CC BY
55МЕТОДИКА РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ У КУРС1 МАТЕМАТИКИ СТАРШО1 ШКОЛИ
В.1.Хотунов,
завюуючии вюдтенням комп'ютерних технологш, Черкаський державний бЬзнес-коледж, м. Черкаси, УКРА1НА
Розглянуто питания методики навчання студент1в коледжгв розв 'язування прик-ладних задач з курсу математики старшог школи. Сформульовано методичш рекомен-даци щодо застосування математичного моделювання для кожного етапу розв 'язування.
Ключов1 слова: приклады задач1, математичне моделювання, методика навчання студент1в коледж1в.
Постановка проблеми. Як зазнача-сться в [1], ключовим завданням освгш у ХХ1 сторiччi е розвиток мислення особис-тосп, орiентованого на стале майбутне. Сучасний ринок пращ вимагае вщ випуск-ника ВНЗ не лише змАстовних теоретич-них знань та практичних вмшь i навичок, а й здатносп самосгiйно !х застосовувати в нестандартних, повсякчас змiнюваних життевих сигуацiях, переходу вщ суспшь-ства знань до суспшьства життево компе-тентних громадян. Одним iз основних на-прямiв реформування освiти за таких ви-мог сьогодення мае бути посилення прик-ладно! спрямованосп навчання. Особливо гостро постае дане питания при пщготовщ фахiвцiв сфери iнформацiйних технологий (ГГ-технологш) в коледж
Як вщомо, циклу фундаментальних дисциплiн при пщготовщ IТ-фахiвцiв в коледжi вiдводигься одне з перших мюць. У курс математики старшо! школи (МСШ) в коледж1, що призначений для ГГ-спецiальносгей, особливу увагу треба придшити ролi МСШ в розвитку суспшьства та в окремих сферах й застосувань. Зо-крема це означае, що студенти повинн оволод^и навичками математичного моделювання. Як зазначаеться в [2], саме цей вид дiяльностi мае бути головним у на-вчанш майбутнiх iнженерiв i технiкiв. До-сягти цього можна за рахунок зваженого
компромiсу мiж стропстю, доступтстю та прикладною спрямоватстю навчання. Прикладна спрямоватсть навчання математики полягае у його функщональному поеднанш з iншими курсами такими, як шформатика, фiзика, хiмiя, бюлопя, геог-рафiя та iншi.
Анал1з останн1х дослщжень 1 публь кацш. Останнiм часом увага науковщв i педагопв зосереджена довкола питання посилення практично! спрямованосп ма-терiалу з математики. Це передбачае ви-роблення у студенпв умшь А навичок що-до застосування отриманих знань у прак-тичнш дАяльносп та при вивченш сумАж-них дисциплАн. Практична спрямоватсть навчання математики найбшьше реашзу-еться ищ час розв'язування прикладних задач. Цим проблемам присвячеш й окре-м дослАдження науковщв А методиспв (С.С.Варданян, Г.Д.Глейзер, В.О.Гусев, Г.В.Дорофеев, М.Я.Ггнатенко, З.Г.Слепкань, Л.О.Соколенко, М.О.Герешин, ГФ.Гесленко,
A.В.Прус, Ю.Ф.Фомших, ГМ.Шатро,
B.О.Швець). Наповнення навчального процесу прикладними задачами е одним Аз головних шляив реашзаци прикладно! спрямованосп шюльного курсу математики, зокрема курсу математики старшо! школи у коледж Однак, слщ зазначити, що розв'язування приладних задач викли-кае утруднення навАть у тих студенпв, яю
©
добре засвоши теоретичний матерiал. Са-ме тому важливим е створення дидактично виважено1 системи прикладных задач iз курсу МСШ та розробка методики навчання студенпв розв'язування таких задач.
Мета статп полягае у виявленнг клю-чових моментгв методики навчання сту-дент1в першого курсу коледжу розв'язування прикладних задач п1д час вивчення курсу математики старшог школи.
Виклад основного матер1алу. При вивченш курсу МСШ студенти мають опанувати поняття та !х означення, аксю-ми, теореми, формули, змiст способiв д!я-льностi, алгоритми, прийоми, методи i способи розв'язування математичних задач, методи доведення тверджень [3]. Особлива роль при вивченш математики належить задачам [4]. Ваею практикою навчання математики (М.1.Бурда, Г.П.Бевз, О.С.Дубинчук, Ю.МКоляпн, Д.Пойа, З.1.Слепкань, Н.А.Тарасенкова, Л.М.Фрiдман) доведено, що тiльки в процесi розв'язування задач можна досягти повного та змюто-вого засвоення зм^у, i тшьки таким шляхом можливе набуття повноцiнних умшь i навичок. А.Дзундза зазначае [5], доцшьно застосовувати в навчальнiй дiяльностi за-соби, якi мають високий розвивальний по-тенцiал (свiтогляднi парадокси, задачi практичного змiсту, дидактичнi iгри, жит-тевi спостереження тощо.) При цьому ва-жливо, щоб змiст задачi забезпечував засвоення форм i процедур пошуково'1 д!я-льностi, а також вiдповiдав стандартам математично'1' науковосп. До того ж, важ-ливо щоб навчальна задача була засобом актуалiзащi i реалiзацii шждисциплшар-них зв'язюв.
Як зауважуеться в [6], сам по собi об-сяг математичних знань мае певну щн-шсть, але головне значення i в житп, i в навчаннi - виробити вмшня застосовувати д! знання на практицi.
Виконання цього завдання вимагае вь дповщного психолого-педагопчного об-грунтування змюту й методiв навчання, скерованих на реалiзацiю компетентнюно-го шдходу до навчання математики, спря-мованого на формування у студенпв сис-
теми вщповщних знань, навичок, досвщу, здiбностей [2].
В основ! розв'язування практичних задач лежить математичне моделювання, а тому для забезпечення прикладно'1' спрямо-ваностi курсу МСШ доцшьно оргашзувати навчання студенев коледжу елеменпв мо-делювання.
Загальновiдомо, що процес математи-чного моделювання складаеться з наступ-них етапiв (рис. 1):
ММЗ РМЗ
J к г
ПЗ РПЗ
Рис. 1. OpieHTOBaHa схема розв'язування
прикладно'' 3aAa4i (за В.О.Швецем)
1) попеpеднiй aнaлiз об'екта, що розг-лядаеться в зaдaчi (на даному етaпi студе-HTiB уточнюють умову зaдaчi та пригаду-ють усе, що знають про даний об'ект);
2) створення або вибip математично'1 моделi (на даному етат студенти надають конкретним об'ектам абстрактний змгст та формулюють задачу мовою математики);
3) дослiдження математично'1 моделi (на цьому етaпi учнi розв'язують матема-тичну задачу);
4) aнaлiз одержаних pезультaтiв та пе-ренесення '1х на об'ект зaдaчi (на даному етат вщбуваеться iнтеpпpетaцiя математичних результатов у контекстi даних конкретно'' зaдaчi).
Кожен iз окреслених етaпiв розв'язування е вкрай важливим для розв'язання зaдaчi та особливо для навчання розв'язування задач. Однак слщ зауважити, що неpiдко виникають ситуаци, коли на практичних заняттях з курсу МСШ указан по-сшдовносп етaпiв не pеaлiзуються повною мТрою. Зокрема виклaдaчi часто зосере-джують основну увагу лише на третьому етaпi, намагаючись вiдpaзу перейти до ма-тематичного формулювання та безпосере-днього розв'язування математично'1' зaдaчi. Це е своерщною помилкою, адже найбь
(Ш>
льш! труднощ! у студентОв виникають як раз тд час з'ясування зм!сту величин, за-д!яних у задачi, вибор! ппотез та матема-тичноi моделi, а також обговорены ходу i результатов 11 дослiдження.
Розглянемо особливосп застосування математичного моделювання тд час розв'язування задач з курсу МСШ. Особлива роль у ход! побудови математично! моделi тд час розв'язування прикладних задач належить евристицi, адже прост! перебори вах можливих вар!анпв не завжди можливт Так, якщо задача мютить п еле-менпв, то анал!з умови задач! може пот-ребувати п •(п -1) кроюв логичного шрку-вання. Якщо ж хоч один елемент задач! буде мати дв! ! бшьше характеристик, тсда кшьюсть лопчних умов, що потребувати-муть анал!зу та перев!рки, зросте в геоме-тричнш прогреси. Вщповщно, якщо ва лопчт умови будуть повшстю анал!зува-тись, то студент буде не в змоз! прийняти ршення, адже час на прийняття ршення, на побудову математично! модел! та на розв'язування задач! обмежений.
1з лопко-психолопчно! точки зору, модель розв'язування задач! доцшьно ро-зширити так, як показано на рис. 2. На кожному ¡з зазначених етатв вщбуваються процеси як шформацшно! пщготовки до розв'язування задач!, так ! самого розв'язування. При цьому слщ зауважити, що процес розв'язування задач! ускладнюеть-ся при щентифшацц пром!жних результатов та прогнозуванш юнцевого результату.
Суттсть психологОчних мехатзм!в розв'язування задач!, зютавлення матема-тичних моделей з досягнутими результатами на кожному з етатв логОко-психологОчно! модел розв'язування задач! зводяться до наступного: перебудова вихь дно! шформаци, зютавлення отриманих результапв з вимогами задач!, при 1х зю-тавленн - перетворення умови у функщо-нальний план та побудова на основ! цього плану загально! гОпотези розв'язування, що визначае зону пошуку. Дал! вщбува-еться пор!вняння результатов подальшого перетворення шформаци ¡з загальною гО-потезою, 11 корегування, уточнення та пе-
ретворення в математичну модель ¡з конк-ретним методом розв'язування. Шсля цього визначаеться юнцевий результат розв'язування на основ! математично! модели яка знову узгоджуеться з первинною умо-вою задач!.
З'ясуиашш -швдашш 1 плану ьашш -йош • рот'яуутмшня*
1 Ндзалача 1"
Оцшкн Кинцсм'гуальна модсиь ГСирпПлсння сичуацп*" ршв*и:{ування*[ ::и| ори му*
Пщзадача-2Ц
Пщзадача-лЦ
т
Юнцсва мота"
Рис. 2. Структурована схема процесу розв'язування прикладно! задач!
1накше кажучи, студент, виходячи з вимог та умов задач! (Р), послщовно переходить до загально! гОпотези (ОН), пОсля чого - до математично! модели тобто спе-циф!чно! ппотези (БН), ! в рештО решт зна-ходить розв'язок задач! (Я).
Даний процес можна описати наступ-ним чином:
Р (К ® Кп) он ^ он (Кп+1 ® Кп+т) SH ^
S-H ( Кп+т+1 ^ Кп+т+г )
де К - послвдовш кроки розв'язування задач!.
Як видно з рис. 2, загальна структура розв'язування задач! прикладного характеру за своею будовою мае «каркасний» характер, як ! структура, презентована на рис. 1. Ус! етапи пов'язан прямими та оберненими зв'язками. Разом з тим кожен з етатв у вщношент до попереднього носить ознаки розв'язку, а у вщношент до наступних - ознаки проблеми. В основ! розв'язування задач! лежить неперервне й
(ш)
переформульовування, побудова поперед-ньо! концептуально! моделА та трансфор-мащя 11 в кшцеву математичну модель розв'язування початково! проблемно! си-туаци - прикладно! задачъ Концептуальна математична модель мае складну будову та формуеться в результат! взаемоди стру-ктурних А фшсованих компоненпв, що м> стяться в нш. Структурн компонента пов'язаш з анашзом проблеми - умови задачу фшсоваш - Аз використанням апрюр-но! шформаци.
Запропонована схема процесу розв'язування прикладно! задач! мае зага-льний характер. Вона може змАнюватись залежно вщ конкретного виду прикладно! задач!. Разом з тим виявлена закономАр-тсть вщшукання розв'язку прикладно! задач! ввдграе важливу роль для оргашза-цА! навчально-пошуково! роботи студенпв на вах р1внях пАзнання. Розглянемо це на конкретному приклад! розв'язування студентами прикладно! задачА з курсу МСШ.
Задача [7]. Знайдгть закон зменшення маси лАкувального препарату в органАзмА людини, якщо через 1 годину тсля вве-дення 10 мг препарату його маса зменши-лась вдвАчт Вважати, що швидюсть розчинення прямо пропорцшна до часу.
На початку розв'язування задач! студентам доцшьно дотримуватись наступно-го плану: попереднш анашз умови та ви-значення об'екта, що розглядаеться в задачу з'ясування того, що саме необхщно знайти в задач!.
В умовА задачА розглядають масу лАку-вального препарату та !! зменшення. Не-обхАдно визначити закон зменшення.
На наступному крощ студеитам необ-хАдно записати умову задачА засобами математики, надати конкретним об'ектам задач! абстрактного характеру. Виписати математичш факти (формули, теореми, означення), якА можуть бути корисними для побудови математично! моделА прикладно! задач!. На даному етат важливо, щоб студенти змогли побачити, якому ма-тематичному апарату вщповщае той чи той математичний об'ект. Для цього необ-хАдно, щоб студенти володАли вАдповАдним
«банком» об'ектних ситуацiй.
На цьому етат студенти вводять наступи! позначення: маса л!кувального препарату - m, час - t, маса лкувального препарату в оргатзм людини в момент часу t - m(t). Так як у задач! йдеться про швидк!сть, то, пригадуючи похщну, а точ-тше мехатчний зтст похщно!, швидюсть розчинення препарату в оргашзм людини позначають - m (t).
За умовою, швидк!сть розчинення пропорцшна до часу. Саме це доповнення е виршальним для побудови математично! модел! в цщ задач!. Його вщсутнють або змша призведе до побудови зовам ш-шо! модел!. Р!вняння m (t) = -kt, де k -
стале додатне дшсне число, е математич-ною моделлю дано! задач!.
Даш студенти дослщжують математи-чну модель задач! засобами математики. При цьому слщ звернути увагу на те, що т факти й формули, як! використовуються для абстрактних математичних моделей опису об'екпв ! ситуацш дшсносп мають наближену форму ! набувають здеб!льшо-го наближених значень, не перевищуючи певного в!дхилення. Це не впливае на за-гальний результат розв'язування ! т цш, як! пересл!дують прикладн! задач!.
Загальним розв'язком даного дифере-нщального р!вняння m (t) = -kt е множи-
kt2
на функцш m (t) = —— + C .
I у рештьрешт студенти приходять у процес розв'язування задач! до анашзу отриманих результапв. Отриманш резуль-тати виступають в першу чергу в рол! пев-но! вщповщ! до попереднього етапу розв'язання суто математично! тдзадач! ! е розв'язком диференщального р!вняння. Разом з тим ц! ж результати е своер!дною умовою-моделлю для розв'язування на-ступно! задач! - вщшукання розв'язюв за умов ф!ксованих значень вих!дних зм!н-них. Тобто вщбуваеться перехщ вщ певно! абстрактно! ситуацш до реально! або абст-рактно-визначено! ситуаци.
Використовуючи початков! умови
© Khotunov V.
m (
(0) = 10, m (1) = 5, отримують C = 10.
kt
2
m (t) =---+10, звщки визначають
v ' 2
окремий розв'язок m (t) = 10 - 5t2. Шсля
цього студенти можуть перейти до висно-вюв, а отже, надати вщповщь до поставлено! задач!: зменшення маси л!кувального препарату в оргашзм людини вщбуваеть-ся за законом m (t) = 10 - 5t2.
Висновки. Розроблена структурна схема навчання розв'язування прикладных задач у курс! МСШ була апробована в Черкаському державному б!знес-коледж! Результати навчання студент!в напряму шдготовки «1нформатика та обчислюва-льна техн!ка» засв!дчують ефективн!сть запропоновано! методики, а тому можуть стати в нагод! пщ час навчання студенпв !нших напрям!в тдготовки.
Подальших дослщжень потребують питання створення системи прикладних задач з курсу МСШ та запровадження !х у навчальний процес.
1. Нацюнальна стратеггя розвитку освти
в Украгт на 2012-2021 роки [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.mon.gov.ua /images/files/ news/12/05/4455.pdf.
2. Навчальна програма з математики для вищих навчальних заклад1в I-II pieHie акредита-цп, ят здшснюють подготовку молодших спеща-Micrnie на основ базовой загальног середньог осв-ти [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://vzvo.gov.ua/navchalni-prohramy/91-mathematics-for -university-i-ii-ra.html.
3. Тарасенкова H.A. Активизация познавательной деятельности учащихся в условиях лекционно-практической системы обучения математике в школе: дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / Тарасенкова Нина Анатольевна. - К., 1991. - 211 с
4. Бевз Г.П. Методика преподования математики: учеб. пособие. - 3-е изд., перераб. и доп. - К.: Вища школа, 1989. - 367 с.
5. Дзундза AI. Особистсний пiдхiд до си-стематизацп начальних задач / А1.Дзундза, С.Г.Цапова //Дидактика математики: Пробле-ми i дотдження: мiжнаp. зб. наук. робт. - До-нецьк, 2009. - Вип. 31. - С. 63-66.
6. Быятн r.I. Теоpiя i практика начання математики в фiнансово-економiчних коле-джах: навч. метод. поаб. / ПБтянт, В.О.Швець. - Черемош: Винниця, 2011. - 212с.
7. СоколенкоЛ.О. Прикладш задачi приро-дничого характеру в курй алгебри i початшв аналiзу: практикум. навч. поаб. /Л. О. Соколенко, ЛГ.Фтон, В.О.Швець. - К. : НПУ ш М.П.Драгоманова, 2010. -128 с.
Резюме. Хотунов В.И. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СТАРШЕЙ ШКОЛЫ. В статье рассмотрены вопросы методики обучения студентов колледжей решения прикладных задач из курса математики старшей школы. Сформулированы методические рекомендации по применению математического моделирования для каждого этапа решения.
Ключевые слова: прикладне задачи, математическое моделирование, методика обучения студентов колледжей.
Abstract. Khotunov V. METHODOLOGY CALCULATING THE APPLIED PROBLEMS IN MATHEMATICS COURSES HIGHSCHOOL. The article deals with the question of teaching methods of college students applied problems of mathematics courses high school. Formulated guidelines for the use of mathematical modeling for each phase of solution.
Key words: аppliedproblems, mathematical modeling, teaching methods of college students.
Стаття представлена професором Н.А. Тарасенковою.
Надшшла доредакци 23.12.2012р.
