Модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка для децентрализованного управления многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГНРИТМ АДАПТАЦИИ ВЫСОКНГН ПОРЯДКА ДЛЯ .. . УПРАВЛЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Е.А. Паршева

Астраханский государственный технический университет

Предложен модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка многосвязным объектом в условиях параметрической неопределенности при наличии запаздывания во внутреннем канале связи. Для формирования управляющих воздействий используются только измеряемые переменные локальных подсистем, т. е. осуществляется полностью децентрализованное управление. Обоснована работоспособность синтезированных систем управления при действии на объект управления неизмеряемых ограниченных возмущений.

ВВЕДЕНИЕ

Задача адаптивного управления со скалярными входом — выходом стала одной из классических задач современной теории управления [1—3]. Для решения этой задачи предложены и исследованы различные способы: метод расширенной ошибки, алгоритмы высокого порядка, метод шунтирования и др. По принципу построения алгоритмы адаптации высокого порядка [4—6] следует разделить на два класса. В алгоритмах обоих классов применяются такие же вспомогательные фильтры, как в методе расширенной ошибки. А вместо генерации сигнала расширения в алгоритмах одного класса оцениваются производные настраиваемых параметров, а в алгоритмах другого — производные от ошибки, для чего применяются различные фильтры оценки. При этом порядок замкнутой системы во втором случае меньше, чем в первом.

В настоящей работе исследуется задача адаптивного управления многосвязными объектами, причем измерению доступны только скалярные входные и выходные сигналы локальных подсистем, и предлагается применять модифицированный алгоритм высокого порядка [7], в котором оцениваются производные управляющего воздействия, что позволяет существенно понизить порядок замкнутой системы путем исключения вспо-

могательных фильтров. Для формирования управляющих воздействий и в алгоритмах настройки используются только измеряемые переменные локальных подсистем вместе с сигналами локальных эталонных моделей, т. е. осуществляется полностью децентрализованное управление.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим взаимосвязную систему, динамические процессы в локальных подсистемах которой описываются уравнениями

0(Р)у(?) + 6ь.(Р)у(1 - т) = кД.(Р)иг(?) +

k

+ сдадо + £ Я&(Р)ур), i = 1Д, (1)

у = 1,; *у

где у(?) и и;(?) — измеряемые скалярные выход и вход ^й локальной подсистемы, Д?) — неизвестное ограниченное возмущающее воздействие, т;. — известное время запаздывания, Р = й/й? — оператор дифференцирования, £>г(Р), Я(Р), 6Ь(Р), 62г(Р) и S■■(P) — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, degQг. = п;,

= т = п1Р = п2Р = пу к —

неизвестный коэффициент.

?!?!?!?.

Децентрализованное адаптивное управление для таких систем определяется как задача нахождения таких к локальных блоков адаптивного управления, каждому из которых доступна только текущая информация о системе [8]. Требуемое качество переходных процессов в подсистемах задается уравнениями локальных эталонных моделей

оарм = kA(p)r^(?), i = , (2)

где 0т{(Р) и Ят(Р) — линейные дифференциальные операторы порядков п и т соответственно, г(?) — скалярные ограниченные задающие воздействия.

Необходимо спроектировать систему управления, для которой будет выполнено условие

lim \e-(t)\ = lim |y(t) - ymi(t)\ < б,

t —— to

t —— to

(3)

где 8 — достаточно малая величина. При этом в локальных подсистемах управления не допускается использования измеряемых величин других подсистем.

Предположения.

А.1. Полиномы R.(X), Qmi(X) и Rmi(X) — гурвицевы (X — комплексная переменная в преобразовании Лапласа).

А.2. Известны порядки полиномов nt и т, относительная степень подсистем у. = п{ — т{ > 1.

А.3. Известны знаки коэффициентов к,, будем считать, что к} > 0 и известно предельное значение

к < ki.

А.4. Задающие и возмущающие воздействия являются ограниченными функциями.

А.5. Не допускается использовать производные сигналов v.(t), u.(t) и r.(t).

где М.(Р) = Ят(Р)Т(Р), Т(Р) — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами такие, что полиномы Т(Х) — гурвицевы, degT. = п1 — mi — 1, выбираются таким образом, чтобы было выполнено равенство

kmiRmi(X) T(X) _ kmi

Qmi(X)

X +

, где am > О.

Для вывода основного результата воспользуемся известным подходом [3, 7], когда измерению доступны производные входного и выходного сигналов. Выберем закон управления в виде

u(t) = TW(t),

(5)

где Э.(?) — дополнительное управляющее воздействие. Составим уравнение для ошибки е.(?) = у(?) — — Ут.(?), вычитая уравнение (2) из уравнения (4) и принимая во внимание закон уравнения (5):

ki

ei(t) = k-i

P + ami

ЭХО

AQi ( P) ki M(P)

Gii( P)

+ y(t - Ті) + Mt)

+

kt Mt (P Уl G2i (P)

AR-(P)

Rmi( PҐ Л

y(t) +

km- - r(t) +

ki M( P)

k

S-i( P)

k{M(P)f(t) + у Jу k{M(P)(ej(t) + ymj(t)) I. (6)

Введем на каждой подсистеме фильтры

vyi = FiVvi + b0iУ-, Пу- = d0-У- + 4 Ki

Vui = F2iVui + b0i9i, Пи- = d2i Vui,

Vri = Wri + V-, n- = КУ*

(7)

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Представим операторы QІ(P) и Я.(Р) в виде 0(Р) = Qмi(P) + AQi(P) и Я;(Р) = Ят(Р) + АЯ.(Р), где degA Qi = п1 — 1, degARi. = т1 — 1, преобразуем уравнение объекта управления (1)

y-(t) =

_ ktRmi(P) Tt(P)

Qm-(P) | T(P)

1

ui(t)

AQi ( P) kt M( P)

+ y(t - т-) + ARi(P) u(t) +

y-(t) +

ki Mt (P )•

+ °2 i(P) f,(t) k-M-(P)fl()

M-( P)

S-i( P) / Ч I

(4)

П; - 1 М; П; - М; - 1

где ^ е Я ' , е Я ', V, е Я ' ' , Fli, ^ и

— гурвицевы числовые матрицы, сопровождающие полиномы М(Х), Ят(Х) и Т.(Х) соответственно и заданные в форме Фробениуса; Ь. = [1, 0,

Т

..., 0]; Ь01 = [0, ..., 0, 1] — в каждом из уравнений имеют соответствующий порядок.

Введем вектор регрессии

ю. = У^ — тi), ^у;(? — тi), Уир Пг)

и вектор неизвестных параметров, зависящий от коэффициентов полиномов AQi(Х), 61.(Х), Я.(Х),

Mi(X), Sj.(X) и параметра k:. C0i = col I d0l, d1l, d0i, d3l,

k

k-mi ki

ние ошибки

d2i, ~г- ), тогда из выражения (6) получим уравне-

ei(t) =

ki

P + ami

9i(t) - C0i«i(t) + ^i(t) +

S-j(. P)

e.(t) I, і = 1, k,

(8)

где ф/t) =

_ G2i(P)

f(t) + у j)-

ymi(t) — ог-

^ ki Mi (P) lW j=£ *. kiMi( PY mj

раниченные функции, так как M(X) — гурвицевы полиномы, а rt(t) и f (t) удовлетворяют предположению А.4.

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы в уравнении (8), введем переменные л-. =

SIJ

_ SJP)

к,М({Р) У 'у и векторы П» = «Жп*, ..., Л^,

81 = ео1('л, ..., 5.г) и получим уравнения '.у = +

П( - 1

+ В8уеу, Пу = ^ + У где 'у е Я , е Я, Рц,

В.., Ь й.. — матрицы минимальной реализации в

81] 81] 81]

пространстве состояний передаточной функции

SJX)

, L ■■ = [1, О, ..., О]. Введем в рассмотрение

ktMt(Xy slJ

вектор e = col(e1, ..., ek) и матрицы

Рц = ..., ^1.}, Ь8. = dІag{Ьsi1, ..., Ь8Іk},

й. = ..., й^Ь В81 = ^{0, B812, ..., B8lk},

В82 = diag{B821, 0, ..., В82^

В8. = В8.2, ..., В8., . - Р 0, В8., . + 1, ..., В80с}

и получим следующее уравнение:

+ В8^e, П8. = й8.е + V.. (9)

Зададим закон изменения вспомогательного управляющего воздействия в виде [7]:

3-(t) = C- (t)«-(t), dC -jf = -pi«i(t)ei - а-ei (t)Ci(t),

(1О)

где Сі — вектор настраиваемых параметров, структура которого аналогична структуре вектора Сш; р. > 0, а. > 0. Таким образом, закон управления полностью децентрализованный, поскольку в нем используются сигналы только локальных подсис-

тем. Тогда из уравнения ошибки (8) получим уравнение замкнутой системы

е. = —'атгФ + к(С() — Со/ю« +

+ к.Ф.(?) + кiEnSi(t), i = 1 к, (11)

где Е} — матрица строка порядка (1* к), у которой все элементы равны единице.

Покажем, что система (7), (9)—(11) диссипативна и существует число ро. такое, что при р. 1 ро.

выполнено целевое условие Ит е.(?) < 8. Возьмем

t —— &

функцию Ляпунова

k /

¥1 = £ [Iе2 (?) + 4(?)Ра(?) +

- = 1

+ -1 (С.(?) — Со.)Т(С.(?) — Со.)), I,, > 0. р. = к,р„,

р1. у

где Р5 — положительно-определенная симметричная матрица Р5 = diag{P8l, ..., P8k}. Вычислим полную производную функции Ляпунова в силу уравнений (9) и (11), определив алгоритмы настройки параметров локальных регуляторов согласно выражениям (10),

V1 = у I 2amkiei + 2кІeikiEnsi + 2heikWi(t) + І = 1

+ sT (PF + FT PS)s- + 2 sT PsBsle

2 а i ki p 1

-l ((C- - Co-)Te2 C-).

(12)

Принимая во внимание, что матрицы Р8 и блочно-диагональные, получим, что для каждой подсистемы положительно-определенные матрицы

Р. должны удовлетворять условиям Р\Ри + р’Т1 Р\ = = —2QSІ — р8./, где Qsi — произвольные положительно-определенные симметричные матрицы; р8. > 0; I — единичные матрицы соответствующего порядка.

Учитывая блочную диагональность всех матриц, воспользуемся оценками:

2( С. — Со.)ТС. < — (С. — Со.)Т(С. — Со.) + ||Сог|2,

2екк^ < 2к.к. |е.||Ф.1,

2екА^ т 2к1\еДпЛ < 2ЦеЩ\,

—а/, т — ХтпОДМ2 < — *1 Р.■?,

лша^ Р 8/

2

-st pSsi m -Xmin(p^^i'l

k

k

I t 12

\sTP B - т о

s О s 1 I * JJ )- s J ^ s JJI = X ! sT P B \2

sijQsisij 1 BT P Q-1 P B sfj i і sih

BsijPsi Qsi PsiBsij

1

^Slj

BT P Q-1 P B ?

BsijPsiОsi PsiBsij

2sTP B .e. m 2|sTP B .\\e.|,

ij Si sij j 1 ij Si sy'' j1’

где X • и — минимальное и максимальное

mrn max

собственные числа соответствующих матриц, Qs =

= diag{QSP ..., Q} Ps = diag{Psl, ..., Psk}. Тогда из

уравнения (12), дополняя соответствующие слагаемые правой части до полного квадрата, получим:

К m ~°1V1 + L f-»mAe? + Or e?i|C»iII2 -

i = 1 f Pli

J0,5amie- -

k -і Ф -I

л/0,5 ami

0,5 ami

VXmin(Pssi\\ -

k th і I e)

A/Xmin(ps )

у sTJPsiBsi

j = 11 'J'tsij

(

- \e-\2

k2 h 2 k

0,5 ham -. -. - . - у 1

i mi

Xmin (p2 ) j = 1 Xsji.

где CT1 = min\ а,; 0,5ami; Xmin (.Qs) \, откуда, выбрав

Xmax( Ps )

у — > 0, обеспечим поло-

22

kihi

k

0,5hfl. —

, l ml Xmin(P2) /Ґ! XSp

жительность последнего слагаемого. Тогда производная от функции Ляпунова

матриц ¥х. и Р31, получим, что векторы Уу{, V. и Т

(С.(?) — Со.) ю. ограничены. Преобразуем второе уравнение (7):

К. = (^ + ЬоЛ Ж. + Ьо;(С;(?) — Со.)Ч +

+ bo- і do-yi(t) + d1i Vyi + d0 iy-(t - Ti) +

+ 4 V„(l - T-) + --Г nrt(t)

Характеристический многочлен Р.(Х) матрицы т

¥иі + ь0.-2. в соответствии с предположением А.1 гурвицев, а следовательно, ^.(1) — ограниченный вектор, т. е. весь вектор ю.(1) ограничен. Но тогда из второго из уравнений (10) следует ограниченность вектора С.(1), и из уравнений (7) и (10) следует ограниченность векторов ю. (1) и С{ (1). Это значит, что если система начинает работать из некоторой области О0, то существует область

О = {в.(1), ю.(1), С.(1), ю.(1), Сі(1): |ю.(?)| < кр |С.(1)| < к2, |(Ь. (1)| < кз, |С. (1)| < к4} (14)

с некоторой областью притяжения О1, для которой справедливо условие Ііт в.(1) = 0.

ї —— то

В связи с тем, что по условию сформулированной задачи измерение производных недопустимо, то сформулируем локальный закон управления (5) и(10) в виде

Щ = Т(Р) 3. ( 1), 3.(1) = Ст (1)ю.(1),

-С і

= —рр,(1)в, - а.в] (1)С.(1), (15)

V m -=1V1 - у e2 (0,5a„A - о-! ) + 0j,(13)

i= 1 1i

где ст2 = sup

ґ h і-2- Ф -і

I 0,5am-

Если выбрать h} и p1t из ус-

ловия 0,5amih. — аІ-І II C0i\\2 > 0, то, решив последнее

p1i

°2

неравенство, получим lim V1 m —, а поскольку

t —— to ^1

у hi min e2 m V1, то и I ei\2 <

І = 1

hi min CT1

, тогда lim |e(t)\ < б.

t —— to

Необходимо показать, что все переменные в (7) являются ограниченными функциями. Принимая во внимание условия А.1 и А.4 и гурвицевость

где 9. (?) — оценка функции $.(?). Для реализации закона управления (15) требуется получить оценку 9. (?) и ее у. — 1 производных, для чего воспользуемся наблюдателем [8]

с. = /о.С. + Н(9. — 9.), 9. = Ьо.с, i = 1Д. (16)

У; - 1 Т

Здесь Z, є r!‘ , L0i = [1, 0, ..., 0], HT =

hn

h Y j - 1'

Y і - 1

, F0i =

0 IYj - 2 0 0

вектор Hi выбира-

ется таким образом, чтобы матрица F. = F0. + Ht L.

-n-T

б^іла гурвицевой, где Нг = [—^1г,..., — ку _ 1 ]; ц > 0 — малое число. Очевидно, что теперь закон управле-

k

ния технически реализуем, так как содержит из вестные или измеряемые величины.

(У,-- 1)-|

Введем два вектора 9. (1) =

3,-(1), 3.(1), ..., 3.

П.(?) = Г/1 (£.(?) — 9.(?)), где блочно-диагональная

у - - 2 — 1

матрица Г. = diag{ ц - , цу , ..., ц, 1}, и из урав-

нения (16) получим уравнение для нормированных отклонений п.(?)

1 1 (Гг) п. (?) = Г-1 (/.. — Н. Ьо.)Г.пг-(?) + Г-1 Ьы 9. (?). Структура матриц Дор Ь0., Г. и Н. такова, что

Г-1 (До. — НЬо.)Г. = 1 рр Г-1 ьо. = ьор и с учетом раМ'

венства £.(?) — 6.(?) = Г.пг(?) последнее уравнение примет вид

1

(У;)

П.(1) = _ РП.(1) + ь0.3.(1),

А3.(1) = 3. (1) — 3.(1) = Ц - 2А)Л.(1).

Преобразуем это уравнение в эквивалентное относительно выхода А3.(1):

П і (1) = 1 ДПі (1) + ьо. 3.(1) А3.(1) = ц - %. п. (1Х

(17)

2

где Ьо. = [1/ц - , 0, ..., 0], п.1 (?) = пд(<). Прини-

мая во внимание, что управление формируется в виде (15), преобразуем уравнение (11) к виду

е. = —ате(?) + к(С№ — Со.)Тю.(?) +

+ ЦУ' к1Ьо1 П. (?) + к1(^1(?) + EiпSi(t')), i = 1 к. (18) Утверждение. Если выполнены предположения

А.1—А.5, то существует число цо такое, что при ц < цо система (7), (15), (17) и (18) диссипативна, если движение системы начинается в области Оо и выполнено целевое условие (3)>

Доказательство. Запишем уравнения (17), (9) и (18) в виде

е. = —ат.е(?) + к(С.(?) — Со)Тю(?) +

+ цУ' к.Ьо.п.(?) + + Eiп8i(t)), i = 1 к,

= ЗДО + В8^e(t‘), П8.(?) = ЬЛ(t),

Ц1 пI (?) = /п.(?) + Ц2Ьо. 9.(t),

С1 = —рг-юг-(?)ег- — ае2 (t)Ci(t), (19)

где ц1 = ц2 = ц. Воспользуемся леммой.

Лемма [10]. Если система описывается уравнением х = Дх, ц1, ц2), х є Я , где/(1) — непрерывная функция, липшицева по х, и при ц2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности

О1 = {х|Дх) < С}, где Дх) — положительно-определенная, непрерывная кусочно-гладкая функция, то существует ц0 > 0 такое, что при ц2 < ц0 исходная система имеет ту же область диссипативности О1,

если для некоторых чисел С1 и ц1 при ц2 = 0 выполнено условие

^ир_ т/(х,ц, 0)] т —Сі,

при Е(х) = С. ♦

(20)

-т

Возьмем функцию Ляпунова V] = ^ п. Н2.п.,

.= 1

Т

где Н2. = Н2. > 0 определяется из решения уравнения Н2Д + ЕТН2. = — Q2І, где Q2І = Q^i > 0, тогда учитывая уравнения (19), получим

• k 1 -Т -

у2 = — £ - п. Оуп. при ц2 = 0.

. = 1ц1

Таким образом, при ц2 = 0 имеем исходную систему уравнений (9) и (11), к которой добавляется независимое уравнение ц1 п.(?) = Дп.(?) с

асимптотически устойчивой переменной п.(?). Следовательно, имеем область диссипативности О с областью притяжения Ог

Выберем в качестве функции Е(х) функцию Ляпунова

k ,

Д = £ [ кие2 (?) + £ РФ +

. = 1

+ к(С(1) — С0і)т(С.(1) — С0.) + У* (1)ЩУг1(1) +

Р І

+ ^ ШиУЛ) + пТ (?)Н2.п. (?)), где ки > 0, Н2., Н3. и Н4. — положительно-определенные симметричные матрицы. Выберем число С так, чтобы ограниченная замкнутая поверхность

Дх) = С, где хТ(?) = [у., *Т, пГ, ^ и У’Т. ], совпала с границей области О по переменным х(?), а поскольку множество притяжения О1 лежит в откры-

k

той области V(x) < C, система диссипативна. Поэтому переменные x(t) будут стремиться к области притяжения О,, а следовательно существует число

C1, для которого выполнено условие (20). При

этом только переменные nt (t), а точнее, скорость их сходимости к нулю будет зависеть от выбора -,. Таким образом, в соответствии с леммой [10], существует -0 > 0 такое, что при - < -0 областью диссипативности системы (7), (15), (17) и (18) остается область О. Но необходимо отметить, что сохранение области диссипативности не гарантирует, что множество притяжения о, останется в сингулярно возмущенной системе тем же.

Пусть в уравнениях (19) - 1 = - 2 = - 0. Будем считать, что движение системы начинается во множестве начальных условий О0, следовательно, все траектории системы будут находиться в области диссипативности О. Возьмем функцию Ляпунова

V = V1(eJ, s, (C. — Co,)) + V2(nt) и определим матрицу Q2i = ЗІ. Вычислим полную производную от функции Ляпунова в силу уравнений (19), учитывая выражение (1З),

v m -„, v, + „ + у (-e2 (0,5aJh. - О-/Г/ J +

І = 1

p1i

+ 2ei(t)hi Цо L0i п, (t) - — 11 п, (t)|P +

Цо

+ 2 nf H2i b о, (Cf (t)b(t) + CT (t) (b i (t))). (21)

Так как траектории системы находятся в области Q (14), а именно:

- і0,25amih{e2 (t) - 2\ei(t)\hikt -0-2\\П-(t)\\ +

+ -1\\П-(t)\\2JJ,

-o JJ

где a3 = minia,, — І = mini{а,.; 0,5a .; X mn ( Qs);

3 1 1 -0 J l{ l; , ml; Xmax(Ps) ;

— J. Если выбрать -0, h. и p1t из условия

-0 I

0,25amihi ,2 7 2 2(уг-2)

-o

hi k- -o > 0,

а Л,-

Р2. = 0,25ат. к. — ||Со, ||2 > 0, (22)

р1.

обеспечивая положительность второго слагаемого. Тогда справедливо неравенство

k

V т — ст3 V + £ (—р2.е2 + ^2 + ц2 4^

. = 1

откуда следует, что в области, где выполнено условие |е.(?)| > 7(^2 + цоКо2.)/Р2., имеем V < — сг3К т. е. переменные е.(?) и п.(?) ограничены. Следовательно |е.(?)| < 7(^2 + цок2.)/Р2., при ц т цо, изменяя рь. и ц в выражениях (22), можно получить требуемую величину 8 в целевом условии (3)>

3. ПРИМЕР

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнениями

О = {e-(t), «-(t), C-(t), «- (t), Ct (t): \«/.(t)\ m -1,

\Cj(t)\ < k„ \ сЪ- (t)\ < -3, \C- (t)\ < -4

4

то справедливы оценки

(P + a1P + a2P + a3)y1(t) + (g1P + g2P + g3) s

s y1(t - т,) = b1u1(t) + (s,P + s2)y2(t),

aP + a5P + a6)yx(t) + (g^P1 + g5P + g6) s

s y2(t - т2) = b2u2(t) + (s3P + s2)y,(t).

2 nT H2i b 0/(CT «-(t) + CT « - (t)) m 2\hi(t)\\Koi,

Y- - 2 — ~ Y • - 2 —

2e.(t)h.k.-oJ Lotn- m 2\ei(t)\hidt -o- \\n-(t)\\,

где K0 = || H2/ b 0i \\(k4-1 + -2-3). Подставив эти оценки в производную (21), получим

"«Co-!!2J -

v m-a3V + „2 + у і-e2 і0.25a„ihi - а--І"'' "2

i= 1 1i

- і-Lhi(t)\\ - V-oKo-J2 + -0 Ko2- -

V-0

Параметры локальных эталонных моделей Qmi(P) = (Р + 1)3, Ят(Р) = 1. Задающие воздействия г1(?) = 1 + sint, г2(?) = 1 + 2sin0,5t. Оператор

Т(Р) = Р + 2 Р + 1, тогда число ат. = 1 в уравнении (11), а фильтры (7) принимают вид

vyt =

0 1 -1 -1

V. +

yi

e-(t), Vri =

0 1 -1 -1

0]V„, і = 1, 2,'

Vri +

ri

'•/О.

при этом один фильтр исключается, поскольку degЯmi(P) = 0. Вектор регрессии принимает вид

42

CONTROL SCIENCES № З • 2008

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Траектории ошибок

ю/t) = col(y, Vyi, y(t - т.), Vy(t - т.), Г|„). Наблюдатель (І6) и закон управления имеют вид

О І О І

ЗЗ

(З/О - О,), О= [1 0К;.,

i = 1, 2,

и(/) = (Р + 2Р + 1) О у (/), 3,.(/) = сТ (/)ш,(/),

-С 1

—' = -р^/Ц - а,.е2 (/)С,(/).

На рисунке приведены результаты моделирования при следующих исходных данных:

а1 = -5, ^ = 2, I = 1, 2, 3; т1 = 5, с;

s1 = s2 = 2; b1

З;

atl = -4, g = -З, l = 4, 5, 6; т2 = З, c; s3 = s4 = З; b2 = 2; af = 5, p- = 2О, ц = О,ОІ,

У1(О) = У 1 (О) = y 1 (О) = І,

У2(О) = y 2 (О) = У 2 (О) = -І, все остальные начальные условия нулевые.

Рассмотрена задача адаптивного управления с эталонной моделью для многосвязного объекта с неизвестными параметрами, когда измерению недоступны производные входных и выходных сигналов локальных подсистем. Предложено и обосновано применение модифицированного адаптивного алгоритма высокого порядка, в котором по сравнению с известными алгоритмами адаптации высокого порядка исключены фильтры, через которые пропускаются все компоненты вектора регрессии, благодаря чему существенно уменьшается порядок замкнутой системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фрадков А.Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. — 1974. — № 12.

2. Narendra K.S., Valavani L.S. Stable adaptive controller design — direct control // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1978. — Vol. 23, N 4.

3. Мирошник И. ВНикифоров В. ОФрадков А. Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000.

4. Morse A.S. High-order parameter tuners for adaptive control of nonlinear systems // Syst. Models ant Feedbach: Theory Appl. Birkhausor. — 1992. — P. 339—364.

5. Nikiforov V.O. Robust high — order tuner of simplified structure // Automatica. — 1999. — Vol. 35, N 8. — P. 1409—1415.

6. Khalil H.K. Adaptive output feedtach control of nonlinear systems represented by input — output models // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1996. — Vol. 41, N 2. — P. 177—188.

7. Цыкунов А.М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 8. — С. 143—153.

8. Миркин Б.М., Цой Ман-Су. Адаптивное децентрализованное управление динамическими системами. — Бишкек: Илим, — 1991.

9. Atassi A.N., Khalil H.H. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. —1999. — Vol. 44, N 9. — P. 1672—1687.

10. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем. I // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 4. — С. 119—127.

e-mail: [email protected]

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским. □