CC BY
26
Scientific journal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Гриб'юк О.О. Система duHaMi4H0i математики GeoGebra як зааб nidmpuMKU загальних i спе^альних здiбностей y4Hie в процеа досл'дницького навчання предмет'в математичного циклу: з doceidy роботи. Ф'зико-математична ocвiта. 2020. Випуск 2(24). С. 37-51.
Hrybiuk O. System of dynamic mathematics of GeoGebra as a means of supporting general and special abilities of students in the process of research learning: practical work experience. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 2(24). Р. 37-51.
DOI 10.31110/2413-1571-2020-024-2-006 УДК 373.5:5]:004
О.О. Гриб'юк
1нститут iнфoрмацiйних технoлoгiй i засоб'!в навчання НАПН Украни, Украша Нацональний педагoгiчний унверситет iменi М.П. Драгоманова, Украша
[email protected] ORCID: 0000-0003-3402-0520
СИСТЕМА ДИНАМ1ЧНО1 МАТЕМАТИКИ GEOGEBRA ЯК ЗАС1Б П1ДТРИМКИ ЗАГАЛЬНИХ I СПЕЦ1АЛЬНИХ ЗД1БНОСТЕЙ УЧН1В В ПРОЦЕС1 ДОСЛЩНИЦЬКОГО НАВЧАННЯ ПРЕДМЕТ1В МАТЕМАТИЧНОГО ЦИКЛУ: З ДОСВ1ДУ РОБОТИ
АНОТАЦ1Я
Формулювання проблеми. Система динам'!чно'( математики (СДМ) GeoGebra використовуеться не лише в процеа навчання у закладах вищо'( освти, але пд час навчання шкльного курсу математики. Реформа сучасно'( школи поставила перед учителями завдання практично¡' спрямованост! навчання предметв математичного циклу. Для вирiшення ц'ю'( проблеми необхiдно: забезпечити повноту, систематичнсть та усв'домлен'сть основ наукових знань, ¡х м'щнкть i д/'ев/'сть; ознайомити учнв з основними методами пiзнання природи - спостереженням /' експериментом; навчати ¡х розтзнавати фiзичнi, х'т'нт тощо явища та законом'рност'! в природi /' техн'щ'!; навчити використовувати знання для пояснень /' досл'дження явищ природи, розвивати досл'дницьке мислення з використанням СДМ, /нновац/'йних технологй навчання.
Матер/'али та методи. У досл'дженн'! використовувались емп'ричт методи: спостереження за навчальним процесом учн'ю пд час ¡х навчання математики, аналiз результатв навчальних досягнень учн'ю. Ефективно використовувався наб'1р метод 'ю наукового пiзнання: порiвняльний анал 'з для з'ясування рiзних поглядв на проблему та визначення напрямку досл'дження; систематизац'я та узагальнення для формулювання висновкв та рекомендац'ш; узагальнення авторського педагогЫного досв 'ду та спостережень в рамках експериментального досл'дження. Використовувався диференцiйно-iнтеграцiйний п'дх'д iз врахуванням теоретико-експериментально¡' верифiкацi'¡' результатв досл'дження, показникв переваги у ставленнi учнв до використання окремих iнформацiйних ресурсв i рвнями нтелектуального розвитку.
Результати. У досл'джент знайдет кореляци м'ж показниками переваги у ставленнi учн'!в до використання окремих iнформацiйних ресурсв i рвнями нтелектуального розвитку учн'!в для окремих груп iнформацiйних ресурсв. Параметризац'я використовувалася для здйснення коригування методики досл'дницького навчання з метою педагог'чно доцльного та методично вмотивованого добору навчальних ресурсв в контекст '! м '1шм '1заци протирiч з врахуванням рiвнiв нтелектуального розвитку учн'!в, характерними для конкретно¡' групи учнв (класу). Результати експериментального досл'дження iз використанням комп'ютерно ор 'юнтовано'(методично¡' системи досл'дницького навчання (КОМСДН) в контекст\ вивчення особист\сних компонент'ю загальних \ спец\альних зд1бностей учн'ю виявилися значущими на рюш достов'фност/ (р И 0,05). Використання СДМ веовеЬга в досл/дженн/ розглядаеться в деклькох напрямах: уточнення терм'толог'чного апарату та механ'зм'в роботи iнструментiв 'в врахуванням системи понять /' тверджень шкльного курсу математики; розширення спектру математичних дисциплiн /' системи досл'дницьких задач, розрахунково- графiчних робт з педагог'мно виваженим /' методично вмотивованим використанням СДМ GeoGebra; розширення можливостей експорту та Iмпорту навчального матер'юлу в рамках досл'дницького навчання учн'!в; пдвищення доступност'! GeoGebra в умовах р'!зного рiвня техн'чного забезпечення учнiв. Переваги /' недолки комп'ютерного моделювання розглядаються в контекст'! навчально¡' ': методично'! дiяльностi, для п/'дтримки яко'( вони призначенi.
Висновки. Розглядаються можливост': використання СДМ GeoGebra в процес досл'дницького навчання учн'!в предметв математичного циклу з педагог'чно виваженим використанням компонентв КОМСДН. Оцнювання переваг! недол 'ш'1 комп'ютерного моделювання носить суб'ективний характер, оскльки позитивнi аспекти ! негативнi наслiдки використання GeoGebra визначаються вмннями вчителя методично вмотивовано та педагог'чно виважено використовувати компоненти КОМСДН в навчально-виховному процеа. Матерiали досл'дження будуть корисними вчителям математики, викладачам ! студентам педагогЫних унiверситетЮ, слухачам системи пклядипломно'( педагог'!чно'( освти та уам, хто цкавиться математичною освтою.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: моделювання, комп'ютерно ор'юнтована методична система досл'дницького навчання, iнтелектуальний розвиток, КОМСДН, досл'дницьке навчання, розрахунково-графiчнi роботи, GeoGebra.
ВСТУП
Поширення щей i методiв геометрп в pi3Hi ^y3i науки i виробництва, зростання ролi геометрично! освiти, використання iнформацiйно-комунiкацiйних технолопй в науковiй i освiтнiй дiяльностi сприяе пiдвищенню актуальностi методичних дослщжень в процесi навчання математики, зокрема геометрп.
Грунтовний аналiз праць (В. Ю. Бикова, В. М. Глушкова, М. I. Жалдака, В.А. ДалЫгера, В.П. Дьяконова, А.1.1ванова, Ю.Г. 1гнатьева, М.П. Лапчика, Г.В. Носовського, Ю. С. Рамського, В.Б. Таранчука, £.К. Хеннера та iн.) i дисертацшних дослiджень (О.А. Бушково!. B.I. ^збург, В.Р. Майера, Л.П. Мартиросян i iн.), якi присвяченi використанню систем комп'ютерно! математики в процесi навчання предме^в природничо-математичного циклу у закладах загально! середньо! освiти, дозволяе зробити висновок про те, що проблема навчання учыв розв'язувати математичнi (алгебра!чш, геометричнi) задачi з використанням комп'ютерних методiв залишаеться актуальною та водночас недостатньо дослщженою проблемою (Жалдак, 2003). Дотепер с^мко розвиваеться комп'ютерне (геометричне) моделювання. В тому числi розроблено багато програм, що використовуються для вiзуалiзацií геометричних об'ектiв, що виникають в процесi моделювання рiзних процеав, дослiдження !х властивостей i узгодження комп'ютерних експериметчв з метою перевiрки математичних, фiзичних, бiологiчних, екологiчних, економiчних та iнших гiпотез (Беспалько, 2002). Комп'ютерна модель - це зааб вiдображення зв'язкiв i спiввiдношень, сутностей геометричних об'ектiв. В процесi розв'язування задачi моделi геометричних об'ектiв е необхщними iнструментами дослiдження, проведення експериметчв, перевiрка гiпотез i уточнення фак^в, можливостей виокремлювати закономiрностi i формулювати узагальненi твердження (Гриб'юк, 2013).
В нормативних документах про математичну осв^ (Концепцп шкiльноí математично! освiти, Закону Укра'ни «Про осв^», Концепцп реалiзацií державно! полiтики у сферi реформування загально! середньо! освти «Нова укра'нська школа» на перiод до 2029 року, Плану заходiв на 2017-2029 роки iз !! запровадження та з урахуванням вп^чизняного i зарубiжного досвiду органiзацií навчання шкiльноí математики) рекомендуеться використовувати СДМ з метою досягнення двох ефек^в: забезпечення учням можливостей для здшснення експериментування з використанням СКМ i здшснення вiзуалiзацií математичних об'ектiв (моделей) з метою пщвищення мотивацп та рiвня знань учыв в процесi дослiдницького навчання предме^в природничо-математичного циклу (Гриб'юк, 2020).
Виникнення комп'ютерно! технти призвело до поширення в математик експериментального пщходу. Велике значення в математичних дослщженнях мають комп'ютернi експерименти, що пщтверджують, або заперечують гiпотезу, або наштовхують учнiв на нову iдею. Методи експериментально! математики суттево змiнюють характер математичного дослщження, отримання результатiв i способи проведення доведень, знаходять вщповщне застосування в навчаннi математики (Takaci D., Stankov G., Milanovic I., 2015; СемешхЫа О.В., 2015; Шабанова, 2016; Ястребов, 2017).
Завдяки використанню сучасних Ыформацшно-комунтацшних технолопй з'являються можливост для проведення математичних експериметчв та дослщжень. Комп'ютернi засоби використовуються для висування ппотез, якi пiзнiше доказово обГрунтовуються. Наприклад, для формулювання ппотез, пов'язаних з використанням комп'ютерного моделювання в процеа дослщницького навчання предме^в природничо-математичного циклу та !х експериментально! перевiрки в дослiдженнi (Гриб'юк, 2019a) використовуються ППЗ, система динамiчноí математики GeoGebra. Експериментальнi методи використовувались вченими упродовж уае! iсторií розвитку математично! науки. Саме на оцЫюваны переваг i недолiкiв щодо використання СДМ GeoGebra в процеа досягнення вище зазначених цiлей акцентуеться увага у дослщжены (Гриб'юк, 2019b).
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
В процесi експериментального дослiдження (Гриб'юк, 2016; Гриб'юк, 2019a) iз врахуванням педагопчно виваженого та методично вмотивованого добору шформацмних ресурсiв враховувалися психофiзiологiчнi та психолого-педагогiчнi фактори, серед яких велике значення мають особливост Ытелектуального розвитку учнiв. Визначення доцтьносп використання комп'ютерно орiентованоí методично! системи дослщницького навчання (КОМСДН) та шформацшно-комушкацшних технологiй у процесi навчання учыв предметiв природничо-математичного циклу в школi та оцiнювання ставлення учнiв до щентифтованих ресурсiв слугувало метою здшсненого експерименту. Отриманi в процесi здшснення експериментального дослщження данi використовувалися для вщповщ на запитання: Вкаж'ть, ят iнформацiйнiресурси та КОМСДН е найбльш актуальними в процеа навчання предмет'!в природничо-математичного циклу? Зазначте, чи iснують кореляцiйнi зв'язки м'ж перевагами у ставленн учн'ю до використання окремих iнформацiйнихресурав та р'!внями iнтелектуального розвитку школяр'!в? Вкаж'ть, яким чином необхдно ефективно зд/'йснювати доб'р iнформацiйних ресурав для пдвищення рiвня мотивацп учнiв та ефективност'1 процесу досл'дницького навчання? (див. Таблицю 1, Таблицю 2). Розроблено вщповщн критерп оцшювання ставлення опитаних учасни^в експерименту до застосування компонент КОМСДН. Результати дослщження виявилися значущими на рiвнi дост^рносп (р < 0,001) (Гриб'юк, 2020).
Таблиця 1
Кореляцмш зв'язки м1ж показниками переваги у ставлены y4HiB до використання окремих шформацшних pecypciB
1нформацшний ресурс СДМ Графти Дiаграми Схеми Таблиц
СДМ 1,000 0,220 (0,281) 0,341 (0,089) 0,481 (0,013) 0,511 (0,008)
Графiки 0,220 (0,281) 1,000 0,582 (0,002) 0,454 (0,02) 0,209 (0,305)
Дiаграми 0,341 (0,089) 0,582 (0,002) 1,000 0,551 (0,004) 0,266 (0,189)
Схеми 0,481 (0,013) 0,454 (0,02) 0,551 (0,004) 1,000 0,578 (0,002)
Таблицi 0,511 (0,008) 0,209 (0,305) 0,266 (0,189) 0,578 (0,002) 1,000
Таблиця 2
Кореляцшш зв'язки мiж показниками переваги у ставленнi учшв до використання окремих iнформацiйних ресурав i
ршнями iнтелектуaльного розвитку учнiв
Рiвень
iнтелектуального СДМ Графти Дiаграми Схеми Таблиц
розвитку
1 -0,406 (0,049) -0,627 (0,001) -0,371 (0,074) -0,328 (0,118) -0,113 (0,598)
II -0,489 (0,015) -0,428 (0,037) -0,471 (0,020) -0,380 (0,067) -0,556 (0,005)
III 0,014 (0,949) -0,300 (0,154) -0,221 (0,300) -0,080 (0,711) -0,060 (0,781)
IV -0,116 (0,589) -0,359 (0,085) -0,461 (0,023) -0,493 (0,014) -0,441 (0,031)
Результати експериментального дослiдження i3 використанням методики КОМСДН вивчення особиспсних компонент загальних i спецiальних здiбностей учыв виявилися значущими на рiвнi дост^рносп (p < 0,05) (див. Таблицю 3).
Таблиця3
Результати експериментального дослщження iз використанням методики КОМСДН вивчення особислсних компонентiв загальних i спещальних здiбностей учнiв
№ з/п Назва показника Середне значення показни^в Значення t-критер^ Стьюдента Рiзниця U-критер^ MannWhitney
класи з високою успiшнiстю з математичних дисциплш (ср. матем.> 4,75) - 77 уч. класи з низькою устшыстю з математичних дисциплш (ср. матем.< 4,75)- 227 уч.
Спе^альы здiбностi
1 Спрямоваысть математичного розвитку 62,62 52,93 3,452 0,001
2 Математична пам'ять 62,21 57,91 1,380 0,259
3 Математична штущя 60,71 53,85 2,054 0,042
4 Математична мова 69,00 57,96 3,475 0,003
5 Математичне мислення 65,62 56,21 3,489 0,001
6 Експериментальн здiбностi 64,93 62,66 0,699 0,704
7 Виконання математичних обчислення 69,40 58,82 3,389 0,004
8 Самооцшювання математичних здiбностей 64,73 57,19 3,107 0,008
Загальн здiбностi
9 Пам'ять 60,43 60,83 -0,112 0,880
10 Ытущя 59,53 62,84 -0,877 0,411
11 Мислення 68,15 62,69 2,418 0,085
12 Мовн здiбностi 57,84 57,83 0,003 0,905
13 Винахщливкть 60,31 65,26 -1,415 0,117
14 Математичн здiбностi 60,03 51,60 2,355 0,090
15 Розв'язування задач 52,25 39,48 3,497 0,000
16 Самооцшювання загальних здiбностей 59,35 57,22 0,897 0,251
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
1дея дослiдницького навчання математики у втизнянш науцi зародилася в середин XVIII столiття як iдея наближення навчання математики та наукового дослщження математично! науки. lсторiя розвитку експериментального пщходу в математицi i математичнш освiтi фунтовно описано в монографп (Гриб'юк, 2019).
Згiдно чинного стандарту загально! середньо! освти передбачаеться використання математичних методiв в наукових дослщженнях, застосування методiв математичного i алгортт^чного моделювання в процесi аналiзу прикладних проблем, оволодiння здiбностями самостiйного виконання науково-дослщницько! роботи; розв'язування прикладних задач, в тому чи^ з педагопчно виваженим та методично вмотивованим використанням шформацшно-комунiкацiйних технологiй. В тому числ^ в процесi пiдготовки майбутых бакалаврiв особливе мiсце займае комп'ютерна геометрiя, яку можна вважати зв'язуючою ланкою мiж iншими математичними дисциплшами, що мiстяться в навчальному планк
В дослiдженнi пiд дослiдницьким навчанням розумiеться навчальний процес, пов'язаний з розв'язуванням творчо!, дослiдницькоï задачi iз заздалегiдь вiдомою вiдповiддю та такою, що передбачае наявысть основних етатв, характерних для дослiдження в науковому середовищк постановку проблеми; вивчення теорп, пов'язано! з обраною темою; добiр методик дослiдження та практичне !х засвоення; накопичення власного навчального матерiалу, його аналiз та узагальнення; власш висновки. В навчаннi мета дослщницько! дiяльностi полягае в набуттi учнями дослщницьких умiнь як способу засвоення дшсносп, в розвитку здiбностей до дослщницького способу мислення, в розвитку штелекту учнiв.
В навчально-виховному процеа особливе мкце займае факультативний курс з комп'ютерно! геометрп, яку можна вважати сполучною ланкою з шшими предметами природничо-математичного циклу, що маяться в навчальному план
(Гриб'юк, 2010). Комп'ютерна геометрiя займаеться комп'ютерним моделюванням, пов'язаним з вiзуалiзацieю геометричних моделей. З використанням шструментар^ комп'ютерно' геометрп молодий дослщник отримуе можлив^ь проводити рiзноманiтнi комп'ютерн експерименти, в результатi чого формуються або вiдхиляються тi чи шшл гiпотези. Саме тому вимоги щодо геометрично''' пiдготовки учнiв ефективно переходять на новий рiвень. В експериментальному дослщжены (Гриб'юк, 2019а) розглядаються приклади, де демонструеться ефективнiсть використання експериментальних дослщницьких методiв в процесi розв'язування математичних задач. Однак, найчаспше, учням у процес навчання математики пропонуються готовi конструкцп, позбавляючи 'х, тим самим, можливосл робити вiрнi висновки з урахуванням власного i певним чином оргаызованого досвiду.
СДМ GeoGebra як засiб шдтримки дослiдницького мислення учнiв в процесi реалiзацíí дослщницького пiдходу в навчаннi предмелв математичного циклу.
Створено комп'ютерно ор'ентовану методичну систему досл'дницького навчання учн'ю предмет'!в математичного циклу, компонентами якоI е традиции засоби наочност'1 (таблиц/', д/'аграми, формули, схематичн креслення, модел'1 та iн.) / засоби та прийоми актив/'зацИ досл'дницького мислення учн'!в процеа досл'дницького навчання. З використанням бвобвЬга можна створювати креслення математичних об'ек^в, ям описуються з використанням аналiтичних залежностей в декартовш або полярно системах координат, геометричних перетворень, позицмних i метричних властивостей, лопчних операцш, дiй з векторами i комплексними числами (Гриб'юк, 2013).
Важливо, що при цьому будь-якi задан об'екти або величини (м'ра, дйсне число, м'ра кута, координати, довжина вiдрiзка, значення функ^ональноI залежност'¡, метрична величина та /н.) можуть бути параметрами змши динамiчного креслення, вщповщних зображень та тексту. З використанням конструктивного функцюналу СДМ бвобвЬга в учыв з'являеться можлив^ь створювати «узагальненийобраз об'ект'в (понять)», що описано в навчальному матерiалi (сформульоване означення, умова теореми, задач'1). Для створення графiчного образу об'ект, ям заданi аналiтично, необхiдно записати формулу в командному рядку модуля «Алгебра/ графiки», а вщповщну побудову геометрично''' ф^гури - в командному рядку модуля «Елементарна геометр'т». Для розв'язування задачi необхщно здiйснити перетворення запису в рядковий iз використанням функцiй, вбудованих у модуль. Нижче наведено деяк приклади.
Приклад 1. Знайти значення параметра а, за яких система (1) мае три рiзнi кореы?
BKa3ieKU до розв'язування:
y = a(x - 4),
2 2 2 y 2 + 2(x - 2)y + (x 2 - 4)(2x - x 2) = 0
2 2 (y - x + 2x)(y + x - 4) = 0
(1)
(2)
Дослщимо систему (1) i побудуемо и график (див. Рис. 1 Таблиц 4).Через точку А(4; 0) проходить амейство прямих у = а(х — 4) . Виокремимо т з них, що мають з графтом другого рiвняння три сптьы точки (прямi АВ, АС, Ай, АР).
О^м того, бачимо ще двi прямi, що задовольняють умову задачк З точки А до параболи у = х2 — 2х проведемо
двi дотичн (на рис. 1 проведено одну дотичну АВ). 1нша дотична, проведена до графта функцГ'' у = 4 — х 2 в двох точках.
Аналогiчний результат отримуемо: шша дотична до параболи у = 4 — х 2 вiдмiнна в^д АР.
На основi аналiзу моделi робимо висновок про наявнкть шести розв'язкiв. Якщо рiвняння а(х — 4) = х2 — 2х i
а(х — 4) = 4 — х 2 матимуть один коршь, то кутовi коефiцiенти дотичних до кривих у = х 2 — 2х та у = 4 — х 2 дорiвнюють
вiдповiдно а = 6 ± 442 i а = —8 ± 4^/3 .
х2 — 2 х = 4 — х2 (3)
Абсциса точки М дорiвнюе вщ'емному кореню рiвняння (3): х = —1. Тодi кутовий коефiцiент прямо!' Ай дорiвнюе ( 3^.
Г 5 J
Кутовий коефiцiент прямо! АС дорiвнюе 0. Отже, а = 6 ± 4л/2, а = —8 ± 443, а = — 3, а = 0.
5
Таблиця4
Вказiвки до розв'язування завдання для шдивщуальноТ та груповоТ роботи в процеа дослщницького навчання учшв Правило-орieнтир:
1. Побудувати график функцп у = х 2 — 2х. В рядок формул записати функцю у = хл2 - 2*х.
2. Побудувати график функцп у = 4 — х2. В рядок формул записати функцию: у = 4 -хл2 .
3. Створити повзунок для параметра о Ытервалом вщ -5 до 5 та приростом Д = 0.01.
4. Побудувати пряму у = а(х — 4) .
5. 1з змiною значення параметра змiнюватиметься положення вщповщно! прямо!' (АВ, АС, Ай, АР). Дослщжуемо кiлькiсть розв'язкiв.
6. Для збереження положення вах прямих на графту одночасно треба скористатися функцию «Залишити
? Залишати шд
cnid»
Приклад 2. Сктьки розв'язкiв залежно вщ значень параметра а мае рiвняння (див. Рис. 2-3 Таблицу 5).
ЛГа = к^ 1 (х - 2а)?
(4)
Таблиця5
Вказiвки до розв'язування завдання для iндивiдуально°í та груповоТ роботи в процес дослiдницького навчання учнiв
Вказ'вки до розв'язування:
Введемо замшу (4):
t = х - 2а, ТТГЗа = 1об ! I
3
Отже, якщо а >-1, то рiвняння 3
мае один корiнь; якщо а <-1, то
3
рiвняння не мае розв'язкiв (див. рис. 2).
Правило-орieнтир (див. рис. 3): 1. Створити повзунокдля параметра
а
з ¡интервалом вщ -5 до 5 та приростом 0.01. 2. Побудувати
у = л/ х + а . В
график функцп рядок формул
записати функцiю у = sqrt(x + а).
3. Побудувати график функцп
у = 1оё1 (х - 2а). В рядок формул -
3
функ^ю у = log(1/3, x-2a).
4. 1з змiною значення параметра a змiнюються вiдповiднi положення значень функцй
Рис. 2. Графiчне зображення - залежшсть вiд значень параметра а Джерело: опрацювання власне
Рис. 3. Правило-орieнтир - залежнiсть вiд значень параметра а Джерело: опрацювання власне
Приклад 3. Знайти вс значення параметра а, за яких система рiвнянь (5) мае розв'язки (Рис. 4-5 Таблиц 6).
|у2 - х2 - 2х + 4у + 3 = 0,
х = а +
4У
(5)
Таблиця6
Вказiвки до розв'язування завдання для шдивщуальноТ та груповоТ роботи в процеа дослщницького навчання учшв
Вказ'вки до розв'язування (5): у = (х - а)2, х > а .
Залежысть представляе собою сiмейство напiвпарабол, ям «ковзають» вершинами вздовж осi абсцис, причому розглядаеться лише права впжа. Розкладання на простi множники:
у2 - х2 - 2х + 4у + 3 = (у2 + 4у + 4) - (х2 + 2х +1) = (у + х + 3)(у - х +1) у = -х - 3, у = х -1.
При яких значеннях параметра а амейство натвпарабол мае з одшею зi знайдених прямих хоча б одну сптьну точку (див. рис.4)? Якщо вершини амейства натвпарабол знаходяться правше вщ точки А, але лiвiше в^д точки B (положення точки B вiдповiдае положенню вершини в момент дотику натвпараболи з прямою у = х - 1), то розглянут графти функцiй спiльних точок не мають. Якщо вершина розташована в точц A, тодi очевидно а = -3. Розглянемо систему: |у = х -1,
[у = (х - а)
^ х -1 = (х - а) .
► Панель об'екпв 0 ► Полотно 0
Конка : • с:у = ха + 6х + 9 Нершжсть ! « Ь : х > 3 Пряма !.....+ с1: у = -х - 3 1 • е:у = х-1 Число : • а = -3 \ А 1
/V Сх- \
-4 1! \ -2 Ж-2 0 2 \
Рис. 4. Графiчне зображення - залежшсть значень вщ параметра а. Джерело: опрацювання власне
Отже, система (5) не мае розв'язюв за умови, якщо <а<3 та
4
мае розв'язки за умови: а < -3, або >3 (див. Рис.4).
Правило-орieнтир (див. Рис. 5.1-5.2):
з штервалом в1д -
1. Створити повзунокдля параметра о 5 до 5 та приростом 0.01.
2. Побудувати график функцп у = (х — а)2за умови, якщо х > а . В рядок формул записати функцю у = (х-а)л2.
3. Задати область визначення: х > а .
4. Будуемо графти функцм у = — х — 3, у = х — 1 . В рядок формул записати задан функцп.
5. 1з змiною значення параметра а змшюеться вiдповiдне положення параболи.
Рис. 5.1
а =\о.75 /
\ 2 У= -х -зч. \ 0 У = ч [х - а)У/
-4 -2 /V2 ау \ i
Рис. 5.2. Правило-орieнтир - залежнiсть значень вщ параметра а. Джерело: опрацювання власне
4
Приклад 4. Знайти найменше значення с, за якого система (6) мае один розв'язок (див. Рис. 6 Таблиц 7).
(х — сТЗ )2 + у2 — 2 у = 0, (6)
л/3| х| — у = 4
Таблиця7
Вказiвки до розв'язування завдання для шдивщуальноТ та груповоТ роботи в процеа дослiдницького навчання учнiв
Вказ/'вки до розв'язування: (х — с>/з )2 + (у — 1)2 = 1
Побудуемо графiк функц^Т у = ^х| — 4 (див. Рис.6).
Осктьки в умовi задачi зазначено, що значення с повинно бути найменшим, то з чотирьох кiл потрiбно вибрати те, абсциса центру якого мае найменше значення. Йдеться про коло з центром в точц О1.
И = АР + АО = АР + -4т; |сл/з| = 43 + -4=.
л/з 1 1 -Уз
Оскiльки положенню центра кола з центром О1
7
вщповщае с < 0,, то с = —
3
Правило-оркнтир (див. Рис.6):
1. Створити повзунокдля параметра с - * з ¡интервалом вщ -20 до 20 та приростом 0.05.
2. Побудувати рiвняння кола (х — сл/3)2 + (у — 1)2 = 1. В рядок формул записати: (х - с sqrt(3))2 + (у -1)2 = 1.
3. Побудувати графт рiвняння у = ^ — 4 . В рядок
формул записати функцiю: у = вдЩЗ) аЬв(х) -4.
4. 1з змiною значення параметра с змшюеться вщповщне положення кола.
Рис. 6.1. Правило-орieнтир - залежнiсть значень вiд параметра с.
Рис. 6.2. Правило-орieнтир - залежнiсть значень вiд параметра с. Джерело: опрацювання власне
СДМ GeoGebra як зааб навчання математичному моделюванню. Побудову геометричних об'ект!в використовують в процеа формулювання динам'чних досл'дницьких задач (як мету), причому будь-яка нединам'!чна задача може бути динам1зована (як засб) (Гриб'юк, 2014). З використанням СДМ GeoGebra для здмснення динам1заци передбачаеться два ¡нструменти: ¡нструмент «Перем'щувати», з використанням якого можна виконувати перемЩення точок вщповщного креслення-модел1, що визначають положення i форму зображень геометрично!' ф!гури та ïi компоненпв; ¡нструмент «Повзунок», з використанням якого можна змшювати параметри моделГ На даному етат пропонуються типов! запитання i завдання: кути Za, zp - сум1жы, причому р~а = Х. Необхщно задати три
р1зноманп>л значення Я . Виконайте перемщення точки на кресленн та отримаете вщповщно кути Za , i zp, для яких
р _ а = х . Обчислити градуснi мiри купв /а , i /р. З використанням динамiчноí моделi необхiдно виконати дослiдження взаемного розташування бкектрис вертикальних кутiв. Зобразити результати у графiчнiй формi.
З використанням шструменту «Повзунок» учнi виокремлюють iнварiантнi i варiативнi компоненти вiдповiдноí моделi. Наприклад, учням пропонуеться знайти найменшу юльюсть промешв, проведених через дану точку площини (променi проведен'1 таким чином, щоб уа кути, утворен суадн/'ми променями, були гострими). Увага - будь-яка точка площини повинна належати гострому куту. lнварiантною компонентою е значення кута (гострий), а вар'ютивною -юльтсть промен'ю.
З використанням GeoGebra можливе створення техычно складних креслень: проекцшних зображень стереометричних ф^ур, розгорток просторових поверхонь, а також вiртуальних лабораторш iз врахуванням мiжпредметних зв'яз^в, системи задач iз використанням готових креслень, вiзуалiзацiй процесу 'х виршення i iн. Такi креслення у виглядi файлiв GeoGebra або аплет можна виконати самостiйно (див. рис. 1-13), або скористатися колекщею готових моделей (Гриб'юк, 2019а). Нижче розглядаються приклади розрахунково-графiчних робiт (РГР) (Таблиця 8).
Таблиця8
Завдання до розрахунково-графiчних робгг (РГР) та зразки Тх виконання
Виконати зображення комб'шацН многогранника з тлом обертання та навести побудови цього зображення:
1. Правильна шестикутна шрамща, вписана в кулю.
2. Правильна чотирикутна призма, вписана в кулю.
3. Правильна трикутна призма, описана навколо кулГ
4. Правильна шестикутна шрамща, описана навколо кулГ
5. Цилшдр, описаний навколо правильно'' трикутно'' призми.
6. Цилшдр, вписаний у правильну шестикутну призму.
7. Конус, описаний навколо правильно'' чотирикутно'' трамщи.
8. Конус, вписаний у правильну трикутну трамщу.
9. Куля, вписана в конус.
10. Куля, вписана в цилшдр.
11. Куля, описана навколо конуса.
12. Куля, описана навколо цилшдра.
Зразок виконання РГР. Тема: Конус, вписаний у правильну чотирикутну трам'ду Правило-орieнтир
1. Зображаемо конус.
2. Навколо основи конуса описуемо основу трамщи (правильний чотирикутник).
3. Вершини основи призми сполучаемо з вершиною конуса.
Зразок виконання РГР. Тема: Правильна трикутна
трам'да, вписана в кулю
Правило-орiEнтир
1. Зображаемо кулю, ''' верхнш полюс (N) i нижнш перерiз.
2. Вписуемо в нижнш перерiз основу трамщи (правильний трикутник).
3. Сполучаемо верхнш полюс кулi з вершинами основи.
Схема розв'язання стереометричних задач
1. Обфунтувати елементи, що визначають задан фiгури:
а) форма i розмiщення перерiзiв;
б) положення висот;
в) положення медiан;
г) положення бкектрис та iнше.
2. Обфунтувати, що позначено правильно:
а) кути в прост^ (кут м'ж прямою / площиною (кут нахилу прямоI до площини), лiнiйнi кути двогранних кут'!в);
б) вщстаы в просторi (м'ж прямими, м'ж прямою /' площиною, м'ж площинами, м'ж гранями та /'н.).
3. Пояснити:
а) взаемне розмЩення елеменпв ф^ур, що входять до комбшацп ф^^р i не випливають iз вiдповiдних означень;
б) додатковi побудови, якщо вони виконувалися;
в) положення та елементи ф^ури обертання.
4. На кожному еташ розв'язування вказувати:
а) iз якого саме трикутника визначаються елементи;
б) обфунтувати, який саме трикутник розглядаеться в процес дослщження.
Зразок виконання РГР розглядаеться нижче. Задача. У цилшдр вписано паралелептед зi стороною основи а. Дiагональ паралелепiпеда нахилена до площини основи пщ кутом а , а з бiчною гранню, яка проходить через сторону а, утворюе кут р . Визначити площу бiчноí поверхнi цилiндра (Таблиця 9).
Дано: комбша^я цилiндра i паралелептеда АВСDA1B1C1D1, АГ = а, /ЯХГЯ = а, /ЯдГАХ = р.
Знайти:
61Ч.П.
Розв'язання: I спосiб: Вводимо прямокутну систему координат. Позначимо вв = к, ГС =
У ■
^i ABX (a, o,h), BD(a,y, o), Щ (a,y,h) ■
a2 + y2 + h • 0 ,
""" ™ _ cos P =
a2 + 0 • y + h2
V
a2 + y2
д/a2 + y2 + h' • yj a2 + y2 + 0
2
З ABDD : h =
BD
4a2 + 02 + h2 a2 + y2 + h2 cosP -Ja2 + h2
tga , BD = a2 + y2 ■
cosa
cos ß
BD
1 2
f2+ BD tg2 a
BD
па sin 2a
cos2 ß — sin2 a cos(a + ß)cos(a — ß)
2cos(a + ß) cos(a — ß)
Таблиця 9
Зразок завдання для шдивщуальноТ та груповоТ роботи в процеа дослщницького навчання учшв
Правилo-oрieнтир
1. Зображаeмо прямокутний паралелептед.
2. Навколо основи паралелепiпеда описуeмо основу цилiндра.
3. Зображаeмо цилiндр.
Рис. 7. Джерело: опрацювання власне (https://www.geogebra.org/3d/rgtajnae)
II спoсiб:
I. Нехай /BDB = a, /A1DB1 = ß.
B1D - задана дiагональ паралелепiпеда.
BB — ABC за властивiстю прямокутного паралелепiпеда, DB - проекцiя B1D на ABC. Отже, /BDB = a за умовою i означенням кута мiж прямою i площиною.
II. АB — ADD за властивктю прямокутного паралелепiпеда, A1D - проек^я B1D на A1D1D. Отже, /ADB! = ß за умовою i означенням кута мiж прямою i площиною.
Площу бiчноï поверхнi визначимо з формули S6n = Т • BD • Bß . Нехай BD = x.
1. Д B1BD: BD = BD• cosa = xcosa, Bß = BD• sina = xsina.
2. Д B1A1D: AD = BD• cosß = xcosß.
3. Д A1AD: AD2 = A;A2 + AD2.
(x cos ß)2 = (x sin ß)2 + а
cos(a + ß)cos(a — ß)
BD = -
S
таа sin 2a
2 cos(a + ß)cos(a — ß)
A/cos(a + ß)cos(a - ß) 1 ,Jcos(a + ß)cos(a - ß)
Розвиток в учыв правильного розумшня математики та вщображення математичною наукою явищ i процеав реального свiту е програмною вимогою в процесi навчання математики, в основу покладено моделювання (математичне i предметне). При навчанн математики визначаемо моделювання, як узагальнене iнmелекmуальне вм'ння учшв, що полягае в 3aMiHi математичних об'ект'в, ïx спвв'дношень, cnoco6ie дiяльностi моделями за допомогою eidpi3Kie, числових променв, схем.
Для моделювання використовують рiзнi математичн абстракцп: числовi формули, таблиц^ формули, функцп, рiвняння та ïx системи, нерiвностi, системи нерiвностей, ряди, геометричнi фiгури, графосхеми, дiаграми Венна, графи тощо. Математичне моделювання використовують при розв'язуванн багатьох прикладних, дослiдницькиx задач (Гриб'юк, 2010). Рiвняння, складене за умовою задачу е ïi алгебраïчною моделлю. Моделюванню, особливо алгебра'чному i аналiтичному, необхщно придiлити в школi належну увагу, оскiльки математичнi моделi використовуються при розв'язуванн дослiдницькиx задач (Таблиця 10).
Шд час побудови моделi використовуемо порiвняння, аналiз через синтез, класифтацю узагальнення, що сприяють розвитку мислення. Побудова математично' моделi задачi готуе учыв до моделювання реальних процеав i явищ (Таблиця 11). В процеа розв'язування дослщницьких задач використовують ïx аналiтичнi моделГ Такою моделлю може бути функщя, що описуе явище чи процес, рiвняння, система рiвнянь, нерiвнiсть, система нерiвностей, система рiвнянь i нерiвностей та ш. Набiр конструктивних iнструментiв СДМ GeoGebra для виконання побудов плаыметричних ф^ур вичерпний з точки зору постановки задачi формування в учнiв навичок конструювання динамiчниx креслень iз використанням основних навичок розв'язування задач на побудову за допомогою циркуля та лшмки (Ыструменти «Циркуль» та «Пряма за двома точками», «Ф/'ксований вiдрiзок», «Кут заданоÏ величини», «Центр або середина», «Серединний перпендикуляр» та 'ш.). Безперечно, передбачена можливкть вилучення з панелi шструметчв зайвих (на певному етат розв'язування задач'0 Ыструметчв та доповнити Ыструментальне полотно самоспйно створеними шструментами (Гриб'юк, 2010; Гриб'юк, 2015).
cos а
2
22 а cos a
2 2 а 2 cos 2 a
S
б.п.ц
2
а
а cos a
а sin a
Таблиця 10
Завдання для шдивщуально! та групово! роботи в процес дослiдницького навчання y4HÎB
Рис. 8. Обчислення об'ему тiла, утвореного обертанням криволiнiйноï трапецм навколо осi Ох. Джерело: опрацювання власне
Рис. 9. Обчислення об'ему лла, утвореного обертанням фкури навколо осi Оу. Джерело: опрацювання власне
1. Обчислити об'ем тта, утвореного обертанням криволiнiйноï трапеиД обмежено'1' лiнiями y = 1 + х2, х = 0, x = 1, y = 0, навколо оа Ох.
2. Скласти дослiдниuьку задачу та описати правило-орieнтир для ïi розв'язування.
3. Продемонструвати утворення тiла обертання для криволшшно'|' трапеци (використати опщю СДМ «Залишати cnid»).
1. Обчислити об'ем тта, утвореного обертанням ф^ури, обмежено! лiнiями у = 3 - х2, у = х2 + 1, навколо оа Оу.
2. Скласти дослщницьку задачу з використанням методу математичного моделювання (МММ) та описати правило-орiентир для ii розв'язування.
Вказ'!вки до розв'язування: реалiзацiя всiх етатв математичного моделювання в процесi розв'язування дослщницько! задачi (див. Рис 9) розглядаеться на конкретних прикладах, запропонованих у дослщжены (Гриб'юк, 2010).
Таблиця 11
Завдання для шдивщуально! та групово! роботи в процеа дослщницького навчання учшв
Рис. 10. Моделювання параметрiв крони дерева у насадженнях в умовах лкостепу Укра'ши. Джерело: опрацювання власне
Матерiали для бесiди: Кронам дерев належать важлив'1 еколо^чн функцп (шумопоглинача, оздоровчоптим'затора м'крокл'мату, природничого фльтра). Листя та задерев'янШ' пагони е компонентами крони, що формують асимшяцшний апарат дерева, який в процес фотосинтезу нагромаджуе оргашчну масу за рахунок депонування та акумулювання вуглецю, видляючи кисень в атмосферу. Ултнй день 1га л'су поглинае 220-275 кг СО2, створюючи при цьому 120-150 кг новоIсухоIфтомаси, в'дпов'дно видляе 180-215 кг кисню. Крона дерева становить 20-25% вiд загальноI фтомаси дерева. Обчислити об'ем крони дерева. Скласти дослщницьку задачу та описати правило-орiентир для и розв'язування.
задачу та описати i розв'язування з
Рис. 11. Вказiвки до розв'язування задачк Моделювання параметрiв крони дерева у насадженнях в умовах лкостепу _УкраТни. Джерело: опрацювання власне_
1. Скласти дослщницьку правило-орiентир для и використанням:
а) методу вщ супротивного;
б) методу аналоги;
в) методу варiацií;
г) методу уыверсальносп;
д) методу використання закоыв природи, фiзики, сусптьства.
2. Результати дослщження необхщно продемонструвати з врахуванням методу Сократа.
фундаментальних бюлогп, розвитку
Процес створення шструмен^в в СДМ беобеЬга легко засвоюеться учнями та вчителями. Необхiдно попередньо побудувати динамiчне креслення об'екта з бiблiотеки (рiвнобедрений трикутник, прямокутний трикутник, паралелограм, прямокутник, трапецiя та iн.), а по™ з використанням функцiоналу «1нструменти» обрати функцiю «Створити Ыструмент». В дiалоговому вiкнi виконати три кроки: 1) вказати вихщний об'ект; 2) вказати характеристичний набiр вхiдних об'ек^в; 3) прописати назву нового Ыструменту та правило-орiентир для можливостi подальшого його використання (обрати необхiдну тонку). В процесi побудови рiвностороннього трикутника передбачено використання набору iнструментiв: 1) Коло з центром /' точкою, Перерiз об'ект'!в, Многокутник; 2) Точка, Поворот навколо точки, Многокутник; 3) Коло з центром /' рад'!усом, Дотична, Промiнь, Перерiз об'ект'в, Многокутник (Гриб'юк, 2014).
Для перевiрки результат розв'язування дослщницько! задачi та побудови в беобеЬга передбачена можливкть виведення на екран моытора протоколу. Додатковi елементи побудови можна вилучити з креслення, або змшити стиль подання моделГ Такi можливостi важливi для пщтримки розвитку математичного сприймання, з використанням яких учн можуть концентрувати увагу лише на вагомих елементах та видозмшювати набiр iнструментiв та функцюналу в процесi розвитку ще'( задачi та розв'язування дослiдницькоí задачГ Рекомендуеться акцентувати увагу учнiв на довтьно заданих елементах креслення (функцюнальы залежностi, надбудови, добудови та ш.) завдяки використанню кольорово'' вiзуалiзацií моделей.
В процес навчання шкiльного курсу геометрп в рамках дослiдження (Гриб'юк, 2019а) з використанням комп'ютеризовано' геометрично''' системи виокремлюемо три види моделей: '¡нтутивна модель - фунтуеться на суб'ективному досвщу учнiв; теоретична модель - сформульована i доведена з використанням дедуктивного методу; динам'чна модель - створена з використанням комп'ютеризовано' динамiчноí математично'' системи.
Використання шдивщуальних творчих завдань в процесi дослщницького навчання учнiв математики.
1з врахуванням розвитку дослщницького мислення учнiв ускладнюються ситуацГ'', за яких учнi можуть вщмовитися в^д реального експериментування з використанням матерiальних i комп'ютерних моделей математичних об'ек^в i перейти до мисленневого експериментування (канторiвський тип). Рекомендуеться використовувати систему динамiчноí математики беобеЬга, сумЩаючи при цьому введення геометричних понять з 'х наочною вiзуалiзацiею в процесi засвоення вiдповiдних операцм п^д час виконання креслень. Наприклад, в клас учнi працюють з використанням локально'' версп беобеЬга. Кожен школяр виконуе Ыдивщуальне творче завдання (див. рис. 13-16 Таблиц 12). Результатами роботи учн обмiнюються з використанням дошки Padlet (https://padlet.com/dashboard). Навчальнi предмети: Математика, алгебра, геометрiя (планiметрiя, стереометрiя), креслення, iнформатика (основи шформатики). Багатофунк^ональнсть: використовуеться в процесi навчання предмет математичного циклу (5-9 класи, 8-11 класи).
Мета: розвиток просторового та образного мислення учня; формування в учыв Ытересу до виконання креслень; формування знань основних стандарт виконання креслень; формування вмшня охайно виконувати геометричн побудови; ефективно виконувати креслення шляхом добору необхщного i достатньо'' кiлькостi зображень п^д час виконання креслень. Приклади завдань наводяться нижче (див. Таблицю 12).
Таблиця 12
Картки для виконання учнями завдань реконструктивного та творчого характеру в процес дослщницького навчання предмелв математичного циклу
Рис. 13. Правила оформлення креслень. Джерело: опрацювання власне
Тема: Правила оформлення креслень Завдання 1 (рис. 14):
1. Описати правила оформлення геометричних креслень.
2. Виконати геометричн побудови.
3. Описати властивост об'ект креслення.
4. Перерахувати елементарн графiчнi операцп в СДМ беобеЬга.
5. Описати загальн принципи та прийоми побудови комплексного креслення.
6. Описати правило-орiентир виконання 3D-моделювання.
7. Побудувати перерiз. Описати загальн принципи та прийоми виконання завдання.
Вказ'вки до розв'язування: фунтовы приклади виконання розрахунково-графiчних робп-розглядаються у дослiдженнi (Гриб'юк, 2019а).
Рис. 14. Многокутники. Властивостi лiнiй i фiгyр. Джерело: опрацювання власне
Рис. 15. Креслення плоско! деталк Подiл кола на частини. Джерело: опрацювання власне
Тема: Многокутники. Властивостi лшш i фiгyр. Завдання 2 (рис.15):
1. Описати правила оформлення геометричних креслень.
2. Виконати геометричн побудови.
3. Описати властивост об'eктiв креслення.
4. Перерахувати елементарн графiчнi операци в СДМ GeoGebra.
5. Описати загальн принципи та прийоми побудови комплексного креслення.
6. Описати правило-орieнтир виконання 3D-моделювання.
7. Побудувати перерiз. Описати загальн принципи та прийоми виконання.
Тема: Креслення плоско! деталк Подiл кола на частини. Завдання 3 (рис.16):
1. Описати правила оформлення геометричних креслень.
2. Виконати геометричн побудови.
3. Описати властивост об'ект креслення.
4. Перерахувати елементарн графiчнi операци в СДМ GeoGebra.
5. Описати загальн принципи та прийоми побудови комплексного креслення.
6. Описати правило-орieнтир виконання 3D-моделювання.
7. Побудувати перерiз. Описати загальнi принципи та прийоми виконання.
Вказ'вки до розв'язування: фунтовы приклади виконання розрахунково-графiчних робп- (в т.ч. iз використанням МММ) розглядаються у дослiдженнi (Гриб'юк, 2019а).
Тема: Комплексне креслення. Завдання 4 (рис. 17):
1. Описати правила оформлення геометричних креслень.
2. Виконати геометричн побудови.
3. Описати властивост об'ект креслення.
4. Перерахувати елементарн графiчнi операци в СДМ GeoGebra.
5. Описати загальн принципи та прийоми побудови комплексного креслення.
6. Описати правило-орieнтир виконання 3D-моделювання.
7. Побудувати перерiз. Описати загальнi принципи та прийоми виконання.
> Праигдать 2 1
Рис. 16. Комплексне креслення. Джерело: опрацювання власне
Процес створення креслень, який потребуе додаткових знань та вмшь, ефективно' реалiзацií мiжпредметних зв'язкiв у навчанн математики, перетворюеться на дослщницьку задачу, яка вирiшуеться учнями за наявносп експертно' пiдтримки з боку вчителя в позаурочний час (Гриб'юк, 2010). Безперечно, готовi креслення потрiбно використовувати на уроках в обмеженому об'ем^ оскiльки вони пiдмiняють процес дослщницького мислення учнiв безпосереднiми спостереженнями за поведшкою моделi.
ОБГОВОРЕННЯ
Чи можна уявити хiрурга пiд час оперативного втручання без скальпеля, або стверджувати, що цей Ыструмент не мае значення в ефективнш лшарсьшй практицi? Вчителi теж мають профеайно, ефективно i результативно, педагогiчно виважено i методично вмотивовано використовувати ус можливi iнструменти для пiдвищення Ытелектуального рiвня i мотивацГ'' школярiв, покращення рiвня дослiдницького навчання та математичного виховання учыв. Процес розвитку штелектуального та гнучкого навчання учнiв iз використанням СДМ тривае досi та 'х можливостi зростають. Не можна заперечувати актуальысть використання традицiйних технологш навчання.
Полiаспектнiсть дослiдницького навчання учыв з використанням компонентiв КОМСДН (в т.ч. комп'ютерного моделювання) поеднуе Ыформацшний, психологiчний i дидактичний аспекти. Пщ iнформацiйним аспектом розумiеться: можливiсть отримання нових вщомостей; реалiзацiю добору навчального матерiалу та iнших вiдомостей; розвиток шформацшно''' культури учнiв.
Психолог'!чний аспект реалiзацíí можливостей використання компонентiв КОМСДН (в т.ч. комп'ютерного моделювання) в процес навчання учыв вiдображае: особливий характер взаемовщносин учня з навколишым середовищем iз врахуванням добору варiативного пiдходу щодо побудови учбово' дiяльностi; широку можливостi реалiзацíí iндивiдуального пщходу пiд час навчально-виховного процесу; вплив на тзнавальну обiзнанiсть школярiв; психiчнi особливостi сприйняття, пам'ятi, мислення, уяви; новi можливостi комунiкативноí органiзацГ'' дослщницького навчання.
Дидактичний аспект щодо використання окремих компонент КОМСДН (в т.ч. комп'ютерних моделей) в школi полягае в тому, що з'являеться можливкть: реалiзовувати основнi дидактичнi принципи навчання; використовувати рiзноманiтнi форми органiзацíí навчально-виховного процесу; розробляти i реалiзовувати цiлi дослщницького навчання; добирати змiст навчального матерiалу у вiдповiдностi з доцiльнiстю та педагопчно виваженим використанням комп'ютерних моделей; отримати новi результати навчання учшв.
Переваги використання комп'ютерного моделювання: втьнопоширюване i доступне у використаннi; можливе проектування i створення об'ектiв, як в реальних умовах неможливi (не кнують); можливе прогнозування результатiв експеримент; знаходження оптимально'' форми i конструкцп без створення пробних деталей; експериментування без ризику для здоров'я людини та навколишнього середовища; можливiсть огляду об'екта з рiзноí перспективи. Недолiки використання комп'ютерного моделювання полягають у помилковому твердженн про те, що з використанням моделювання можна яккно виявити новi явища, оскiльки потрiбне пiдтвердження в реальних умовах i в реальних експериментах. Модельний аналiз зменшуе можливi пояснення.
У дослщжены знайденi кореляцГ'' мiж показниками переваги у ставлены учыв до використання окремих шформацшних ресурсiв i рiвнями iнтелектуального розвитку учнiв для окремих груп шформацмних ресурсiв. Параметри використовуються для здшснення коригування методики дослщницького навчання з метою педагогiчно доцтьного та методично вмотивованого добору навчальних ресурав для мiнiмiзацГ'' протирiч з врахуванням рiвнiв iнтелектуального розвитку учыв, характерними для конкретно'' групи учыв (класу) (Гриб'юк. 2020). Результати експериментального дослщження iз використанням компонентiв КОМСДН в контекст вивчення особистiсних параметрiв загальних i спецiальних здiбностей учыв виявилися значущими на рiвнi дост^рносп (р < 0,05) (Гриб'юк, 2020).
Серед уах моделей навчання в закладах загально'' середньо' освiти виокремлюеться дослщницьке навчання, що дозволяе використовувати накопичений позитивний досвщ здiйснення традицмного навчання, доповнюючи його сучасними технолопчними iнновацiями. Вчителi пiдтримують вiдносини з кожним учнем в процеа дослщницького навчання з використанням компонент КОМСДН, намагаючись уникати асиметрп. Всi учасники навчально-виховного процесу обмЫюються iдеями, а вчитель координуе автоном^ учнiв. В результат учнi долають труднощi, в тому чи^ на психологiчному рiвнi (наприклад, невпевненiсть у собi). Обов'язковою умовою е заохочення вщкритосп з боку школярiв, тому успiшнiсть дослщницького навчання вимагае присутностi вчителя, шакше спiвпрацю учнiв без наставника не можна називати навчанням (Гриб'юк, 2019с). Психолопчне забезпечення такого навчання включае наступи компоненти: обговорення творчо' уяви учыв у практичнiй i творчш дiяльностi; створення комфортно'', доброзичливо' атмосфери на заняттях; застосування iндивiдуальних, групових форм навчання; розвиток комунтативних навичок учыв; розвиток iнтелектуального рiвня школярiв; формування знань учнiв на рiзних психологiчних рiвнях (Гриб'юк, 2019а).
Аналiз результатiв експериментального дослiдження дае пщстави стверджувати, що в режимi дослщницького навчання (з участю вчителя) моральна, психолопчна пiдтримка важливiша, наприклад для слабких учыв, нiж необхiднiсть пояснення теоретичного матерiалу курсу. Перевагою дослщницького навчання е можливiсть вчителiв взаемодiяти з кожним учнями в ходi розв'язування дослiдницьких завдань i заохочувати ствробтицтво мiж окремими учнями (в разi потреби). Безперечно, експеримент, в тому чи^ науковий експеримент е важливим засобом наукового тзнання. З використанням КОМСДН за учасп вчителя та учыв, в тому чи^ з педагогiчно виваженим використанням компонент КОМСДН, долаеться психологiчний бар'ер мiж вчителем i учнем, що пщтверджуе прiоритетну участь учня в навчаны i Грунтовне розумiння предметiв математичного циклу в теоретичному i практичному аспектах.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
В свiдомостi учнiв виникае так званий когнiтивний дисонанс, своер'дний «експериментально-теоретичний розрив». Йдеться про зниження мотивацГ' до дедуктивного доведення, знижуеться зацтавлеысть теоретичним пошуком. Безперечно, використання комп'ютерних дослщжень та експеримент в процеа навчання математики в школi мае бути
педагопчно виваженим та методично вмотивованим. Вчитель повинен формулювати дослiдницьку задачу таким чином, щоб розумова д'тльшсть учня не могла Ыдм'шятись комп'ютером. Вщповщно, використання СДМ Geogebra сприяло штелектуальному розвитку учнiв, про що свiдчать результати експериментального дослiдження (Гриб'юк, 2020).
1снування позитивних i негативних момент рiзних форм традицiйного навчання, демонстра^я тiсноí iнтеграцií мiж рiзними видами дiяльностi в класi з використанням КОМСДН доводить необхщысть розвитку вщносин мiж школярами (за тдтримки вчителя) в класi. Крiм того, вчитель виступае в ролi посередника для проведення семiнарiв, лекцiй, уро^в iз врахування психолого-педагогiчних особливостей учыв, стимулюе участь учнiв в обговореннях, в наукових форумах i конферен^ях. З метою пiдтримки рiзних потреб учыв вчитель використовуе дослiдницькi завдання, вiдповiднi форми роботи в рамках дослщницького навчання математики. Результати експеримент доводять, що в процесi дослщницького навчання школярi займаються активнiше та з бтьшою цiкавiстю, в тому чи^ ефективнiше виконують лабораторнi практикуми, розв'язують дослiдницькi задачi, розрахунково-графiчнi роботи (Гриб'юк, 2017; Гриб'юк, 2019). Але найскладнш завдання учн вирiшують в клаа з обов'язковою допомогою вчителя. В процеа дослiдницького навчання учыв математики використання СДМ Geogebra i компонентiв КОМСДН в навчальному процеа сприяе доповненню дедуктивно-абстрактного аналiтичного пщходу синтетичним методом пояснення навчального матерiалу, сприяе розвитку збалансованоí взаемодп лiвоí i правоí пiвкуль головного мозку в процеа розв'язування математичних задач.
Плануеться подальше уточнення окремих компонент КОМСДН учыв предметiв природничо-математичного циклу, що вщповщають контексту педагогiчних завдань профтьно'( школи, з метою пщвищення ефективностi процесу навчання предметiв природничо-математичного циклу у школi та забезпечення штелектуального розвитку учнiв.
Список використаних джерел
1. Беспалько В.П. Образование и обучение с участием компьютеров (педагогика третьего тысячелетия). М.: Изд-во Моск. психол.-социал. ин-та ; Воронеж: МОДЭК, 2002. 352 с.
2. Blomhoj M., Jensen T.H. Developing mathematical modelling competence. Conceptual clarification and educational planning, Teaching Mathematics and its applications, 2003. 22 (3). P. 123-139.
3. Гриб'юк О. О. Досл'дницьке навчання учн'ю предмет'в природничо-математичного циклу з використанням комп'ютерно ор'ентованихметодичних систем: монографiя. Кж'в: НПУ iменi М. П. Драгоманова, 2019a.
4. Hrybiuk O. Problems of expert evaluation in terms of the use of variative models of a computer-oriented learning environment of mathematical and natural science disciplines in schools. Zeszyty Naukowe Politechniki Poznahskiej. Sena: Organizacja i Zarzqdzanie, Zeszyt Nr 79, Poznan: Wydawnictwo Politechniki Poznanskiej (WPP), 2019b, 101-119. ISSN 02399415.
5. Гриб'юк О.О. Перспективи впровадження варiативних моделей комп'ютерно орiентованого середовища навчання предмет природничо-математичного циклу у загальноосвiтнiх навчальних закладах Укра!ни. Збiрник наукових праць Кам'янець-Подльського на^онального унiверситету iменi 1вана Ог'енка. Серiя педагог'!чна / редкол.: П.С. Атаманчук (голова, наук. ред.). Випуск 22: Дидактичн мехаызми дiевого формування компетентысних якостей майбутых фахiвцiв фiзико-технологiчних спе^альностей, Кам'янець-Подтьський. Кам'янець-Подтьський нацюнальний уыверситет iменi 1вана Опенка, 2016. С. 184-190.
6. Гриб'юк О.О. Математичне моделювання при навчаннi дисципл'н математичного та хiмiко-бiологiчного цикл'!в: навчально-методичний поабник для учителiв. Рiвне: РДГУ, 2010. 207 с.
7. Hrybiuk O. Mathematical modeling as a means and method of problem solving in teaching subjects of branches of mathematics, biology and chemistry. Proceedings of the First International conference on Eurasian scientific development. «East West» Association for Advanced Studies and Higher Education GmbH. Vienna. 2014. P. 46-53.
8. Гриб'юк О.О. Психолого-педагопчы вимоги до комп'ютерно-орiентованих систем навчання математики в контекст пщвищення якост освiти. Гумаштарний в'!сник ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький державний педагогiчний ушверситет iменi Григорiя Сковороди». Додаток 1 до Вип. 31, Том IV (46): Тематичний випуск «Вища освп^а Укра!ни у контекст штеграцп до европейського освiтнього простору». Кив: Гнозис, 2013. С. 110-123.
9. Гриб'юк О.О. Вплив шформацмно-комунтацмних технологш на психофiзiологiчний розвиток молодого поколшня. "Science", the European Association of pedagogues and psychologists. International scientific-practical conference of teachers and psychologists "Science of future": materials of proceedings of the International Scientific and Practical Congress. Pragu e (Czech Republic), the 5th of March, 2014. Publishing Center of the European Association of pedagogues and psychologists "Science", Prague, 2014, Vol.1. 276 p. P. 190-207.
10. H rybiuk O. Improvement of the Educational Process by the Creation of Centers for Intellectual Development and Scientific and Technical Creativity: Hamrol A., Kujawinska A., Barraza M. (eds) Advances in Manufacturing II. MANUFACTURING 2019. Lecture Notes in Mechanical Engineering, 2019c.: 370-382. Springer, Cham Online.
11. Гриб'юк О.О. Педагопчне проектування комп'ютерно орiентованого середовища навчання дисциплш природничо-математичного циклу. Науковi записки. Випуск 7. Серiя: Проблеми методики ф/'зико-математично/ i технологiчноi освти. Частина 3. Юровоград.: РВВ КДПУ iм. В. Винниченка, 2015. С. 38-50.
12. Гриб'юк О.О. Рiвнева модель дослщницького навчання учыв математики з використанням комп'ютерно орiентованоí методичноí системи. lнформацiйнi технологиiзасоби навчання, 2020. Том 77. № 3. С. 39-65.
13. Жалдак М.1. Педагопчний потенщал комп'ютерно-орiентованих систем навчання математики. Комп'ютерно-орiентованi системи навчання. Зб. наук. праць. К.: НПУ iменi М. П. Драгоманова. Вип. 7. 2003. С.3-16.
14. Экспериментальная математика в школе. Исследовательское обучение: коллективная монография. М.В. Шабанова, Р.П. Овчинникова, А.В. Ястребов и др. М.: Издательский дом Академии Естествознания, 2016. 300 с.
15. Takaci D., Stankov G. and Milanovic I. Efficiency of learning environment using GeoGebra when calculus contents are learned in collaborative groups. Comput. Educ. 82, 2015. P. 421-431.
16. Семеыхша О. В. Використання програми GeoGebra в дослщжены функцюнальних залежностей (на прикладi розв'язування задач на екстремум). Комп'ютер у школ'1 та ам% 2015. Вип. 6. С. 17-24.
17. Ястребов А.В. Обучение математике в вузе как модель научных исследований: монография. МОН РФ, ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет имени К. Д. Ушинского». Ярославль: Ярославский гос. пед. ун-т им. К. Д. Ушинского, 2017. 306 с.
References
1. Bespal'ko, V.P. (2002). Obrazovanie i obuchenie s uchastiem kompjuterov (pedagogika tret'ego tysjacheletija) [Education and Learning Involving Computers (Pedagogy of the Third Millennium)]. M.: Izd-vo Mosk. psihol.-social. in-ta ; Voronezh: MODJeK [in Russian].
2. Blomhoj, M. & Jensen, T.H. (2003). Developing mathematical modelling competence: Conceptual clarification and educational planning. Teaching Mathematics and its applications, 22 (3), 123-139 [in English].
3. Hrybiuk, O. O. (2019a). Doslidnytske navchannia uchniv predmetiv pryrodnycho-matematychnoho tsyklu z vykorystanniam kompiuterno oriientovanykh metodychnykh system [Research Studying of Students of the Subjects of the Natural and Mathematical Cycle Using Computer-Oriented Methodological Systems]: monohrafiia. Kyiv: NPU imeni M.P.Drahomanova [in Ukrainian].
4. Hrybiuk, O. (2019b). Problems of expert evaluation in terms of the use of variative models of a computer-oriented learning environment of mathematical and natural science disciplines in schools: Zeszyty Naukowe Politechniki Poznanskiej. Sena: OrganizacjaiZarzqdzanie, Zeszyt Nr 79, pp. 101-119). Poznan: Wydawnictwo Politechniki Poznanskiej (WPP). ISSN 0239-9415 [in English].
5. Hrybiuk, O.O. (2016). Perspektyvy vprovadzhennia variatyvnykh modelei kompiuterno oriientovanoho seredovyshcha navchannia predmetiv pryrodnycho-matematychnoho tsyklu u zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladakh Ukrainy [Prospects of Introduction of Variational Models of Computer-Oriented Environment for Teaching Subjects of the Natural and Mathematical Cycle in Secondary Schools of Ukraine]. Zbirnyk naukovykh prats Kamianets-Podilskoho natsionalnoho universytetu imeni Ivana Ohiienka. Seriia pedahohichna. 22: Dydaktychni mekhanizmy diievoho formuvannia kompetentnisnykh yakostei maibutnikh fakhivtsiv fizyko-tekhnolohichnykh spetsialnostei, 184-190. Kamianets-Podilskyi: Kamianets-Podilskyi natsionalnyi universytet imeni Ivana Ohiienka [in Ukrainian].
6. Hrybiuk, O.O. (2010). Matematychne modeliuvannia pry navchanni dystsyplin matematychnoho ta khimiko-biolohichnoho tsykliv [Mathematical Modeling in the Teaching of the Disciplines of Mathematical and Chemical-Biological Cycles]: navchalno-metodychnyi posibnyk dlia uchyteliv . Rivne: RDHU [in Ukrainian].
7. Hrybiuk, O. (2014). Mathematical modeling as a means and method of problem solving in teaching subjects of branches of mathematics, biology and chemistry. Proceedings of the First International conference on Eurasian scientific development. «East West» Association for Advanced Studies and Higher Education GmbH. Vienna, 1-2, 46-53. [in English].
8. Hrybiuk, O.O. (2013). Psykholoho-pedahohichni vymohy do kompiuterno-oriientovanykh system navchannia matematyky v konteksti pidvyshchennia yakosti osvity [Psychological and Pedagogical Requirements for Computer-oriented Systems of Teaching Mathematics in the Context of Improving the Quality of Education]. Humanitarnyi visnyk DVNZ «Pereiaslav-Khmelnytskyi derzhavnyi pedahohichnyi universytet imeni Hryhoriia Skovorody». Dodatok 1 do Vyp.31, Tom IV (46): Tematychnyi vypusk «Vyshcha osvita Ukrainy u konteksti intehratsii do yevropeiskoho osvitnoho prostoru», 110-123. Kyiv: Hnozys [in Ukrainian].
9. Hrybiuk, O.O. (2014). Vplyv informatsiino-komunikatsiinykh tekhnolohii na psykhofiziolohichnyi rozvytok molodoho pokolinnia [The impact of information and communication technologies on the psychophysiological development of the younger generation]. "Science", the European Association of pedagogues and psychologists. International scientific-practical conference of teachers and psychologists "Science of future": materials of proceedings of the International Scientific and Practical Congress. Prague (Czech Republic), the 5th of March, 2014. Prague: Publishing Center of the European Association of pedagogues and psychologists "Science". Vol. 1. 190-207. [in Ukrainian].
10. Hrybiuk, O. (2019c). Improvement of the Educational Process by the Creation of Centers for Intellectual Development and Scientific and Technical Creativity: Hamrol A., Kujawinska A., Barraza M. (eds) Advances in Manufacturing II. MANUFACTURING 2019. Lecture Notes in Mechanical Engineering (pp. 370-382). Springer, Cham Online [in English].
11. Hrybiuk, O.O. (2015). Pedahohichne proektuvannia kompiuterno oriientovanoho seredovyshcha navchannia dystsyplin pryrodnycho-matematychnoho tsyklu [Pedagogical design of computer-based learning environment for natural sciences and mathematics]: Naukovi zapysky. Vypusk 7. Seriia: Problemy metodyky fizyko-matematychnoi i tekhnolohichnoi osvity. Chastyna 3. Kirovohrad: RVV KDPU im. V. Vynnychenka, 38-50 [in Ukrainian].
12. Hrybiuk, О.О. (2020). The Variativ Model for Research Training for Math Students using Computer-oriented Methodical System. Information Technologies and Learning Tools. (Vol 77. No 3. pp. 39-65) [in Ukrainian].
13. Zhaldak, M.I. (2003). Pedahohichnyi potentsial kompiuterno-oriientovanykh system navchannia matematyky [Pedagogical potential of computer-oriented systems of teaching mathematics. Computer-oriented systems of teaching: kompiuterno-oriientovanisystemy navchannia:Zb. nauk. prats. Vyp. 7. Kyiv: NPU imeni M. P. Drahomanova, 3-16 [in Ukrainian].
14. Shabanova, M.V., Ovchinnikova, R.P. & Jastrebov, A.V. (2016). Jeksperimental'naja matematika v shkole Issledovatel'skoe obuchenie [Experimental mathematics at school. Research training]: kollektivnaja monografija. M.: Izdatel'skij dom Akademii Estestvoznanija [in Russian].
15. Takaci D., Stankov, G. & Milanovic, I. (2015). Efficiency of learning environment using GeoGebra when calculus contents are learned in collaborative groups. Comput. Educ., 82, 421-431 [in English].
16. Semenikhina, O.V. (2015). Vykorystannia prohramy GeoGebra v doslidzhenni funktsionalnykh zalezhnostei (na prykladi rozviazuvannia zadach na ekstremum) [Using GeoGebra in the study of functional dependencies (on the example of solving problems to the extreme)]. Kompiuter u shkoli ta simi - Computer at school and family, 6, 17-24 [in Ukrainian].
17. Jastrebov, A. V. (2017). Obuchenie matematike v vuze kakmodel' nauchnyh issledovanij [Education in mathematics as a model of research]: monografija. MON RF, FGBOU VO «Jaroslavskij gosudarstvennyjpedagogicheskij universitet imeni K. D. Ushinskogo». Jaroslavl' : Jaroslavskij gos. ped. un-t im. K. D. Ushinskogo [in Russian].
SYSTEM OF DYNAMIC MATHEMATICS OF GEOGEBRA AS A MEANS OF SUPPORTING GENERAL AND SPECIAL ABILITIES OF STUDENTS IN THE PROCESS OF RESEARCH LEARNING: PRACTICAL WORK EXPERIENCE
Olena Hrybiuk
Institute of Information Technologies and Learning Tools of NAES of Ukraine National Pedagogical Dragomanov University, Ukraine
Abstract.
Formulation of the problem. Dynamic mathematics GeoGebra is not used only in the process of learning in institutions of higher education, but while teaching school mathematics. The reform of the modern school has set teachers the task of the practical orientation of teaching subjects of the mathematical cycle. To solve this problem it is necessary: to ensure the completeness, consistency, and awareness of the foundations of scientific knowledge, their strength and effectiveness; to acquaint students with the basic methods of knowledge of nature by observation and experiment; to teach them to recognize the physical, chemical, and similar phenomena and patterns in nature and technology; to teach to use knowledge to explain and study the phenomena of nature, to develop research thinking using SDM, innovative teaching technologies.
Materials and methods. To achieve the goal of the study, empirical methods were used: observation of the educational process of students during their teaching of mathematics, analysis of the results of students' academic achievements. A set of methods of scientific cognition was effectively used: a comparative analysis to clarify different views on the problem and determine the direction of research; systematization and generalization to formulate conclusions and recommendations; generalization of the author's pedagogical experience and observations in the framework of experimental research. A differential-integration approach was used, taking into account the theoretical and experimental verification of research results, indicators of superiority in the attitude of students to the use of certain information resources, and levels of intellectual development.
Results. The study found a correlation between indicators of advantages in students' attitudes to using individual information resources and levels of the intellectual development of students to particular groups of information resources. Parameterization was used to carry out adjustments to the methodology of the research study with the purpose of pedagogically appropriate and methodologically motivated selection of learning resources in the context of minimization of contradictions concerning levels of the intellectual development of pupils, specific groups of students (class). The results of an experimental study using a computer-oriented methodical system of research training in the context of the study of the personal components of General and special abilities of pupils were significant at confidence level. SDM the use of GeoGebra in the study is addressed in several areas: clarification of terminology and mechanisms of the instruments in the context of a system of concepts and statements of a school course of mathematics and mathematical disciplines in institutions of higher education in the context of continuous education; expanding the range of mathematical disciplines and systems research tasks, design graphics tasks in support of the resolution which is used SDM GeoGebra; expansion of possibilities of export and import of educational material in the framework of the research training of students; increasing the availability of GeoGebra at different levels of technical support to students. The advantages and disadvantages regarding the use of the Geogebra are considered in the context of learning and teaching activities, to support which they are intended.
Conclusions. Possibilities of using GeoGebra in the process of research training of students of mathematical cycle subjects with pedagogically balanced use of COMSDL components are considered. Assessing the advantages and disadvantages of using GeoGebra is subjective, as the positive aspects and negative consequences of using GeoGebra are determined by the teacher's ability to methodically motivated and pedagogically balanced to use the components of COMSDN in the educational process. The research materials will be useful for teachers of mathematics, teachers, and students of pedagogical universities, students of postgraduate pedagogical education, and anyone interested in mathematical education.
Keywords: computer-oriented methodical system of research training, modeling, intellectual development, KOMSRL, pedagogical design, research training, GeoGebra.
