Робастное управление объектом с распределенным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 681.5

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ1

A.M. Цыкунов

Решена задача робастного управления с эталонной моделью объектом с распределенным запаздыванием, когда на него действуют ограниченные внешние возмущения, а параметры математической модели неизвестны. Получен алгоритм управления, позволяющий компенсировать априорную неопределенность параметров и внешние ограниченные возмущения с требуемой точностью. Приведен числовой пример и результаты моделирования.

Ключевые слова: робастное управление, вектор состояния, возмущение, распределенное запаздывание.

ВВЕДЕНИЕ

Одна из основных проблем теории автоматического управления динамическими объектами заключается в проектировании алгоритмического обеспечения регулирующих устройств в условиях априорной неопределенности параметров математических моделей объектов и внешних неизмеря-емых возмущений. Проектируемая система управления должна обеспечивать выполнение основной цели управления, например, слежение за эталонным сигналом с требуемой точностью. Это возможно осуществить, если скомпенсировать параметрические и внешние возмущения. Один из основных подходов к решению данной задачи состоит в применении робастных систем управления. Достаточно подробно эта проблема изложена в работе [1], где приводится классификация задач проектирования робастных систем управления и различных типов возмущений.

Бурное развитие теории робастных систем управления началось с публикации [2], в которой были доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости интервальных полиномов. Разработаны различные подходы и методы построения робастных систем управления и исследования

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-0800164).

их устойчивости. Особенно отметим различные подходы, базирующиеся на «2-Риккати подходе», который был предложен в работе [3], метод инвариантных эллипсоидов [4, 5], метод матричных неравенств [6]. Эти методы наиболее часто используются для проектирования алгоритмического обеспечения робастных систем управления. Метод инвариантных эллипсоидов был применен для проектирования робастного динамического регулятора [7], а метод матричных неравенств — для синтеза субоптимального регулятора по выходу для гашения ограниченных возмущений [8].

Задача робастного управления объектами с запаздыванием исследована в работах [9—11]. Решены задачи робастного управления для объектов с запаздыванием нейтрального типа [12—14]. В работах [15, 16] запаздывающие составляющие принимаются как внутренние возмущения, и их влияние на регулируемые переменные компенсируется. В результате уравнения замкнутой системы не содержат запаздывающих составляющих. Однако такой подход не всегда применим в реальных условиях. Для многих технических и технологических объектов запаздывающие составляющие нельзя компенсировать, что связано с техническими и технологическими условиями автоматизируемого объекта.

В данной статье рассматривается задача робас-тного управления объектом, математическая модель которого описывается дифференциальным

уравнением с распределенным запаздыванием. Такие модели имеют место в химической промышленности, в электроэнергетике, в технических системах, содержащих гидравлические трубы [17].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого описывается уравнением

о

Х (?) = Ах(?) + Б | у(? + 9)аТ9 + Ви(?) + Г/(?),

-к

у(?) = ЬХ(?), х(9) = ф(9), 9 е [—й, 0],

(1)

где х е Л", и(?) и у(?) — скалярные управляющее воздействие и регулируемая переменная, /(?) — внешнее возмущение, ф(9) — непрерывная начальная функция, й — время запаздывания, А, Б, В, Г и Ь — числовые матрицы соответствующих порядков.

Задано уравнение эталонной модели

о

Хт (?) = АтХт(?) + Бт |Ут(? + 9)^9 + ад?),

т J -'т4--к

V (?) = Ь Х (?),

(2)

где хт е Л", £(?) и Ут(?) — скалярные задающее воздействие и выход эталонной модели, Ат, Бт и Вт — числовые матрицы соответствующих порядков, начальные условия нулевые.

Требуется получить алгоритм управления, обеспечивающий выполнение целевого условия

Ь(?) - Ут(?)1 < 8 при ? 1 70

о

(3)

где величина 8 > 0 характеризует точность слежения, 70 — время, по истечении которого с начала функционирования системы должно выполняться целевое неравенство.

Будем решать сформулированную задачу при следующих предположениях.

1. Пара А, В — управляема.

2. Известны диапазоны возможных значений элементов матриц А, Б, В, Г и Ь.

3. Уравнение (1) является минимально-фазовым, т. е. полином Ь(/п5 — А)+В — гурвицев, где 5 — комплексная переменная в преобразовании Лапласа, — А)+— транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы (/п5 — А), Тп — единичная матрица порядка и* и.

4. Внешнее возмущение /(?) и задающее воздействие £(?) являются гладкими ограниченными функциями.

5. Производные регулируемой переменной и управляющего воздействия не измеряются.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Преобразуем уравнения (1) и (2) в форму «вход — выход» и применим преобразования Лапласа

= ОД) | е*0^9у(5) + кВДф)

+

-к

+ Л/) + К(5),

0

От(*)Ут(*) = {*'^У» + ктМт(*Ш

-к

где = ае1(/,,? — Ат), ОД) = ДТ/ — А)+Б,

^т(5) = Ьт(Т"5 — Ат)+Бт = ¿е^ — A), Ж(^) =

= Ь(/"5 — A)+B, мт(5) = Ьт(Т"5 — Am)+Bm, =

= Ь(Тп5 — А)+Г, ёев0(5) = ¿евОт(5) = и, ёееЛф = = т и — 1, ёе§ОД) т и — 1, ёе£^т(5) < и — 1, ёе§М(5) = т, ёе§Мт(5) < т. Полиномы 0(5), 0т(5), М(5), Мт(5) — нормированы, К(5) — изображения по Лапласу, связанные с начальными условиями.

Составим уравнение для ошибки е (5) = у(5) — — Ут(5):

ад * (5) = ад 1 *^9 * (5) + ЛШЖ)

+

+ .

Л 6(5) 1 е ^ЛЭуф + кадф)

+

+ Л/) — кт^тШ*) + ОД,

где Л0(5) = ад — 0(5), ЛСД = ад — од.

Применим алгоритм деления Евклида к многочленам О (5) и 6 (5):

тт

0т(5) = О (5)М(5) + М^),

6т(5) = 6 (5)М(5) + М2(5), ёе£0 (5) = У,

у = и — т, ёе§М1(5) т т — 1, (5) т у — 1,

ёе§М2(5) < т — 1.

Разложим полиномы О (5) и 6 (5): О (5) = О0(5) +

+ Л1(5), 6 (5) = 60(5) + Л2(5), и разделим на многочлен М(5). Требования для выбора гурвицевого полинома 00(5) и 60(5) будут представлены в дальнейшем изложении. В результате этих преобразо-

0

0

к

0

к

ваний уравнение ошибки в изображениях по Лапласу примет вид

0

О0(5) е (5) = б0(л) | ее (5) + кф) +

+

M( s )

+ N2(s) J Vey(s) + N(sfs)

-h

kmMm(s)g(s) + K(S) I,

(4)

где N1(s) = AQ(s) - M1(s) - A1(s), N2(s) = AG(s) + + M2(s) + A2(s), degN1(s) = n - 1, degN2(s) m n - 1. Выделим целые составляющие в выражениях:

Ш = N (s) + Ш NM^ = N (s) + N6(>) M( s) N3(s) + M(s) ' M( s) Nj(s) + M( s) '

degN3(s) = y - 1, degN5(s) m y - 1. Преобразуем уравнение (4) в операторную форму

о

Q0(P)e(t) = G0(P) J e(t + e)de + ku(t) + ^(t), (5)

-h

где „¿О = (N3(p) + Ш) y(0 + (N5(s) + MM

M( P)

0

S Jy(t + e)de + a/t) + a/t) + a(t),

-h

^ ' М( Р) ^' М( Р) ^ л

ст(?) = Р-1 ] М- [, е(?) = Р-1{е(5)} — оригиналы от

изображений Лапласа, Р = — оператор дифференцирования, ёе§А11(Р) = п1 — ш, ёе§А12(Р) < ш. Введем новое управляющее воздействие ■&(/):

и(?) = аЗ(?), а > 0, (6)

и преобразуем уравнение (5) в векторно-матрич-ную форму:

..., д — коэффициенты многочлена О0(я). Эти коэффициенты выбираются так, чтобы решением уравнения

РА0 + А7Н + ЛНР0СФ-1С°Р(0Н = —ЛФ - Л (8)

была положительно-определенная матрица Н, положительно-определенные матрицы Ф и Л подбираются в процессе решения, чтобы получить требуемый результат. В дальнейшем матрицы вида [1, 0, ..., 0] и [0, ..., 0, 1] будем обозначать символами С и В0, если их порядок будет очевидным из текста.

Необходимо выделить сигнал, несущий информацию о функции у(?), так как в ней сконцентрирована вся априорная неопределенность параметров математической модели объекта управления и информация о внешних неконтролируемых возмущениях. Для этой цели введем вспомогательный контур, динамические процессы в котором описываются уравнением

•b (t) = A£b(t) + D J e(t + e)de + BoP9(0

-h

eb(t) = C£b(i).

(9)

Составим уравнение для вектора рассогласования г(0 = е(0 — е6(0, вычитая уравнение (9) из уравнения (8)

г (?) = Аг(0 + ЗМ0, £(*) = ад. (10)

Принимая во внимание структуры матриц, получаем

„(t) = ¿Y (t) + q„Ç(t),

(11)

где — последняя компонента вектора г(?). Поэтому идеальный закон управления описывается уравнением

ЗД = -1( ¿у (t) + qYz(t)),

(12)

и уравнение замкнутой системы будет иметь вид

• (t) = A0s(t) + D0 J e(t + e)de + B0p9(t) + B0„(t),

-h

e(t) = ад. (7)

Здесь

„(t) = „1(t) + (ka - p)9(t), C = [1, 0,..., 0],

B° = [0, ..., 0, 1], D0 = [gp ..., g], A0 =

-q1 I

-?Y 0

..., g — коэффициенты полинома G0(s),

• (t) = A0s(t) + D0 J d(e)e(t + e),

-h

e(t) = Q(t).

(13)

Система будет асимптотически устойчивой. Однако в соответствии с предположением 5 алгоритм (12) не реализуем. Поэтому будем формировать управляющее воздействие в соответствии с формулой

1

3(1) = - в (^(t) + qyÇ(t)).

(14)

h

0

1

0

0

0

Здесь ^ + 1(?) — последняя компонента вектора состояния наблюдателя |(?) [18], и

I (?) = да + а-д?) + вдо — с (?)),

I (?) = С|(?), (15)

где | е К1 + 1 Числа Ъ.....Ъ

¥0 =

0 Л о о

ВТ =

Ъ-1 Ъ-2

2

.Ц Ц

ъ

у + 1

1+1

1 выбираются так, чтобы матрица ¥ + В2С была гурвицевой, ц — малое положитель-

у +

Л, 0], В2Т = [Ъ1, ..., Ъу +1],

£ (?) — оценка сигнала Д?).

Отметим, что размерность вектора |(?) на единицу больше, чем это необходимо при технической реализации. Это сделано для удобства аналитических преобразований.

Введя в уравнение (10) новую переменную ^ + 1(?) = у(?), получим

2 (?) = ¥02 (?) + аД?) + В0V (?), Д?) = С2(?),

(16)

где 22 (?) = [22(?), 2у + 1(?)].

Вектор |(?) является оценкой вектора 2 (?). Введем вектор нормированных отклонений п(?) = = Г-1(2(?) — К?)), где Г = ^{Д, ..., ц, 1}. Вычитая выражение (15) из выражения (16), получим уравнение для нормированных отклонений п(?):

П (?) = 1 ¥п(?) + В0у (?). Ц 0

(17)

Утверждение. Пусть выполнены предположения 1—5 и матрицы А0 и Б0 выбраны так, что справедливо уравнение (8). Тогда существует число ц0 > 0 такое, что при ц0 > ц для системы (1), (2), (9), (14) и (15) выполнено целевое условие (3). ♦

Доказательство приведено в Приложении.

3. ПРИМЕР

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого задана уравнением

а1 1 0 й1 о

X (0 = а2 0 1 до + Й2 | + 9)й9 +

а3 0 0 -к

0 0

+ ¿1 и(0 + 71

¿2 д

до,

У(0 = [1 0 0]Д0, Х.(9) = 1, 9 е [-к, 0], г = 1, 2, 3.

Класс неопределенности задан неравенствами: -3 < а. < 3, -5 < й < 5, 1 < Ь. < 7, -2 < у. < 2,

г = 1, 2, 3, ] = 1, 2, |Д0| < 5. Уравнение эталонной модели

2 о

X» (0 = -12 0 1 + 1 I+ 9)^9 +

-к

"-6 1 0 2

-12 0 1 + 1

-10 0 0 _1

¿КО, УДО = [1 0 0]Х„(/).

Вводится новое управляющее воздействие ДО

и(0 = аДО.

Относительная степень передаточной функции объекта управления равна двум. Поэтому уравнение вспомогательного контура (9) возьмем в виде

ёА (?) =

' -7 1 еа(0 - 2

-12 0 _1

рдо,

i е(? + 9)й9 +

-к

ей(0 = [1 0]е4(<). где е(?) = ДО — ут(0. Уравнения наблюдателя (15) имеют вид

3

4!(0 = 42(0 - 7?(0 + -(«0 - 0), -

42(О = - 12«+ 3(«О - £ 1(ОШ0 = е(О - еА(0. -

Управляющее воздействие ДО будем формировать в соответствии с формулой

до = -в (Д 4 2 (0) + Щ(0).

Здесь Д 4 2 (?)) — нелинейная функция с насыщением, которая вводится для ограничения управляющего воздействия в момент включения системы в работу. Это, как отмечает автор, предложивший такой наблюдатель [18], является недостатком. В данном случае

Д42(0) =

42(0, если |г= 2(0|< 50, 50, если 42(0> 50, -50, если 42(0< -50.

На рис. 1 представлены результаты моделирования при следующих исходных данных: а1 = 2, а2 = а3 = 3, й1 = 5, й2 = 4, й3 = 3, Ь1 = 2, Ь2 = 5, к = 3с, у1 = у2 = 1, а = в = 10, ДО = 2вш0,2г + 3вш0,7г, ДО = 10 + 5вшг + + 5вш0,7г, - = 0,01 (см. рис. 1, в) и - = 0,1 (см. рис. 1, г).

На рис. 1, г представлен переходный процесс по ошибке, когда - = 0,1.

В случае - = 0,01 ошибка через 12 с не превышает значения 0,001, а в случае - = 0,1 — значения 0,05. Аналогичные переходные процессы получаются при другом времени запаздывания. Предельным значение величи-

Ц

+

ноечисло, ат =

о

Рис. 1. Результаты моделирования: а — управляемая переменная; б — управляющее воздействие; в — ошибка при ц = 0,01; г — ошибка при ц = 0,1

ны h является 6 с. При большем значении h эталонная модель неустойчива. Таким образом, предложенная система управления дает неплохие результаты для неустойчивого объекта с распределенным запаздыванием, при этом существенно уменьшается влияние ограниченных внешних возмущений на регулируемую переменную.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача робастного управления для объекта, математическая модель которого описывается уравнением с распределенным запаздыванием. Для ее решения применялся подход, предложенный в работе [15]. Однако в отличие от описанных в ней алгоритмов [15], когда для их работы требуется оценка нескольких производных, число которых равно относительной степени передаточной функции объекта управления, в данном случае оценивается только одна переменная, что ведет к увеличению точности. Результаты моделирования показывают, что предложенный алгоритм управления позволяет получить качественные переходные процессы. Точность регулирования зависит от

параметров ц и а, значения которых, однако, приходится подбирать на этапе проектирования, и это следует отнести к недостаткам.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для доказательства утверждения докажем лемму, которая является аналогом леммы [19], справедливой для систем без запаздывания.

Лемма. Пусть математическая модель системы имеет вид

хх(/) = Аф), Ц2), = Ф^), s е [-^ 0], (П1)

п п\ п 2

где х е Я , е Я , ц2 е Я , х^) = х(/ + s), х^) е С[—0] — банахово пространство непрерывных функций на отрезке [—0], ф^) — непрерывная начальная функция, А(х^), ц2) — непрерывное отображение из

П\ + П2 п

Я х [—h, 0] в Я , липшицево по х^). Пусть система (П1) имеет ограниченную область диссипативности

Б = {х^):^)) < С},

где V(xt(s) — гладкий непрерывный положительно-определенный функционал на C[—h, 0]. Предположим, что для некоторых значений 9j > 0, s > 0 при = 0 выполнено условие

sup (»!)T/(X,(S),„,0) + dim)) (П2)

при V(xt(s) = Cj. Тогда для достаточно малых значений 9 >0 таких, что |ц2| < 9, область диссипативности D = {xt(s): V(xt(s)) < Cj} остается областью диссипативности системы (П.1).

Доказательство леммы. Введем обозначение

7(ц2) = sup

dV(Xt(S))Л Tf(x (s) ) av(Xt(s))

-I /(xt(s), ^i, ) +-dT

|Ц1 дх

при Дх^л)) = С1.

В силу того, что функционал К(х^(^))является гладким, а отображение f(х^л), -1, -2) непрерывное по -2, функция 7(-2) будет непрерывной по -2. Так как выполнено условие (П2), т. е. 7(0) < -е, то будет существовать 9 > 0 такое, что при выполнении неравенства |-2| < 9, будет выполнено условие 7(-2) < 0. Это означает, что область диссипативности остается прежней.

Доказательство утверждения. Подставим управляющее воздействие (14) в уравнения (7) и (9). В результате получим уравнения замкнутой системы

s (t) = A0s(t) + D0C J s(t + 9)d9 + B0Cy + j^(0, -h

e(t) = Cs(t),

(П3)

0

Sb (0 = AoSb(t) + DoC J s(t + 9)d9 - ^ + j(0 + 4rZ(0), -h

e4(/) = Csb(t), (П4)

4 (t) = да + amz(0 + Bj(z(t) - Z (0),

Z (0 = C4(t), Z(0 = e(t) - e4(/), (П5)

Z (0 = Aoz(t) + 2>oV(0, Z(0 = Cz(t), (П6)

^П (0 = Fn(t) + V (0,

Z(t) - Z (0 = C7n(t), (П7)

где C + j = [0, ..., 0,1], ^ = = ц.

Пусть внешние воздействия g(t) = /(t) = 0. Тогда

¥(0 = vi (0 + (ka - Р)Д0,

^i(t)=(N3(P)+M© y(t) +

+ (S) + J * + ^ -h

В этом случае система (П3)—(П7) автономна и к ней применима лемма. Пусть -2 = 0. Возьмем функционал Ляпунова—Красовского

до = ег(0Не(0 + Д^ДО +

0 г

+ IЙ9 | еГ(Х)Фе(Х)йХ, (П8)

-к г+е

где положительно определенные матрицы Н и Ф удовлетворяют уравнению (8), а Н является решением уравнения

HjF + FTHj = -pjI, pj > 0.

(П9)

Вычислим производную от функционала (П. 8) на траекториях системы (П3), (П7)

V (t) = sT(t)(HA0 + A0r H) s(t) +

+ 2s Д) I HD0C J s(t + 9)d9 + 20С+1Д0 I + ( -h )

+ Д(0-1- (H,F + FrH,)n(t) + hsr^s(0 -И 1 1

0

- J sT(t + 9^s(t + 9)d9.

-h

Воспользуемся равенством и оценкой

00 2sT(t)HD0C J s(t + 9)d9 - J sT(t + 9)Фе(? + 9)d9

-h

-h

= к8Г(г)ЯО0СФ-1СтП0т Не(0 - | (ег(г)ЯО0СФ-1 -

-к

- ег(г + 9))Ф(Ф-1СГП0 Не(?) - + 9))й9,

-1

Подставив эти оценки в формулу для производной от функционала и принимая во внимание уравнения (8) и (П9), получим

V(0 m -(p - ^)|s(0|2

pi

|H2o

Ц1

■|Д0|2,

где р = лтДЛ), лтД-)— наименьшее собственное число соответствующей матрицы.

Если выбрать р1 и -1 из условий р - -1 > 0 и р1 -

- |НВ0|2 > 0, то получим, что система (П3) — (П7) асимптотически устойчива по переменным е(?) и ДО, а так как g(0 = f(?) = 0, то у(?) и ее производные стремятся к

нулю при ? ^ да. Следовательно, и переменная (?), и ее производная стремятся к нулю. Тогда из выражений (11) и (14) имеем

ДО = -в (4у + 1(?) + ?т?(/)) = -в (¥(?) - Су + 1П(?)).

0

0

0

2

Подставим сюда значение y(t):

= - j (V (t) + (ka - ß)O(t) - C + jn(t)),

разрешим полученное уравнение относительно переменной -9(t):

rn = - ß- (Vi (t) - с + 1n(t)).

ßa 1 ' +1

Отсюда следует lim -9(t) = 0, а из формулы (6) —

t ^ да

lim u(t) = 0. Тогда из уравнения (П4) имеем lim sb(t) = 0,

t да t ^ да

а из уравнения (П5) следует lim £(t) = 0.

t ^ да

Следовательно, система (П3)—(П7) является асимптотически устойчива, если g(t) = f(t) = 0 и -2 = 0. Условия леммы выполнены. Следовательно, существует -0 > 0 такое, что система (П3)—(П7) будет диссипативной.

Если на вход диссипативной линейной системы подать ограниченные входные воздействия, то система останется диссипативной, а значит, все переменные в ней будут ограниченными.

Остается выяснить, существует ли значение -0 > 0, обеспечивающее выполнение целевого условия, когда внешние воздействия g(t) и f(t) удовлетворяют условию 4 предположений.

Возьмем функционал (П8) и вычислим производную на траекториях системы (П3)—(П7), принимая во внимание равенство — = -2 = -0:

V(t) = eT(t)(HA0 + ATH)s(t) + 2sT(t)[ HD0C J s(t + 9)d9 +

-h

+ B0C + in(t) I + nT(t)-1 (HiF + FTHi)n(t) + J -o

0

+ hsT(t)<is(t) - J sT(t + 9)<is(t + 9)d9 + 2nT(t)H1B0у (t).

-h

Воспользуемся уже приведенными оценками и неравенством

2VV (t) m -1 h(t)|" + -0S1, S1 = supHAv (

2

2

-o

Тогда, принимая во внимание выражения (8) и (П9), получим

к(t) m -(р - -0)|e(t)|'

- pi -1 - |HBp

-o

■ ln(t)|2 + -0S1.

Если выбрать р1 и из условий: р — = —р2, р2 > 0, р1 — 1 — |НВ0|2 = —р3, р3 > 0, то получим неравенство

V (0 < —Р2|в(1)|2 — Рз1п(')|2 + ^081, откуда следует оценка

Ш < И01 < И

л/Р2

Из этой оценки видно, что выбором числа достигается требуемое значение ошибки в целевом условии, причем это значение будет достигнуто за конечный промежуток времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.

2. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14, № 11. — С. 2086—2088.

3. Doyle J.C., Glover K, Khargonekar P.P., Francis B A. Statespace solution to standard Н2 and Ню control problems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1989. — Vol. 34, N 8. — P. 83—847.

4. Назин С.А., Поляк Б.Т, Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. —

2007. — № 3. — С.106—125.

5. Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Там же. —

2008. — № 5. — С. 72—90.

6. Баландин Д.В, Коган М.М. Синтез законов управления на основе матричных неравенств. — М.: Наука, 2007.

7. Хлебников М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: линейный динамический регулятор по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 4. — С. 27 — 42.

8. Баландин Д.В, Коган М.М. Синтез субоптимального регулятора по выходу для гашения ограниченных возмущений // Там же. — С. 3—10.

9. Park P.A delay-dependent stability for systems uncertain timeinvariant delays // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1999. — Vol. 44. — P. 876—887.

10. Zhang W, Allgover F, Liu T. Controller parameterization for SISO and MIMO plants with delay// Journal of Process Control. — 2006. — Vol. 55, N 10. — P. 794—802.

11. Gao H, Chen T, Lam J.A new delay system approach to network based control // Automatica. — 2008. — Vol. 44, N 1. — P. 38—52.

12. Ivanescu D, Niculescu S.I, Dugard L, Dion J.M. Verriest E.I. On delay dependent stability of neutral systems // Automatica. — 2003. — Vol. 39, N 2. — P. 255—261.

13. Mishiels W, Engelbarghs K, Roose D, Dochain D. Sensitivity to infinitesimal delays in neutral equations SIAM J. Control Op-tim. — 2002. — Vol. 40, N 4. — P 1134—1158.

14. Li X.G., Zhu X.J, Cela A, Reama A. Stability analysis of neutral systems with mixed delays // Automatica. — 2008. — Vol. 44, N 11. — P 2698—2772.

15. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. — 2007.— № 7. — С. 103—115.

16. Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. — М.: Физматлит, 2009.

17. Колмановский В.Б, Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981.

18. Khalil H.K. Nonlinear systems. 2nd ed. — N.-Y.: Prentice-Hall, 1996.

19. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно—возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 4. — С. 119—127.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.Ю. Рутковским.

Александр Михайлович Цыкунов — д-р техн. наук, зав. кафедрой, Астраханский государственный технический университет, ® (8512) 61-42-48, И tsykunov_al@mail.ru.

2