Синтез h 2‑оптимального регулятора для сингулярной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 681.5.01

О.Ю. Торгашова, О.Е. Шворнева СИНТЕЗ Н2-ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ

Рассматривается задача синтеза H2-оптимального статического регулятора для управления сингулярным объектом при полной информации. Приводится пример синтеза H2-оптимального регулятора,

иллюстрирующий полученные результаты.

Сингулярная система, синтез, оптимальное управление.

O.J. Torgashova, O.E. Shvorneva SYNTHESIS OF A H2-OPTIMUM REGULATOR FOR SINGULAR SYSTEMS

We consider the problem of synthesis of H2-optimal static controller design for a singular target for full details. Is an example of the synthesis of H2-optimal controller, illustrating the results.

Singular system, synthesis, optimum control.

При решении задачи синтеза оптимального регулятора важным является выбор критерия оптимальности. При неопределенных внешних возмущениях в качестве критерия оптимальности часто выбирается Н2-норма передаточной матрицы замкнутой системы, которая является коэффициентом передачи между Ь2-нормой внешнего возмущения (энергией входного сигнала) и Ьто-нормой регулируемого выхода (интенсивность выходного сигнала).

Несмотря на то, что проблема синтеза Н2-оптимального управления для линейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями, достаточно хорошо изучена, эквивалентная задача для сингулярных систем привлекла внимание исследователей совсем недавно. Сингулярные системы, помимо так называемых конечных динамических мод, содержат нединамические и импульсные моды [1], которые должны компенсироваться синтез ирован-ным Н2-оптимальным регулятором.

В [2] задача синтеза Н2-оптимального управления при полной информации для непрерывных сингулярных систем решается с помощью частотных методов. В данной работе решение строится с использованием временных методов.

Рассмотрим систему

Ex = Ax + Bu + Gf, y = Dx + Su,

1)

где xe Rn, u e Rm, y e Rr - векторы состояний, управлений и измеряемых выходов соответственно, f e Rv(v> r) - вектор переменных, представляющий возмущающий вход системы; A, B, G, D, S, E - числовые матрицы соответствующих размеров, rank(E) = n1 < n. Будем полагать, что система (1) является полностью управляемой и полностью наблюдаемой.

Требуется синтезировать закон управления

и = Кх

2)

так, чтобы Н2-норма передаточной матрицы замкнутой системы была минимальной.

Известно [3], что сингулярная система (1) может быть представлена в центральной канонической форме (ЦКФ)

ЛЛ -1Г Г х

0" х1 " А 0 " х1 + В1 и + О1

1_ 0 N _ х 2 _ 0 п 2 х 2 В 2

/, У = [Д Д ]

х.

+ 8и.

3)

где х1 є Я”1, х2 є Я”2 - составляющие вектора х, п1 + п2 = п, матрица N размерности п2 хп2 является нильпотентной, т.е. Nh = 0, к - индекс системы.

Структура решения сингулярной системы, представленной в ЦКФ (3), при отсутствии внешних возмущений имеет вид [3]

х(') =

1 1 ^1 О 1 1 1 є"1' [!„1 0]х(0) + ~1п1' 0 | еА(,-тт) ВиШт— 0 " 0 " 1т _ к-1 [0 1п2 ]х(0) - г=1 ' 0 ' 1т _

к-1

X іїяиЧґ). (4)

г=0

Из (4) видно, что импульсные составляющие будут отсутствовать в случае. Для удобства решения задачи синтеза представим систему (1) в виде

к = 1

"1,1 0" " "11 А12 х + " В1" и+ О '

х =

_ 0 0_ _ А21 А22 _ _В2 _ О _

/, у = [Д Д2 ]х + 8и

5)

что может быть достигнуто применением сингулярного разложения.

Для объекта (5) введем вспомогательный регулятор, понижающий индекс системы до единицы:

и = [0 К 2 ]х + ж

6)

Система, замкнутая регулятором (6), описывается уравнениями

~1П1 0 " "11 А12 + В1К 2 х+ В1 w + О,

х =

_ 0 0_ _ А21 А22 + В2 К 2 В 2 о2

/, у = [Д + 8К 2 Б 2 + 8К 2 ]х + Sw.

Представим систему (7) с помощью матриц преобразования

е =

I

п1

0

(А12 + В1К2 )(А22 + В2К2 )

-1

Р =

1.1

(А22 + В2 К2 ) 1 А21

0

(А22 + В2 К2 )

-1

в ЦКФ с новым вектором состояний хN = Р 1 х :

~1щ 0" "-N1 0 ' XN + BN1 w + ^N1 "

х N =

_ 0 0_ _0 1 п 2 _ _ BN 2 _ О 2 _

/, у = [ДУ1 2 ] XN +

Отметим, что матрицы Є, Р существуют, т.к. система (1) управляема.

В системе (8) будут отсутствовать импульсные составляющие.

Введем управление w = К 0к. и с помощью еще одного преобразования

" 1п1 0 ■

_— ВУ2 К1 1 п2 _

снова представим систему в ЦКФ

Есхс = Асхс + Ос/, у = Дсхс

хс = PCXN

хл

с матрицами

Е = ЕР

Ес с

~1„1 0" _ 0 0_ , Ас = АУРс = АУ1 + ВШК1 _0 0 ' 1п2 _ , Вс = ВУ1 _ВУ 2 _ , Ос = 1 1 р о 21 1 1

8)

9)

2

Бс = БтРс = [Бт1 + СК1 Бт2 ]> с = - Бт2Вт2 ).

Дальнейшее решение задачи сводится к решению вариационной задачи на условный экстремум с функционалом вида

■<т „лС.л т^г ТЛ „Ас,(/

II 112 <•:

]=К.- (4 = 1» ^

СС,е”с|'ВС1 Вс,е Ос, 0

0

0

№

&с1е Вс1 Вс,еАс1Ос1

)йг. (10)

Для системы, представленной в ЦКФ (9), весовая матрица содержит только один ненулевой диагональный блок, соответствующий подсистеме, описываемой дифференциальными уравнениями [4]. Этот факт позволяет свести решение задачи Н2-оптимизации для сингулярной системы к известному решению для системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим вспомогательный функционал

Jl = Sp{GсlGтClX)+ 8р{хЛс1 + ЛТС1X + БТС1] л), 11)

где матрица Л имеет смысл неопределенного множителя Лагранжа.

Из необходимых условий безусловного экстремума для функционала (11) можно получить выражение для К1:

К1 =-(сТс)_1(ВЫ1 X + сТБм), ХЛ + ЛТX -ХВВТX + ВТБ = 0 .

12)

Матрицы, входящие в уравнение Риккати, определяются выражениями

Л = Лы1 - Вт (с с У1 с Б, Б = [/ - с (с с)~1 с Г Бт, В = Вш (с с)

Окончательно решение задачи синтеза имеет вид

и = [ К1 Р~1 К 2]Р - х,

13)

где Рт, Р - матрицы преобразований.

Матрица К 2 вводится для устранения импульсных составляющих, матрица К1 минимизирует Н2-норму передаточной матрицы замкнутой системы.

В качестве примера рассмотрим систему

1 0 0" 1 0 0" т "0"

0 0 1 X 0 1 0 х + 0 и + 1

0 0 0 0 0 1 1 0

/, у = [1 1 1]х

Закон управления, найденный в соответствии с (13), будет иметь вид

и= [5.8284 -1.0000 -4.8284]*.

14)

15)

Рис. 1. Переходные процессы в системе (16)

Система, замкнутая полученным регулятором:

1 0 0" "6.8284 -1 - 4.8284" "0"

0 0 1 x = 0 -1 0 x + 1

0 0 0 5.8284 -1 - 3.8284 0

Переходные процессы в замкнутой системе, полученные для f = 1(t ), представлены на рис.1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Takaba K. H Control For Descriptor Systems - A J-Spectral Factorization Approach / K. Takaba, N. Morihira, T. Katayama // Proc. 33 TEEE Conf. Décision and Contr. 1984. P. 2251-2256.

2. Kucera V. The H2 Control Problem For Descriptor Systems. 2005.

3. Dai L. Singular control systems: Lecture notes in control and information sciences, 118. Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springler-Verlag, 1989.

4. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН «Наука», 2003.

Торгашова Ольга Юрьевна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.

Шворнева Ольга Евгеньевна -

магистрантка кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 18.07.11, принята к опубликованию 9.11.11