Синтез сингулярно-возмущенного адаптивного управления нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

А. Ю. Ключарев Астраханский государственный технический университет

СИНТЕЗ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОГО АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Введение

Адаптивное управление нелинейными объектами в настоящее время является одним из наиболее бурно развивающихся разделов теории управления. Особый интерес вызывает задача управления по входу-выходу [1], в которой на первый план выходит проблема отсутствия информации

о векторе состояния объекта. Для решения указанной проблемы предложены итеративные процедуры синтеза управления [2], основанные на приведении исходной модели объекта управления к канонической форме [3].

Наряду с дифференциально-геометрическими методами для управления по входу-выходу успешно применяется сингулярно-возмущенное адаптивное управление. Данный подход эффективно использован как для анализа [4], так и для синтеза систем управления [5-7]. Для извлечения информации о векторе состояния предложено использовать приближения производных выхода объекта, полученные с помощью реальных дифференцирующих устройств [5]. Этот метод синтеза применен для управления линейным и некоторым классом нелинейных объектов [6]. В иной форме сингулярно-возмущенное управление выразилось в использовании наблюдателя с большим коэффициентом усиления (high-gain observer, HGO) [7, 8]. HGO - устройство, позволяющее робастно оценивать с произвольной точностью вектор состояния неопределенного объекта управления.

Наличие запаздывания в объекте управления осложняет процедуру синтеза системы управления по выходу. Это в большей степени объясняется сложной структурой фазового пространства подобного объекта. В [9] рассмотрено решение задачи синтеза адаптивного управления по выходу для квазилинейного объекта с запаздыванием по состоянию, в [10] исследованы нелинейные объекты общего вида. Одним из дальнейших путей исследования задачи синтеза управления нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию видится метод сингулярно-возмущенного управления, рассмотренный ниже.

Постановка задачи

Рассмотрим нелинейный объект управления со скалярным входом-выходом:

x = Ax + b{pu + 9^ro{y,y(t - т)} + y{x, x(t - t), t}+ f (t)}, y = Lx, (1)

где х е Rn ; у,и е R - состояние, выход и вход объекта соответственно; /(V) е R - ограниченное возмущение; ю(у, у(t — т}) е Е - известная вектор-функция с гладкими компонентами; ¥(х, х^ — т}) е Е - неизвестная функция, удовлетворяющая условию: ¥| < ¥1 (у}|| х||+¥2 (y(t—т})|х(t—т}||; ¥^¥2 е Е+ - гладкие функции; А е Епхп, Ь е Епх1,L е Е1хп - матрицы вида

А =

Г0 ! ІП-1 л Г о ^

, Ь = , L

1 0 V

L = (^ / 2,_, 1т Д.,.,0);

11 е Е, /' = 1... т - некоторые числа, такие, что полином Ь(р) = ^^рг 1 -

i=1

устойчивый; 9, е Е1, р е Е+ - неопределенные параметры объекта, постоянные и принадлежащие известному ограниченному множеству Е.

Считаем, что вектор состояния х(^ недоступен изменению. Предполагается, что множество начальных состояний х0 (5} ограничено.

Желаемая динамика выхода объекта задается эталонной моделью

Ум (0 = , (2)

ам(Р}

где r(t} е Е - кусочно-гладкое, ограниченное задающее воздействие; ам (р) - устойчивый, нормированный полином deg ам (р) = п — т с неизвестными коэффициентами из ограниченного множества.

Требуется синтезировать систему управления, обеспечивающую выполнение цели

Нш|у(V} — ум (0| < А , А > 0 - произвольно малое число. (3)

Отметим, что уравнение (1) описывает достаточно широкий класс объектов, включающий в себя, в частности, линейный стационарный и нестационарный объекты.

Синтез гладкой обратной связи

Рассмотрим реализацию неминимальной эталонной модели

Ум ^) =----^ г ^) :

ам (Р) ДР)

хм = Ахм (V) + Ь{г(V) + аТм4м (V)}, Ум (V) = Lхм (V), (4)

где хм (V) е Еп - состояние модели. Пусть е^) - ошибка слежения:

) = У^) — Ум (V). (5)

Тогда, принимая во внимание (1), (4), модель динамики ошибки

слежения определится соотношением

) = Ае^) + ь{ри (V) + 9* ю{у, y(t — т)}+ у{х, х^ — т)}+ / * (V)}, (6)

е(/) = Ls(t),

где /* (V) = /(V) — атмхм (V) — ), s(t) = х() — хм(V).

Наряду с ошибкой слежения (5) рассмотрим сигнал

п— т—1

0(0 = еп—т (V) + X Уге(г)(0, (7)

г=0

где уг, ' = 1... п — т — 1 - коэффициенты заданного устойчивого полинома

п—т—1

У(Р) = Рп—т + X УгР' .

Сигнал о(/) представляется в виде о(/) = Gs(p} , где G е Е1хп, GT = со^',г = 0...п — 1}, gi, г = 0.п — 1 - коэффициенты устойчивого

п—1

полинома G(р) = X gipг = L(p}y(p} . Кроме того, G(р) является числи-

І = 0

«о / \

телем передаточной функции G(р1 - А) 1Ь =

Рп

Принимая во внимание управляемость пары (А, Ь), по следствию частотной теоремы [2] заключаем, что система матричных уравнений

{(А + ЬаТ )Ч + Ні(А + Ьат )=-Q - ріп - дІп, QT = Q > 0, д > 0,р > 0, (8)

"[а = ьтн1

разрешима относительно вектора а є Rn и матрицы Н1 є Rnxn,

Н1Т = Н1 > 0, для некоторых Q , д ,Р .

Учитывая сказанное, модель ошибки слежения (6) преобразуем к виду

|є(ґ) = А)в(ґ) + Ь{ри(ґ) + 0Гю{у,.у(ґ - т)}+ у{х, х(ґ - х)}- атє + /*(ґ)} (9) [о(ґ) = ає(ґ), А0 = А + Ьат.

Выберем алгоритм адаптивного управления в виде

и(ї) = 0Т (Ґ)ю^ у(ґ - т)}+ (§(Ґ) - §п )о + (^2 (ґ) - §21 )с¥і2 (У) + ••• •;• + (§3(Ґ) - §31 )а^2 {У(Ґ - т)}

0(ґ) = -о(ґ)Гю{у, у(ґ - т)}- а00(ґ), Гт = Г > 0; (10)

§1 =-а11°2(0 - а12§1(ґ) §2 =-а21°2(0У12(У) - а22§2(ҐX

§3 = -аз102(Ґ)^2 {У(Ґ - т)}- аз2§з(ҐX

где §г1 > 0 , ' = 1. 3, агу > 0, ' = 1.3, j = 1,2, а0 > 0, Г е Е х - параметры алгоритма.

Алгоритм (10) обеспечивает диссипативность замкнутой системы (9), (10), что показывается с помощью функционала Ляпунова - Красовского:

¥1 = єтН1є + Р1 )||є(^)|2 ds + р]Г Г ^(Ґ) + ^

+ •••

(

• •• + р

0.

Л

т

Г-1

(

0

V аі1 V

Л

(11)

где Н1 - решение системы (8); 0 < в1 < в, § > 0, ' = 1. 3 - параметры функционала, удовлетворяющие неравенствам:

, II а ||2 „ 1

§1* > ----- ------ , §9* > ----------------------

^ Р(Р - Р1Г Р(Р - Р1)

§3* >

1

2РЄтр

(12)

Тогда, с учетом (8)-(10), полная производная функционала (11) на траекториях замкнутой системы имеет оценку

(13)

sup

где М = Ґ

/* (Ґ) Шр||хм| Шр||хм (Ґ - т)|

- + -

а число V = тіп <

2Р§11 2Р§21

г '0І

+

+ рХ—§ 2*+а°0* г-10* ,

а,

2р§3

і=1 аі1

Н

; аі 2,І 1---3; а0

Таким образом, по теореме 1.12 [10], из (13) следует диссипативность замкнутой системы (9), (10). Предельное множество задается неравенством V < мЛ , причем, в силу определения числа М, его радиус может быть произвольно малым при соответствующем выборе параметров алгоритма (10). Итак, установлен следующий вспомогательный результат.

Лемма 1. Алгоритм адаптивного управления (5), (7), (10) при выполнении условий (8) обеспечивает достижение цели (3) в системе управления объектом (1) с эталонной моделью (2). При этом на траекториях замкнутой системы выполнено неравенство (13).

І-Т

В лемме 1 предложен алгоритм адаптивного управления, определенный гладкими функциями, обеспечивающий достижение в замкнутой системе цели (3). Полученный адаптивный регулятор в свете исходной постановки задачи нереализуем, так как в нем использован неизмеряемый сигнал (7). Однако в лемме 1 определена «функциональная» структура искомого алгоритма адаптивного управления, для реализации которого все недоступные переменные необходимо заменить их оценками.

Синтез адаптивного управления с наблюдателем с большим коэффициентом усиления

Рассмотрим построение наблюдателя с большим коэффициентом усиления (HGO), предназначенного для получения оценки неизмеряемого сигнала о(*). Для решения этой задачи рассмотрим систему дифференциальных уравнений, полученную последовательным дифференцированием сигнала е(*) , которую, с учетом (1), можно представить в виде

6! = О! = еЦX

О1 = о,-+1,1 = 2...П - т, (14)

6п-т+1 = Ф(Х х( - ),0*, *^

где Ф() е Я - некоторая гладкая функция своих аргументов.

Соотношение естественным образом определяет структуру HGO:

Ё = А Ё-И(е - О1), (15)

где Ё = со1 |ог-, 1 = 1...п - т +Ц е Яп-т+1 - вектор оценок;

А е Я (п-т+1)х(п-т+1) - матрица вида А = ^“_1-0п-

~ [ И | п_т+1

h = со1^ —-, 1 = 1...п - т + 1 > е Яп-т+1, И,, 1 = 1. п - т +1, числа, выбран-

IЦ I

ные таким образом, чтобы собственные числа матрицы В =

удовлетворяли условию ReX(б)< - —; ц > 0 - малый параметр.

( к \

(М 1п—т+1

к V п—т+\ 0 "

)

По построению системы (14) сигнал о(/) (7) представляется в виде

п— т

а(!) = °п—т+1^) + Е у*а,- (/), а с помощью вектора X получаем его оценку:

і=1

5(ґ) = 5 т+і(ґ) + ^ у і -Д. (ґ). (16)

і=1

Пусть выполнена лемма 1. В алгоритме адаптивного управления (10) сигнал 5(ґ) заменим на его оценку 5(ґ):

и(ґ) = и {5(ґ), 0(ґ), §1 (ґ), (ґ), §3 (ґ)} = и, 0 (ґ) = 0{5(ґ)} - аоЄ = 0 - аоЄ;

§ = 71{5(ґ)}-а12§1 = У 1 - а12§1,§2 = ¥2 (5) - а22§2 = У2 - а22§2; (17)

§3 = У3(5) - а32§3 = ^3^ - а32§3 •

Здесь, для краткости, во вторых равенствах опущены аргументы функций. По построению функции и, 0, Уі, і = 1...3, - гладкие по аргументу 5.

Введем масштабированную ошибку наблюдения:

П = С0І{, і = 1.п - т +^, П є Е-т+\ (18)

Динамика вектора п(ґ) определится уравнением

цП = Бц + цЬф(х, х(ґ - т),и ,0», ґ), (19)

где Ь є Яп-^, ЪТ = (0,...,0,1), полученным из (15), (18) с учетом [7, 8].

Диссипативность замкнутой системы с регулятором (17) показывается с помощью функционала Ляпунова - Красовского:

К, = ^ + ^#2^ (20)

где V имеет вид (11); Н2 є Я(п-т+1)х(п-т+1), нТ = н2 > 0 - решение матричного уравнения ВТН2 + Н2В = -Н2 - 1п-т+1. По построению матри-

цы Б данное уравнение разрешимо.

Рассмотрим множество D = {V * « > 0} в пространстве состояний замкнутой системы (9), (17), (19). Принимая во внимание непрерывную дифференцируемость функций и; Уі, і = 1.3; 0 , непрерывность

функции Ф и ограниченность множества D, приходим к оценке:

• и ц2 1 11 ц2 и и и и и и { 1 1

У2 + М - дє--------п + О є -Ы + L2 п , у1 = тіп ^,— ;

Ц І ц I

Ц = 2уБирр С • sup

ди

до

- 3 I I 1

; Ц2 = 2уЕ вирр|^.- + §.-*г—suP

i =1 5, D ап D

дYi

до

+.

. + 2у sup р

5, D

1

0*

9 + —

С

II 1 II д©

& СЛ до

D

sup|Ф|

5, D,zL

у = тах{1,у1;■ = 0..п - т -1}.

, где Д1 > 0 - произвольное число, тогда:

2q 4Д1

■у.к + М + дц }, для всех ц е (0; ц].

(21)

М

Полагая £ большим, по крайней мере £ > —, а число Д1 малым,

V

вычисляя при этом соответствующее значение ц, на основании теоремы 1.12 [10], заключаем, что система (9), (17), (19) диссипативна в D с пре-

дельным множеством О = < V ^

М + ДЦ2

. Так как величину диаметра

множества О можно сделать сколь угодно малой выбором параметров алгоритма (17) и числа ц, то, в силу диссипативности замкнутой системы управления, выполняется цель (3).

Утверждение 1. Рассмотрим систему адаптивного управления с эталонной моделью (2) неопределенным объектом (1) с неизвестной матрицей Ц е Rn, Ц = (/1,12,..., /т ,0,... ,0) такой, что полином

т

Ц(Р) = Х Р - / _ гурвицев. Множество неопределенных параметров объ-

i=1

екта (1) Е - ограничено. Пусть адаптивный регулятор имеет вид:

и(г) = 0Т (у(г- т)}+ (§()- §п)° + (§2 (г)- §21 )°¥2 (у) +...

... + (§з(г) - §31 )о¥2{у(г - т)}

D

V

9 = -о(г )Г ю{у (г), у(г - т)} - а09(г), Гг = Г > 0,

§1 =-а11°2(г) - а12§1(г) , §2 =-а21°2(г)¥2(У) - а22§2(г) ,

§з = -аз1°2(г)^2{У(г - т)}- аз2§з(г) ,

где §i1 > 0, i = 1.3; aiJ > 0, i = 1.3, j = 1.2, a0 > 0, Г e Rlxl - параметры регулятора; S(t) e R сигнал (16), полученный с помощью наблюдателя (15) с малым параметром ц.

Тогда для заданных Е и ограниченного множества начальных условий объекта (1) в адаптивной системе выполнена цель управления (3).

Заключение

В работе предложены адаптивные алгоритмы управления достаточно простой структуры, позволяющие предельно точно следить за выходом эталонной модели, которая в рамках рассмотренной задачи считается неизвестной. Синтезированные алгоритмы сохраняют работоспособность в произвольно большой, но ограниченной области фазового пространства замкнутой системы управления, что не является существенным ограничением на область их использования для решения прикладных задач. Кроме того, элементы передаточной матрицы наблюдателя (15) - функции строго собственные, что обусловливает завал ЛАЧХ в области высоких частот. Таким образом, синтезированные системы малочувствительны к высокочастотным шумам выхода объекта управления. Данное свойство отсутствует у систем, построенных с использованием реальных дифференцирующих звеньев, где высокочастотные шумы приводят к полной потере работоспособности.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Дружинина М. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Методы управления нелинейными объектами по выходу // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 2. -С. 3-33.

2. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000.

3. Isidori A. Nonlinear control systems. - Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.

4. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. - М.: Наука, 1990.

5. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем. I // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-129.

6. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем. II // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 5. - С. 103-129.

7. Esfandiari F., H. K. Khalil. Output feedback stabilization of fully linearizable systems // Int. J. Of Contr. - 1992. - Vol. 56. - P. 1007-1037.

8. Esfandiari F., H. K. Khalil. Semiglobal stabilization of a class of nonlinear systems using output feedback // IEEE Trans. On Automat. Control. - 1993. - Vol. 38. -P. 1412-1415.

9. Ключарев А. Ю. Синтез системы адаптивного управления объектом с запаздыванием по состоянию со скалярным входом-выходом // Междунар. конф. «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий». - СПб.: СПбГИТМО, 1999. -С. 106.

10. Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с последействием. - М.: Наука, 1984.

Получено 8.09.2004

SINGULAR-PERTURBANCE ADAPTIVE CONTROL SYNTHESIS OF NONLINEAR OBJECT WITH STATE DELAY

A. U. Klyucharev

The objective of adaptive control on input-output with an unknown master model of the indefinite object with state delay is considered here. They offer to use the watcher with a big gain factor for extracting some information about the state vector of a control object with state delay. The efficiency of the synthesized system in arbitrarily big and limited area of the phase space is shown here.