МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

ЯК ЗМ1СТОВА Л1Н1Я ШК1ЛЬНОГО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

В.О.Швець, канд. педагог. наук, професор, Нацональний педагогiчний умверситет т. М.П.Драгоманова,

м. Кшв, УКРА1НА

Розглядаються прикладна спрямоватсть шкгльного курсу математики г метод математичного моделювання як заЫб гг реал1заци. Пропонуеться концептуальна модель формування вучнгв середньог школи навичок г вмгнь математичного моделювання.

Ключов1 слова: прикладна спрямоватсть шкшьного курсу математики, прикладн задач.¡, математична модель.

Володння навичками математично'1 дяль-ност та вмшнями !х застосовувати до розв'язування р1зномаштних проблем е запорукою устшно! учасп особистостi у сучасному суспшьному житп.

Одним 1з вихщних положень, на яю ниш спираеться система вичизняно! математично'1 освгти, е спрямоватсть на-вчання математики на забезпечення мщ-ного 1 свщомого оволодшня учнями системою математичних знань 1 вмшь необ-хщних !м у повсякденному житп, достат-шх для вивчення багатьох навчальних предмепв загальноосвгшьо'1 школи, отри-мання яюсно! професшно! освгти на на-ступних етапах. Сказане потребуе додатко-вих уточнень.

Анашз матер1ашв звпу про свгговий

я,а

6,0 4,0

2.0

розвиток [6], якi пiдготовленi свгговим банком на основi тестування математичних i природничих знань учшв i студентiв окремих розвинутих краш, серед яких були i кра'ши СНД, показуе вiдмiнностi ро-зумiння значимостi цих знань, а, вщповщ-но, i рiзне ставлення до !х формування. Так, наприклад, якщо акцентувати увагу в на-вчаннi учнiв на однiй iз таких цiлей навчан-ня: 1) формувати систему знань; 2) навчити використовувати знання на практицi; 3) навчити використовувати знання в не-стандартних ситуацiях, - то окреслюеться рiзне бачення окремими кранами ступеня !х важливосп. На рис. 1 зображеш вщхи-лення вiд середнього значення вибiрки школярiв 9-13 роюв.

у:

jT

о-< -1

Канада

Фралшя

Epwrauia

Краши СНД

Знання факт! в

Застосування знань

на практиш

Заекигуванця Знань у нестандартных ситуяцмх

Рис. 1

© 8ЬУ{*8 V.

Графки, яю наведеш, свiдчать про те, що у кра'нах колишнього СРСР традицш-но прюритетною була цiль сформувати в учшв середнiх шкiл глибою та мщт мате-матичнi i природничi знання, а двом ш-шим цГлям придiлялось уваги менше. В шших кранах, як видно на рис. 1, прюри-тетнiсть цГлей iнша.

Укра'на, ставши самостiйною державою, реформуючи систему освiти, намага-еться виправити такий ухил. У вах подаль-ших державних нормативних документах, яю стосуються проблеми змюту матема-тично'1 освiти, вимог до математично'' пГд-готовки учшв, профшзаци школи тощо, говориться про посилення прикладно'' спрямованостi курсу математики (цГль 3). Замiна конгггивно-шформацшно'' парадиг-ми освiти на компетентнiсну не тшьки зао-хочуе виконувати це, але i зобов'язуе. Стверджувати, що вже багато зроблено у цьому напрямi неможливо в силу рiзних причин: iнерцiйностi системи освiти, складносп у розв'язуваннi дано'' проблеми, вщсутносп належного матерiального забезпечення i т.д. Але просування вперед, хоч i малi, все-таки е.

Прикладна спрямованiсть шкiльного курсу математики як проблема, яку необ-хiдно вирiшити, та як завдання, яке потре-буе розв'язання у навчаннi математики задеклароваш в "Концепци математично'' освiти 12-рГчно'' школи" [1], у "Концепци профильно!' освiти у старшiй школГ' [2], у "Державному стандарт! базово'' шкшьно' середньо'' освiти: освiтня галузь Математика", у програмах з математики для сере-дньо'' школи та в шших документах. На розробку технологий його розв'язування були спрямоваш науковi дослiдження М.Я.1гнатенка, З.1.Слепкань, Л.О.Соколен-ко, А.В.Прус, В.О.Швеця та шших укра'нсь-ких математикiв-методистiв. Зокрема, вони дослщжували i продовжують дослщ-жувати проблеми прикладно'' спрямованостГ шкiльних курсiв алгебри та початюв аналiзу, стереометри, iнтегрованого шкГль-ного курсу "Математика" г т.д. Менш ус-пГшно, поки що, ця проблема вирГшуеться у шкГльних пщручниках з математики но-

вого поколшня.

Так що ж це таке - "прикладна спря-мованГсть шкГльного курсу математики"? Вперше означення цього поняття було дано радянським педагогом-математиком В.В.ФГрсовим. Згодом воно вдосконалю-валось Гншими вченими. У нашому розу-мГннГ сутнГсть прикладноУ спрямованост1 школьного курсу математики полягае у орГентаци цГлей, змюту Г засобГв навчання математики у напрямку:

- забезпечення цГленапрямлених змю-тових Г методолопчних зв'язкГв математики з практикою;

- набуття учнями в процеа математич-ного моделювання знань, умшь Г навичок, якГ будуть використовуватись ними в по-всякденному жита, в навчанш, в майбут-нш професГйнГй дГяльностГ.

Остання теза передбачае включення в навчання математики таких специфГчних моментГв, якГ характернГ для дослщження прикладних проблем, зокрема для розв'язання прикладних задач, пГд якими ми розумГемо задачГ, що виникають за межами математики, але розв'язуються з ви-користанням математичного апарату.

Часто поряд з прикладною спрямова-нГстю шкГльного курсу математики гово-рять про практичну спрямовашсть навчання математики. У нашому розумшш сутнГсть практично'' спрямованостГ нав-чання математики полягае в спрямованос-т цГлей, змГсту, засобГв, методГв Г оргаш-зацГйних форм навчання на формування в учшв вмшь Г навичок розв'язування мате-матичних задач.

ЗрозумГло, що в реальному процеа навчання прикладна Г практична спрямованостГ мають функщонувати спГльно, допов-нюючи одна одну.

Радикальним методом реалГзацГ' при-кладно'' спрямованостГ шкГльного курсу алгебри Г початкГв аналГзу е метод матема-тичного моделювання, а найбГльш ефектив-ним засобом - прикладш задачГ, розв'язування яких потребуе глибоких знань як з математики, так Г з шших дисциплш

НеобхГдно зазначити, що процесу розв'язування прикладних задач властивГ

©

Bei етапи математичного моделювання.

В узагальненому виглядi це:

- переклад задачi з природно'' мови lie" галузi, де вона виникла, на мову математики (I етап, створення математичнот модел1);

- розв'язування отримано'' математич-но'' задачi (II етап, дослщження матема-тичноТ модел1);

- ¡нтерпретащя отриманих результат!в,

тобто переклад розв'язку математично" задачГ з мови математики на мову тГе'' га-лузГ, де вона виникла (III етап, штерпре-тащя розв'язк1в).

Схематично процес розв'язування прикладно'' задачГ зображено на рис. 2 (ПЗ - прикладна задача, МЗ - математична задача, РМЗ - розв'язання математично'' задачГ, РПЗ - розв'язок прикладно'' задачГ).

Рис. 2

Спещальш дослщження показують, що найбiльш складним для учшв е I етап (+ -дуже слабко володiють навичками перекладу ПЗ з природно'1' мови на мову математики, створення адекватно'' математично'' модел^. Якщо ж учням запропонувати готову або допомогти створити математи-чну модель прикладно'' задачi (рiвняння, систему рiвнянь, функцiю тощо), то з 11 розв'язанням вони вправляються добре (+ - добре). Менш усшшним, порiвIíяно з II етапом, е III етап (± - не завжди учнi вмь ють штерпретувати розв'язок математично'' задачi як розв'язок прикладно'1 задачi).

Слщ зазначити, що навчання учнiв розв'язуванню прикладних задач, завдан-ня не з легких. Труднощi виникають i в тих хто навчае i в тих хто вчиться.

Для оргашзаци ефективно'' навчально'' дiяльностi учшв iз розв'язування прикладних задач нами виокремлен (для кожного iз вказаних вище етапiв), вiдповiднi мето-дичнi прийоми i орiентовнi ди (найбiльшi загальнi):

I етап: - використати евристичш запи-тання (евристичш приписи, спещальш ев-ристики, яю застосовуються для вивчення

конкретного навчального матерГалу);

- абстрагуватися вГд властивостей об'екту, несуттевих для побудови адекватно' моделГ;

- допомагати учням чГтко вказувати на вщмшносп мГж об'ектом та його модел-лю;

- формулювати умову та вимогу прикладно'' задачГ на мовГ математики.

II етап: - використати (за необхщнос-тГ) джерела додаткових даних Г теоретич-них вГдомостей;

- використати Глюстративш креслення, графГки або есюзи, якГ допомагають знай-ти розв'язок задачГ;

- використати (за необхщносп) мате-матичнГ задачГ-двГйники;

- використовувати систематично 1КТ для виконання рисункГв, графГкГв, прове-дення обчислень;

- довести знайдений розв'язок до числового значення або розрахунково' фор-мули.

III етап: - здшснити вГдбГр тих розв'язкГв математично' задачГ, якГ будуть розв'язками прикладно'' задачГ, посилаю-чись на область визначення даних задачГ,

здшшюючи пepeвipкy poзв язку;

- oцiнити (зa нeoбxiднocтi) cтyпiнь точ-нocтi oтpимaниx poзв'язкiв.

Зaзнaчимo, щo бГльш дeгaльнo щ ^и-йoми тa дГï on^arn y нaвчaльнoмy гоаб-нику [4]. Пpoiлюcтpyeмo вищe cкaзaнe нa пpиклaдax.

Рoзглянeмo нa кoнкpeтниx пpиклaдax мeтoдикy poзв'язyвaння пpиклaдниx зaдax Гз гоабник [4] тa ïï ocoбливocтi, якг no-тpiбнo вpaxoвyвaти.

Задача 1.1. ЖГнки iндiaнcькиx плeмeн, якГ живать бГля piчки Aмaзoнки, пГд чac збиpaння нaciння вoдяниx pocлин чacгo бepyть Гз coбoю cвoïx мaлeнькиx дiтeй. Для бeзпeки вoни клaдyть ïx нa лиcтя aмa-зoнcькoгo лaтaтгя. Кoжeн лиcт y nonepe-чнику мae дo 2 м, a даго ^aï виcoкo зaгнy-тГ вгopy. Toüy мaлюкaм e дe пoгpaтиcь i вoни з листка нe випaдyгь. Один дocлiд-ник для пepeвipки вaнтaжoпiдйoмнocгi листк лaтaття нacипaв нa ньoгo 1O вц^ пicкy. ТГльки тoдi лист датонув. Яку мacy мoжe вигpимaти oдин тaкий лиcтoк aмa-зoнcькoгo лaтaття?

Розв'язання задачи I етап. Зpoзyмiлo, щo учнЦ дocить тога-нo уявляють co6í тaкy pocлинy як aмaзoн-cькe лaтaття, зoкpeмa, яку фopмy вoнa мae. Дeмoнcгpyeмo 1'м зa дoпoмoгoю шмп'ю-I шюстративний матер1ал (рис. 3-4).

тити 1O л вoди. Taкиx дaниx в yмoвi да-мае, проте це вщомо Í3 житгевого досвщу.

Риc. 3

* iL I Р "

.......р

Риc. 4

Пicля пepeглядy циx пpeзeнтaцiй дe-мoнcтpyeмo учням raprarny з вiдpoм (pиc. 5) тa з'яcoвyeмo, щo тaкe вiдpo мoжe мю-

Риc. 5

Дaлi дoмoвляeмocя (iдeaлiзyeмo cmya-цЦю), щo ва вiдpa мaли oднaкoвy мacy ^ч цe нe зaвжди тaк), a дocлiдник нacипaв пЦ-coк m лиcг лaтaгтя cпoчaткy нa cepeдинy, пocтyпoвo poзшиpюючи paдiyc cвo'ïx дЦй, iнaкшe тaкий лиcг мoжe пepeкинyтиcь pa-нiшe, нЦж будуть momam 1O вiдep пicкy. Кoли учнЦ вce цe ycвiдoмлять, cгaвимo 1'м зaпитaння: «Щр пoтpiбнo з'яcyвaти, щoб вiдпoвicги нa зaпитaння зaдaчi?». Учш вЦд-пoвiдaють: «Пoтpiбнo знaйти !acy дecяти вiдep пюку». Taким чидам, пpиxoдимo дo тaкoï, дeщo мoдифiкoвaнoï пpиклaднoï зa-дaчi: "Яга !aca 1O вiдep пicкy, якщo шжш вiдpo вмЦщуе 1O л вoди?".

УчнЦ швидкo здoгaдaютьcя, щo пoтpiб-нo дiзнaтиcь мacy oднoгo тaкoгo вiдpa mc-ку. Для цбсго cлiд вcтaнoвити гycтинy mc-ку, cкopиcгaвшиcь вiдoмocгями з фЦзики. Дaлi xiд мipкyвaнь виглядae нacгyпним чишм:

г

^густиш пicкy p = 1,5—- ;

см

2)1 л вoди мae oб'eм 1 дм3, 1 дм 3=1OOO c!3 ;

3)мaca пicкy в oднoмy вiдpi

m = p^ 1O4 (г);

4)мaca дecяти вiдep пюку

M = m •lO (г).

Отpимyeмo виpaз M = p • 1O5 (г).

Щoб вiдпoвicти нa зaпитaння пpиклaд-нoï зaдaчi, нeoбxiднo oбчиcлити знaчeння

г

цьoгo виpaзy пpи p = 1,5—- . Taким чи-

см

нoм пpиxoдимo дo тaкoï мaтeмaтичнoï зa-дaчi: "Обчи^ити знaчeння виpaзy p • 1O5, дe p = 1,5".

II етап. Виpaз M = p • 1O5 - мaтeмaти-чнa мoдeль виxiднoï пpиклaднoï зaдaчi.

3HaxogHMo, mo

M = p-105 = 1,5 • 105 = 150000.

OrpuMaeMo BignoBigb go MareMaTHHHoi 3a-

gani: M = 150000.

III eTan. OcciibKH o6'eM Bigpa BupaKa-eTbcA B Ky6iHHHx caHTHMeTpax, a rycTHHa nicKy B rpaMax Ha ogHH caHTHMeTp Ky6iH-Huft, to Maca nicKy 6yge 150000 r, to6to 150 Kr. MipcyeMo TaKHM hhhom.

^Kmo gociigHHK piBHoMipHo Ta o6epe-kho HacunaB nicoK BigpoM Ha ihctok iarar-ta, to BaHTa^onigftoMHicTb TaKoro iucrca npu6^H3Ho gopiBHoe 150 Kr. ^Km;o BBaKa-th, :m;o Bara MajieHbcoi guTHHH gopiBHoe B cepegHboMy go 10 Kr, to Ha TaKoMy jucTi iaraTTA 3Morjiu 6 po3MicmTncb go 15 Ma-jiiokib (pnc. 6).

- "is U \C'

f

* . - * - •

I i *

'uMli_JJ/ i Phc. 6

Bidnoeidb. .Hhctok aMa3oHcbKoro iarar-ta MoKe BTpHMaTH BaHTaKK go 150 Kr i He noTOHym.

y HaBegeHoMy npuKjiagi Hirco BugiiiA-eTbcA Bci rpu eTanu po3B'A3aHHA npuKiagHoi 3agani. Ha npaKTH^ Tace po3giieHHA, ak npaBHio, He BHKoHyeTbcA, po3B'A3aHHA no-gaeTbcA ak цmicннft пpoцec. 3BepHeMocA 3HoBy go npuKiagy.

3agana 1.2. Ceprift HacunaB y цнJiнg-puHHy Kacrpyio TpomKH cpynu Ta 3anHTaB MaMy: «CciibKH noTpi6Ho HaiHTH Bogu, mo6 3BapHTH cMaHHy cainy?»» - «Цe gyKKe npocTo, - BignoBijia MaMa. - Haxuiu cacr-pyio, nocrycaft, mo6 cpyna nepecunaiacb i 3aKpHia piBHo noioBHHy gHa. Tenep 3a$k-cyft Toncy Ha cтiнцi Kacrpyjii 6iiA cpao, go AKoro nigHAiacA cpyna. цboro piBHA i noTpi6Ho HaiHTH Bogy». - «Aie cpynu mo-KHa HacunaTH 6ijibme a6o MeHme, Ta ft cac-Tpyjii 6yBaiOTb pi3Hi - inupoci, By3bci»», -cca3aB Ceprift. - «He Mae 3HaneHHA, ^ft cnoci6 cnaHe y npurogi B 6ygb-AKoMy Buna-gcy», - BignoBiia MaMa. Hh cnpaBgi цe Tac? Po3e,^3auHH 3adaui.

y^HiB Tacoo nocyguHoo ak KacrpyiA He 3guByen. ToMy, niciA geмoнcтpaцiн 3a go-

noMoroo coMn OTepa mocrparHBHoro Ma-Tepiaiy (cacTpyii, Kacrpyii 3 cpynoo, 3 cpynoo i Bogoo), nepexoguMo go Hacryn-hhx y3araibHeHb:

- Mogeiio cacTpyii 3 cpynoo MoKe 6y-th цнJlнgp, AKuft 3anoBHeHo penoBHHoo (pnc. 7);

PHC. 7

- Mogeiio Kacrpyii 3 cpynoo, Bogoo m05ke 6ym toh hkq ijHjimgp (pnc. 8).

phc. 8

Kpyna 3aftMae b цboмy цнJlнgpi o6'eM VK, a Boga - o6'eM VB . ^,o6 nepeBipuTH hh

npaBHibHHM 6yge TBepgKeHHA, BucioBieHe MaMoo, noTpi6Ho BignoBicTH Ha 3anHTaHHA: «hh 3MiHoeTbcA BigHoneHHA цнx o6'eMiB 3aieKHo Big $opMH цнJlнgpa?».

OTKe, npuxoguMo go MareMarnHHoi 3a-gani: «Bu3HaHHTH BigHoneHHA o6'eMiB VK i

VB ». Mogejib, m;o gocjiigKyeTbcA (puc. 7),

noMicTHMo b npAMocyTHy cucTeMy coopgu-HaT Tac, mo6 ocHoBa цнJlнgpa HaieKaia niomuHi XOy, a ^mp ochobh O 6yB nona-tkom coopguHaT (puc. 9).

d£>

Рис 9

4epeß тoчкy х нa oci ОХ, х e [- R; R], бyдyeмo пepepiз тiлa (тобто гipки Цз кpyпи вcepeдинi кacгpyлi) плoщинoю, щo rapre^ дикyляpнa дo oci ОХ. В пepepiзi oтpимaeмo тpикyтник MNx. Очeвиднo, щo DMNx

MN y

hR

годЦбний дo DABO. ^дЦ yh

Звiдcи MN = —. DMNx дopiв-R

hy 2R '

ОcкГльки тoчкa M нaлeжить кoлy paдiyca R i мae кoopдинaти (x; y ), то oтpимaeмo

x2 + y2 = R2, y2 = R2 - x2. Tow

h(R2 -x2) „ SMx =-. Викopиcгoвyючи ви-

нюe: SDMNx = 0,5MN •Mx , S DMNx

2R

знaчeний iнтeгpaл (як мaтeмaтичнy мo-дeль), oтpимaeмo

R.h(R2 -x2)

Vk = 2j—-'-dx =

2R

= |lf( R2 - x2 )dx = 2 hR2.

Отжe,

V = V - V =pR2h - 2R2h = — (3p-2)

в ц к 3 3

V 3ж

Вiдпoвiднo, — =--1 » 3,5 (const). Як

VK 2 V 7

бaчимo, цe вiднoшeння нe зaлeжить вЦд poзмipiв кacтpyлi.

Вiдповiдь. Гoтyвaння cмaчнoï кaшi зa мaминим peцeптoм нe зaлeжить вЦд poзмi-piв кacтpyлi.

Haгaдyвaння, в ^ждаму з пpивeдeниx

пpиклaдiв, ^o викopиcтaння кoмп ютepa (кoмп'ютepниx пpeзeнтaцiй) - нe випaдкo-вe. Дocвiд пoкaзye, щo цe дyжe готужний зaciб, який poбить пpoцec poзв'язyвaння пpиклaдниx зaдaч бЦльш eфeктивним тa peзyльтaтивним. Toмy poзв'язyвaння пpи-клaдниx зaдaч з викopиcгaнням дopeчниx кoмп'ютepниx пpeзeнтaцiй (як зacoбy) дo-звoляe:

- icтoтнo пocилити тa iнтeнcифiкyвaти пpoцec фopмyвaння у шкoляpiв вмшь зa-cтocoвyвaти мaтeмaтичнi знaння та ^a^ тицЦ, в нecгaндapтниx yмoвax (ycyнyти тoй нeдoлiк, який випливae Цз звЦту cвiтoвoгo бaнкy [б];

- eфeктивнo здiйcнювaти як мiжпpeд-мeтнi зв'язки мaтeмaтики з шшими шкЦль-ними пpeдмeтaми тaк i зв'язки вcepeдинi мaтeмaтики;

- пЦдвищити пpaктичнy пiдгoтoвкy уч-нЦв Цз мaтeмaтики , вчити ïx oвoлoдiвaти мeгoдoм мaтeмaтичнoгo мoдeлювaння, пo-тужним мeгoдoм нayкoвoгo дocлiджeння;

- фopмyвaти в учнЦв нayкoвy кapтинy cвiтy, пoзитивнi мoтиви дo нaвчaння, вмшня бaчити peaльний cвiт кpiзь мaтeмa-тичнЦ oкyляpи.

СлЦд зaзнaчити, щo пpиклaдниx зaдaч в шкiльниx пiдpyчникax дyжe мaлo, a якщo й e, тй пoдaнi вoни, пepeвaжнo, у виглядЦ cгaн-дapтниx тeкcгoвиx зaдaч. Цю пpoгaлинy мaють зaпoвнити пpиклaднi зaдaчi нa:

- oбчиcлeння знaчeнь вeличин, якЦ зу-cтpiчaютьcя в пpaктичнiй дiяльнocгi;

- cклaдaння poзpaxyнкoвиx тaблиць;

- пoбyдoвy гpaфiкiв, пoлiгoнiв, гicтo-гpaм, гeoмeтpичниx фiгyp;

- зacтocyвaння i oбгpyнтyвaння eмпi-pичниx фopмyл, виpaзiв, piвнянь;

- вивeдeння фopмyл зaлeжнocтeй, якЦ зycтpiчaютьcя нa пpaктицi.

1з cкaзaнoгo випливae виcнoвoк - мa-тeмaтичнe мoдeлювaння мae cтaти нa-cкpiзнoю зм^^^ю лiнieю шкiльнoгo кyp -cy мaтeмaтики. Haми пpoпoнyeтьcя нacтy-пта кoнцeптyaльнa мoдeль фopмyвaння в учнЦв ocнoвнoï шкoли нaвичoк i вмшь мa-тeмaтичнoгo мoдeлювaння (тaбл. 1).

O

Таблиця 1

Навчальний предмет „Математика" 5-6 Навчальний предмет „Геометрiя" 7-9 Навчальний предмет „Геометрiя" 10-12 Л

Чисельне моделювання: числов1 i буквенш вирази, д1аграми i графки, як математичш модели Геометричне моделювання: плашметричш фкури як модел1 реальних об'екпв. Геометричне моделювання: стереометричш фкури як модел1 реальних об'екпв. Навчальна тема „Матема-тичне моделюваня" (12 клас)

Навчальний предмет „Алгебра" 7-9 Навчальний предмет „Алгебра i початки аналiзу" 10-12 J

Аналтичне моделювання: вирази, р1вняння, нер1в-носп i 'х системи, функци i 'х граф1ки як математичш модели Аналгтичне моделювання: функци i 'х графки , р1вняння i нер1вност1 та 'х системи, похщна i штеграл, диференща-льш р1вняння як математичш модели Стохастичне моделювання: пстограма, полной, ймов1ршсть. (Змiст) Математична модель, види матема-тичного моделю-вання, етапи побу-дови i дослiджеиия модели Математичш модел1 шюль-ного курсу математики.

У 5-6 класах учш повинш

- отримати уявлення про числовий та буквенний вираз як математичш моделц навчитися будувати числовi i буквеннi ви-рази для розв'язування текстових задач, обчислювати 'х значення;

- штерпретувати отриманi результати як розв'язки прикладних задач.

У 7-9 класах, вивчаючи курс алгебри, учнi мають:

- розширити вiдомостi про математич-ш моделi, зокрема мати поняття про таю математичш моделi як алгебра'чш вирази, лiнiйнi, квадратнi та рацюнальш рiвняння, рацiональнi нерiвностi, системи рiвнянь i

нерiвностей, функци y = kx + b, y = k,

x

y = ax2 + bx + c та ''х графки:

- навчитися будувати таю моделi пщ час розв'язування прикладних задач;

- штерпретувати, отримаш в ходi до-слiдження побудованих математичних моделей, результати як розв'язки прикладних задач.

Вивчаючи в основнш школi плашмет-рiю учнi повиннi:

- мати уявлення про геометричш гури як математичнi моделi реальних об'екпв;

- вмiти застосовувати геометричш фкури i 'х властивостi до розв'язування прикладних задач;

- штерпретувати отримаш результати як розв'язки прикладних задач.

У 10-12 класах, вивчаючи курс алгебри i початюв анашзу, учшв мають:

- розширити вщомосп про математич-нi моделi, зокрема мати поняття про таю математичш моделi як показникова, лога-рифмiчна i степенева функци та ix графь ки, показниковi та логарифмiчнi рiвняння i нерiвностi, поxiдна i iнтеграл, диференща-льнi рiвняння (гармошчних коливань, екс-поненцiального зростання тощо), стохас-тичнi моделi (пстограма, полiгон, простiр подiй, функцiя розподшу (ймовiрнiсть);

- вмiти будувати назван моделi пiд час розв'язування прикладних задач;

- iнтерпретувати, отримаш в xодi дослiдження побудованих математичних моделей, результати як розв'язки прикладних задач.

(2D

Вивчаючи в старшш, профiльнiй школi стереометрiю учшв повинш:

- мати уявлення про стереометричш фiгyри як математичнi моделi реальних об'екпв;

- вмiти застосовувати стереометрич-ш фiгyри i ix властивосп до розв'язування прикладних задач;

- iнтерпрегyвати отримаш результа-ти як розв'язки прикладних задач.

Завершити таку змiстовy лшю, слiд окремою навчальною темою „Математич-не моделювання", де б учш отримали уза-гальненi знання про математичне моделювання. Зрозумшо, що мае бути врахований також вибраний профшь навчання.

1. Концеп^я математичног освти 12-piHuoi школи: Проект //Математика в школ1. - 2002. - № 2. - С.12-17.

2. Концепцiя профшъного навчання в ста-ршт школi // 1нформ. зб. МОН Украгни. -2003. - № 24. - С..32.

3. Соколенко Л. О. Прикладна спрямова-шстъ шшлъного курсу алгебри i початшв ана-Eisy: Навч. поабник. - Чернтв: Оверянсъка думка, 2002. -128 с.

4. ШвецъВ.О., ПрусА.В. Теорiя та практика прикладног спрямованостг шшлъного курсу стереометрп: Навчалъний поабник. -Житомир: Видавництво ЖДУ iменi 1.Франка, 2007. -156 с.

5. Швецъ В., Прус А. Прикладна спрямова-шстъ шшлъного курсу стереометрп // Математика в школi, 2009. - № 4. - С.17-24.

6. World Bank (1996), World Development Report 1996: From Plan to Market. Oxford and New York: Oxford University Press for the World Bank.

Резюме. Швец В.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ. В статъе рассматриваются прикладная направленностъ школъного курса математики и математическое моделирование как средство ее реализации. Предлагается концептуалъная моделъ формирования учащихся средней школы навыков и умений математического моделирования.

Ключевые слова: прикладная направленностъ школъного курса математики, прикладные задачи, математическая моделъ.

Summary. Shvets V. MATHEMATICAL MODELING AS PROFOUND LINE OF THE SCHOOL MATH COURSE. The applied directivity of the school math course and method of mathematical modeling as facility to its realization are considered in the article. The conceptual model of the shaping pupils' skills of mathematical modeling in secondary school is offered.

Keywords: applied orientation of school course of mathematics, applied tasks, mathematical model.

Надшшла доредакци 3.10.2009р.