыг применения моделирования в процессе усвоения учащимися новыюс знаний /на материале предметов естественно-математического цикла IX - X классов: дисс. ... канд. пед. наук/Ю.А.Кусыш. -К., 1978. - 205 с.
6. Обойщикова И.Г. Обучение моделированию учащихся 5-6 классов при изучении математики: дисс. . канд. пед. наук/ И.Г.Обойщикова. - Пенза, 2002. -167 с.
7. Панченко Л.Л. Формування вмть математичного моделювання в процесi навчання май-бутмх вчителiв математики: дис.канд. пед. наук: 13.00.02./ Нац. пед. ун-т ш. М.П.Драго-манова / Л.Л.Панченко. - К., 2006. - 260 с.
8. Петерсон Л.Г. Моделирование как средство формирования представлений о понятии функции в 4-6 классах средней школыг. дисс. ...
©
канд. пед. наук/Л.Г.Петерсон. -М., 1984. - 201 с.
9. Прус А.В. Прикладна спрямовансть шального курсу стереометры: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02/ Укр. держ. пед. ун-т ш. М.П.Дра-гоманова/А.В.Прус. - К., 1997. - 245 с.
10. СоколенкоЛ.О. Методика реагазацп прикладной спрямованостi шктьног алгебри i початшв аналiзу: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02/ Укр. держ. пед. ун-т ш. М.П.Драгома-нова/Л.О. Соколенко. - К., 1997. - 245 с.
11. Флшонова М.О. Математичне моделювання в курс математики основног школи: зм ст вимоги до п дготовки учн в / М.О.Флшонова, В.О.Швець //Дидактика математики: проблеми i дослiдження: Мiжнар. зб. наук. робт. - Вип. 34. - Донецьк: Вид-во ДонНу, 2010. - С. 72 - 76.
12. Флшонова М.О. Психолого-педагоачш
особливостг навчання тдтткв методу мате-матичного моделювання / М.О.Фл1монова, В.О.Швець //Математика в школ^ 2010. -№>10. - С. 21 - 25.
13. Швець В. О. Еволюц1я математичного моделювання як методу пзнання i навчання/ В.О.Швець, М.О.Фiлiмонова //Математика в школi, 2010. - №4. - С. 22 - 25.
14. Янченко Г.М.. Математика: тдруч. для
5 кл. загальноосвт. навч. закл./ Г.М.Янченко, В.Р.Кравчук. - Тернотль: Пдручники i поабни-ки, 2005. - 254 с.
15. Янченко Г.М.. Математика: тдруч. для
6 кл. загальноосвт. навч. закл./ Г.М.Янченко, В.Р.Кравчук. - Тернотль: Шдручники i поабни-ки, 2006. - 278 с.
Резюме. Филимонова М.А. ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. В статье предлагаются этапы обучения математическому моделированию учащихся основной школы, детально рассматривается пропедевтический этап. Предлагаются методические рекомендации с примерами по ознакомлению учащихся 5-6 классов с некоторыми видами моделей.
Ключевые слова: математическое моделирование, знако-символьные модели, образные модели.
Abstract. Filimonova M TEACHING MATHEMATICAL MODELING TO PUPILS OF
TH TH
5 - 6 FORMS. The stages of teaching mathematical modeling to pupils of a secondary school are observed in the article. A detailed study of propaedeutic stage is provided. Recommendations and methods of introducing some types ofmodels to pupils of the 5th-6th yeats are suggested.
Key words: mathematical modeling, sign models, graphic models.
Стаття представлена професором В. О. Швецем.
Надшшла доредакцп 22.02.2011 р.
